专题01 空间向量与立体几何小题10考点（期中真题汇编，吉林专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题01空间向量与立体几何小题考点 10大高频考点概览 考点01 空间中的线段长度、表面积、体积问题 考点02 外接球、内切球 考点03 空间中点线面的位置关系 考点04 线面角、二面角 考点05 空间直角坐标系中的点的对称问题 考点06 空间中向量共线、锤子和求参数 考点07 空间向量的加减、数乘、数量积、模长运算 考点08 空间向量的线性表示 考点09 空间中的投影向量 考点10 点面距、点线距、线线距小题 地 城 考点01 空间中的线段长度、表面积、体积问题 1．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)（多选）已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（    ） A．时， B．时，的最小值为 C．时，三棱锥的体积为定值 D．时，直线与面的交点轨迹长度为 【答案】ABC 【分析】取为的中点，当时，得到点在线段上运动，证得和，证得平面，可判定A正确；取得，连接，得到当时，得到点在上运动，沿将平面旋转到与平面重合，可判定B正确；取的中点，当时，得到点在线段上运动，结合，可判定C正确；连接，交于点和点， 当时，得到点在线段上运动，证得平面，得到平面平面，求得的长度，可判定D不正确. 【详解】由题意，正方体的棱长为1，E为线段的中点，且，其中， 对于A中，取分别为的中点，当时，可得点在线段上运动， 如图（1）所示，在正方形中，因为的中点，可得， 又由平面，平面，所以， 因为，所以平面， 又因为平面，所以，所以A正确. 对于B中，在上分别取点和点，使得，连接，当 当时，可得点在线段上运动， 在直角中，，可得， 如图（2）所示，沿将平面旋转到与平面重合，得到平面， 连接，则， 即的最小值为，所以B正确. 对于C中，如图（3）所示，取的中点，分别连接， 当时，可得点在线段上运动， 由且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值， 又由的面积为定值，所以（定值），所以C正确. 对于D中，如图（4）所示，连接，交于点和点， 当时，可得点在线段上运动， 因为且平面，所以平面， 又因为平面平面，所以， 由与相似，且相似比为， 所以，即直线与面的交点轨迹长度为，所以D不正确. 综上可得，选项正确的是ABC. 故答案为：ABC. 2．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)（多选）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（    ）． A． B．该半正多面体的外接球的表面积为 C．与平面所成的角为 D．与所成的角是的棱共有16条 【答案】ACD 【分析】补全该半正多面体得到一正方体，根据条件计算正方体的棱长，再求的长，判断A; 利用几何体的对称性确定该半正多面体的外接球的球心及半径,判断B；根据线面角的定义找到线面角，解三角形求其大小,判断C；利用平行关系，确定与所成的角是 的棱的条数，判断D. 【详解】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为，则， 对选项A：由题意知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成. 则由半正多面体的表面积为， 得，解得， ∵，∴，故A正确； 对选项B：由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体的体对角线的中点，点在平面的投影点为， 则有，，所以， 故该半正多面体的外接球的半径为，面积为，故B错误； 对选项C：因为平面，所以为AB与平面BCD的夹角， 因为为直角三角形，且，所以 所以AB与平面BCD所成的角为，故C正确； 对选项D：在与相交的6条棱中，与AB所成的角是的棱有4条，又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，故与AB所成的角是的棱共有16条，故D正确； 故选：ACD. 3．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（   ）    A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长. 【详解】由题意可知：， 则 ， 所以. 故选：C. 4．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 5．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，D为上一点．若二面角的大小为，则AD的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，易知平面的一个法向量为，并计算出平面的一个法向量，然后利用计算出的值，即可得出的长度. 【详解】如下图所示，以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，由，得， 令，得平面的一个法向量为， 由题意知，解得，故选A. 【点睛】本题考查利用二面角求线段的长度，求解二面角的问题通常利用空间向量法求解，需要建立空间直角坐标系，转化为平面法向量所成的角来计算，考查计算能力，属于中等题. 6．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则 .    【答案】 【分析】根据题意，得到，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为二面角的大小为，所以与的夹角为， 又因为， 所以 ，所以. 故答案为：. 地 城 考点02 外接球、内切球 1．(24-25高二上·吉林·期中)（多选）已知球的半径为，则（   ） A．球的内接正方体的内切球表面积为 B．球的内接正方体的内切球体积为 C．球的内接正四面体的内切球半径为 D．球的内接正四面体的内切球半径为 【答案】BC 【分析】对于AB选项，先直接分析出球的内接正方体的半径，然后根据球的表面积和体积公式计算并判断；对于CD选项，先根据几何关系计算出球的内接正四面体的棱长，然后通过等体积法求解出内接正四面体的内切球半径. 【详解】对于A，B，设球的内接正方体的棱长为，球的内接正方体的内切球的半径为， 则球的内接正方体的内切球半径，球的半径， 所以 ，所以表面积，体积，故A不正确，B正确； 对于C，D，设球的内接正四面体的棱长为，球的内接正四面体的内切球半径为，如图， 可知，，， 由可得，解得， 因为球的内接正四面体的体积， 球的内接正四面体的表面积， 又因为， 所以球的内接正四面体的内切球半径，故C正确，D不正确． 故选：BC. 地 城 考点03 空间中点线面的位置关系 1．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知是两个平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间线面的位置关系的判定方法进行判断. 【详解】对A：若，则或，故A错误； 对B：因为平行于同一个平面的两条直线的位置关系不能确定，故B错误； 对C：若，则；，则，所以， 所以，所以C正确； 对D：若，，则或，故D错误. 故选：C 2．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 3．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可. 【详解】A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错. 故选：C. 4．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)(多选题)下列说法中，正确的结论有（    ） A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 【答案】BD 【分析】由等角定理可判断A的真假；根据直线夹角的定义可判断B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假. 【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误； 对于选项B：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确； 对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误； 对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确. 故选：BD. 5．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)(多选题)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】ACD 【分析】对A，根据投影向量的定义列式运算得解；对B，当，同向共线时也成立可判断；对C，由空间向量共面的推论判断；对D，由可判断. 【详解】对于A，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误； 对于C，在中，故四点共面，故C正确； 对于D，由，即，故，故D正确. 故选：ACD. 6．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 7．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数 . 【答案】4 【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】以为空间一组基底， 由于三个向量共面，所以存在， 使得， 即， 整理得， 所以，解得. 故答案为： 地 城 考点04 线面角、二面角 1．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)如图，在斜三棱柱中，底面ABC为正三角形，为AC的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合夹角公式即可求解． 【详解】解：，， ， 又，，， 异面直线与所成角的余弦值为， 故选：D． 2．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案. 【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，，，则，， 所以. 又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 3．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，求得，再利用向量法求解即可. 【详解】解：设， 则， ， 因为， 所以，解得， 故，， 则， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 故选：A. 4．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法可得异面直线夹角. 【详解】 设正方体棱长为， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 是中点， ， 则，， 所以， 所以异面直线与夹角余弦值为， 故选：C. 5．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)如图所示，在正方体中，点E为线段的中点，点F在线段上移动，异面直线与所成角最小时，其余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与的夹角的余弦值，根据夹角最小即可求得结果． 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 在正方体中, 点E为线段的中点，设正方体棱长为2， 则，, 设 ，，设异面直线与的夹角为， 则, 异面直线与所成角最小时，则最大，即时，. 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线及其所成的角的余弦值，解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角，属于中档题. 6．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)（多选）如图，在正方体中，为棱的中点，，则下列结论中正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．当时，可以作为空间的一个基底 C．若向量是平面的一个法向量，则 D．直线与平面所成角的正弦的最大值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系利用法向量定义可判断A正确，由空间基底的概念可知B错误，由平面法向量的求法计算可得C正确，根据线面角的向量求法利用基本不等式计算可得D正确. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设正方体棱长为2，则可得， 对于A，显然， 因此，又平面， 所以是平面的一个法向量，即A正确； 对于B，当时，可得， 即，又， 显然，即共面，所以不可以作为空间的一个基底，即B错误； 对于C，若向量是平面的一个法向量，则向量是平面的一个法向量， 易知，因此， 设向量，则，令，可得； 即，又， 所以，即可知C正确； 对于D，设，由可得，所以， 显然为平面的一个法向量， 所以 ， 当且仅当时，等号成立； 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦的最大值为，即D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：在求解正方体中关于位置关系、空间角度、距离等问题时，合理的建立空间直角坐标系可以使复杂的空间问题简单化为向量坐标间的关系，进行代数运算即可. 7．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为    【答案】 【分析】利用已知条件可以建立空间直角坐标系，然后利用空间向量去求异面直线所成的角. 【详解】    因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，， ，，，， ，， ， 又因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线CD与所成角的余弦值为. 故答案为：. 8．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，在空间四边形中，，平面平面，且，则与平面所成角的正弦值是 ．    【答案】/ 【分析】利用等体积法求得到平面的距离，从而求得与平面所成角的正弦值. 【详解】设是的中点，连接，由于， 所以，由于平面平面，且交线为， 平面，所以平面，由于平面，所以， 设，而， 所以，所以， 三角形的面积为， 设到平面的距离为， 则，即， 所以与平面所成角的正弦值是. 故答案为：    9．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 故和BN的夹角的余弦值为. 故答案为： 10．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)0．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点．则与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求得，从而利用向量的夹角公式求解. 【详解】依题意，建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， 则， 故， 所以， 即与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 11．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)（多选）在棱长为1正方体中，点P为线段上异于端点的动点，（    ） A．三角形面积的最小值为 B．直线与DP所成角的余弦值的取值范围为 C．二面角的正弦值的取值范围为 D．过点P作平面，使得正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的取值范围为 【答案】AB 【分析】根据三角形的面积公式，转化为求到直线距离最小值，进而转化为异面直线和的距离，也就是直线到平面的距离，等于到的距离，从而得到三角形面积的最小值，判定A；在平面中的射影为, 设与所成的角为，设直线与直线所成的角为，设直线与DP所成角为，则根据射影三余弦定理，计算求得其取值范围，进而判定B；二面角的平面角的范围，可以排除C；考虑到各种情况，取面积最大的一个截面，可以排除D. 【详解】对于A，要使三角形面积的最小，即要使得到直线距离最小，这最小距离就是异面直线和的距离，也就是直线到平面的距离，等于到的距离，为.由于，所以三角形面积的最小值为，故A正确； 对于B，先证明一个引理： 直线在平面中的射影直线为,平面中的直线,直线所成的角的余弦值满足三余弦定理，直线的角为，直线的角为，直线的角为，则.    证明：如上图，在平面内任意取一点为原点，取两条射线分别为轴，得到坐标平面，然后从作与平面垂直的射线作为轴，建立空间直角坐标系，设直线的方向向量为,则为射影直线的方向向量,设直线的方向向量坐标为，则，，， 所以， ，引理得证.      如上图所示，根据正方体的性质可知在平面中的射影为,设 与所成的角为，， 设直线与直线所成的角为，,. 设直线与DP所成角为， 根据上面的引理可得：，故B正确；    对于C，如上图所示，设、交点为，连接，， 由正方体性质易知，平面， 所以平面，故,为二面角的平面角， 当与重合时，， ，所以，∴， 在上从下往上移动时，逐渐变大，最终是钝角，其正弦值可以等于1，故C错误； 对于D，因为过正方体顶点与各棱所成的角的都相等的直线是体对角线所在的直线，所以过点的平面与各棱所成的角相等必须且只需与某一条体对角线垂直，过P与对角线垂直的截面中，当P为中点时取得最大值，是一个边长为的正六边形，如下图所示，面积为，不在区间内，故D不正确.    故选：AB 【点睛】直线在平面中的射影直线为,平面中的直线,直线所成的角的余弦值满足三余弦定理，的角为，的角为，的角为，则.这是常见的很好用的一个公式. 地 城 考点05 空间直角坐标系中点的对称问题 1．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 或 【答案】C 【分析】设点坐标，由可解出坐标，再用空间向量模长公式即可. 【详解】设，则，， 因为，所以，，， 所以，又， 解得或，所以或， 故选:C 地 城 考点06 空间中向量共线、垂直求参数 1．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为且，则 . 【答案】 【分析】利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解. 【详解】因为，所以，所以，即， 所以，解得，所以. 故答案为： 2．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)已知向量则实数的值为 ． 【答案】7 【分析】根据题意，利用空间向量垂直坐标表示，列式求解作答. 【详解】由题， ， ， 解得. 故答案为：7. 3．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)（多选）以下命题正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】CD 【解析】根据空间直线的方向向量数量积的值是否为零判定两直线是否垂直，即可判断A；根据空间直线的方向向量与平面的法向量是否共线判定B；根据两平面法向量是否平行可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积为零，即可求得的值，可判断D. 【详解】A: ，， ， 则不垂直，直线与不垂直，故A不正确； B:若，则， ∴存在实数，使得,无解，故B错误； C: ，∴， 与共线， ，故C正确； D:点，，， ，. 向量是平面的法向量， ， 即，解得，故D正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 必须熟练掌握的知识和技能： （1）空间两直线垂直的充分必要条件是其方向向量垂直； （2）线面垂直的充分必要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行； （3）两个不同平面平行的充分必要条件是其法向量共线. 地 城 考点07 空间向量的加减、数乘、数量积、模长运算 1．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)已知向量，则的值为（    ） A．9 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】直接利用空间向量数量积的坐标形式计算即可. 【详解】因为向量，所以. 故选：C 2．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)已知向量，，则（    ） A． B．40 C．6 D．36 【答案】C 【分析】利用向量线性关系的坐标运算求，再利用向量模长的坐标公式求模长. 【详解】由题意， ∵，， ∴， ∴. 故选：C. 3．(21-22高二上·吉林白城第一中学·期中)已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值. 【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有     故选：C 4．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)（多选）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量的模长公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，， 则，所以，，A对； 对于B选项，，， 因为，所以，与不共线，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 5．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)已知向量. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由空间向量垂直的坐标运算得到方程，即可求解； （2）计算出，利用模长公式得到，求出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得； （2）因为向量，所以， 所以， 所以当时，取得最小值为. 6．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)（多选）正方体棱长为4，动点、分别满足，其中，且，；在上，点在平面内，则（    ） A．对于任意的，且，都有平面平面 B．当时，三棱锥的体积不为定值 C．若直线到平面的距离为，则直线与直线所成角正弦值最小为． D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】建空间直角坐标系，用向量知识求解四个选项. 【详解】 对于A，以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为， ， 则，令，则，， 则， ，， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则， 又， 所以，所以对于任意的，且，都有平面平面，故A正确； 对于B，当时， 设平面的法向量为 ，， 则，令，则，， 所以， 又， 点到平面的距离为 又， 又因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B错误； 对于C，设，,则 因为直线到平面的距离为，所以 平面， ， 设面为，则 ，令，则， 所以 所以，即， 又，则，解得或， 若，所以，， 又， 设直线与直线所成角为， 所以 当最大时，最小， 令，， 在单调递增， 所以，， 最大值为，所以最小为，所以直线与直线所成角正弦值最小为； 若，所以，，根据对称性可得最小为，故C正确； 对于D，设因为，所以，， ， 所以， 整理得， 即 所以点的运动轨迹为一个以为球心，半径为2的球面上一点，所以， 所以， 当时，最小为，当时，最大为 所以的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 地 城 考点08 空间向量的线性表示 1．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】结合基底的概念，根据空间向量基本定理逐项判断即可. 【详解】向量是不共面的三个向量， 对于A，，则向量共面，A不能构成空间基底； 对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底； 对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底； 对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数， 使得， 整理得，而向量不共面， 则有，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底. 故选：C 2．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】依题意 ， 又，所以，. 故选：C 3．(24-25高二上·吉林·期中)在平行六面体中，设，则 .（用表示） 【答案】 【分析】依据平行六面体结构特征和向量加减法几何意义去求. 【详解】. 故答案为：. 4．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)（多选）如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【详解】由题意可知，. 对于A，， 故A正确、B不正确； 对于C， 故C正确; 对于D， ，故D正确． 故选：ACD. 5．(24-25高二上·吉林松原吉林油田高级中学·期中)（多选）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】借助空间向量的线性运算可得答案． 【详解】 ，故A错误、B正确； ，故C错误、D正确． 故选：BD． 6．在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连，，根据空间向量的线性运算分析求解. 【详解】连，，    可得 . 故选：A. 地 城 考点09 空间中的投影向量 1．(24-25高二上·贵州遵义凤冈县·期中)已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义及空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故选：A 地 城 考点10 点面距、点线距、线线距小题 1．(24-25高二上·吉林·期中)空间内有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标表示求出，利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】因为，所以的一个单位方向向量为. 因为， 所以点到直线的距离为. 故选：A 2．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用空间向量中点到平面的距离公式求解即可． 【详解】由题意，平面的一个法向量为，点， 所以， 所以点到平面的距离为． 故选：A 3．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)如图1，平面四边形中，，垂足为，如图2，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上的动点，则点到直线距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到直线的距离，进而求出最小值. 【详解】因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，平面，则，又，， 以点为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，连接， 则，，设，， 所以，，设与的夹角为， ，则， 所以点到直线的距离为， 由，则，所以， 所以点到直线距离的最小值为. 故选：D.    4．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量法求出到的距离的范围后可求面积的范围. 【详解】    由直三棱柱可得平面，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系，， 设，其中，故， 而，， 故到直线的距离为， 因为，故，故， 故选：B. 5．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果. 【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,, ，，, 设(x，y，z)，,， 则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0， ＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x， 令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)， ∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝ ， ∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将点P到直线CC1的距离的最小值转化为为异面直线D1E与CC1的距离求解是解题关键. 6．(24-25高二上·吉林·期中)（多选）如图，正方体的棱长为分别为的中点，为底面内的动点，且，则（    ） A．动点的轨迹长度为 B．存在点，使异面直线与所成的角为 C．点到平面的距离的最小值为 D．点到平面的距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】运用动点满足的条件得到轨迹，进而求出长度，判定A,建立空间直角坐标系，得坐标，设，则.运用向量夹角公式构造方程，计算即可判定B.运用向量法,结合三角函数知识计算即可判定CD. 【详解】因为为底面内的动点，且，所以， 所以动点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆落在底面内的部分， 所以动点的轨迹长度为，故A正确. 如图，建立空间直角坐标系，则， 设，因为，所以. 因为无解， 所以不存在满足条件的点，故B错误. 设平面的法向量为，因为， 所以令，得.因， 所以点到平面的距离， 当时，，所以C确. 当或时，，所以D正确. 故选：ACD. 7．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)（多选）在正方体中，为的中点，是正方形内部及边界上一点，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．当时，点的轨迹长度为 C．平面内存在一条直线与直线成角 D．将以边所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B，确定点F在以H为圆心，半径为2的圆上运动，结合弧长公式即可判断；对于C，求出EF与平面所成角的最小值，即可判断；对于D，判断出点的运动轨迹，进而结合圆的几何性质进行求解. 【详解】对于A，连接，则,    又平面平面，故, 平面，故平面， 平面，故，同理， 平面，故平面， 平面，故平面平面，A正确； 对于B，取的中点为H，连接， 则平面，平面，故，      由于，故， 即点F在以H为圆心，半径为2的圆上运动， 结合题意知F轨迹为该圆在平面内的圆弧，如图圆弧， 则，则， 故F轨迹长度为，B正确； 对于C，从正方体中分离出四棱锥，的中点为H，   平面，则， ， 则EF与平面所成角的最小值为，, 即，故平面内不存在一条直线与直线成角，C错误； 对于D，连接交于N，取的中点为M，    连接，则点的轨迹为平面内以N为圆心，为半径的圆， 又正方体性质知，由知， 而平面，故平面， 平面，故平面平面; 又平面平面，故， 结合，平面， 故平面，平面， 故，则， 设与圆的交点分别为， 当点位于处时，到平面的距离分别取到最大值和最小值， 最大值为， 最大值为， 故到平面的距离的取值范围是，D正确 故选：ABD. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要注意判断出点的运动轨迹，进而结合圆的几何性质进行求解. 8．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)在空间直角坐标系中，过点且一个方向向量为的直线方程为，过点且一个法向量为的平面方程为．现已知直线的方程为，则直线的一个方向向量 ，若平面经过点且同时垂直于平面与平面，则直线到平面的距离为 ． 【答案】 （此空答案不唯一，均可） 【分析】由定义即可得到直线的一个方向向量以及过点的坐标，然后分别得到平面与平面的法向量，即可得到平面的法向量，再由直线到平面的距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，直线的方程，即， 则其一个方向向量，且过点， 又平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 且平面同时垂直于平面与平面， 设平面的法向量为， 则，解得，取，则， 所以平面的法向量为， 又平面经过点，则， 所以直线到平面的距离为. 故答案为：； 9．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)在空间直角坐标系中，表示经过点，且法向量为的平面的方程，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】结合题意以及空间中点到平面的距离公式求解. 【详解】由题意，平面过点， 且其法向量为，则， 故点到平面的距离为 . 故答案为：. 10．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立合适空间直角坐标系，求解出平面的一个法向量，根据求解出结果. 【详解】据题意，以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系， 由条件可知，，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 所以点到平面的距离为， 故答案为：. 11．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为 ． 【答案】1 【分析】根据题意求得，结合到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意知，点，，，可得，， 则，，， 所以， 可得， 所以点到直线的距离为． 故答案为：1. 12．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)在长方体中，，，点E为AB的中点，则点B到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用即可求解. 【详解】∵在长方体 中,,， 点为的中点， 以为原点，建立空间直角坐标系，如图： ∴, ,,， 即，， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以 ∴点 到平面的距离： 故答案为： 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01空间向量与立体几何小题考点 10大高频考点概览 考点01 空间中的线段长度、表面积、体积问题 考点02 外接球、内切球 考点03 空间中点线面的位置关系 考点04 线面角、二面角 考点05 空间直角坐标系中的点的对称问题 考点06 空间中向量共线、锤子和求参数 考点07 空间向量的加减、数乘、数量积、模长运算 考点08 空间向量的线性表示 考点09 空间中的投影向量 考点10 点面距、点线距、线线距小题 地 城 考点01 空间中的线段长度、表面积、体积问题 1．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)（多选）已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（    ） A．时， B．时，的最小值为 C．时，三棱锥的体积为定值 D．时，直线与面的交点轨迹长度为 2．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)（多选）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（    ）． A． B．该半正多面体的外接球的表面积为 C．与平面所成的角为 D．与所成的角是的棱共有16条 3．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（   ）   A．3 B． C． D． 4．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，D为上一点．若二面角的大小为，则AD的长为（    ） A． B． C．2 D． 6．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则 .    地 城 考点02 外接球、内切球 1．(24-25高二上·吉林·期中)（多选）已知球的半径为，则（   ） A．球的内接正方体的内切球表面积为 B．球的内接正方体的内切球体积为 C．球的内接正四面体的内切球半径为 D．球的内接正四面体的内切球半径为 地 城 考点03 空间中点线面的位置关系 1．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)已知是两个平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 3．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)(多选题)下列说法中，正确的结论有（    ） A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 5．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)(多选题)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 6．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 7．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数 . 地 城 考点04 线面角、二面角 1．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)如图，在斜三棱柱中，底面ABC为正三角形，为AC的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)如图所示，在正方体中，点E为线段的中点，点F在线段上移动，异面直线与所成角最小时，其余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 6．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)（多选）如图，在正方体中，为棱的中点，，则下列结论中正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．当时，可以作为空间的一个基底 C．若向量是平面的一个法向量，则 D．直线与平面所成角的正弦的最大值为 7．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为    8．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，在空间四边形中，，平面平面，且，则与平面所成角的正弦值是 ．    9．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为 10．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)0．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点．则与所成角的余弦值为 ． 11．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)（多选）在棱长为1正方体中，点P为线段上异于端点的动点，（    ） A．三角形面积的最小值为 B．直线与DP所成角的余弦值的取值范围为 C．二面角的正弦值的取值范围为 D．过点P作平面，使得正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的取值范围为 地 城 考点05 空间直角坐标系中点的对称问题 1．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 或 地 城 考点06 空间中向量共线、垂直求参数 1．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为且，则 . 2．(24-25高二上·吉林长春外国语学校·期中)已知向量则实数的值为 ． 3．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)（多选）以下命题正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 地 城 考点07 空间向量的加减、数乘、数量积、模长运算 1．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)已知向量，则的值为（    ） A．9 B． C．7 D． 2．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)已知向量，，则（    ） A． B．40 C．6 D．36 3．(21-22高二上·吉林白城第一中学·期中)已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)（多选）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)已知向量. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 6．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)（多选）正方体棱长为4，动点、分别满足，其中，且，；在上，点在平面内，则（    ） A．对于任意的，且，都有平面平面 B．当时，三棱锥的体积不为定值 C．若直线到平面的距离为，则直线与直线所成角正弦值最小为． D．的取值范围为 地 城 考点08 空间向量的线性表示 1．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林·期中)在平行六面体中，设，则 .（用表示） 4．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)（多选）如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（    ）   A． B． C． D． 5．(24-25高二上·吉林松原吉林油田高级中学·期中)（多选）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）   A． B． C． D． 地 城 考点09 空间中的投影向量 1．(24-25高二上·贵州遵义凤冈县·期中)已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点10 点面距、点线距、线线距小题 1．(24-25高二上·吉林·期中)空间内有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)如图1，平面四边形中，，垂足为，如图2，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上的动点，则点到直线距离的最小值为（    ）   A． B． C． D． 4．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（   ）   A． B． C． D． 5．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·吉林·期中)（多选）如图，正方体的棱长为分别为的中点，为底面内的动点，且，则（    ） A．动点的轨迹长度为 B．存在点，使异面直线与所成的角为 C．点到平面的距离的最小值为 D．点到平面的距离的最大值为 7．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)（多选）在正方体中，为的中点，是正方形内部及边界上一点，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．当时，点的轨迹长度为 C．平面内存在一条直线与直线成角 D．将以边所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是 8．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)在空间直角坐标系中，过点且一个方向向量为的直线方程为，过点且一个法向量为的平面方程为．现已知直线的方程为，则直线的一个方向向量 ，若平面经过点且同时垂直于平面与平面，则直线到平面的距离为 ． 9．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)在空间直角坐标系中，表示经过点，且法向量为的平面的方程，则点到平面的距离为 . 10．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点，则点到平面的距离为 . 11．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为 ． 12．(23-24高二上·吉林长春农安县·期中)在长方体中，，，点E为AB的中点，则点B到平面的距离为 ． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $