第13章 三角形 学业质量评价（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步备课（人教版2024）

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的三边关系、内角和定理、重要线段及应用，通过典型例题和情境题将基础概念与综合应用串联，帮助学生构建完整的三角形知识网络。 其亮点在于融入新情境与跨学科问题，如伸缩壁灯角度计算培养数学眼光，定义“开心三角形”训练数学思维，分层设计从基础选择到综合解答题，助力学生巩固知识，教师精准教学。

2025秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 第十三章学业质量评价 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列各组线段能组成三角形的是(　D　) A. 1，2，3 B. 5，5，11 C. 5，6，11 D. 6，8，13 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2. 如图，已知点F是△ABC的重心，连接AF并延 长交BC于点G，过点F作直线分别交AB，AC于 点D，E，则下列说法正确的是(　A　) A. BG＝CG B. ∠BAG＝∠CAG C. DF＝EF D. BD＝CE 第2题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3. 如图，把一副含30°角和45°角的直角三角板拼 在一起，那么图中∠EFC的度数是(　A　) A. 75° B. 80° C. 85° D. 105° 第3题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. 在△ABC中，若∠A＝36°，∠B∶∠C＝1∶5，则∠C等于(　A　) A. 120° B. 100° C. 24° D. 20° A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 新情境 伸缩壁灯 图①是一台可折叠的床头伸缩 壁灯，图②是其示意图.已知调整前、后的灯杆 AB∥CD，调整前臂杆之间的夹角∠OAB＝60°， 调整后臂杆之间的夹角∠OCD＝85°，则调整前后 同一臂杆变化的角度∠AOC＝(　C　) A. 15° B. 20° C. 25° D. 35° 第5题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是(　C　) A. BE是△ABD的中线 B. BD是△BCE的角平分线 C. ∠1＝∠2＝∠3 D. S△AEB＝S△EDB 第6题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7. 如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直 线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1－∠2的度 数是(　D　) A. 32° B. 45° C. 60° D. 64° 第7题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 在下列条件：①∠A＝90°－∠B，②∠A＝∠B＝2∠C，③∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有(　C　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥ CD，∠A＝∠ABD. 若∠DBC＝76°，则∠A的度数为(　B　) A. 36° B. 38° C. 40° D. 45° 第9题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. 如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1＋∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F. 下列选项错误的是(　B　) A. AB∥CD B. ∠AEB＋∠ADC＝180° C. DE平分∠ADC D. ∠F的度数为定值 第10题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题(每小题3分，共18分) 11. 如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了，他所应用的数学道理是 ⁠. 第11题图 三角形的稳定性　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12. 已知三角形两边的长分别为1，5，第三边长为 整数，则第三边的长为 ⁠. 13. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°， E在AC上，D在BC的延长线上.若∠D＝20°，则∠CED的度数为 ⁠. 5　 50°　 第13题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14. 如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝ ⁠. 第14题图 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15. 跨学科 物理 射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图①.实践小组利用激光笔和平面镜演示平行光的反射实验，如图②，一组平行光线a，b，c经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线.若∠1＝∠2＝65°，则∠3的度数为 ⁠°. 130　 第15题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. 如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，∠ACB＝ 54°，BE，CF分别是边AC，AB上的高，交于点 H，∠CBE，∠BCF的平分线交于点O，则∠BHC ＝ ∠BOC. 　 第16题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题(共72分) 17. (6分)如图，线段AC与线段BD相交于点O，若 ∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝60°，求∠D的 度数. 解：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D. ∵∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝60°， ∴70°＋30°＝60°＋∠D. ∴∠D＝40°.(6分) 解：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D. ∵∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝60°， ∴70°＋30°＝60°＋∠D. ∴∠D＝40°.(6分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. (8分)已知a，b，c是△ABC的三边长. (1)若a，b，c满足｜a－b｜＋(b－c)2＝0，试判 断△ABC的形状； 解：(1)∵｜a－b｜＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0且b－c＝0. ∴a＝b＝c. ∴△ABC为等边三角形.(3分) 解：(1)∵｜a－b｜＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0且b－c＝0. ∴a＝b＝c. ∴△ABC为等边三角形.(3分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)化简：｜a＋b－c｜＋｜b－c－a｜. 解：(2)∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a＋b－c＞0，b－c－a＜0. ∴原式＝a＋b－c－(b－c－a)＝a＋b－c－b＋ c＋a＝2a.(8分) 解：(2)∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a＋b－c＞0，b－c－a＜0. ∴原式＝a＋b－c－(b－c－a)＝a＋b－c－b＋ c＋a＝2a.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19. (8分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是BC边上的中线. (1)画出△ABD的高DE，BF； 解：(1)DE，BF如图所示.(4分) 解：(1)DE，BF如图所示.(4分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， AB＝5，AD是BC边上的中线. (2)求点D到AB的距离. 解： (2)∵AD是BC边上的中线， ∴S△ABD＝ S△ABC. ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴ AB·DE＝ × AC·BC，即×5DE＝ × ×3×4. ∴DE＝ . ∴点D到AB的距离为 .(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. (8分)如图，已知在△ABC中，BD是高，CE是 角平分线. (1)若∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，求△ABC 的最大内角的度数； 解：(1)∵∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5， ∴设∠A＝3α，∠ABC＝4α，∠ACB＝5α. ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴3α＋4α＋5α＝180°，解得α＝15°. ∴∠ACB＝5α＝75°. ∴△ABC的最大内角的度数为75°.(4分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 如图，已知在△ABC中，BD是高，CE是角平分线. (2)若∠A＝69°，∠CBD＝40°，求∠BEC的度数. 解：(2)∵BD是高，∴∠BDC＝90°. ∵∠CBD＝40°， ∴∠BCD＝90°－∠CBD＝50°. ∵CE是角平分线， ∴∠ACE＝ ∠BCD＝25°. 解：(2)∵BD是高，∴∠BDC＝90°. ∵∠CBD＝40°， ∴∠BCD＝90°－∠CBD＝50°. ∵CE是角平分线， ∴∠ACE＝ ∠BCD＝25°. ∵∠A＝69°， ∴∠BEC＝∠A＋∠ACE＝69°＋25°＝94°.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. (10分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，P是AD上的一点，若△ABC的面积为S. (1)当点P是AD的中点(即PD＝ AD)时，△PBC的 面积为 (用含S的式子表示)；(3分) (2)当PD＝ AD时，△PBC的面积为  　 　(用含S的式子表示)；(6分) (3)当PD＝ AD时，△PBC的面积为 　 　(用含 S，n的式子表示).(10分) 　 (3分) 　 (6分) 　 (10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. (10分)新情境 手机支架 如图①是一种手机支 架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板 上，图②是其侧面结构示意图，托板AB可绕点C转 动，支撑板CD可绕点D转动. (1)当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分 线时，若∠CDE＝70°，求∠CBD的度数； 解：(1)如图②，连接BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：(1)如图②，连接BD. ∵DB是∠CDE的平分线，∠CDE＝70°， ∴∠CDB＝ ∠CDE＝ ×70°＝35°. 又∵CD⊥AB，∠BCD＝90°， ∴∠CBD＝90°－∠CDB＝55°.(5分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)为了观看舒适，把AB绕点C旋转，再将CD绕点 D旋转，使点B落在直线DE上，若此时∠CDE＝ 60°，∠CBE＝130°，求此时∠ACD的度数. 解： (2)如图，∵∠CDE＝60°，∠CBE＝130°， 解： (2)如图，∵∠CDE＝60°，∠CBE＝130°， ∴∠CBD＝180°－130°＝50°. ∴∠ACD＝∠CDE＋∠CBD ＝60°＋50°＝110°.(10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. (10分)新课标 数学眼光 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获.下面用一副三角板(△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°；△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝60°)拼接图形. (1)如图①，AC在边EF上，点D在BC上，求∠CDE的度数； 解：(1)∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠ACB＝90°－∠B＝90°－45°＝45°. ∴∠CDE＝180°－∠E－∠ECD＝180°－60°－ 45°＝75°.(5分) 解：(1)∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠ACB＝90°－∠B＝90°－45°＝45°. ∴∠CDE＝180°－∠E－∠ECD＝ 180°－60°－45°＝75°.(5分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)如图②，点B与点D重合，AC交BF于点M，若 ∠AMB＝75°，判断并证明BC与EF的位置关系. 解：(2)EF∥BC，证明如下：由(1)可知∠ACB＝ 45°， ∴∠MBC＝∠AMB－∠ACB＝75°－45°＝ 30°. ∵∠E＝60°，∴∠F＝90°－∠E＝30°. ∴∠MBC＝∠F. ∴EF∥BC. (10分) 解：(2)EF∥BC，证明如下：由(1)可知∠ACB＝45°， ∴∠MBC＝∠AMB－∠ACB＝75°－45°＝30°. ∵∠E＝60°，∴∠F＝90°－∠E＝30°. ∴∠MBC＝∠F. ∴EF∥BC. (10分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. (12分)新考向 定义新概念 [定义]在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”.例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”. [理解] (1)若△ABC为“开心三角形”，∠A＝132°， 则这个三角形中最小内角的度数为 ；(2分) 16°　 (2分) (2)若△ABC为“开心三角形”，∠A＝60°，则这个三角形中最小内角的度数为 ⁠；(4分) 30°或40°　 (4分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (3)已知∠A是开心三角形ABC中最小的内角，并且 是其中的一个“开心角”，试确定∠A的取值范围. 解：[理解](3)∵∠A是开心三角形ABC中最小的内 角，并且是其中的一个开心角， ∴另一个开心角是2∠A，第三个内角是180°－ 3∠A. ∵∠A是最小内角，∴∠A≤180°－3∠A. ∴0°＜∠A≤45°.(8分) 解：[理解](3)∵∠A是开心三角形ABC中最小的内 角，并且是其中的一个开心角， ∴另一个开心角是2∠A，第三个内角是180°－3∠A. ∵∠A是最小内角，∴∠A≤180°－3∠A. ∴0°＜∠A≤45°.(8分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [应用]如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC 于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA 和DC交于点P，已知∠P＝30°.若∠B是 开心三角形ABE中的一个“开心角”，设 ∠B＝α，求α的度数. 新考向 定义新概念 [定义]在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”.例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：[应用]∵AD平分△ABC的内角∠BAC，CD平 分△ABC的外角∠BCF， ∴∠CAD＝ ∠CAB，∠FCD＝ ∠FCB. ∵∠FCB＝∠B＋∠CAB， ∴ ∠FCB＝ ∠B＋ ∠CAB，即∠FCD＝ ∠B ＋∠CAD. ∵∠FCD＝∠D＋∠CAD， ∴∠D＝ ∠B＝ α. 解：[应用]∵AD平分△ABC的内角∠BAC，CD平 分△ABC的外角∠BCF， ∴∠CAD＝ ∠CAB，∠FCD＝ ∠FCB. ∵∠FCB＝∠B＋∠CAB， ∴ ∠FCB＝ ∠B＋ ∠CAB， 即∠FCD＝ ∠B＋∠CAD. ∵∠FCD＝∠D＋∠CAD， ∴∠D＝ ∠B＝ α. ∵∠P＝30°， ∴∠DAB＝ α＋30°. ∴∠AEB＝180°－α－(α＋30°)＝150°－ α. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ①当∠B与∠AEB互为“开心角”时， 2∠B＝∠AEB或2∠AEB＝∠B， 即2α＝150°－ α或2(150°－ α)＝α， 解得α＝()°或α＝75°； ②当∠B与∠EAB互为“开心角”时， 2∠B＝∠EAB或2∠EAB＝∠B， 即2α＝ α＋30°或α＝2(α＋30°)，解得α＝20°. 综上所述，α的度数为()°或75°或20°.(12分) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $