第13章 专题2 与三角形的高、角平分线有关的求角度模型（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步备课（人教版2024）

2025秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 第十三章　三角形 专题2　与三角形的高、角平分线有关的求角度模型 类型一　两条高结合求角度问题 1. 教材P14例3变式 如图，在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE，CF分别是AC，AB上的高，H是BE和CF的交点.求∠ABE的度数，并说明∠ABE和∠ACF的关系. 解：∵BE是AC上的高，∴∠AEB＝90°. ∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠A＝180°－60°－50°＝70°. ∴∠ABE＝90°－70°＝20°. ∵CF是AB上的高，∴∠AFC＝90°. ∴∠ACF＝90°－70°＝20°. ∴∠ABE＝∠ACF. 2 3 1 结论变式 在△ABC中，两条高BD，CE所在的直线相交于点O. (1)当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠BOC＋ ∠BAC＝180°； (1)证明：∵BD，CE是△ABC的两条高， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. ∴∠BAC＋∠ABD＝90°，∠BOE＋∠ABD＝ 90°. ∴∠BAC＝∠BOE. ∵∠BOC＋∠BOE＝180°， ∴∠BOC＋∠BAC＝∠BOC＋∠BOE＝180°. (1)证明：∵BD，CE是△ABC的两条高， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. ∴∠BAC＋∠ABD＝90°， ∠BOE＋∠ABD＝90°. ∴∠BAC＝∠BOE. ∵∠BOC＋∠BOE＝180°， ∴∠BOC＋∠BAC＝∠BOC＋∠BOE＝180°. 2 3 1 (2)当∠BAC为钝角时，如图②，请在图②中画出相应的图形(用三角尺)，并回答(1)中结论是否成立，不需证明. (2)解：如图②所示.(1)中结论成立. 2 3 1 类型二　角平分线和高结合求角度问题 2. 教材P22复习题T7变式 如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，已知∠ABC＝α，∠ACB＝β(α＞β). (1)若α＝55°，β＝35°，则∠DAE＝ ⁠°. 10　 2 3 1 如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，已知∠ABC＝α，∠ACB＝β(α＞β). (2)小明说：“无需给出α，β的具体度数，只需确定 α与β的差值，即可确定∠DAE的度数.”请通过计 算验证小明的说法是否正确. 2 3 1 解：∵∠ABC＝α，∠ACB＝β，∴∠BAC＝180°－α－β. ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝ ∠BAC＝ (180°－α－β). ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∴∠BAD＝90°－α. ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝ (180°－α－β)－ (90°－α)＝ (α－β). ∴∠DAE的度数与α，β的具体度数无关，只和α与β 的差值有关. ∴小明的说法是正确的. 2 3 1 图形变式 (1)在图①中，∠B＝x，∠C＝y(x＞y)，若把 “AD是△ABC的高”改为“F是线段AE上一点，FD⊥BC于D”，其他条件不变，试用x，y表示∠DFE＝ ；(直接写结果) (x－y)　 2 3 1 (2)在图②中，若把(1)中的“F是线段AE上一点” 改为“F是AE延长线上一点”，其他条件不变，试 用x，y表示∠DFE＝ .(直接写结果) (x－y)　 2 3 1 类型三　与三角形角平分线相关的求角度问题 3. 教材P17习题T9变式 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°＋ ∠A. 证明：∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A. ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB. ∴∠P＝180°－(∠PCB＋∠PBC)＝180°－(∠ACB＋∠ABC) ＝180°－ (180°－∠A)＝90°＋ ∠A. 2 3 1 [变式1]如图，在△ABC中，BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论. 解：∠P＝90°－ ∠A. 证明如下： ∵BP，CP为△ABC两外角∠DBC，∠ECB的平分线， ∴∠BCP＝ (∠A＋∠ABC)，∠PBC＝ (∠A＋∠ACB). 由三角形内角和定理得∠P＝180°－∠BCP－ ∠PBC ＝180°－ [∠A＋(∠A＋∠ABC＋ ∠ACB)] ＝180°－ (∠A＋180°)， 即∠P＝90°－ ∠A. 2 3 1 [变式2]如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论. 解：∠P＝ ∠A. 证明如下： ∵BP，CP分别为∠ABC，∠ACD的平分线， ∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCD＝ ∠ACD. 根据三角形的外角性质， 得∠ACD＝∠A＋ ∠ABC，∠PCD＝∠PBC＋∠P， ∴∠A＋∠ABC＝2(∠PBC＋∠P)＝2∠PBC＋2∠P. ∴∠A＝2∠P，即∠P＝ ∠A. 2 3 1 [变式3]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E. 若∠BED＝45°，则∠C的度数为 ⁠. 变式3题图 90°　 2 3 1 [变式4]如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E. 已知∠E＝25°，则∠BOC的度数为 ⁠. 变式4题图 115°　 2 3 1 [变式5]如图，点O是△ABC的内角平分线的交点， 点I是△ABC的两个外角平分线的交点，则∠O＋ ∠I＝ ⁠°. 变式5题图 180　 2 3 1 $