专题08 相似三角形重要模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级上册

专题08 相似三角形重要模型之手拉手模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.手拉手（旋转）模型 4 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 （2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 1.手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 图1 图2 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 例1（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现：如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究：将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用：如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 例2（2025·江西新余·三模）【初步感知】（1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】（2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    例3（23-24九年级下·湖北武汉·期中）【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】（2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 例4（24-25·广东·九年级专题练习）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长． 例5（2025·安徽蚌埠·三模）将矩形绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形． (1)如图1，若 点E落在上，求的度数；(2)连接，，过点E作交于点M．如图2，证明：；如图3，若射线分别交，于点P，N，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 例6（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：．(3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·福建·校考一模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'．当五边形A'B'BCD为正五边形时，即长为（    ） A．1 B． C． D． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为 ． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，，．将绕点旋转，当A，D，E三点在同一条直线上时，    （1）的大小是 ；（2）的长是 ． 4.（2025·山东济南·三模）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点（不与点A重合），连接，以为边在的上方作矩形，且，连接，则面积的最大值为 ． 5．（24-25·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点P、M．求证：(1)；(2)．    6．（24-25·重庆市九年级阶段练习）问题提出（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝ °． 类比探究（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 拓展延伸（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由． 7．（24-25·福建泉州·九年级校考期末） 问题背景：（1）如图①，已知，求证：； 尝试应用：（2）如图②，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值； 拓展创新：（3）如图③，D是内一点，，，，，求AD的长． 8．（24-25·江西抚州·九年级校考期中）将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得，如图①所示，，我们将这种变换记为．    (1)如图①，对作变换得到，则_________；直线与直线所夹的锐角为_________度； (2)如图②，中，，对作变换得到，使点B、C、在同一直线上，连接且，求和的值； (3)如图③，中，，对作变换得到，便点在同一直线上，且，求和的值． 9．（24-25·湖北·校考一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形的旋转变换进行研究． (1)[观察猜想]如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系 　 　； (2)[探究证明]如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)[拓展延伸]如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出DF2的值． 10．（2025·山东枣庄·校考二模）综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． (1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． 11．（24-25·湖北黄冈·九年级专题练习）【问题呈现】和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 12．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）（1）问题呈现：如图1，和都是等边三角形，连接、易知________； （2）类比探究：如图2，，和都是直角三角形，，且，连接，求 的值； （3）拓展提升：如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长． 13．（24-25·山东济南·九年级统考期中）问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形和等腰按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），其中．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：初步探究（1）如图，将等腰绕点按顺时针方向旋转，连接，．请直接写出与的关系；（2）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成菱形和等腰，其中，，其他条件不变，求证：； 深入探究：（3）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成矩形和，其中且，其它条件不变．①探索线段与的关系，说明理由； ②连接，若，，直接写出________． 14．（2025·河南·模拟预测）如图1，已知矩形分别为中点，连接． (1)____，与的位置关系为___；(2)如图2，若把绕点逆时针旋转与之间的数量关系和位置关系是否会发生变化，请说明理由；(3)在（2）的条件下，如图3，直线与交于点，当旋转至时，请直接写出的长． 15．（2025·江西宜春·模拟预测）在综合实践课上，同学们以“图形的旋转与位似”为主题开展数学活动． (1)如图，已知点E在矩形的对角线上，，将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到，连接．①证明：；②求，，的数量关系． (2)如图，点E是直角三角形外一点，连接，，，，，求的长． 16．（2025·陕西榆林·三模）综合与实践 【特例感知】（1）在学习了“平行四边形”后，奋发数学兴趣小组的同学发现：如图1，已知点是正方形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，连接，通过观察图形，可得与之间的位置关系是___________，数量关系是___________； 【类比迁移】（2）奋进数学兴趣小组的同学发现：如图2，已知点是矩形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若，点在矩形的对角线上运动（点不与点重合），当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长度． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 相似三角形重要模型之手拉手模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.手拉手（旋转）模型 4 14 “手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。 “手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。 （2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，，， 在和中，，，； （2）解：，， ，，，，则， ，，，故答案为：； （3）解：，，， ，，，，， ，∴，， 当点D在线段上时，如图3，，，， 由得，，则，； 当E在线段上时，如图4，则，， 综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或 1.手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 图1 图2 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 手拉手相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 例1（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现：如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究：将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用：如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)；(2)一致；理由见解析(3) 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，，∴， ∵，，， ∴，， ∴，∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到，∴，，，， ∴，∴，∴，，∴； 又∵，，， ∴，∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：，∴， ∵在中，，，，∴根据勾股定理得：， ∵，，∴， ∴，即，解得：，∴， 根据解析（2）可知：． 例2（2025·江西新余·三模）【初步感知】（1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】（2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    【答案】（1）①；②见解析；（2），证明见解析；（3）10 【详解】解：（1）①∵∴ ∵∴，∴∴ ∴，即故答案为：； ②证明：由①可知，，，，即，    又，，； （2）；理由如下：，， 又，，； （3）如图，连接，在的上方取点，使，． ，在中，，，， ，，，，， ，，，， 当时，，两点间的距离最大，，两点间的最大距离为10． 例3（23-24九年级下·湖北武汉·期中）【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】（2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 【答案】（1），；（2），；（3）或 【详解】（1）解：∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴，∴， 如图，设与交于点F，∵，∴， ∵，，∴； （2）解：如下图，在和中，设与交于点， ∵∠，，∴； ∵，即，∴， ∴，，∵，， ∴，∴，∴，； （3）①如下图所示，点C在线段上时， 在中，，，， 在中，，由（2）知，，且， 设，则，在中，， ，解得，，舍去，， ②如下图，当点C在线段延长线上时，在中，，， ，在中，，由（2）知，，且， 设，则， 在中，，， 解得，，舍去，； 综上所述：的长为或，故答案为：或． 例4（24-25·广东·九年级专题练习）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【详解】解：（1）结论：．理由：如图1中， ，，，，， ，，，，，． （2）结论成立．理由：如图2中， ，，，，， ，，，． （3）如图3中，由旋转的性质可知，，，， ，，，，，， ，，，． 例5（2025·安徽蚌埠·三模）将矩形绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形． (1)如图1，若 点E落在上，求的度数；(2)连接，，过点E作交于点M．如图2，证明：；如图3，若射线分别交，于点P，N，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)①证明见解析；②，证明见解析 【详解】（1）解：如图，过作于，四边形为矩形， ∴，∴四边形为矩形，∴， 矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，∴， ∵，∴，，， ，， 矩形，，．∴ （2）证明：如图，连接，由矩形与旋转可得：，，， ，， 在和中，，，，， ，，，； ②关系式为，证明如下：如图，连接， 在≌中，，，， ，，，， 在和中，，，∴， ，， 例6（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：．(3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)存在，最小值，最大值 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴，，， ∵点E在的中点∴，∴，， ∵点B、E、F在同一直线上，∴， ∵∴，∴，∴． （2）证明：如图：过B作交于H， ∵，∴，， ∵，∴，， ∵∴，∴，∴，∴， ∵，∴，， ，∴． （3）解：存在，的最小值，最大值． 如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则 设．∵四边形和四边形都是矩形，， ∴，∴， ∵，，，即， ，∴在中，， 即，当时，y有最小值为． ，∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值． 1．（2025·福建·校考一模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'．当五边形A'B'BCD为正五边形时，即长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接BC'，AC'，如图： ∵五边形A'B'BCD为正五边形，∴∠CDA'==108°， ∵菱形ABCD绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，且∠ADC=72°， ∴∠A'DC'=∠ADC=72°，∴∠CDC'=∠ADA'=108°-72°=36°， ∴∠CDC'=∠ADA'=∠ADC'=36°，∴点C'在对角线BD上，∠ABC'=36°， 由旋转的性质知AD=AB= DC'=2，∴∠DC'A=∠DAC'=72°， ∴∠C'AB=36°，∴C'A= C'B，设C'A= C'B=x，则BD= x+2， ∵∠BDA=∠BAC'=36°，∴△BDA∽△BAC'， ∴DA：AC'=BD：BA，即2：x=( x+2)：2， 整理得：x2+2x-4=0，解得x=，(负值已舍) ∵∠C'BP=36°，∠BC'P=72°，∴∠C'PB=72°，∴BP= C'A= C'B=，∴AP=3-， ∴，故选：B． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：设交于,如图，,, 将绕点按逆时针方向旋转得到,,,, ,, ,,,, ,,,, 设,则,,, ,,,, ,, 故答案为：. 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，，．将绕点旋转，当A，D，E三点在同一条直线上时，    （1）的大小是 ；（2）的长是 ． 【答案】 或14 【详解】解：（1）如图1所示，当A，D，E三点在同一条直线上时， ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，即， ∵，∴；         如图2所示，当A，D，E三点在同一条直线上时， ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴； 综上所述，；故答案为：； （2）如图1所示，∵，∴， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，解得或（舍去；∴； 如图2所示，∵，∴， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，解得或（舍去；∴； 综上所述，的长为10或14；故答案为：10或14． 4.（2025·山东济南·三模）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点（不与点A重合），连接，以为边在的上方作矩形，且，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于点的对称点，连接，，则面积等于面积， ∵菱形，，，∴，∴， ∵矩形，∴，∵，∴， 作于点，作交延长线于点，设， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为，故答案为：． 5．（24-25·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点P、M．求证：    (1)；(2)． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵等腰和等腰， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， （2）∵，∴，且， ∴，∴，∴． 6．（24-25·重庆市九年级阶段练习）问题提出（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝ °． 类比探究（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 拓展延伸（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由． 【答案】（1）60；（2）见解析；（3）见解析 【详解】（1）证明：∵、是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN， ∵在和中， ，∴≌（SAS），∴∠ABC=∠ACN； ∵是等边三角形∴∠ABC=60°∴∠ACN=∠ABC=60°． （2）结论∠ACN＝60°仍成立． 理由如下：∵、都是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN，∴≌，∴∠ACN＝∠ABM＝60°． （3）添加条件：∠ABC＝∠AMN． 理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，∴∠BAC＝∠MAN， ∴∽，∴．又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC， ∴∠BAM＝∠CAN，∴∽，∴∠ABC＝∠ACN． 7．（24-25·福建泉州·九年级校考期末） 问题背景：（1）如图①，已知，求证：； 尝试应用：（2）如图②，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值； 拓展创新：（3）如图③，D是内一点，，，，，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】问题背景（1）证明：，，， ，，； 尝试应用（2）解：如图，连接， ，，， 由（1）知，，，∴， ∵∴∴ ∵∴∴∴∴， 拓展创新（3）解：如图2，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， ，，，， 又，，， 又，， 即，，， ，，，． 8．（24-25·江西抚州·九年级校考期中）将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得，如图①所示，，我们将这种变换记为．    (1)如图①，对作变换得到，则_________；直线与直线所夹的锐角为_________度； (2)如图②，中，，对作变换得到，使点B、C、在同一直线上，连接且，求和的值； (3)如图③，中，，对作变换得到，便点在同一直线上，且，求和的值． 【答案】(1)；；(2)，(3)， 【详解】（1）解：如图，设直线BC与直线的交点为H，交BH于O．    根据题意得：，，， ，∴， ∵ ，，∴，直线与直线所夹的锐角为； （2）∵，则，同理：， ∴，，， ∵共线，∴，而，， ∴，∴ ∵，则，∵四边形是矩形，∴． ∴． 在中，，，∴，∴； （3）∵，∴， 同理可得：，， ∵，∴，而， ∴，，∴，， ∴，，∴四边形 是平行四边形，∴， ∵，∴， ∴，而，∴ ，∴（负根舍）， ∴，∴． 9．（24-25·湖北·校考一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形的旋转变换进行研究． (1)[观察猜想]如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系 　 　； (2)[探究证明]如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)[拓展延伸]如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出DF2的值． 【答案】(1)结论BD=CE．证明见解析； (2)结论不成立．BD与CE的数量关系：BD=CE．证明见解析；(3)28 【详解】（1）结论BD=CE．理由：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（），∴BD=EC．故答案为：BD=CE． （2）结论不成立．BD与CE的数量关系：BD=CE． 理由：∵△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠EAD=45°，， ∵∠DAB=∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴，∴BD=CE （3）如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC． ， 将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置， 当AB⊥BE时， ABC是等边△，等边三角形的边长为4，， 10．（2025·山东枣庄·校考二模）综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． (1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． 【答案】(1)，证明见解析；(2) 【详解】（1）解：猜想，证明如下： 在中，，，，的中点分别为D，E， ∴，，，则， ，，，，， 将绕点A逆时针旋转，连接，，根据旋转的性质可得：， ，，，； （2）解：，分别取，的中点D，E， ，，，， ∴当所在直线经过点B时，，， 在中，根据勾股定理可得：，由（1）可得：， ，解得：； 11．（24-25·湖北黄冈·九年级专题练习）【问题呈现】和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1)(2)成立；理由见解析(3)或 【详解】（1）解：∵，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，， ∴，∴；故答案为：．    （2）解：成立；理由如下：∵， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵ ∴，∴；          （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则，根据解析（2）可知，， ∴，∴， 根据解析（2）可知，，∴， 根据勾股定理得：，即， 解得：或（舍去），∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示： 设，则，根据解析（2）可知，， ∴，∴，根据解析（2）可知，，∴， 根据勾股定理得：，即， 解得：或（舍去），∴此时；综上分析可知，或． 12．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）（1）问题呈现：如图1，和都是等边三角形，连接、易知________； （2）类比探究：如图2，，和都是直角三角形，，且，连接，求 的值； （3）拓展提升：如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长． 【答案】（1）1（2）（3） 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形，，， ，， ，，，故答案为：1； （2），，，设 则， ∵，； ，，； （3）如图，过点作，交的延长线于，过点作于， 是等腰直角三角形，，，， 绕点逆时针旋转得到， ，，，，， 和都是等边三角形，，，， ，，， 又，，，， ，，，， ，． 13．（24-25·山东济南·九年级统考期中）问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形和等腰按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），其中．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：初步探究（1）如图，将等腰绕点按顺时针方向旋转，连接，．请直接写出与的关系；（2）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成菱形和等腰，其中，，其他条件不变，求证：； 深入探究：（3）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成矩形和，其中且，其它条件不变．①探索线段与的关系，说明理由； ②连接，若，，直接写出________． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）①，，见解析；②500 【详解】解：（1）如图：∵正方形和等腰中，∴BC=CD，CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°， ∴∠BCD+∠DCF=∠ECF+∠DCF，即∠BCF=∠DCE， ∴△BCF≌DCE，∴，∠CBF=∠CDE， ∵∠BGC=∠DGF，∴∠BCG=∠DFG=90°∴． （2）证明：如图：，，四边形为菱形， 又，； （3）①在矩形中，，， 又，；，设与交于点G ，． ②如图：连接BD 在矩形ABCD中，CD=AB=12，∵，，∴，BC=16， ∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF=∠CDE，∵∠BGC=∠DGF，∴∠BCG=∠DQG=90°，∴BF⊥DE； 在直角△BCD中，有， 在直角△BDQ中，； 在直角△CEF中，， 在直角△EFQ中，；∴； 在直角△BEQ和直角△DFQ中，由勾股定理，则∵，， ∴；故答案为：． 14．（2025·河南·模拟预测）如图1，已知矩形分别为中点，连接． (1)____，与的位置关系为___；(2)如图2，若把绕点逆时针旋转与之间的数量关系和位置关系是否会发生变化，请说明理由；(3)在（2）的条件下，如图3，直线与交于点，当旋转至时，请直接写出的长． 【答案】(1)，(2)不发生变化，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵矩形∴ ∵分别为中点，∴∴，∵，∴ （2）解：不会发生变化，理由如下： ∵矩形∴ ∵分别为中点，∴， 则，∴， ∵，∴，∴， 如图，延长交于一点，交于一点，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴； （3）解：依题意，如图所示：∵，∴， 在（2）的条件下，，，∴， ∴四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，则，则． 15．（2025·江西宜春·模拟预测）在综合实践课上，同学们以“图形的旋转与位似”为主题开展数学活动． (1)如图，已知点E在矩形的对角线上，，将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到，连接．①证明：；②求，，的数量关系． (2)如图，点E是直角三角形外一点，连接，，，，，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；②(2) 【详解】（1）证明：①∵将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到， ∴，∴，，，， ∵，即，而，，∴； ②∵，∴∴， ∵四边形为矩形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，，∴，∴； （2）解：如图，过作的垂线交的延长线于，连接，∵，∴， ∴，而，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ， ∴，而，∴，∴. 16．（2025·陕西榆林·三模）综合与实践 【特例感知】（1）在学习了“平行四边形”后，奋发数学兴趣小组的同学发现：如图1，已知点是正方形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，连接，通过观察图形，可得与之间的位置关系是___________，数量关系是___________； 【类比迁移】（2）奋进数学兴趣小组的同学发现：如图2，已知点是矩形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若，点在矩形的对角线上运动（点不与点重合），当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1），（2），证明见解析（3）的长为或 【详解】解：（1）四边形为正方形，． ，． 又， ， ．故答案为：，； （2）． 证明：四边形为矩形，． 在中，，，即． 又．．． ，．； （3）或． ．分两种情况讨论： ①如图1，当四边形为矩形时，四边形为轴对称图形． 由（2）得 在矩形中，． 在中，，解得． ②如图2，当四边形关于所在的直线对称时，． 在中，．．由（2）得． 综上所述，的长为或 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $