专题03 一元一次方程及其解法（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材沪科版

专题03 一元一次方程及其解法（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 方程的有关概念 能准确判断一个式子是否为方程（满足 “等式” 且 “含未知数” 两个条件），理解方程的本质定义 基础必考点，多在小题（选择、填空）中考查概念辨析，是方程学习的入门基础 一元一次方程的概念 能熟练掌握一元一次方程的定义，明确其 “只含一个未知数”“未知数次数为 1”“分母不含未知数” 的核心条件，准确判断一元一次方程 高频基础考点，常以概念辨析题形式考查，需注意排除 “多未知数”“未知数次数≠1”“分母含未知数” 的干扰项 方程的解、解方程 能区分 “方程的解”（使方程左右两边相等的未知数的值）与 “解方程”（求方程解的过程），会验证某个值是否为方程的解 基础考点，多在小题或解答题基础步骤中考查，如 “判断某数是否为方程的解”“根据方程的解求参数” 等 等式的性质 能熟练运用等式的两个性质（性质 1：加 / 减同一个数或式子，等式仍成立；性质 2：乘 / 除同一个非零数或式子，等式仍成立），理解性质 2 中 “不为零” 的关键限制 核心基础考点，是一元一次方程解法的理论依据，多在解方程步骤合理性判断、等式变形类题目中考查，需避免忽略 “除数不为零” 的条件 一元一次方程的解法 能掌握一元一次方程的完整解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），明确各步骤的注意事项（如去分母不漏乘、去括号变号、移项变号），熟练求解一元一次方程 核心考点，贯穿代数计算，从基础解方程小题到综合应用大题均有涉及，是后续学习一次函数、一元一次不等式的重要基础 知识点01 方程的有关概念 （1）定义：含有未知数的等式叫做方程. （2）判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 知识点02 一元一次方程的概念 （1）定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 知识点03 方程的解、解方程 （1）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. （2）解方程：求方程的解的过程. 知识点04 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边同时乘以（或除以）一个不为零的数或者式子，等式保持不变。 知识点05 一元一次方程的解法 （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 注意：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 知识点06 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 题型一 判断各式是否是方程 解｜题｜技｜巧 判断一个式子是不是方程：一是等式；二是含有未知数． 【典例1】下列式子是方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二 列方程 解｜题｜技｜巧 （1）定未知数：选直接所求或关联紧密的量为x。 （2）抓关键词：“比”“共”“余”等提示运算关系。 （3）列等式：根据题意将文字转为数学表达式。 【典例1】已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设 ，列方程为 ． 【变式1】根据“x的3倍与5的和比x多2”可列出方程 ． 【变式2】下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 题型三 等式的性质 解｜题｜技｜巧 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边同时乘以（或除以）一个不为零的数或者式子，等式保持不变。 【典例1】已知，则下列变形不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】运用等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型四 判断是否是一元一次方程 解｜题｜技｜巧 一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程； ②其次是必须只含有一个未知数； ③未知数的指数是1； ④分母中不含有未知数． 【典例1】下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D．       【变式2】关于x的方程是一元一次方程，则 ． 题型五 判断是否是一元一次方程解 解｜题｜技｜巧 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 【典例1】写出一个解为的一元一次方程 ．（写出一个即可） 【变式1】当（　　）时，． A．9 B．7 C．8 D．6 【变式2】若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 题型六 解一元一次方程 解｜题｜技｜巧 解一元一次方程的步骤： （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【典例1】下列解方程的过程中，错误开始于（    ） A．去分母，得 B．移项，得 C．合并同类项，得 D．系数化为1，得 【变式1】解方程： 【变式2】解方程： (1)； (2)． 题型七 绝对值方程 解｜题｜技｜巧 1. 拆情况讨论：按定义分正负两种情形（|A|=a ⇒ A=±a）。 2.去绝对符号：每种情况去掉“||”，加括号变号或不变。 3. 独立求解：分别解每个不含绝对值的新方程。 4. 检验解效性：代入原式验证是否使绝对值为非负数。 5. 舍无效解：排除导致矛盾（如负数等正数）的结果。 6. 多变量处理：含多个绝对值时分段讨论临界点（零点）。 【典例1】若，则的值为 ； 【变式1】若，则x等于（    ） A． B．9 C．或 D．以上答案都不对 【变式2】若，求x的值． 题型八 已知一元一次方程的解，求参数 解｜题｜技｜巧 1. 明确已知条件 一元一次方程的形式（如含未知数 `x` 和某个参数 `k`）； 该方程的一个具体解（例如 `x = a`）。 2. 代入求解 - 把解 `x = a` 直接代入原方程，替换掉所有的 `x`； - 此时方程变为仅含参数的等式，通过运算即可求出参数的值。 【典例1】k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 【变式1】若方程的解为，的解为： ． 【变式2】定义：若关于x的方程的解为，则称该方程为“生生方程”．已知关于x的方程是“生生方程”，求该方程的解． 题型九 一元一次方程解的关系 解｜题｜技｜巧 1. 发现两方程的关系； 2.通过已知条件求出未知量的值； 3.通过两个方程的关系求出最终答案。 【典例1】关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是 ． 【变式2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使得它与方程互为“成双方程”； (2)若关于x的方程和互为“成双方程”，求m的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·广西贺州·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若是方程的解，则值为 ． 4．（24-25七年级下·四川巴中·期中）如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 5．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）观察下列两个等式： ．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为，数对，和都是“共生有理数对”． （1）数对和中是“共生有理数对”的是 ． （2）若是“共生有理数对”，a＝ ． 6．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 7．（24-25七年级上·北京·期中）解方程： (1) (2) 8．（25-26七年级上·全国·期中）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则 ， ，A、B两点之间的距离为 ． (2)有一动点P，从点A出发，第一次向左运动1个单位，第二次向右运动2个单位，第三次向左运动3个单位，第四次向右运动4个单位，当运动到第2023次时，求点P所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出点P的位置表示的数，若不可能，请说明理由． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．若 是关于 x，y 的二元一次方程的解，则 a 的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（   ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 3．方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 4．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 5．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 6．老师在黑板上写了一个不完整的算式：．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． (1)第1次转动转盘后，求算式的计算结果； (2)某次转动转盘后，算式的计算结果是，求指针所指区域的数； (3)多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果． 7．某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字． (1)如果被污染的数字是，请计算的值． (2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？ 8．对任意有理数a，b，c，d，规定，例如：，根据以上规定解决以下问题． (1)求的值； (2)若，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程及其解法（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 方程的有关概念 能准确判断一个式子是否为方程（满足 “等式” 且 “含未知数” 两个条件），理解方程的本质定义 基础必考点，多在小题（选择、填空）中考查概念辨析，是方程学习的入门基础 一元一次方程的概念 能熟练掌握一元一次方程的定义，明确其 “只含一个未知数”“未知数次数为 1”“分母不含未知数” 的核心条件，准确判断一元一次方程 高频基础考点，常以概念辨析题形式考查，需注意排除 “多未知数”“未知数次数≠1”“分母含未知数” 的干扰项 方程的解、解方程 能区分 “方程的解”（使方程左右两边相等的未知数的值）与 “解方程”（求方程解的过程），会验证某个值是否为方程的解 基础考点，多在小题或解答题基础步骤中考查，如 “判断某数是否为方程的解”“根据方程的解求参数” 等 等式的性质 能熟练运用等式的两个性质（性质 1：加 / 减同一个数或式子，等式仍成立；性质 2：乘 / 除同一个非零数或式子，等式仍成立），理解性质 2 中 “不为零” 的关键限制 核心基础考点，是一元一次方程解法的理论依据，多在解方程步骤合理性判断、等式变形类题目中考查，需避免忽略 “除数不为零” 的条件 一元一次方程的解法 能掌握一元一次方程的完整解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），明确各步骤的注意事项（如去分母不漏乘、去括号变号、移项变号），熟练求解一元一次方程 核心考点，贯穿代数计算，从基础解方程小题到综合应用大题均有涉及，是后续学习一次函数、一元一次不等式的重要基础 知识点01 方程的有关概念 （1）定义：含有未知数的等式叫做方程. （2）判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 知识点02 一元一次方程的概念 （1）定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 知识点03 方程的解、解方程 （1）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. （2）解方程：求方程的解的过程. 知识点04 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边同时乘以（或除以）一个不为零的数或者式子，等式保持不变。 知识点05 一元一次方程的解法 （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 注意：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 知识点06 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 题型一 判断各式是否是方程 解｜题｜技｜巧 判断一个式子是不是方程：一是等式；二是含有未知数． 【典例1】下列式子是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，虽然含有未知数，但它不是等式，所以不是方程，故本选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，所以不是方程，故本选项不符合题意； C．，含有未知数，且是等式，所以是方程，故本选项符合题意； D．，虽然是等式，但它没含有未知数，所以不是方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中不含未知数，则A不符合题意， 不是等式，则B不符合题意， 不是等式，则C不符合题意， 符合方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 题型二 列方程 解｜题｜技｜巧 （1）定未知数：选直接所求或关联紧密的量为x。 （2）抓关键词：“比”“共”“余”等提示运算关系。 （3）列等式：根据题意将文字转为数学表达式。 【典例1】已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设 ，列方程为 ． 【答案】 宽为 【详解】解：设宽为，则长为， ， 故答案为：宽为；． 【变式1】根据“x的3倍与5的和比x多2”可列出方程 ． 【答案】（或） 【详解】解：由题意列方程式为：． 故答案为：． 【变式2】下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 题型三 等式的性质 解｜题｜技｜巧 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边同时乘以（或除以）一个不为零的数或者式子，等式保持不变。 【典例1】已知，则下列变形不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴选项不符合题意； ∵， ∴， ∴选项不符合题意； ∵， ∴， ∴选项不符合题意； ∵时，不成立， ∴选项符合题意． 故选：． 【变式1】若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、若，则，选项结论正确，故本选项不符合题意； B、若，则，选项结论正确，故本选项不符合题意； C、若，则，选项结论不正确，故本选项符合题意； D、若，则，选项结论正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】运用等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、若，则，原变形错误，故不符合题意； B、若，则或，原变形错误，故不符合题意； C、若，则，原变形错误，故不符合题意； D、若，则，该变形正确，符合题意； 故选：D． 题型四 判断是否是一元一次方程 解｜题｜技｜巧 一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程； ②其次是必须只含有一个未知数； ③未知数的指数是1； ④分母中不含有未知数． 【典例1】下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程中，含有两个未知数，则此项不是一元一次方程，不符合题意； B、方程满足一元一次方程的定义，则此项是一元一次方程，符合题意； C、方程中，的次数是2，则此项不是一元一次方程，不符合题意； D、方程中，不是整式，则此项不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A. 是一元一次方程，故该选项正确，符合题意；     B. ，含有2个未知数，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2】关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， 由题意得：． 故答案为：． 题型五 判断是否是一元一次方程解 解｜题｜技｜巧 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 【典例1】写出一个解为的一元一次方程 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：答案不唯一，如等． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】当（　　）时，． A．9 B．7 C．8 D．6 【答案】A 【详解】解：方程两边同时乘以8，得， 两边都减去36，得， 两边同时除以，得． 故选：A． 【变式2】若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 解一元一次方程 解｜题｜技｜巧 解一元一次方程的步骤： （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【典例1】下列解方程的过程中，错误开始于（    ） A．去分母，得 B．移项，得 C．合并同类项，得 D．系数化为1，得 【答案】A 【详解】解：去分母，得，即， 所以错误开始于选项， 故选：． 【变式1】解方程： 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项，得：， 系数化为1得：． 题型七 绝对值方程 解｜题｜技｜巧 1. 拆情况讨论：按定义分正负两种情形（|A|=a ⇒ A=±a）。 2.去绝对符号：每种情况去掉“||”，加括号变号或不变。 3. 独立求解：分别解每个不含绝对值的新方程。 4. 检验解效性：代入原式验证是否使绝对值为非负数。 5. 舍无效解：排除导致矛盾（如负数等正数）的结果。 6. 多变量处理：含多个绝对值时分段讨论临界点（零点）。 【典例1】若，则的值为 ； 【答案】或 【详解】解：， ， 解得：或． 故答案为：或． 【变式1】若，则x等于（    ） A． B．9 C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【详解】解： ， 故选：C． 【变式2】若，求x的值． 【答案】或 【详解】解：分三种情况讨论： ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得； ③当时，， 解得不成立． 综上所述可知：或． 题型八 已知一元一次方程的解，求参数 解｜题｜技｜巧 1. 明确已知条件 一元一次方程的形式（如含未知数 `x` 和某个参数 `k`）； 该方程的一个具体解（例如 `x = a`）。 2. 代入求解 - 把解 `x = a` 直接代入原方程，替换掉所有的 `x`； - 此时方程变为仅含参数的等式，通过运算即可求出参数的值。 【典例1】k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 【答案】或或 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有正整数解， ∴， ∴， ∴或或， ∴或或， 故答案为：或或． 【变式1】若方程的解为，的解为： ． 【答案】 【详解】解： 即，① 由题意此方程的解为， 令， 则第二个方程变形为：， 对照①可得，方程的解为， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】定义：若关于x的方程的解为，则称该方程为“生生方程”．已知关于x的方程是“生生方程”，求该方程的解． 【答案】 【详解】解：因为关于x的一元一次方程是“生生方程”， 所以， 则， 解得， 所以． 题型九 一元一次方程解的关系 解｜题｜技｜巧 1. 发现两方程的关系； 2.通过已知条件求出未知量的值； 3.通过两个方程的关系求出最终答案。 【典例1】关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程可变形为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程的解为， 解得：． 故选：D． 【变式1】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】2029 【详解】解：方程可化为． ∵方程的解为， ∴ 的解为， ． 故答案为：2029． 【变式2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使得它与方程互为“成双方程”； (2)若关于x的方程和互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【详解】（1）解：， 解得：， 则与方程互为“成双方程”的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）； （2）解： ， 解得：， ∵关于x的方程和互为“成双方程”， ∴方程的解为， 则， 解得：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·广西贺州·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：由题意，方程是关于的一元一次方程， 因此的指数必须为1． 即， 得或， 即的值为． 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【详解】解：A．等式两边都减，得：，变形正确，故此选项符合题意； B．等式两边都乘，得：，原变形不正确，故此选项不符合题意； C．当，，时，得：，但，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．如果，那么或，原变形不正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若是方程的解，则值为 ． 【答案】2024 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：2024 ． 4．（24-25七年级下·四川巴中·期中）如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是一元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 5．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）观察下列两个等式： ．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为，数对，和都是“共生有理数对”． （1）数对和中是“共生有理数对”的是 ． （2）若是“共生有理数对”，a＝ ． 【答案】 【详解】解：（1）， ∴ ∴不是“共生有理数对”， ∵， ， ∴是“共生有理数对”， 故答案为：； （2）由题意得：， 解得． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：∵，即 ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·北京·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 8．（25-26七年级上·全国·期中）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则 ， ，A、B两点之间的距离为 ． (2)有一动点P，从点A出发，第一次向左运动1个单位，第二次向右运动2个单位，第三次向左运动3个单位，第四次向右运动4个单位，当运动到第2023次时，求点P所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出点P的位置表示的数，若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)可以，P点对应的数为或 【详解】（1）解：∵式子M是关于x的二次多项式， ∴三次项系数为0，即，解得； 二次项系数为8，故； A对应对应8，两点距离为． 故答案为：． （2）解：P从出发，运动规律：第n次运动位移为“奇）”或“偶）”； 分组计算：…； 共组，每组和为1，总位移为； P对应的数为． 答：点P所对应的有理数为． （3）设P对应的数为x，由得． ①当时： ∵，， ∴，解得（符合）； ②当时： ∵，， ∴，解得（符合）； ③当时： ∵，， ∴，解得（不符合，舍去）． 答：点P的位置表示的数为或． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．若 是关于 x，y 的二元一次方程的解，则 a 的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：将代入得，， 解得， 故选：A． 2．如图，将等式进行变形，最后得到一个明显错误的结论，则下列说法正确的是（   ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【答案】C 【详解】解：第一步等式两边同时加，第二步合并同类项，都是正确的， 第三步两边同时除以a是错误的，因为a可能等于零． 正确的做法是移项得，解得， 故选：C． 3．方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【详解】解：当时， 原方程化为， 解得：； 当时， 原方程化为， 解得：，不符合题意； 当时， 原方程化为， 此时方程无解； 当时， 原方程化为， 解得：； 综上，原方程的解为或，共个， 故选：C． 4．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】47 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：47 5．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 6．老师在黑板上写了一个不完整的算式：．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． (1)第1次转动转盘后，求算式的计算结果； (2)某次转动转盘后，算式的计算结果是，求指针所指区域的数； (3)多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果． 【答案】(1) (2)3 (3)5 【详解】（1）解：如图可知，第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域为， 所以． （2）解： 设指针所指区域为，则 解得：， 所以指针所指区域的数为． （3）当时，算式为： ； 当时，算式为： ； 当时，算式为： ； 当时，算式为： ； ， 所以最大的结果为． 7．某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字． (1)如果被污染的数字是，请计算的值． (2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？ 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）解：． （2）解：设被污染的数字为， 由题意得， 解方程得3． 所以被污染的数字为3． 8．对任意有理数a，b，c，d，规定，例如：，根据以上规定解决以下问题． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)6 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：因为， 所以， 整理得， 解得． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $