专题12 相似三角形中的基本模型之十字架模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级上册

专题12 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 13 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 16 21 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（2024·山西大同·模拟预测）矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则线段的长为 ． 例2（2025·江苏常州·三模）【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G．（1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 例3（24-25九年级上·四川成都·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 例4（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为_____________；（2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，的值为__________________； 【性质探究】（3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．求证：； 【拓展延伸】已知四边形是矩形，，； （4）如图④，点是上的点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上．求的值；（5）如图⑤，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时，______________． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（24-25·淄博·校考一模）如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P．(1)求的度数；(2)求证：． 例2（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则＝ °；则的周长为 ．    例3（2025·安徽·校考一模）如图1，等边中，点D、E分别在上，且，连接交于点(1)求证：；(2)如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；(3)如图3，在的条件下，点G在上，的延长线交于H，当时，请直接写出线段FH的长．    模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 例3（2025·湖北武汉·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 例4（24-25九年级下·四川内江·开学考试）初识图形 （1）如图1，、分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则　 　． 类比探究（2）如图2，矩形中，点、分别在边、上，连接、，且，，，则　 　． 拓展应用（3）如图3，中，、分别为、边上的点，，，，连接，交于点．求长．请说明理由． 1．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级·安徽·专题练习）如图，分别是等边的边上的点，且，连接相交于点．若等边的边长为6，则的长为（   ） A． B． C． D．2 3．（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在矩形中，，，点、、分别在线段、、上，且，则 ． 5．（23·24·广东·期中）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，则的长为 ． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，和均为直角三角形，点为中点，若，，，则的长为 ． 6．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 7．（24-25九年级上·成都·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点，作于点，分别交，于点，．记的面积为，的面积为，当时，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形中，，，，，点M，N分别在边、上，求的值为 ． 9．（2025·山西大同·二模）如图，正方形的边长为6，点分别是边上的点，且，连接的垂直平分线分别交于点，则的长为 ． 10．（2025·浙江湖州·三模）数学课上，小美用两张如图1所示的直角三角形纸片：，，，斜边重合拼成四边形，接着在上取点E，F，连，使． （1）若拼成的四边形如图2所示，则的值为 ；（2）若拼成的四边形如图3所示，则的值为 11．（2025·贵州铜仁·三模）【问题解决】（1）如图，在正方形中，点为边上的一点，过点作于点，交于点，求的值； 【灵活运用】（2）如图2，在矩形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值； 【知识迁移】（3）如图3，在中，，点是边的中点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值． 12．（2024年贵州省贵阳市花溪区久安中学中考二模数学试题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 13．（24-25九年级上·福建泉州·期末）（1）如图1，在矩形中，，，E，F分别是，上的点，连接，，于点G，则______； （2）如图2，在矩形中，，分别交，于点E，F，分别交，于点H，G．求证：； （3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，，求的值． 14．（2025九年级上·广东深圳·培优）已知四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点G．(1)如图，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； (2)如图，若，，，，则________． 15．（24-25下·武汉·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 16.（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究． (1)猜想证明：如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明． (2)迁移探究：如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：． (3)拓展应用：如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长． 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：    【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是、上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则=______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上， 且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中， E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 18.（2025·湖北·模拟预测）数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： 【教材呈现】（1）如图1，在中，，于点．直接写出一个与相似的三角形； 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，点分别在上，且，垂足为，求的值。 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 13 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 16 21 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【详解】解：（1）能，过程如下：如图所示：∵四边形是矩形，∴∴ ∵，∴∴，∴，∴，∵，，∴， （2）分别过作，如图所示：∵四边形是矩形，∴ ∵∴∴四边形是矩形，∴， ∵四边形是矩形，∴∵，∴ ∴四边形是矩形，∴，，∴，， ∴，∴，∵，∴ ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴； （3）如图所示：∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵，∴∴，∴，∴， ∵，∴，在中，， ∴，故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴， 过点N作，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，在中，， ∴．故答案为： 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（2024·山西大同·模拟预测）矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则线段的长为 ． 【答案】/3.5 【详解】解：过E作于M，如图，则， ∵四边形是矩形，，∴，， ∵沿翻折到处， ，∴，，， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，则，∴，， ∵，，∴， ∴，即，∴，，   设，∵∴四边形是矩形，∴，， 在中，，，由勾股定理得， 则，解得，∴．∴故答案为：． 例2（2025·江苏常州·三模）【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【详解】（1）证明：∵是由折叠得到，，， ∵四边形是正方形，，，， ，． （2）解：如图，连接． ，，由折叠可知，， 四边形是正方形，，， ，，， ，∴，∴，， ，，， 或（舍去），； （3）解：如图，连接，由题意，设，设． ①当点在点的左侧时，∵，∴， 由折叠可知，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 解得：或（舍弃），∴； ②当点在点的右侧时，如图， 设，同理，∵，∴， ∴，即， ∴或（舍弃），∴．综上所述，或． 例3（24-25九年级上·四川成都·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，理由见解析(3) 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ，，， ，，，，， （2）解：仍然成立，理由如下：，， ，，， ，，，，， 四边形为平行四边形，，， ，，， ，，，，， （3）解：在线段上取一点，使得， 则四边形为等腰梯形，， ，，，， ，，，， ，，， 为中点，，，设，则，， ，，，，，， 过点作，交于点，， ，， ，，（舍去），，，故答案为：． 例4（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为_____________；（2）如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，的值为__________________； 【性质探究】（3）如图③，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．求证：； 【拓展延伸】已知四边形是矩形，，； （4）如图④，点是上的点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上．求的值；（5）如图⑤，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时，______________． 【答案】（1）（2）（3）证明过程见详解（4）（5） 【详解】解：（1）四边形是正方形， ∴，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：； （2）∵四边形是矩形，∴， ∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴，即，解得，，故答案为：； （3）证明：∵，∴，∴， 如图所示，过点作于点，则， ∴四边形是矩形，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴， 又，∴； （4）如图所示，过点作于点，作于点， ∵四边形是矩形，∴，， ∴，∴四边形是矩形，∴， ∵于点，∴，∴， ∴，且，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，同理，，∴，∴，∴； （5）如图所示，连接，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，由（4）可得，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，即， ∴，∵，∴， ∴，∴，故答案为：． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（24-25·淄博·校考一模）如图，等边，点E，F分别在AC，BC边上，，连接AF，BE，相交于点P．(1)求的度数；(2)求证：． 【答案】(1)；(2)见解析 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，， 又∵，∴，∴， ∴； （2）证明：∵，，∴． ∵∴，∴，∴． 例2（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则＝ °；则的周长为 ．    【答案】 【详解】解：是等边三角形，，， 在和中，，， ，， 在上取一点使，则， ，是等边三角形，，即，， ，设，则，作延长线于，    ，，，， ，在中，， 即，解得或（舍去），，， 的周长为，故答案为：，． 例3（2025·安徽·校考一模）如图1，等边中，点D、E分别在上，且，连接交于点(1)求证：；(2)如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；(3)如图3，在的条件下，点G在上，的延长线交于H，当时，请直接写出线段FH的长．    【答案】(1)详见解析(2)，详见解析(3) 【详解】（1）为等边三角形，，， 在和中，，≌，， ，； （2），理由如下：如图，延长BE至M，使，连接，取的中点N，连接，    由得：，是等边三角形，，， ，，即， 在和中，，，， ≌，， ，，∴ ∽，，，，， ，即，，即，， 点N是的中点，，， 又，是等边三角形，，， ，，， ，； （3）如图，延长至M，使，连接，取的中点K，连接，    由知：，≌，，，∽， ，，，， ，，，， ，，点G是的中点，， 点K是的中点，是的中位线，，， ，， ，∽，，， ，， ， 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点， 是的中线，，， 在中，，， 是等腰直角三角形，， 设，则， ，，， 在和中，，， ，即，解得，， ，故选：B． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是角平分线，∴，∵，∴， 又∵∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴，∵，， ∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是中线，∴，∵G为的中点，∴， ∴是中位线，∴，，∴， 又∵，∴，∴，∴是的中位线， ∴，∴，∵，∴，故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角，但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似，故D选项错误，符合题意，故选：D． 例3（2025·湖北武汉·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥AD， ∴，，∴． ∵，∴．∵AC＝BC，∴，∴； （2）如图，过点B作交CE延长线于点M． ∵，∴，． ∵，∴，∴． ∵，∴．又∵，∴， ∴，．∵， ∴，∴． 又∵AC=CB，∴，∴，∴； （3）如图，过点E作于点T． 设CD=a．∵，∴，． 设DT=x，则．∵，， ∴，∴，即，∴． ∵，∴为等腰直角三角形，∴，， ∴，∴．∵， ∴．∵， ∴，即，∴，∴． 例4（24-25九年级下·四川内江·开学考试）初识图形 （1）如图1，、分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则　 　． 类比探究（2）如图2，矩形中，点、分别在边、上，连接、，且，，，则　 　． 拓展应用（3）如图3，中，、分别为、边上的点，，，，连接，交于点．求长．请说明理由． 【答案】（1）1；（2）；（3）． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，，， ，，，； 在与中，，， ，，故答案为：1； （2）如图1，作，交于，交于，， 四边形是矩形，，，，， 四边形是平行四边形，，，同理（1）可得：， ，，故答案为：； （3）如图2，作于，设，，，， ，，，， 由（1）知：，，， ，，， 由得，，，． 1．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：作，交于N，交于M． 四边形是正方形，， 四边形是平行四边形， ，四边形是矩形， 设，则， ，，又 是的中位线，， ．故选：C． 2．（2025九年级·安徽·专题练习）如图，分别是等边的边上的点，且，连接相交于点．若等边的边长为6，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：是等边三角形，， ，， ，，，． 过点作于点，则， ，由勾股定理得，． ，， ，即，解得，，故选：B． 3．（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在矩形中，，，点、、分别在线段、、上，且，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形， ∴，， 又，， ，，，故答案为：． 5．（23·24·广东·期中）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如解图，补成矩形，延长交于点， ∵，，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴，，∴设，则， 又∵在矩形中，，∴， ∴，即，解得．∴． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，和均为直角三角形，点为中点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得，，， ∵，∴，∴，∴， ∵点为中点，∴设，则，∴，则， ∴（负值舍去），∴，故答案为：． 6．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点．    ∵，∴．∴，∴，， 设，，则，，正方形边长为，∴． 由翻折和正方形的性质可得，．∴． ∴，即，∴． ∴．在中，，∴． 解得：（舍），．∴． 在中，，∴解得：， ∴，∴，故答案为． 7．（24-25九年级上·成都·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点，作于点，分别交，于点，．记的面积为，的面积为，当时，则的值为 ． 【答案】 【详解】解： ∵平分，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， 如图，过点作交于，则， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴， 如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，又∵，， ∴，∴，设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴，故答案为：． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形中，，，，，点M，N分别在边、上，求的值为 ． 【答案】 【详解】解：过点D作的平行线，交过点A作的平行线于G，交的延长线于H，过点D作于P，∵，∴，∵，∴， ∵∴，∴， ∵，∴四边形是矩形，连接， ∵，∴ ∴，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴设，则，∴，，∴，解得，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 9．（2025·山西大同·二模）如图，正方形的边长为6，点分别是边上的点，且，连接的垂直平分线分别交于点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： 在正方形中，，， ，，，， 在中，，则，， 是的垂直平分线，，，， 在中，，，则由勾股定理可得， ，，， ，即，解得，，， ，，， ，，，即，解得，故答案为：． 10．（2025·浙江湖州·三模）数学课上，小美用两张如图1所示的直角三角形纸片：，，，斜边重合拼成四边形，接着在上取点E，F，连，使． （1）若拼成的四边形如图2所示，则的值为 ；（2）若拼成的四边形如图3所示，则的值为 【答案】 【详解】解：（1）如图，由题意可得：，，且， 四边形是矩形，，， 又，，，，，故答案为：； （2）连接，交于点，设与交于点， 由题意，，，垂直平分， 在中，，， ，解得：，， ，，，， 又，，，，， ，，故答案为：． 11．（2025·贵州铜仁·三模）【问题解决】（1）如图，在正方形中，点为边上的一点，过点作于点，交于点，求的值； 【灵活运用】（2）如图2，在矩形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值； 【知识迁移】（3）如图3，在中，，点是边的中点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【详解】解：（1）解：∵四边形是正方形，∴∴， ∵于点，∴，∴， ∴，∴，∴，∴． （2）解：∵四边形为矩形，∴∴ ∵于点，∴∴∴ ∴∴． （3）解：构造矩形，延长交于点，如图所示， 由（2）中结论可得，∵，∴设， ∵点为的中点，∴ 在中，根据勾股定理，得 ∵∴，则，解得， ∵四边形为矩形，∴，∴，∴， ∴，即解得∴． 12．（2024年贵州省贵阳市花溪区久安中学中考二模数学试题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【详解】（1）证明：四边形是矩形，，， ，，，，； （2）证明：四边形是正方形，，，， ，，， ，，点在的延长线上，， 又，，， ，，； （3）解：如图3，延长至点，使，连接， 四边形是菱形，，，， ，，， ，，是等边三角形，， ，，即的长为3． 13．（24-25九年级上·福建泉州·期末）（1）如图1，在矩形中，，，E，F分别是，上的点，连接，，于点G，则______； （2）如图2，在矩形中，，分别交，于点E，F，分别交，于点H，G．求证：； （3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，，求的值． 【答案】；见解析； 【详解】解：（1）矩形，，，， ，，，，； （2）证明：过点作垂线，过点作垂线，垂足分别为P、Q，如图， 矩形，，， 同理，， ，， ，，； （3）解：过点作，延长交于点， 在中，，， ，，，， ，，，， ，，，，． 14．（2025九年级上·广东深圳·培优）已知四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点G．(1)如图，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； (2)如图，若，，，，则________． 【答案】(1)，使得成立，见详解(2) 【详解】（1）解：当时，成立，理由如下： 如图所示，在的延长线上取点，使，则．         ∵四边形是平行四边形，∴，，∴，， ∵，∴， 又∵，∴，∴． ∴， ∴，∴； （2）解：如图所示，连接、，交于点，作于， ∵，，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，，∴， 又∵，∴，∴，∴，即， ∴，∴，∴， ∵，∴，解得， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∵，∴， ∴，∴，故答案为：． 15．（24-25下·武汉·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥AD， ∴，，∴． ∵，∴．∵AC＝BC，∴，∴； （2）如图，过点B作交CE延长线于点M． ∵，∴，． ∵，∴，∴．∵，∴． 又∵，∴，∴，． ∵，∴，∴． 又∵AC=CB，∴，∴，∴； （3）如图，过点E作于点T．设CD=a． ∵，∴，．设DT=x，则． ∵，，∴，∴，即，∴． ∵，∴为等腰直角三角形，∴，， ∴，∴．∵，∴． ∵，∴，即，∴，∴． 16.（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究． (1)猜想证明：如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明． (2)迁移探究：如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：． (3)拓展应用：如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长． 【答案】(1)，证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：，证明如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示：则， 在正方形中，， 四边形，四边形是矩形，∴， 设交于点，则，∴， ∵，∴，∴； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： ∵，∴， ∵，，∴，∴， ，，∴，∴，又∵，∴； （3）解：在矩形中，，，∴， 平分，∴，∴，∴， 当时，如图所示：此时，点在上，，， ，，，， ，，∴，∴， 过点作交于点，如图所示：，， ，，，∴，， ，，∴， ∴，∴． 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：    【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是、上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则=______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上， 且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中， E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 【答案】初探猜想：，理由见解析；类比探究：；知识迁移：；拓展应用： 【详解】解：初探猜想：，理由如下：如图1，设交于点O，       ∵四边形是正方形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； 类比探究：矩形中，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，如图2， 作，交于Z，作，交于X，∴， ∴四边形和四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，同理（1）可得：，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：； 知识迁移：如图3，作，交的延长线于点V，作直线于点W，∴，       ∵，∴四边形是矩形，又∵，∴由（2）知：， ∵是等边三角形，∴，∴， ∴，∴； 拓展应用：以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H， ∵四边形是正方形，∴， ∵E是的中点，∴，在中，，由勾股定理得：， ∵，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴当A、G、N在一条直线上时最小，即最小， 此时最小值是的长，其长度为． 18.（2025·湖北·模拟预测）数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： 【教材呈现】（1）如图1，在中，，于点．直接写出一个与相似的三角形； 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，点分别在上，且，垂足为，求的值。 【答案】（1）或；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵，∴， ∴，∴∽， ∵，∴∽，∴与相似的三角形为或； （2）∵矩形，∴，∴． ∵，∴，∴． ∴∽，∴．∵，∴． （3）如图，连接，过点作，过点作，垂足为，延长交于点N．设； ∵，，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴． ∵，∴≌， ∴，∴，又∵，∴， 又∵，∴∽．∴，∴． ∵，∴，∴．∵，∴，解得，∴． 过点作，垂足为，交于点． 则，∴四边形为矩形，∴； 在和中，，∴． 在和中，，∴∽， ∴，在矩形中，，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $