第13章 新趋势拉分练（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步备课（人教版2024）

2025秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 第十三章　三角形 新趋势拉分练 目 录 CONTENTS 01 综合与实践[教材新增] 活动　探究三角形重心的性质 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.重心 是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所 受重力的合力集中于一点，这一点叫作物体的重心. 如图①，如果取一块均匀的三角形纸板， 用一根细线绳从重心O处将三角形提起 来，纸板就会处于水平状态.关于三角形 的重心还有哪些性质呢？希望你经过下 面的探索过程能得到答案. (1)如图②，AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD 等底等高，可以得到它们面积的大小关系为 S△ABD S△ACD(填“＞”“＜”或“＝”). ＝　 (2)如图③，若△ABC的三条中线AD，BE，CF交点为G，则GD也是△GBC的中线，利用上述结论可得S△GCD＝S△GBD，同理可得S△GBF＝S△GAF，S△GAE＝S△GCE. 若设S△GCD＝x，S△GBF＝y，S△GAE＝z，探索x，y，z之间的数量关系并加以证明. 解：(2)x＝y＝z，证明如下：∵D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACD. ∵S△GCD＝x，S△GBF＝y，S△GAE＝z，S△GCD＝ S△GBD， S△GBF＝S△GAF，S△GAE＝S△GCE， ∴x＋2y＝x＋2z.∴y＝z. ∵S△BCE＝S△ABE，∴2x＋z＝2y＋z. ∴x＝y.∴x＝y＝z. 解：(2)x＝y＝z，证明如下：∵D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACD. ∵S△GCD＝x，S△GBF＝y，S△GAE＝z，S△GCD＝S△GBD， S△GBF＝S△GAF，S△GAE＝S△GCE， ∴x＋2y＝x＋2z.∴y＝z. ∵S△BCE＝S△ABE，∴2x＋z＝2y＋z. ∴x＝y.∴x＝y＝z. (3)如图③，△ABC被三条中线分成六个小三角形， 点G为△ABC的重心，求 的值. 解：(3)由(2)可知，三条中线分成的六个三角形面积 相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的 ， ∴2S△BGD＝S△ABG. ∴2GD＝AG. ∴ ＝ . 解：(3)由(2)可知，三条中线分成的六个三角形面积 相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的 ， ∴2S△BGD＝S△ABG. ∴2GD＝AG. ∴ ＝ . (4)如图④，在△ABC中，点O是△ABC的重心.连 接BO，CO并延长，分别交AC，AB于点D，E. 若BO⊥CO，BD＝6，CE＝9，直接利用上面的结 论，求四边形AEOD的面积. 解：(4)∵点O是△ABC的重心，∴由(3)可知 ＝ ＝2. ∵BD＝6，CE＝9， ∴OD＝2，OB＝4，OE＝3，OC＝6. ∵BO⊥CO， ∴S△BCE＝ CE·OB＝ ×9×4＝18，S△COD＝ OC·OD＝ ×6×2＝6. ∴S△BCE＝S△ACE＝18. ∴S四边形AEOD＝S△ACE－S△COD＝18－6＝12. $