专题02 空间向量与立体几何解答题7考点（期中真题汇编，吉林专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题02空间向量与立体几何解答题考点 7大高频考点概览 考点01平行问题 考点02 线线垂直问题 考点03 线面垂直问题 考点04 面面垂直 考点05 夹角问题 考点06 探索性问题 考点07 距离问题 地 城 考点01 平行问题 1．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)如图，在长方体中，，.   (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点   (1)证明：平面； (2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 4．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，． (1)证明：平面ACQ； (2)求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值． 5．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．   (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 地 城 考点02 线线垂直问题 1．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，且.   (1)求证：； (2)若点M为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 2．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为棱上的一点． (1)证明：； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 3．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点. (I)证明：AM⊥PM ； (II)求二面角P－AM－D的大小. 4．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．   (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 地 城 考点03 线面垂直问题 1．(24-25高二上·吉林·期中)如图，在体积为的三棱柱中，平面平面，，.   (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值 2．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面ABCD，，，E是PD的中点．     (1)求证：平面PAD； (2)求二面角的余弦值： (3)求B点到平面EAC的距离． 3．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 地 城 考点04 面面垂直 1．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中，，交于点.   (1)求证：平面平面； (2)若，且二面角为，求平面与平面所成角的余弦值. 2．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)如图，等腰梯形中，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.   (1)证明：面面； (2)若为上的一点，点到面的距离为，求的值及平面和平面夹角的余弦值. 3．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)如图，在三棱锥中，，，为棱的中点   (1)证明：平面⊥平面； (2)若点在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小 4．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，． (1)求证：平面MQB⊥平面PAD； (2)若二面角M-BQ-C的大小为60°，求QM的长． 地 城 考点05 夹角问题 1．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. (1)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； (2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由. 2．(21-22高二上·吉林长春第二实验中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，，分别是棱，的中点，且. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 3．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值． 4．(24-25高二上·吉林松原吉林油田高级中学·期中)图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 5．(24-25高二上·吉林松原吉林油田高级中学·期中)如图，在正方体中，分别是棱的中点，为棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为.   (1)证明：为的中点； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 地 城 考点06 探索性问题 1．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且分别为的中点．   (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在平面内是否存在点，满足？若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由． 2．(24-25高二上·吉林·期中)如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. (1)若，证明：平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 3．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 4．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 地 城 考点07 距离问题 1．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)如图，在正方体中，分别是的中点．   (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 2．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若G是棱上一点，当平面时，求的长. 3．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，在四棱锥中，平面与底面所成角为，四边形是梯形，． (1)若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离； (2)点是线段上的动点，上是否存在一点，使平面，若存在，试确定点位置，若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02空间向量与立体几何解答题考点 7大高频考点概览 考点01平行问题 考点02 线线垂直问题 考点03 线面垂直问题 考点04 面面垂直 考点05 夹角问题 考点06 探索性问题 考点07 距离问题 地 城 考点01 平行问题 1．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)如图，在长方体中，，.   (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由平行四边形得，然后由线面平行的判定定理证得线面平行； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，由线面角的向量求法求解． 【详解】（1）长方体中，，，所以是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由，，，， ，，， 设平面的一个法向量是， 则，取，则， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为．    2．(24-25高二上·吉林友好学校·期中)如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）（2）连接、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接、，因为平面， 以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，又，， 所以，解得， 则，， ，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以，所以， 又因为平面，所以平面； （2）因为，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 3．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点   (1)证明：平面； (2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示，   为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. （2），易知，又，得. 由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有. 如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，   则有，， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，有，得， ， 设点到平面的距离为， . 4．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，． (1)证明：平面ACQ； (2)求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形相似得，结合，则有，利用线面平行的判定即可证明； （2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案. 【详解】（1）如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ， ∵，，则， ∴，， ∵，∴， 平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ； （2）平面，平面,， 因为底面,则AB，AD，AP两两垂直， 以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 各点坐标如下：，，，． 设平面ACQ的法向量为， 由，，有，令，，，可得， 由，有，， 则． 故直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为． 5．(24-25高二上·吉林通化梅河口第五中学·期中)如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．   (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，   则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 地 城 考点02 线线垂直问题 1．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，且.   (1)求证：； (2)若点M为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由勾股定理逆定理证明，进一步由已知条件证明，由线面垂直判定定理可证明平面，进而即可得证. （2）建立适当的空间直角坐标系，设平面的法向量为，直线与平面所成角为，先后分别求出后，由公式即可求解. 【详解】（1）四边形是直角梯形，， ， 又 ， 是直角三角形，即； 平面平面， 又平面， 平面， 又平面， ． （2）由（1）可知，， 又平面平面， 所以， 所以两两互相垂直， 故以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．    则由题中线段长度可知， ∴， ． 设平面的法向量为， 则即， 令，则解得， 于是，取． 设直线与平面所成角为，则； 故直线与平面所成角的正弦值为． 2．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为棱上的一点． (1)证明：； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形的关系及余弦定理求得线与线垂直，再利用线面垂直的性质定理即证； （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设出，利用空间向量的性质表示出二面角的余弦值，求得即可. 【详解】（1）证明：过点A作，垂足为N， 在等腰梯形中，因为，所以． 在中，，则，则． 因为底面，底面，所以． 因为，所以平面． 又平面，以． （2）解：以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，，则， 则． 设平面的法向量为，则令，得． 由图可知，是平面的一个法向量． 因为二面角的余弦值为，所以，解得． 故当二面角的余弦值为时，． 3．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点. (I)证明：AM⊥PM ； (II)求二面角P－AM－D的大小. 【答案】（1）见解析； （2）45°. 【分析】（Ⅰ）以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,求出与的坐标，利用数量积为零，即可证得结果；（Ⅱ）求出平面PAM与平面ABCD的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】（I）证明:以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,依题意，可得     ∴        ∴ 即,∴AM⊥PM . (II)设，且平面PAM，则 ,即 ∴ , 取，得；取，显然平面ABCD， ∴，结合图形可知，二面角P－AM－D为45°. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 4．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．   (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）两种方法：第一种：通过证明线面垂直，进而证明线线垂直；第二种：先建立直角坐标系，通过证明 进而证明，即． （2）先建立直角坐标系，再分别求出两个平面的法向量，即可求解 【详解】（1）（法一） 在三棱柱平面，平面平面， 平面 平面， 平面， 为中点，， 平面平面， 平面    （法二） 以为原点，分别以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， 所以．    （2）依题意，是平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 则． 则，即， 取，则， 平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 地 城 考点03 线面垂直问题 1．(24-25高二上·吉林·期中)如图，在体积为的三棱柱中，平面平面，，.   (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先根据体积为得到，再由线线垂直得到线面垂直； （2）根据空间向量法求面面角. 【详解】（1）证明：取的中点，连接.由为正三角形，得. 因为平面平面且交于，所以平面，即为该三棱柱的高. 因为三棱柱的体积，且，所以. 因为，所以，即. 由平面平面且交于，平面，可得平面. 因为平面，所以. 因为 ，所以. 在菱形中，. 又因，平面，平面，所以平面. （2）如图，过作直线平行于交于，以为原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，.    设平面的法向量为，因为. 所以 令，得. 设平面的法向量为， 因为， 所以 令，得. 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2．(23-24高二上·吉林辽源西安区田家炳高级中学校·期中)如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面ABCD，，，E是PD的中点．     (1)求证：平面PAD； (2)求二面角的余弦值： (3)求B点到平面EAC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算，得到与； （2）分别求出平面EAC的法向量与平面ACD的法向量，利用空间向量中二面角的计算公式，求出二面角的余弦值； （3）利用空间向量中点到面的距离公式，列出计算公式，计算可得答案. 【详解】（1） 因为平面ABCD，AB， 平面ABCD， 所以，， 由于四边形ABCD是矩形，所以， 由此，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 因为，所以， 由于，所以， 由于，AD，平面PAD， 所以平面PAD； （2）由（1）得，设平面ACE的法向量，，， 则，即，不妨令，可得， 且为平面ABC的一个法向量， 于是， 所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为； （3）设B点到平面ACE的距离为d，由（2）可知平面ACE的法向量，， 设B点到平面EAC的距离为d，则， 所以B点到平面EAC的距离为. 3．(23-24高二上·吉林长春第六中学·期中)如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：由于，，所以， 由于，，、平面，所以平面， 平面，由平面，得. 取的中点，连接， 因为底面是直角梯形，且，， 故四边形为矩形，且且，， 所以在中，，，，即， 由于，、平面，所以平面. （2）解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， ，，， 设平面的法向量为，则，取，可得， 所以，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 地 城 考点04 面面垂直 1．(24-25高二上·吉林长春长春吉大附中实验学校·期中)中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中，，交于点.   (1)求证：平面平面； (2)若，且二面角为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）只需结合已知分别证明，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以均在的垂直平分线上，所以，， 因为， 所以， 因为，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知， 以为原点，所在直线分别为轴，过点垂直于底面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为， 所以，所以， 从而由等面积法，可知，由勾股定理，可知， 由（1）可知，所以， 由（1）可知，而平面平面，平面，平面，且二面角为， 所以， 所以与轴所在直线的夹角为， 所以， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，解得， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令，解得， 所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 2．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)如图，等腰梯形中，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.   (1)证明：面面； (2)若为上的一点，点到面的距离为，求的值及平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解； (2)， 【分析】（1）先证，利用线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质可判定面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离及二面角即可. 【详解】（1）    如图所示，在梯形中，取中点，连接， 易知四边形为平行四边形，可得，即， 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以面面； （2）    取的中点，则， 因为，所以，结合（1）的结论， 可以以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设， 即， 设面的一个法向量为， 则有，令， 即，则点到面的距离为，即； 易知平面的一个法向量可为， 设平面和平面夹角为，易知, 所以. 3．(24-25高二上·吉林白城第一中学·期中)如图，在三棱锥中，，，为棱的中点   (1)证明：平面⊥平面； (2)若点在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小 【答案】(1)证明见解析 (2)30° 【分析】对于（1），通过题目条件，可以分别得到和长度，分别通过勾股定理和等腰三角形的三线合一得到和，从而得到平面，从而得到平面⊥平面； 对于（2），先建立空间直角坐标系，因为已知与平面所成角的正弦值为，同时点在棱上，所以设点的坐标，从而分别求出和平面的法向量，并得到点的坐标。因为要求二面角的大小，所以分别求平面和平面的法向量，进而求出二面角的余弦值，从而得到二面角的大小。 【详解】（1）连接． ∵，为棱的中点， ∴，且 又， ∴，且 则，则 ∵，平面，平面 ∴平面，而平面， ∴平面平面 （2）建立以为坐标原点，直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示，   则 故 设，则 设平面的法向量为， 则 令，可得，即 设直线与平面所成角为，则 ∴，解得或（舍去）， 则平面的法向量为 易知平面的一个法向量为， 设二面角为， ∴二面角的大小为30° 4．(23-24高二上·吉林实验中学·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，． (1)求证：平面MQB⊥平面PAD； (2)若二面角M-BQ-C的大小为60°，求QM的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形BCDQ为平行四边形，进而得到QB⊥AD，再根据面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，再根据面面垂直的判定证明即可； （2）以Q为原点建立空间直角坐标系，设，利用二面角的向量求法可得，再根据空间向量的模长公式求解QM的长即可. 【详解】（1）证明：∵ADBC，，Q为AD的中点， ∴四边形BCDQ为平行四边形， ∴CDBQ ∵∠ADC＝90°， ∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD， 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD＝AD， 平面，∴BQ⊥平面PAD， ∵平面MQB， ∴平面MQB⊥平面PAD； （2）∵PA＝PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD， ∴PQ⊥平面ABCD， 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，且0≤λ≤1，得， 所以，， 设平面MBQ法向量为， 由，得， 令，则， 由题意知平面BQC的一个法向量为， ∵二面角M-BQ-C为60°， ∴，即，，解得， ∴，则， ∴． 地 城 考点05 夹角问题 1．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. (1)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； (2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)；证明见解析； (2)存在点，使得直线与平面所成的角为；此时二面角的余弦值为. 【分析】（1）根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）分别为中点， ，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； （2）， ，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角， ； 取中点，连接，如图， ，， ， ， ， ， ，，又平面，， 平面， 平面， ， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为； 设平面的法向量，又，， ， 令，则，，； 当时，，； 当时，，； 综上所述：二面角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键. 2．(21-22高二上·吉林长春第二实验中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，，分别是棱，的中点，且. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【分析】（1）要证平面平面，即证平面； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可． 【详解】（1）∵，是棱的中点， ∴，又， ∴， ∵平面，平面， ∴，又， ∴平面，又平面， ∴平面平面； （2）由题知平面，中，， 则两两垂直， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，又， 易得， ∴ ， 设平面与平面的法向量分别为和， 则 ，即， 令，可得， 则 ，即， 令，可得， ∴， 设平面与平面所成二面角为， 则， ∴平面与平面所成二面角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 3．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值． 【答案】 【分析】以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】 以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则 所以, 设CM和所成角为，则, 所以CM和所成角的余弦值为. 4．(24-25高二上·吉林松原吉林油田高级中学·期中)图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【解析】（1）在图1中，连结AE，连结AC交BE于点F，证明，即可； （2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，算出平面的法向量和的坐标，然后可算出答案； （3）设，然后算出平面PBE、平面的法向量，然后可建立方程求解. 【详解】（1）证明：在图1中，连结AE，由已知条件得， ∵且， ∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F， ∴，又∵在中，， ∴， 在图2中，，∵，∴， 由题意知，且 ∴平面ABED，又平面， ∴平面平面ABED； （2）如图，以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．由已知得各点坐标为 ，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，， 所以，即， 令，解得，， 所以，，记直线与平面所成角为， 则． （3）假设存在，设， 所以，， ∵平面，易得平面的一个法向量， 设平面PBE的一个法向量， 由，可得，可取， 则， 解得，此时． 【点睛】关键点睛：用向量方法解决空间中的角的问题时，关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和向量的坐标，然后准确地运算出答案. 5．(24-25高二上·吉林松原吉林油田高级中学·期中)如图，在正方体中，分别是棱的中点，为棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为.   (1)证明：为的中点； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨令正方体的棱长为2，设，利用，解得，即可证得； （2）分别求得平面与平面的法向量，利用求解即可. 【详解】（1）证明：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨令正方体的棱长为2， 则，，，，， 设，则，， 所以， 所以，解得（舍去），即为的中点. （2）由（1）可得，， 设是平面的法向量， 则.令，得. 易得平面的一个法向量为， 所以. 所以所求锐二面角的余弦值为.    地 城 考点06 探索性问题 1．(24-25高二上·吉林普通高中·期中)如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且分别为的中点．   (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在平面内是否存在点，满足？若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）利用线面垂直的判定直接证明即可； （2）利用向量法求得线面角的正弦值即可； （3）推出点的轨迹是半径为的一个圆，求出圆的周长即可. 【详解】（1）    （法一）如图：连接， 中，为等边三角形． 为中点，，且， 底面为菱形，所以， 为等边三角形． 为中点，，且， ， 平面， 平面，    （法二）如图：连接， 中，为等边三角形， 为中点，，且， 底面为菱形，， 为中点，， 在中，由余弦定理得： ， 即， 平面 平面 （2）    由（1）知：， 如图：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ， 分别为的中点，， ， ， ， 设平面的一个法向量为，则． 则，所以，取，则， 平面的一个法向量为． 平面的一个法向量为， 则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则． 即直线与平面所成角的正弦值为． （3）（3）（法一）存在点，使． 理由如下：点在以线段中点为球心，2为半径的球面上．， 设平面的一个法向量为，则． 则，则，取，则． 平面的一个法向量为． 点到平面的距离为． ，记， 在平面内存在点，且点的轨迹是半径为的一个圆， 即点的轨迹长度为． （3）（法二）存在点，使． 理由如下：点在以线段中点为球心，2为半径的球面上． 是的中点点到平面的距离是到平面的距离的． 设点到平面的距离为，连接， 在中，由余弦定理得： 即， ，即， ， ． ，即点到平面的距离为， 点到平面的距离为． ，记，    在平面内存在点，且点的轨迹是半径为的一个圆， 即点的轨迹长度为． 2．(24-25高二上·吉林·期中)如图，在三棱台中，平面，，，，是棱的中点，为棱上一动点. (1)若，证明：平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求此时与平面所成角的正弦值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且与平面所成角的正弦值为 【分析】（1）以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法可证得结论成立； （2）设，根据空间向量法结合平面平面，可求出的值，然后利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为平面， 如图，以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、、，. 因为，设点，则， 则，解得，则， 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为，所以， 因为平面，所以，平面. （2）设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，得. 设，则， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，令，可得， 假设平面平面，则. 由，解得，所以. 设与平面所成的角为， 则， 所以存在，使平面平面，此时与平面所成角的正弦值为. 3．(24-25高二上·吉林白城实验高级中学·期中)如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【分析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，证出，且，根据线面垂直的判定定理即可证明. （2）假设存在，利用线面垂直的定义证出即可. 【详解】（1）证明：因为四棱锥底面是正方形，且平面， 以点为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如图 所示空间直角坐标系. 则， ， 因为是的中点， 所以， 所以， 所以，且.   所以，，且. 所以⊥平面. （2）假设在线段上存在点，使得//平面. 设 ， 则. 因为//平面，⊥平面， 所以.   所以.    所以，在线段上存在点，使得//平面.其中. 【点睛】本题考查了用空间向量证明线面垂直，线面平行，考查了线面垂直的判定定理，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题. 4．(24-25高二上·吉林长春博硕学校·期中)如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为平面平面， 所以， 又因为， 所以，而平面， 所以平面； （2）因为平面平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ； （3）设，设， 于是有， ，由（2）可知平面的法向量为， 假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去， 即. 地 城 考点07 距离问题 1．(23-24高二上·吉林长春南关区长春实验中学·期中)如图，在正方体中，分别是的中点．   (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，   ， 所以直线与所成角的余弦值为； （2）设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 2．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若G是棱上一点，当平面时，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点到平面的距离问题转化为直线与平面所成角相关问题，再运用空间向量法求解直线与平面所成角的相关三角函数值，进而得出的结果； （2）先将线面平行问题转化为直线与平面的法向量的夹角为0，再运用空间向量法列等式可求解相应点的坐标，进而确定线段的长. 【详解】（1）如图，以顶点为原点，分别以线段所在直线为轴建立坐标系. 根据题意，图中各点坐标可表示为 设平面的法向量为，直线与平面的夹角为， 点到平面的距离为，则，     即，   取，则有， . 所以点 到平面 的距离. （2）根据（1）可设点的坐标为，点的坐标为, 当平面时，   即， 解得. 故的长为. 3．(24-25高二上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，在四棱锥中，平面与底面所成角为，四边形是梯形，． (1)若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离； (2)点是线段上的动点，上是否存在一点，使平面，若存在，试确定点位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2), 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. （2）设，，进而表示出，，由题意列出关于的方程组求解即可. 【详解】（1）由平面，平面，平面， 得，,. 两两垂直. 则以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，． 因为T是 的中点，点M是 的中点，所以，． 设平面 的法向量为，，， 则 ，得 ， 取 ，则 ，得平面的一个法向量为， 而,所以点P到平面的距离为． （2）设， 注意到，所以，所以， 设，注意到， 所以，因为，， 所以，若平面， 则当且仅当，即当且仅当， 此时，. 综上所述，当且仅当重合，此时存在,，使平面. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $