专题02 分式和分式方程实际应用专训9大题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题02 分式和分式方程实际应用专训 题型1 分式加减的应用 题型6 分式方程的经济问题 题型2 分式乘除的应用 题型7 分式方程的和差倍分问题 题型3 列分式方程 题型8 分式方程的其他应用 题型4 分式方程的行程问题 题型9 分式方程的新定义问题 题型5 分式方程的工程问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式加减的应用（共5小题） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒 A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ）        A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）图1中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），，设，则k的取值范围为 ． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期中）为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（） (1)求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差． (2)若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？ 5．将克糖放入一杯水中，得到克糖水（）． (1)糖水的浓度为_____________； A．        B．        C． (2)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_________； (3)请证明（2）中的不等式成立． 题型二 分式乘除的应用（共5小题） 6．（24-25八年级下·河北保定·期中）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北沧州·期中）学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A．1.7 B．1.4 C．1.3 D．1.2 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示： （1） ， ； （2）是的 倍． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）“远宏”服装厂用一种布料做衣服，m米可做a件上衣，n米可做3a条裤子，那么一件上衣的用料是一条裤子用料的 倍． 10．（24-25八年级下·河北保定·期中）嘉琪利用长方形纸片做拼接游戏． (1)如图1，将长方形纸片沿着裁剪后拼成不规则图形．正方形的边长为． ①请将长方形纸片的面积因式分解长方形的面积，． ②的值为__________． (2)如图2，长方形的面积，在（1）的条件下，化简，并根据化简结果确定与之间的大小关系． 题型三 列分式方程（共5小题） 11．已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到900里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规定的时间为多少天？马的速度为多少？下列说法错误的是（ ） A．设规定的时间为x天，所列方程为 B．设慢马的速度为y里/天，所列方程为 C．快马用了4天送达 D．慢马用了8天送达 13．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）某船往返于某段河流，顺流航行千米与逆流航行千米用时相同，已知水流速度为每小时千米．设船的静水速度是每小时千米，根据题意，可得方程为 ． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口．    15．下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 题型四 分式方程的行程问题（共5小题） 16．（24-25八年级上·河北承德·期中）小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？ (2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？ 17．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，嘉嘉家和淇淇家分别在点，处，学校在点处，，．嘉嘉和淇淇同时从自家出发匀速去学校，嘉嘉比淇淇的速度快． (1)若，结果二人同时到达学校，求二人的速度； (2)设淇淇的速度为，则嘉嘉和淇淇谁先到学校？ 18．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）、两地相距，一辆汽车从地匀速开往地，实际行驶的速度比原计划的速度增加20%，结果提前到达．求汽车实际行驶的时间． 甲同学所列的方程为：； 乙同学所列的方程为：． (1)甲同学所列方程中的表示 ；乙同学所列方程中的表示 ； (2)选择甲、乙两位同学中的一个方法解答这个题目． 19．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）小明和同学相约到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小明骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小明跑步的平均速度； (2)如果小明在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，直接写出他能否在电影开始前赶到电影院？ 20．（24-25八年级上·河北邢台·期中）“”即“城市漫步”是当代年轻人中流行的一种城市微旅游方式．嘉嘉和淇淇环湖进行城市漫步，欣赏沿途的风光，环湖公路全长，两人从同一地点同时向相反方向出发，相遇时嘉嘉运动手环显示走过的路程为，速度比淇淇运动手环显示的速度快．设嘉嘉的速度为，根据以上信息完成下列问题： 嘉嘉 淇淇 路程 6 ______________ 速度 x ______________ (1)补全表格信息． (2)求嘉嘉的速度． 题型五 分式方程的工程问题（共5小题） 21．某工厂计划生产3600个零件，现有甲、乙两个车间都具备生产能力．已知甲车间单独生产完成这批零件比乙车间单独生产完成这批零件多用6天；乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.5倍． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产的零件数量； (2)若甲车间生产的费用是每天1000元，乙车间生产的费用是每天1800元．若工厂计划让甲、乙两个车间共同生产这批零件，且总费用不超过19000元，则甲车间最少生产多少天？ 22．为改善校园生态环境，某校计划对校园内面积为1000平方米的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队每天完成绿化面积是乙工程队每天完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为480平方米的绿化时，甲工程队比乙工程队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天完成绿化面积分别是多少平方米； (2)若甲工程队工作一天需付费万元，乙工程队工作一天需付费万元，要使这次绿化总费用不超过7万元，至少应安排甲工程队工作多少天？ 23．（24-25八年级上·河北沧州·期中）甲、乙二人加工同一种零件，甲加工1200个零件所用的时间是乙加工800个零件所用的时间的，已知甲每小时比乙多加工10个零件． (1)求甲、乙每小时各加工多少个零件？ (2)现有1720个零件需要加工，要求20小时之内完成任务，甲、乙合作加工一段时间后甲有事离开，剩下的任务由乙单独完成，若要在规定时间内完成任务，甲至少需要加工几小时才能离开？ 24．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）随着科技的创新，高铁建设领域也随之改革，某建筑集团承接了高铁线路的革新工作．以下是记者与工程师的一段对话： 记者：听说你们在高铁线路工作中，技术进行了创新，工作效率取得了显著提升？ 工程师：是的，现在甲工程队使用新技术，单独完成这项工程，刚好按规定工期完成． 乙工程队技术还没革新，单独完成这项工程要比规定工期多用7天． 记者：这听起来效率有了很大的提升，那甲、乙两工程队的工程款有怎样的区别？ 工程师：每施工一天，需付甲工程队工程款2.8万元，付乙工程队工程款2.1万元．现在工程领导小组出于实际的考虑，可有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成这项工程； 方案二：乙队单独完成这项工程； 方案三：若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工． 通过以上对话，请你回答下列问题： (1)求这项工程的规定工期； (2)如果要求正好按规定工期完工，你认为工程小组将选择哪一种方案？并说明理由． 25．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植的草地，已知2班每小时比1班多制作的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍，求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整． 小聪：设1班每小时种植的草地，所列方程为：_____； 小薏：设_____，所列方程为：_____； (2)任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少的草地： (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 题型六 分式方程的经济问题（共5小题） 26．（24-25七年级下·河北·期中）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 ． (1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．若建造这90个摊位的费用不低于10300 元，该社区共有几种建造方案？ 27．（24-25八年级上·河北邢台·期中）红星中学为学生开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)菜苗基地每捆菜苗的价格是多少元？ (2)从学校到菜苗基地有，而市场就在红星中学旁边，去菜苗基地购买菜苗往返的路费是1元，拉上菜苗返回时的保鲜费为元，而从市场购买不需要任何额外费用．红星中学开辟了3亩耕种园，每亩需要菜苗50捆．请通过计算说明学校应该去菜苗基地还是市场更合算． 28．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有A、B两种型号的健身器材可供选择．已知每套B型健身器材的价格比每套A型健身器材的价格多万元，用6万元购买A型健身器材的数量与用9万元购买B型健身器材的数量相等． (1)求每套A型健身器材的价格； (2)若市政府计划采购这两种健身器材共15套，总费用不超过20万元，则购买A型健身器材最少多少套？ 29．（24-25八年级下·河北保定·期中）“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 30．（24-25八年级上·河北保定·期中）2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，为激发学生探索科学奥秘的兴趣，某中学购入，两款物理实验套装．已知用12000元购进款实验套装的数量比用5000元购进款实验套装的数量多50个，且款实验套装的单价是款实验套装的单价的1.2倍．求，两款实验套装的单价． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程． 甲：． 乙：． 则甲所列方程中的表示______，乙所列方程中的表示______； (2)任选其中一种方法，求，两款实验套装的单价． 题型七 分式方程的和差倍分问题（共5小题） 31．（24-25八年级下·河北保定·期中）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 32．某玩具生产厂家接到制作3600个“冰墩墩”的订单，但是在实际制作时，实际每天制作的个数是原计划的倍，结果提前10天完成，求实际每天制作“冰墩墩”的个数． (1)设实际每天制作“冰墩墩”个，可得方程，则 ； (2)若，请利用方程解决问题． 33．某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2025年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． (1)原计划每年产量为多少万台？ (2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2025年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 34．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程： 小聪： 小慧： 则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______． (2)任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务． 35．（24-25八年级上·河北保定·期中）学校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让嘉嘉和淇淇到超市购买笔记本和笔作为奖品．二人与老师的对话信息如下： 嘉嘉说：每本笔记本比每支笔贵2元． 淇淇说：用100元购买笔记本的数量与用80元购买笔的数量相同． (1)分别求笔记本和笔的单价． (2)本次活动需要两种奖品共20个，总费用不超过180元，问最多可购买笔记本多少本？ 题型八 分式方程的其他应用（共5小题） 36．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车，得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两款车的续航里程均为a千米，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，求这两款车的每千米行驶费用分别为多少？ 37．臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 38．（24-25八年级上·河北沧州·期中）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为．           (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 39．2025年，能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：50升 油价：7.2元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 (1)若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多0.79元，分别求出这两款车每千米行驶的费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其它费用分别为4240元和7400元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 40．综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 题型九 分式方程的新定义问题（共5小题） 41．定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 42．（24-25八年级上·河北沧州·期中）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 43．（24-25八年级上·河北唐山·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 44．（24-25八年级上·河北邢台·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 45．（24-25八年级上·河北承德·期中）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题02 分式和分式方程实际应用专训 题型1 分式加减的应用 题型6 分式方程的经济问题 题型2 分式乘除的应用 题型7 分式方程的和差倍分问题 题型3 列分式方程 题型8 分式方程的其他应用 题型4 分式方程的行程问题 题型9 分式方程的新定义问题 题型5 分式方程的工程问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式加减的应用（共5小题） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算的应用，根据“现在购买的数量原来购买的数量”和“购买数量总价单价”列出代数式． 【详解】解：依题意， 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ）        A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可. 【详解】由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B 【点睛】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）图1中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形）．图2中阴影部分的面积为（边长为a的大正方形中有一个长为a、宽为b的小长方形），，设，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、因式分解的应用等知识点，根据题意得到是解答本题的关键．根据题意可得，，从而得到，再根据，可得，从而得到的取值范围即取值范围． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期中）为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（） (1)求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差． (2)若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？ 【答案】(1)米/天 (2)天 【分析】本题考查了分式加减乘除运算的实际应用，找到题中的数量关系是解题的关键． （1）根据工作效率等于工作量除以工作时间，分别求出甲乙的工作效率即可求解； （2）求出甲、乙合作的工作效率，用总的工作量除以合作工作效率即可求解； 【详解】（1）解： 一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成， 甲工程队的工作效率为米/天，乙工程队的工作效率为米/天， 甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天． 答：甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天． （2）解：甲、乙工程队一起完成这项工程，工作效率为， 则完成工程需要的时间为：（天） 答：若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要天． 5．将克糖放入一杯水中，得到克糖水（）． (1)糖水的浓度为_____________； A．        B．        C． (2)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_________； (3)请证明（2）中的不等式成立． 【答案】(1)B (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）根据“糖水浓度糖糖水”，即可求解； （2）先表示出加入克糖后，糖水的浓度为：，根据糖水变甜，浓度变大，得出； （3）利用作差法进行证明即可． 【详解】（1）解：糖水的浓度为：， 故选：B； （2）再往杯中加入克糖后，糖水的浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ， 故答案为：； （3）证明： ，， ，， ， 即． 题型二 分式乘除的应用（共5小题） 6．（24-25八年级下·河北保定·期中）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，先分别求出两者的速度，再求比值即可． 【详解】解：甲完成次运算用时秒，故速度为次/秒， 乙完成倍于甲的次数，即次，用时秒，故速度为次/秒， ， 因此，甲平台的运算速度是乙平台的倍， 故选：B． 7．（24-25八年级上·河北沧州·期中）学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A．1.7 B．1.4 C．1.3 D．1.2 【答案】D 【分析】本题考查了浓度，分式的除法等知识，设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为，根据浓度=溶质质量÷溶液体积可得出原浓度，新浓度为，然后发局分式的除法法则计算即可． 【详解】解：设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为， 则原浓度，新浓度为， ∴浓度变化的倍数为， 即中药的浓度变为原来的1.2倍， 故选：D． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示： （1） ， ； （2）是的 倍． 【答案】 【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键． 先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量即可． 【详解】解：由题意得： “丰收1号”的面积为； “丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为； “丰收2号”的单位面积产量为 因此，所求的倍数为 故答案为：， ，． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）“远宏”服装厂用一种布料做衣服，m米可做a件上衣，n米可做3a条裤子，那么一件上衣的用料是一条裤子用料的 倍． 【答案】 【分析】求一件上衣的用料是一条裤子用料的多少倍，应先把各自的用料多少表示出来．一件上衣的用料是米；一条裤子用料是米；将两个式子相除即可． 【详解】解：由题意可得，一件上衣的用料是，一条裤子用料的， ∵， ∴一件上衣的用料是一条裤子用料的倍， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列代数求解，解题的关键在于能够准确根据题意列出代数式进行求解. 10．（24-25八年级下·河北保定·期中）嘉琪利用长方形纸片做拼接游戏． (1)如图1，将长方形纸片沿着裁剪后拼成不规则图形．正方形的边长为． ①请将长方形纸片的面积因式分解长方形的面积，． ②的值为__________． (2)如图2，长方形的面积，在（1）的条件下，化简，并根据化简结果确定与之间的大小关系． 【答案】(1)①；②2 (2)， 【分析】本题考查因式分解的应用，分式运算的应用； （1）①，再利用平方差公式分解即可； ②由长方形的面积，得到长方形的宽，长，由不规则图形可得，，据此求解即可； （2）把和代入计算即可． 【详解】（1）解：① ． ②∵长方形的面积， ∴长方形的宽，长， 由不规则图形可得，， ∴， 故答案为：； （2）解： ； ， ， ． 题型三 列分式方程（共5小题） 11．已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间工作总量工作效率． 设甲每天做x个零件，根据甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设甲每天做x个零件，根据题意得： ； 故选A． 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到900里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规定的时间为多少天？马的速度为多少？下列说法错误的是（ ） A．设规定的时间为x天，所列方程为 B．设慢马的速度为y里/天，所列方程为 C．快马用了4天送达 D．慢马用了8天送达 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列分式方程．设规定时间为x天，慢马用时天，快马用时天，根据速度关系列分式方程得，；设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为2y里/天，根据时间关系列分式方程得，；求解方程，然后进行判断作答即可． 【详解】解：依题意得，；选项A正确，故不符合题意； 解得：， 经检验，是原方程的解， 则快马用了天送达，慢马用了天送达， 选项C，选项D正确，故不符合题意； 设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为2y里/天， 依题意得，选项B错误，故符合题意； 故选： 13．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）某船往返于某段河流，顺流航行千米与逆流航行千米用时相同，已知水流速度为每小时千米．设船的静水速度是每小时千米，根据题意，可得方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设船在静水中的速度是x千米/时，根据顺流航行千米与逆流航行千米用时相同，列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设船在静水中的速度是x千米/时．由题意得： ． 故答案为 ． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口．    【答案】琳琳 【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解答本题的关键． 设琳琳从到的速度为，则从到的速度为，根据从到的时间为从到时间的一半可列分式方程，求出的值，再分别计算出琳琳和华华到达出口的时间进行比较即可得出答案． 【详解】解：设琳琳从到的速度为，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 琳琳所用的时间为：， 华华所用的时间为：， ， 琳琳先到达出口， 故答案为：琳琳． 15．下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 【答案】(1)每个小组学生的人数；原计划每名学生做的彩旗数 (2)每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗 【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系，列出方程． （1）根据所列出方程结合题意和等量关系即可判定未知数所表示的量； （2）选择一个方程进行求解即可． 【详解】（1）解：冰冰同学所列方程为，则表示每个小组学生的人数； 庆庆同学所列方程为，则原计划每名学生做的彩旗数； 故答案为：表示每个小组学生的人数； 表示原计划每名学生做的彩旗数； （2）解：方法一：解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴（个）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗； 方法二：解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴（人）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗． 题型四 分式方程的行程问题（共5小题） 16．（24-25八年级上·河北承德·期中）小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？ (2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？ 【答案】(1)小明步行的速度是80米/分 (2)小明不能在球赛开始前赶到体育馆 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确找出题目中的等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为米/分，根据题意列出分式方程求解即可； （2）求出小明总共需要的时间进行比较即可． 【详解】（1）解：设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为米/分， 根据题意得：， 解得： 经检验是原方程的解． 答：小明步行的速度是米/分． （2）解：根据题意得，小明总共需要： ． 答：小明不能在球赛开始前赶到体育馆． 17．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，嘉嘉家和淇淇家分别在点，处，学校在点处，，．嘉嘉和淇淇同时从自家出发匀速去学校，嘉嘉比淇淇的速度快． (1)若，结果二人同时到达学校，求二人的速度； (2)设淇淇的速度为，则嘉嘉和淇淇谁先到学校？ 【答案】(1)淇淇的速度为，嘉嘉的速度为 (2)淇淇先到学校 【分析】本题考查分式方程的应用，分式的加减的应用，熟练根据题意找到等量关系并列式是解题的关键． （1）设淇淇的速度为，则嘉嘉的速度为，利用二人同时到达学校进行列式求解，并验根，即可解答； （2）分别列出嘉嘉到达学校需，淇淇到达学校需，再利用分式的减法比较大小即可． 【详解】（1）解：当时，嘉嘉比淇淇的速度快， 设淇淇的速度为，则嘉嘉的速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：淇淇的速度为，嘉嘉的速度为； （2）解：∵淇淇的速度为，嘉嘉比淇淇的速度快， ∴嘉嘉的速度为， ∴嘉嘉到达学校需，淇淇到达学校需， ∵， ∴， 所以淇淇先到学校． 18．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）、两地相距，一辆汽车从地匀速开往地，实际行驶的速度比原计划的速度增加20%，结果提前到达．求汽车实际行驶的时间． 甲同学所列的方程为：； 乙同学所列的方程为：． (1)甲同学所列方程中的表示 ；乙同学所列方程中的表示 ； (2)选择甲、乙两位同学中的一个方法解答这个题目． 【答案】(1)汽车原计划需行驶的时间；汽车实际行驶的时间 (2)见解析 【分析】本题考查分式方程的应用： （1）根据所列方程所用的等量关系为：实际行驶的速度比原计划的速度增加20%，得到方程右边表示的是实际速度，进而判断出未知数表示的意义即可； （2）根据分式方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：由题意和所列方程可知：表示汽车原计划需行驶的时间；表示汽车实际行驶的时间． （2）解：选择甲同学的方法，设汽车原计划需行驶的时间为，则汽车实际行驶的时间为， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：汽车实际行驶的时间为． 选择乙同学的方法，设汽车实际行驶的时间为，汽车原计划需行驶的时间为， 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：汽车实际行驶的时间为． 19．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）小明和同学相约到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小明骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小明跑步的平均速度； (2)如果小明在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，直接写出他能否在电影开始前赶到电影院？ 【答案】(1)小明跑步的平均速度为200米／分钟 (2)小明不能在电影开始前赶到电影院 【分析】本题考查了分式方程的应用，这样的问题中，一般有两个等量关系，一个等量关系用来确定题中的两个未知数之间的关系，一个等量关系用来列方程求解．注意解分式方程的应用题一定要检验求得的解是否是原分式方程的解且是否符合题意． （1）设小明跑步的平均速度为米／分钟，用含的式子表示骑车的时间和跑步的时间，根据骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟列方程求解即可； （2）计算出骑车的时间，跑步的时间及找票的时间的和，与25分钟作比较即可解答． 【详解】（1）解：设小明跑步的平均速度为米／分钟，则骑车的平均速度为米／分钟， 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：小明跑步的平均速度为200米／分钟． （2）解：跑步的时间：分钟， 骑车的时间：分钟， ， ∴小明不能在电影开始前赶到电影院． 20．（24-25八年级上·河北邢台·期中）“”即“城市漫步”是当代年轻人中流行的一种城市微旅游方式．嘉嘉和淇淇环湖进行城市漫步，欣赏沿途的风光，环湖公路全长，两人从同一地点同时向相反方向出发，相遇时嘉嘉运动手环显示走过的路程为，速度比淇淇运动手环显示的速度快．设嘉嘉的速度为，根据以上信息完成下列问题： 嘉嘉 淇淇 路程 6 ______________ 速度 x ______________ (1)补全表格信息． (2)求嘉嘉的速度． 【答案】(1)4， (2) 【分析】考查了代数式和分式方程在实际问题中的应用，准确通过代数式来表示问题中的数量关系，并列出方程是解题的关键； （1）根据公路全长和两人出发的方向，即可得出琪琪走过的路程，根据嘉嘉速度比淇淇运动手环显示的速度快，即可表示出淇淇运动的速度； （2）根据题意，找出等量关系，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：环湖公路全长，两人从同一地点同时向相反方向出发，相遇时嘉嘉运动手环显示走过的路程为， ∴淇淇走过的路程为， ∵嘉嘉速度比淇淇运动手环显示的速度快，设嘉嘉的速度为， ∴淇淇运动手环显示的速度为， 补全表格如下： 嘉嘉 淇淇 路程 6 4 速度 x 故答案为：4，； （2）由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：嘉嘉的速度为． 题型五 分式方程的工程问题（共5小题） 21．某工厂计划生产3600个零件，现有甲、乙两个车间都具备生产能力．已知甲车间单独生产完成这批零件比乙车间单独生产完成这批零件多用6天；乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.5倍． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产的零件数量； (2)若甲车间生产的费用是每天1000元，乙车间生产的费用是每天1800元．若工厂计划让甲、乙两个车间共同生产这批零件，且总费用不超过19000元，则甲车间最少生产多少天？ 【答案】(1)甲车间每天生产的零件数量为200个，则乙车间每天生产的零件数量为300个 (2)甲车间最少生产13天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设甲车间每天生产的零件数量为x个，则乙车间每天生产的零件数量为1.5x个，根据题意得出分式方程，解方程即可； （2）设甲车间最少生产a天，根据题意得出，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲车间每天生产的零件数量为x个，则乙车间每天生产的零件数量为1.5x个， 根据题意得， 解得， 经检验：是原分式方程的解． ∴（个） 即甲车间每天生产的零件数量为200个，则乙车间每天生产的零件数量为300个． （2）设甲车间最少生产a天．根据题意， 得， 解得， 答：甲车间最少生产13天． 22．为改善校园生态环境，某校计划对校园内面积为1000平方米的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队每天完成绿化面积是乙工程队每天完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为480平方米的绿化时，甲工程队比乙工程队少用6天． (1)求甲、乙两工程队每天完成绿化面积分别是多少平方米； (2)若甲工程队工作一天需付费万元，乙工程队工作一天需付费万元，要使这次绿化总费用不超过7万元，至少应安排甲工程队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天完成绿化面积是80平方米，乙工程队每天完成绿化面积是40平方米 (2)至少应安排甲工程队工作10天 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意找准数量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是平方米，根据工作时间总工作量工作效率，结合在独立完成面积为480平方米区域的绿化时甲队比乙队少用6天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设应安排甲队工作天，则需安排乙队工作天，根据总费用每天费用工作时间结合这次的绿化总费用不超过7万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙工程队每天完成绿化面积为平方米，则甲工程队每天完成绿化面积为平方米，根据题意： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以 答：甲工程队每天完成绿化面积是80平方米，乙工程队每天完成绿化面积是40平方米． （2）解：设安排甲工程队工作天，则安排乙工程队工作天，根据题意： ， ， 解得：， 答：至少应安排甲工程队工作10天． 23．（24-25八年级上·河北沧州·期中）甲、乙二人加工同一种零件，甲加工1200个零件所用的时间是乙加工800个零件所用的时间的，已知甲每小时比乙多加工10个零件． (1)求甲、乙每小时各加工多少个零件？ (2)现有1720个零件需要加工，要求20小时之内完成任务，甲、乙合作加工一段时间后甲有事离开，剩下的任务由乙单独完成，若要在规定时间内完成任务，甲至少需要加工几小时才能离开？ 【答案】(1)甲每小时加工60个零件，乙每小时加工50个零件 (2)甲至少需要加工12小时才能离开 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工个零件，根据甲加工1200个零件所用的时间是乙加工800个零件所用的时间的，列出分式方程，解方程即可； （2）设甲需要加工a小时才能离开，根据现有1720个零件需要加工，甲、乙合作加工一段时间后甲有事离开，剩下的任务由乙单独完成，要在规定时间内完成任务，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工个零件 根据题意，得， 解方程得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：甲每小时加工60个零件，乙每小时加工50个零件； （2）解：设甲工作a小时离开， ， 解不等式得，， ∴甲至少需要加工12小时才能离开． 24．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）随着科技的创新，高铁建设领域也随之改革，某建筑集团承接了高铁线路的革新工作．以下是记者与工程师的一段对话： 记者：听说你们在高铁线路工作中，技术进行了创新，工作效率取得了显著提升？ 工程师：是的，现在甲工程队使用新技术，单独完成这项工程，刚好按规定工期完成． 乙工程队技术还没革新，单独完成这项工程要比规定工期多用7天． 记者：这听起来效率有了很大的提升，那甲、乙两工程队的工程款有怎样的区别？ 工程师：每施工一天，需付甲工程队工程款2.8万元，付乙工程队工程款2.1万元．现在工程领导小组出于实际的考虑，可有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成这项工程； 方案二：乙队单独完成这项工程； 方案三：若由甲、乙两队合作做6天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工． 通过以上对话，请你回答下列问题： (1)求这项工程的规定工期； (2)如果要求正好按规定工期完工，你认为工程小组将选择哪一种方案？并说明理由． 【答案】(1)天 (2)选择方案三，理由为既节省了工程款且又能如期完工． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用； （1）设完成这项工程的规定时间为 x 天，则甲队单独完成这项工程为x天，乙队单独完成这项工程为天，然后根据“甲、乙两队合作做6天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工”列分式方程求解即可； （2）根据题意可知有方案一和方案三符合条件，然后分别求出方案一和方案三的工程款，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：设完成这项工程的规定时间为 x 天，则甲队单独完成这项工程为x天，乙队单独完成这项工程为天 由题意得：， 解得： 经检验： 是原分式方程的解． 答：完成这项工程的规定时间为天． （2）解：如期完工时，只有方案一和方案三符合条件 方案一工程款： (万元) 方案三工程款： (万元) ∵ ∴选择方案三． 答∶选择方案三，理由为既节省了工程款且又能如期完工． 25．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植的草地，已知2班每小时比1班多制作的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍，求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整． 小聪：设1班每小时种植的草地，所列方程为：_____； 小薏：设_____，所列方程为：_____； (2)任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少的草地： (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【答案】(1)；2班所用时间为y小时；6 (2)1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地 (3)两班速度保持不变，他们不能在乘车前完成任务；理由见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可； （2）解分式方程即可； （3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果． 【详解】（1）解：小聪：设1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地，所列方程为：； 小薏：设2班所用时间为y小时，则1班所用时间为，所列方程为：； （2）小聪：解：设1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地； 小薏：解：设2班所用时间为y小时，则1班所用时间为，根据题意得： ， 解得：； 经检验是原方程的解， ∴，； 答：1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地； （3）解：不能；1小时20分钟小时 1班已完成：； 2班已完成：； 还剩余：； 两队合作1小时可完成：， ∵， ∴两班速度保持不变，他们不能在乘车前完成任务． 题型六 分式方程的经济问题（共5小题） 26．（24-25七年级下·河北·期中）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 ． (1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．若建造这90个摊位的费用不低于10300 元，该社区共有几种建造方案？ 【答案】(1)A类5平方米，B类3平方米 (2)3种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，由题意：用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．列出分式方程，解方程即可； （2）设类摊位的数量为个，则类摊位的数量为个，由题意：B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍，建造这90个摊位的总费用不超过10300元，列出一元一次不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：每个类摊位占地面积为5平方米，每个类摊位占地面积3平方米． （2）解：设类摊位的数量为个，则类摊位的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴或21或22． ∴或69或68， 方案一：建造A类摊位20个，建造B类摊位70个； 方案二：建造A类摊位21个，建造B类摊位69个； 方案三：建造A类摊位22个，建造B类摊位68个． ∴该社区共有3种建造方案． 答：社区共有3种建造方案． 27．（24-25八年级上·河北邢台·期中）红星中学为学生开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)菜苗基地每捆菜苗的价格是多少元？ (2)从学校到菜苗基地有，而市场就在红星中学旁边，去菜苗基地购买菜苗往返的路费是1元，拉上菜苗返回时的保鲜费为元，而从市场购买不需要任何额外费用．红星中学开辟了3亩耕种园，每亩需要菜苗50捆．请通过计算说明学校应该去菜苗基地还是市场更合算． 【答案】(1)20 (2)市场购买合算 【分析】本题考查分式方程与费用方案的实际应用，解题关键是通过设未知数列分式方程求基地菜苗价格，再分别计算两种采购方式费用比较 ． （1）设菜苗基地每捆菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的菜苗比在菜苗基地购买的少3捆，列方程即可解答； （2）先算市场菜苗单价，再分别计算市场购买总费用、基地购买总费用，比较两者大小判断哪种合算 ． 【详解】（1）解：设菜苗基地每捆菜苗的价格是x元， 由题意列方程得： 解得： 经检验是原分式方程的根． 答：菜苗基地每捆菜苗的价格是20元． （2）解：市场价：（元） 市场费用：（元） 基地费用：（元） 所以在市场购买合算． 28．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有A、B两种型号的健身器材可供选择．已知每套B型健身器材的价格比每套A型健身器材的价格多万元，用6万元购买A型健身器材的数量与用9万元购买B型健身器材的数量相等． (1)求每套A型健身器材的价格； (2)若市政府计划采购这两种健身器材共15套，总费用不超过20万元，则购买A型健身器材最少多少套？ 【答案】(1)每套A型健身器材的价格是1万元； (2)购买A型健身器材最少5套． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）每套A型健身器材的价格是x万元，则每套B型健身器材的价格是万元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型健身器材m套，则购买B型健身器材套，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A型健身器材的价格是x万元，则每套B型健身器材的价格是万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每套A型健身器材的价格是1万元； （2）设购买A型健身器材m套，则购买B型健身器材套，依题意得：． 解得：． 答：购买A型健身器材最少5套． 29．（24-25八年级下·河北保定·期中）“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 【答案】(1)①买到的竹条捆数为，；②， (2)个 【分析】（）①根据题意解答即可；②利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （）根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：①方案中“■”处的内容是买到的竹条捆数为，“▲”处的内容为， 故答案为：买到的竹条捆数为，； ②设彩纸每包元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴彩纸每包元，竹条每捆元， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴嘉琪每天可以制作小龙舟个． 30．（24-25八年级上·河北保定·期中）2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，为激发学生探索科学奥秘的兴趣，某中学购入，两款物理实验套装．已知用12000元购进款实验套装的数量比用5000元购进款实验套装的数量多50个，且款实验套装的单价是款实验套装的单价的1.2倍．求，两款实验套装的单价． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程． 甲：． 乙：． 则甲所列方程中的表示______，乙所列方程中的表示______； (2)任选其中一种方法，求，两款实验套装的单价． 【答案】(1)款实验套装的数量；购买款实验套装的单价 (2)款实验套装的单价为元，款实验套装的单价为元 【分析】本题考查分式方程的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）根据方程表示的意义，进行作答即可； （2）分别解分式方程并检验即可． 【详解】（1）解：对于甲：表示的是：款实验套装的单价是款实验套装单价的倍， ∴分别表示款实验套装和款实验套装的单价， ∴表示款实验套装的数量； 对于乙：表示的是：款实验套装的数量比款实验套装的数量多50个， ∴，分别表示表示款实验套装和款实验套装的数量， ∴表示购买款实验套装的单价； 故答案为：款实验套装的数量；购买款实验套装的单价； （2）解：选甲： ， 经检验，是原分式方程的解， 则（元），（元）； 选乙： ， 经检验，是原分式方程的解， 则（元） 答：款实验套装的单价为元，款实验套装的单价为元． 题型七 分式方程的和差倍分问题（共5小题） 31．（24-25八年级下·河北保定·期中）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 【答案】(1)文学书的价格，文学书数量，这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； (2)最多购进科普书80本 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用15元购买科普书的数量比用15元购买文学书的数量少1本，即可得出关于的分式方程； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本，利用等量关系：科普书单价=文学书单价×，即可得出关于的分式方程； （2）设购进科普书本，则购买本文学书，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小卓所列方程中的所表示的含义为文学书的价格； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小越所列方程中的所表示的含义为购买文学书的数量； 故答案为：文学书的单价；购买文学书的数量； （2）解：设购进科普书本，则购买本文学书， 依题意得：， 解得：． 答：最多购进科普书80本． 32．某玩具生产厂家接到制作3600个“冰墩墩”的订单，但是在实际制作时，实际每天制作的个数是原计划的倍，结果提前10天完成，求实际每天制作“冰墩墩”的个数． (1)设实际每天制作“冰墩墩”个，可得方程，则 ； (2)若，请利用方程解决问题． 【答案】(1)1.25 (2)180个 【分析】本题考查了分式方程的应用，解分式方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出分式方程，从而进行解题，注意解分式方程时需要检验． （1）由题意，先求出的值，然后计算出实际每天的工作量和原计划的工作量，即可求出答案； （2）设实际每天制作“冰墩墩”y个，然后列出分式方程，解分式方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，则 ∵， 解方程得：； 经检验，是原分式方程的解； ∴实际每天制作“冰墩墩”90个； ∴原计划所需要的时间为：（天）， ∴原计划每天制作“冰墩墩”为：（个）； ∴； 故答案为：1.25． （2）解：设实际每天制作“冰墩墩”y个，则原计划每天制作“冰墩墩”个； ， 解方程得：； 经检验，是原分式方程的解； ∴实际每天制作“冰墩墩”180个． 33．某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2025年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． (1)原计划每年产量为多少万台？ (2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2025年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 【答案】(1)原计划每年产量为万台 (2)实际平均每年产量至少还要增加万台 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台，根据“预计可提前2年完成任务”列出分式方程，解分式方程即可得出答案； （2）由（1）可得，实际每年产量就是万台，设实际平均每年产量至少还要增加万台，根据“要求从2025年初后续不超过5年完成”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ∴原计划每年产量为万台； （2）解：由（1）可得，实际每年产量就是万台， 设实际平均每年产量至少还要增加万台， 由题意得：， 解得：， ∴实际平均每年产量至少还要增加万台． 34．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程： 小聪： 小慧： 则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______． (2)任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务． 【答案】(1)甲队每小时制作麦草方格的数量；乙队完成任务所需时间 (2)甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块 (3)不能，每小时至少多做12块 【分析】本题考查分式方程的应用： （1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可； （2）解分式方程即可； （3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果． 【详解】（1）解：小聪所列方程，运用的等量关系为：甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍， 故x表示甲队每小时制作麦草方格的数量 小慧所列方程，运用的等量关系为：乙队每小时比甲队多制作6块， 故x表示乙队完成任务所需时间； （2）解：，得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块； 解：，得：； 经检验是原方程的解， ∴，； 答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块； （3）不能；1小时20分钟小时 甲队已完成：（块）； 乙队已完成：（块）； 还剩余：（块）； 两队合作1小时可完成：（块）， ， 故不能完成； （块）； 答：两队合作后每小时至少需要多做2块才能保证在乘车前完成任务． 35．（24-25八年级上·河北保定·期中）学校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让嘉嘉和淇淇到超市购买笔记本和笔作为奖品．二人与老师的对话信息如下： 嘉嘉说：每本笔记本比每支笔贵2元． 淇淇说：用100元购买笔记本的数量与用80元购买笔的数量相同． (1)分别求笔记本和笔的单价． (2)本次活动需要两种奖品共20个，总费用不超过180元，问最多可购买笔记本多少本？ 【答案】(1)每本笔记本10元，每支笔8元． (2)最多可以购买10本笔记本． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准不等量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1支笔为x元，则1本笔记本为元．利用数量=总价÷单价，根据用100元购买笔记本的数量与用80元购买笔的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可求解； （2）设购买笔记本m本，则购买笔支，根据总费用不超过180元，列出不等式，再解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设1支笔为x元，则1本笔记本为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是分式方程的解， （元）． 答；每本笔记本10元，每支笔8元． （2）解：设购买笔记本m本，则购买笔支． 根据题意，得， 解得． 答：最多可以购买10本笔记本． 题型八 分式方程的其他应用（共5小题） 36．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车，得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两款车的续航里程均为a千米，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，求这两款车的每千米行驶费用分别为多少？ 【答案】燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元 【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．设两款车的续航里程均为a千米，根据燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元列分式方程求解并检验即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元），（元） 答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元． 37．臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 【答案】(1)大蒜元每市斤 (2)安排名工人加工汤料包 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设大蒜元每市斤，列方程求解即可； （2）设安排名工人加工汤料包，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大蒜元每市斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大蒜元每市斤； （2）解：设安排名工人加工汤料包， 根据题意得：， 解得：， 答：安排名工人加工汤料包． 38．（24-25八年级上·河北沧州·期中）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为．           (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)整数的值为或． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的应用． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 39．2025年，能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：50升 油价：7.2元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 (1)若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多0.79元，分别求出这两款车每千米行驶的费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其它费用分别为4240元和7400元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1)燃油车每千米的行驶费为元，新能源汽车每千米的行驶费为元 (2)行驶里程超过时，买新能源汽车的年费用更低 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元．列出分式方程，求出，即可解决问题； （2）设每年行驶的里程为x千米，根据新能源车的年费用更低，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 当时，， ， 答：燃油车每千米的行驶费为元，新能源汽车每千米的行驶费为元； （2）解：设每年行驶里程为，依题意得： ， 解得， 答：行驶里程超过时，买新能源汽车的年费用更低． 40．综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 【答案】(1)不一样 (2)克 【分析】此题考查了分式的性质，分式方程的应用，解题的关键是正确列式． （1）根据题意表示出加入了克糖后的浓度，进而求解即可； （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）不一样． 理由：七分糖奶茶甜度为， 在五分糖奶茶加入克糖后的甜度为． ，， （即）， 七分糖奶茶甜度与这杯奶茶甜度不一样． （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样， 依题意，得， 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 答：需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样． 题型九 分式方程的新定义问题（共5小题） 41．定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【答案】(1)是，， (2)①10；② 【分析】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为，再代值求解即可． 【详解】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 42．（24-25八年级上·河北沧州·期中）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 43．（24-25八年级上·河北唐山·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2)有可能， (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“友好数对”的定义是解题的关键． （1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； 故答案为：×，√； （2）解：当时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 44．（24-25八年级上·河北邢台·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 45．（24-25八年级上·河北承德·期中）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值”. (2)①，②1 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； （2）解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． $