专题05 全等三角形常见辅助线添加专训5大题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题05全等三角形常见辅助线添加专训 题型1 倍长中线模型 题型2 截长补短模型 题型3 旋转法 题型4 作平行线法 题型5 作垂线法 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 倍长中线模型（共6小题） 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 1．若，，，是上的中线，则的长可能是（    ） A． B．2 C． D．3 2．【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． 【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：． 3．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 4．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 5．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：____． 【问题应用】 （2）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图（3），是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 6．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数．   ∵平分， 题型二 截长补短模型（共6小题） 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 7．已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 8．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 9．老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 10．如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接． （1）探究、、之间的关系，并说明理由； （2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由． 11．如图所示，且，为直角三角形，，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B．15 C． D．20 12．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 题型三 旋转法（共6小题） 【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【模型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 13．如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 14．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．       原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接， 证明：． (1)思路梳理 ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ∵，∴，点F、D、G共线， 证明得． 请按此思路证明原题中． (2)类比引申 如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足怎样的关系时，仍有，请说明理由． 15．点为等边所在平面内一点，连接，，，且． (1)如图，点P在外部，若，，则的长为 （直接写出结果）； (2)点在内部，连接． ①如图2，若，求的值； ②如图3，D为边中点，连接，求的度数． 16．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 17．已知，如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且．    (1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； (2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 18．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，，分别是边上的点，且；求证：， （3）如图3，在四边形中，，分别是边延长线上的点，且，写出之间的数量关系，并证明你的结论． 题型四 作平行线法（共6小题） 19．已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． (1)当绕点旋转到时（如图1），，，之间的数量关系为___________； (2)当在上，在上，但（如图2）时，（1）中结论是否成立？请说明理由． (3)当在延长线上，在延长线上（如图3）时，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，之间又有怎样的数量关系？ 20．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 21．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 22．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 23．如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 24．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 题型五 作垂线法（共6小题） 25． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 26．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.    27．如图，是的中线，于.于， （1）求证：；（2）若，，求的长． 28．如图，在中，，，于点，且，连接．用含的式子表示的面积为（   ） A． B． C． D． 29．如图，在中，，过点C作，且，连接， ，则的长为 ． 30．如图，秋千垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至处，点A距离地面高度，与的水平距离．推动秋千从至处，此时恰好，点C距离的水平距离，则点C距离地面的高度为 m． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题05全等三角形常见辅助线添加专训 题型1 倍长中线模型 题型2 截长补短模型 题型3 旋转法 题型4 作平行线法 题型5 作垂线法 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 倍长中线模型（共6小题） 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 1．若，，，是上的中线，则的长可能是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】延长到点E，使，构造，得出，再利用三角形的三边关系得出的取值范围，即可求出结果． 【详解】解：如图，延长到点E，使，    ∵是边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的中线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 2．【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． 【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明得到，即可得证． 【详解】证明：如图，延长至点F，使得，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ． ， ． 在和中， ． ． 3．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【答案】（1），（2）见解析，（3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 4．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：____． 【问题应用】 （2）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图（3），是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）；（3），，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）由全等三角形的判定可得出答案； （2）延长至，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案； （3）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明、和，再证明得到和，即可求解． 【详解】（1）解：延长至点，使． 在和中， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至，使， 是的中线， ，且，， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， ． ， ， ． （3）解：，，证明如下： 如图，在的延长线上截取，连接， 则， 是的中线， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ，． 6．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型二 截长补短模型（共6小题） 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 7．已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 8．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 9．老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形． （1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到， （2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图2，，理由如下： 延长到K，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接． （1）探究、、之间的关系，并说明理由； （2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE． 【分析】（1）由等腰三角形的性质，解得，，延长AB至G，使得BG=CF，连接DG，进而证明，再根据全等三角形对应边相等的性质解得，再结合等腰三角形的性质可证明，最后根据全等三角形的性质解题即可； （2）在CA上截取CG=BE,连接DG，由等腰三角形的性质，可得，，进而证明得到，据此方法再证明，最后根据全等三角形的性质解题即可． 【详解】（1）和是等腰三角形， 延长AB至G，使得BG=CF，连接DG 在和中， BG=CF， ， 在和中， DE=DE， ， （2）在CA上截取CG=BE,连接DG 是等腰三角形， 在和中， CG=BE， 在和中， FD=FD， 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11．如图所示，且，为直角三角形，，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B．15 C． D．20 【答案】C 【分析】过A作，过D作，垂足为E，证明，根据四边形的面积即可求解． 【详解】解：过A作，过D作，垂足为E，如图， ∴， ∵且， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积为 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 12．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 题型三 旋转法（共6小题） 【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【模型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 13．如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，，见解析 【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF； （2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD． 【详解】（1）EF＝BE+DF， 理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°， ∴∠ADC＝∠ABG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF， 即∠EAG＝∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝EF， ∴EF＝BE+DF； （2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE上截取BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ABC＝∠ADF， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD， ∴∠BAD＝∠MAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF＝∠MAF， ∴∠EAF＝∠EAM， 在△AME和△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）， ∴ME＝EF， ∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键． 14．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．       原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接， 证明：． (1)思路梳理 ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ∵，∴，点F、D、G共线， 证明得． 请按此思路证明原题中． (2)类比引申 如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足怎样的关系时，仍有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)时，；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； 【详解】（1）证明：如图1， ∵， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，使与重合， ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，， ， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：时，；理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合，如图2所示， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．点为等边所在平面内一点，连接，，，且． (1)如图，点P在外部，若，，则的长为 （直接写出结果）； (2)点在内部，连接． ①如图2，若，求的值； ②如图3，D为边中点，连接，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将绕点A逆时针旋转，得到，点的对应点为，首先证明点C在线段上，再证明是等边三角形，从而得出答案； （2）①将绕逆时针旋转，得到，点的对应点为，连接，首先证明是等边三角形，从而得出，，再利用含角的直角三角形的性质，可得答案； ②延长到点，使，连接，将绕点逆时针旋转，得到，点P的对应点为点，连接，同理得是等边三角形，再利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为， 则，，，，， ∴， ∴点在线段上， ∵ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①∵， ∴， 将绕逆时针旋转，得到，点的对应点为，连接， 则，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长到点，使，连接，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为点，连接， 同理可知，是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键． 16．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】（1）证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 17．已知，如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且．    (1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； (2)如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用旋转的性质，证明即可； （2）把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应到，证明即可求得． 【详解】（1）证明：如图1中，    由旋转可得，，，， 四边形为正方形， ， ， ，，三点在一条直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：结论：， 理由：如图2中，把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应， ， ，    同（1）可证得， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形． 18．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，，分别是边上的点，且；求证：， （3）如图3，在四边形中，，分别是边延长线上的点，且，写出之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；理由见解析 【分析】（1）延长到G，使，连接．证明，可得，进而可得结论； （2）延长至M，使，连接．证明．可得．然后根据，证明．可得．进而可以得到结论； （3）在上截取，使，连接．证明．可得．然后可得出，那么． 【详解】（1）证明：如图1中，延长到G，使，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：． 证明：如图3，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 题型四 作平行线法（共6小题） 19．已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． (1)当绕点旋转到时（如图1），，，之间的数量关系为___________； (2)当在上，在上，但（如图2）时，（1）中结论是否成立？请说明理由． (3)当在延长线上，在延长线上（如图3）时，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，之间又有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2)（1）中结论成立，理由见解析 (3)（1）中结论不成立， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，根据旋转的性质，构造全等三角形是解题的关键． （1）将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则，根据题意可得A与点C重合，，从而得到点G，C，F三点共线，可证明，从而得到，即可解答； （2）将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则，根据题意可得A与点C重合，，从而得到点G，C，F三点共线，可证明，从而得到，即可解答； （3）将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则，根据题意可得A与点C重合，，从而得到点G，C，F三点共线，可证明，从而得到，即可解答； 【详解】（1）解：如图，将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则， ∵，，，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∴，即点G，C，F三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中结论成立，理由如下： 如图，将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则， ∵，，，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∴，即点G，C，F三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：（1）中结论不成立， 如图，将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则， ∵，，，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∴，即点G，C，F三点共线， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，    在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 21．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 【详解】解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ∵CQ＝PA， ∴ 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【答案】见详解 【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而证明∆FMD≅∆CME，进而即可得到结论． 【详解】过点D作DF∥AC，交BC于点F， ∵是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DF∥AC， ∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC， ∴是等边三角形， ∴BD=DF， ∵， ∴DF=CE， 又∵∠FMD=∠CME， ∴∆FMD≅∆CME， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 23．如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【答案】详见解析 【分析】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案. 【详解】如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴， ， 又∵BC=BE， ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴， ∴EF=DF. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 24．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到，，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 题型五 作垂线法（共6小题） 25． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果． 【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中，， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质． 26．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.    【答案】详见解析 【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案. 【详解】如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F， 则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°， 又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC， ∴， ∴DF=CG，. 又， ∴≌， .    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键. 27．如图，是的中线，于.于， （1）求证：；（2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】先证明DE=DF； (1)在中，由垂线段最短可得，即，①，在中，同理可得，即，②，①+②整理后即可得结论； (2)， ，可得，继而可得答案. 【详解】∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD， 又∠BDE＝CDF ∴△BED≌△CFD(AAS)， ∴DE=DF； (1)在中，，即，① 在中，， 即，② ①+②得，， 即； (2)，①，，② ①+②得，， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，正确运用数形结合思想是解题的关键. 28．如图，在中，，，于点，且，连接．用含的式子表示的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 过D作交延长线于E，证明，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】如图，过D作交延长线于E， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 29．如图，在中，，过点C作，且，连接， ，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、三角形面积公式是解题的关键．过点D作交延长线于点M，证明（），则，所以，即可求． 【详解】解：过点D作交延长线于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 故答案为3． 30．如图，秋千垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至处，点A距离地面高度，与的水平距离．推动秋千从至处，此时恰好，点C距离的水平距离，则点C距离地面的高度为 m． 【答案】1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键． 过点A作于M，过点C作于N，证明即可求解． 【详解】解：如图， 过点A作于M，过点C作于N， 由题意得，， 则， ∴，， 同理可得：， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1.5． $