第十三章 全等三角形（复习课件）数学冀教版2024八年级上册

单元复习课件 第十三章 全等三角形 冀教版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角,掌握并能运用全等三角形的性质. 3.掌握三角形全等的相关几何模型，并能正确运用解决问题. 2. 掌握判定三角形全等的基本事实(“边边边”“边角边”和“角边角”)和定理(“角角边”),能判定两个三角形全等. 单元学习目标 全等三角形 尺规作图 性质 全等三角形对应边相等 全等三角形对应角相等 判定 三边对应相等的两个三角形全等（SSS） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（AAS） 单元知识图谱 考点一、逆命题和逆定理 1. 逆命题 一个命题的条件和结论分别为另一个命题的 和 的两个命题，称为互逆命题 .在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为 ，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题 . 结论 条件 注意： 原命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题；反之，逆命题是真命题时，它的原命题不一定是真命题 . 原命题 考点串讲 2.逆定理 如果一个定理的逆命题是 ，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理 . 一个定理和它的逆定理是 . 真命题 互逆定理 注意： (1)每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理； (2) 互逆的两个命题不一定同真或同假，互逆的两个定理都是真命题 . (3)互逆定理是互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理 . 考点串讲 考点二、全等图形的性质 1. 全等图形 我们把能够 的两个图形叫做全等图形. 全等图形的特征： 两“相同”与两“无关”. (1)两“相同”：① 相同；② 相同. (2)两“无关”：①与 无关；②与 无关. 完全重合 形状 大小 方向 位置 当两个全等的图形重合时 , 互相重合的点叫做 ， 的边叫做对应边 , 互相重合的角叫做 . 对应点 互相重合 对应角 考点串讲 注意： 1. 完全重合说明两个图形的周长和面积相等. 2. 周长或面积相等的两个图形不一定是全等图形. 3. 全等变换的常见方式有平移、翻折、旋转. 考点串讲 考点二、全等图形的性质 2. 全等三角形 能够 的两个三角形叫做全等三角形. 全等用符号 表示，读作“全等于” . 表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意颠倒 . 完全重合 ≌ 注意： 全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全相同，叠放在一起是否完全重合，与它们的位置无关. 考点串讲 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等.这些对应元素分别 . 相等 注意： 1. 应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件： (1)两个三角形全等； (2)找对应元素. 2. 全等三角形的性质是证明线段、角相等的常用依据. 考点二、全等图形的性质 考点串讲 考点三、全等三角形的四种判定方法 判定方法一  如果两个三角形的 ，那么这两个三角形全等(可简记为“边边边”或“ ”) . 三边对应相等 SSS 除了题目中已知的边相等以外，还有些相等的边隐含在题设或图形中.常见的隐含的等边有： (1)公共边相等； (2)等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等； (3)由中线的定义得出线段相等. 考点串讲 考点三、全等三角形的四种判定方法 判定方法二 如果两个三角形的 对应相等，那么这两个三角形全等 (可简记为“边角边”或“ ”) . 两边和它们的夹角 SAS 注意： 1. 相等的元素： 两边及这两边的夹角. 2. 书写时顺序： 边→角→边 . 3.两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 考点串讲 考点三、全等三角形的四种判定方法 判定方法三 如果两个三角形的 对应相等，那么这两个三角形全等(可简记为“角边角”或“ ”). 两个角和它们的夹边 ASA 注意： 1. 相等的元素： 两角及两角的夹边 . 2. 书写顺序： 角→边→角. 3. 夹边即两个角的公共边 . 考点串讲 考点三、全等三角形的四种判定方法 判定方法四 如果两个三角形的 对应相等，那么这两个三角形全等(可简记为“角角边”或“ ”) . 两角及其中一个角的对边 AAS 注意： 1. 相等的元素： 两角及其中一角的对边 . 2. 书写顺序： 角→角→边. 3. 由三角形内角和定理可知， “AAS”可 由“ASA”推导得出. 考点串讲 考点四、三角形的稳定性 三角形的稳定性 只要三角形的三边确定，它的 和 就完全确定了，这就是三角形的稳定性. 形状 大小 注意： 1.稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用. 2.四边形及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形. 考点串讲 考点五、三角形的尺规作图 1.已知三角形三边作图 ①作线段 BC=a ②先以点 为圆心， b 为半径画弧，再以点 B 为圆心， 为半径画弧，两弧相交于点 . ③连接 AB 和 AC，则△ ABC 为所求作的三角形 C c A 考点串讲 考点五、三角形的尺规作图 2.已知三角形两边及夹角作图 ①作∠ MBN= ∠α ②在射线 BM， BN 上分别截取 BC= ， BA= ， ③连接 AC，则△ ABC 为所求作的三角形 a c 考点串讲 考点五、三角形的尺规作图 3.已知三角形两角及夹边作图 ①作线段 BC=a ②在 BC 的同侧，作∠ DBC= ，∠ ECB= ， BD 与 CE 相交于点 A，则△ ABC 为所求作的三角形 ∠ α ∠ β 考点串讲 题型一、逆命题 例1下列命题与它的逆命题都为真命题的是(     ) A.已知非零实数x，如果为分式，那么它的倒数也是分式 B.如果x的相反数为7，那么x为－7 C.如果一个数能被8整除，那么这个数也能被4整除 D.如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数 解：A的原命题为假命题，不是分式；B的原命题为真命题，逆命题为“如果x为－7，那么x的相反数为7”为真命题； C的原命题为真命题，逆命题为“如果一个数能被4整除，那么这个数也能被8整除”是假命题.如12不能被8整除.D的原命题为假命题，如1和3的和是偶数，但它们不是偶数。 B 题型剖析 题型一、逆命题 判断逆命题为真假命题的方法 1.把原命题的条件和结论互换之后的命题就是原命题的逆命题 . 2.证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是已学过的定义、基本事实、定理等. 3.证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可. 题型剖析 题型一、逆命题 变式.请写出下列命题的逆命题，并判断其真假 . (1)如果 a+b=0，那么 a=0， b=0； (2)若两个角互补，则这两个角的和为180°； (3)若 c2a<c2b， 则a<b. 解：（1）原命题的逆命题是如果a＝0，b＝0，那么a＋b＝0，是真命题． （2）原命题的逆命题是若两个角的和为180°，则这两个角互补，是真命题． （3）原命题的逆命题是若a<b，则c2a<c2b，当c＝0时不成立，所以是假命题． 题型剖析 题型二、全等图形的性质 例2.如图，△ABC≌△DEF，AB和DE是对应边，∠A和∠D是对应角，找出图中所有相等的线段和角． 解：∵△ABC≌△DEF， ∴相等的边有AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，AF＝DC； 相等的角有∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，∠BCD＝∠AFE. 题型剖析 题型二、全等图形的性质 全等图形对应元素的寻找方法 (1)图形特征法: ①最长边对最长边,最短边对最短边 ②最大角对最大角,最小角对最小角 (2)位置关系法: ①公共角(对顶角)为对应角,公共边为对应边 ②对应角的对边为对应边,两个对应角所夹的边是对应边 ③对应边的对角为对应角,两条对应边所夹的角是对应角 (3)字母顺序法: 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角 题型剖析 题型二、全等图形的性质 解：， , .， . 变式.如图，已知 ，点在上， 与交于点，， ， ， . （1）求 的长度； （2）求 的度数. 解：， ， . 题型剖析 题型三、全等三角形的“SSS”判定 例，，，求证： . 证明： ， ，即 . 在和中， . 题型剖析 如何运用SSS证明三角形全等 1.在已知两个三角形有两条对应边相等时，可证明另一条对应边是否相等. 2.找等边的方法除了已知以外，还有以下几种: ①中点; ②公共边; ③一部分相等,另一部分是公共的.即等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等. 题型三、全等三角形的“SSS”判定 题型剖析 题型三、全等三角形的“SSS”判定 变式.如图，点，，，在直线上（点、点 之间不能直接测量）， 点，在异侧，测得，， . （1）求证： . 解：证明： ， ，即 . 在和 中， . （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由. 解： ，， .， . 题型剖析 题型四、全等三角形的“SAS”判定 例4.如图，已知，， . 求证： . 证明：， . ，，即 . 在与 中， . 题型剖析 题型四、全等三角形的“SAS”判定 如何运用SAS证明三角形全等 1.在已知两个三角形有两条对应边相等时，可证明两条边的夹角是否相等. 2.找等角的方法除了已知以外，还有以下几种: ①对顶角相等; ②两直线平行同位角相等，内错角相等; ③利用角的和与差证明两角相等； 3.注意“边边角”不能作为两个三角形全等的条件 题型剖析 题型四、全等三角形的“SAS”判定 变式.如图所示，，，， , 求 的度数. 解： ， ，即 . 在和中， . . 题型剖析 题型五、“ASA”“AAS”判定三角形全等 例5.如图，已知与 相交于点，，. 求证： . 证明：在和 中， . 题型剖析 题型五、“ASA”“AAS”判定三角形全等 如何运用ASA和AAS证明三角形全等 1.在已知两个三角形有两个角相等时，可证明它们的夹边或其中一个角的对边是否相等； 2.找等到等边之后，看清楚运用的是ASA还是AAS，书写时一定要注意顺序. 题型剖析 题型五、“ASA”“AAS”判定三角形全等 变式.如图，已知和中，， ， ，与交于点，点在 上. （1）求证： . 证明： ，， 即 .在和 中， ， . 题型剖析 （2）若 ， . ①求 的度数； 解： ， ， ， . ， ， . 题型五、“ASA”“AAS”判定三角形全等 题型剖析 ②求证： . 证明：， ， ， ， ， . 在和 中， ， . 题型五、“ASA”“AAS”判定三角形全等 题型剖析 题型六、利用几何模型证明三角形全等 例6.在中， ，，直线 经过点，点,在直 线上，且 .求证： . 解：证明： , 在和中， ， . . . . 题型剖析 题型六、利用几何模型证明三角形全等 常见模型 1.平移模型 2.对称模型 3.一线三等角模型 题型剖析 1.下列命题的逆命题是真命题的是( ) A. 若，则 B. 如果，那么 C. 钝角三角形中有两个锐角 D. 如果两个角是直角，那么它们相等 A 解：A的，逆命题为“若，则”为真命题； B的逆命题为“如果，那么”是假命题； C的逆命题为“如果一个三角形有两个锐角，那么它是钝角三角形”是假命题； D的逆命题为“如果两个角相等，那么它们是直角”是假命题. 针对训练 2.如图，两个三角形是全等三角形，则 的值是( ) C A. 80 B. 45 C. 30 D. 25 解：本体考察全等三角形对应角相等， 由题意可知，的对应角 针对训练 3.如图，点，，， 在同一条直线上，，， 添加一个条件，不能判定 的是( ) A. B. C. D. 解：本题考察全等三角形的判定方法，若BE=DF,得BF=DE 若增加A条件，由可得，可利用ASA证明 若增加B条件，可利用AAS证明 若增加D条件，可利用SAS证明 C不符合题意 C 针对训练 4.如图，，，为的边长，则甲、乙、丙三个三角形和 全等的是( ) A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙 B 解：乙可利用ASA证明两个三角形全等， 丙可利用AAS证明两个三角形全等. 甲不符合题意 单元学习目标 5.尺规作图：已知 ，线段，,求作： ，使 ，， .（不写作法，保留痕迹） 解：如图所示. 针对训练 6.如图，已知点 在的边上，， ，.求证： . 证明： ， . 在和 中， . 针对训练 7.如图，在 中，，，点在边上， ，点，在线段上， . 求证： . 解：证明：， ，且， . ， ，且 ， . . 在和中， . 针对训练 8.如图,点在外部,点在边上,交 于点. 若,,求证： . 证明：, , , . 又 , , ,, . 在和中, . 针对训练 9.如图，在河岸两侧的， 两点分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两 个电线塔之间的距离，于是他在点同一条直线上，另取一点，使得 ，然后测得 ， ，在的延长线上 取一点，使得 ，量得 . （1）求 的度数. 解： ， ， . 针对训练 （2）请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米. 解： ， . 在和 中， . . . 这两个电线塔之间的距离是 . 针对训练 10.已知 中，，，，为 的中点. （1）点在线段上以的速度由点向点 运动， 同时，点在线段上由点向点 运动. ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后， 和 是否全等，请说明理由. 解：设时间为t 点的运动速度与点 的运动速度相等， . 当时， ，，，，为 的中点， ， .在和中， . 针对训练 10.②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点 的运动速度为多 少时，能够使和 全等？ 点的运动速度与点的运动速度不相等， . 设点的速度为 . ，，且 .， . 在和中， . 当点的运动速度为时， . 针对训练 （2）若点以②中的运动速度从点出发，点 以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针 沿 三边运动，则经过多少时间后，点与点第一次在 的哪一边上相遇？ 解：设经过后，点与点 第一次相遇. 根据题意，得，解得 . 的周长为 ， , 经过后，点与点第一次在的边 上相遇. 针对训练 ✅ 知识构建：全等三角形 全等图形概念→全等三角形性质→全等三角形判定→尺规作图 ✅ 思想方法： 几何思想、推理论证 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $