专题03 分式和分式方程易错压轴题型专训24大题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题03 分式和分式方程易错压轴题型专训 题型1 分式的相关概念 题型13 分式四则混合运算的实际应用 题型2 分式的规律性问题 题型14 分式的化简求值 题型3 分式有无意义的条件 题型15 解分式方程 题型4 分式值为零的条件 题型16 根据分式方程解的情况求值 题型5 分式的求值 题型17 分式方程的实际应用 题型6 根据分式值的情况求解 题型18 分式化简中的求整问题（压轴） 题型7 分式的基本性质 题型19 分式化简中的“倒数型”问题（压轴） 题型8 分式的分子分母化简问题 题型20 分式化简中的整体代换（压轴） 题型9 约分与通分 题型21 分式方程解的含参问题（压轴） 题型10 最简分式与最简公分母 题型22 分式方程的增根无解问题（压轴） 题型11 分式的四则混合运算 题型23 分式方程的实际应用（压轴） 题型12 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型24 分式方程的新定义问题（压轴） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式的相关概念（共3小题） 1．（24-25八年级上·河北沧州·期中）下列各式：，，，，，，其中分式有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）对于代数式，有甲、乙两种判断，下列说法正确的是（     ） 甲：是分式，因为是整式，且分母中含有字母． 乙：是整式，因为，而1是整式． A．甲对、乙不对 B．乙对、甲不对 C．甲和乙均对 D．甲和乙均不对 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）请你写出一个满足下述两个特点的分式： ． ①这个分式中只含有字母；②当时，分式的值是0． 题型二 分式的规律性问题（共3小题） 4．（2025八年级上·全国·期中）给定一列分式：，，，﹣，……，（其中x≠0）用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是____；根据你发现的规律，试写出第9个分式_____． 5．一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 (用含的n式子表示，n为正整数)． 6．观察下面一列分式：，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 题型三 分式有无意义的条件（共3小题） 7．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若分式有意义，则（   ） A．x一定是2 B．x一定是 C．x一定不是2 D．x一定不是 8．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若分式有意义，则的取值范围为 ． 9．（24-25八年级上·山东烟台·期中）若分式有意义，则的取值范围是 题型四 分式值为零的条件（共3小题） 10．（24-25八年级上·山西忻州·期中）若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B． C．0 D．2 11．（24-25八年级上·河北唐山·期中）根据下列表格信息，y可能为（   ） x … 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）写出一个同时满足下列条件的分式： ． ①只含有字母，且当时无意义； ②当，分式的值为0． 题型五 分式的求值（共3小题） 13．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知，则的值为（   ） A．14 B． C．7 D．4 15．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知：，则 ． 题型六 根据分式值的情况求解（共3小题） 16．（24-25八年级上·河北沧州·期中）分式的值为负数，求的取值范围 ． 17．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知分式的值为正数，则x的取值范围是 18．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知：代数式 (1)当m为何值时，该式无意义？ (2)若该式的值为正数，求m的取值范围； 题型七 分式的基本性质（共3小题） 19．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如果把的x与y（x，y均为正数）都扩大到原来的5倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的 20．（24-25八年级上·河北保定·期中）填空 21．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 ． 题型八 分式的分子分母化简问题（共3小题） 22．（24-25八年级上·河北保定·期中）下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 23．（24-25八年级上·河北沧州·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·河北衡水·期中）在括号内填上适当的整式：，括号内应该填 题型九 约分与通分（共3小题） 25．（24-25八年级上·河北沧州·期中）化简分式的结果是 ． 26．（2025·河北衡水·模拟预测）化简的结果是 ． 27．（2025八年级上·全国·期中）（1）约分：．     （2）通分：和． 题型十 最简分式与最简公分母（共3小题） 28．判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 29．直接写出下列各组分式的最简公分母： (1)；__________ (2)；__________ (3)；__________ (4)；__________ (5)．__________ 30．确定最简公分母： （1）分式与的最简公分母是 ； （2）分式与的最简公分母是 ； （3）分式的最简公分母是 ； （4）分式与的最简公分母是 ． 题型十一 分式的四则混合运算（共3小题） 31．（24-25八年级上·河北沧州·期中）化简：． 32．（24-25八年级下·陕西西安·期中）化简： 33．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算： (1)； (2)． 题型十二 已知分式恒等式，确定分子或分母（共3小题） 34．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知，求的值． 35．（24-25八年级下·河南新乡·期中）等式对于任何使分母不为0的x均成立，求A、B的值． 36．（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知，求的值. 题型十三 分式四则混合运算的实际应用（共3小题） 37．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 38．现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？ 39．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）先化简：，再从中任选一个数，求式子的值． （2）甲、乙两地间的公路全长100千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示： ①此人从甲地到乙地需要走______小时； ②如果每小时多走5千米，此人从甲地到乙地需要走______小时；则此人从甲地到乙地少用______小时． 题型十四 分式的化简求值（共3小题） 40．（24-25八年级上·河北·期中）下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 当时，原式．…第四步 (1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解题过程． 41．（24-25八年级上·河北唐山·期中）有一道习题的解答过程如图所示，其中是整式． 习题：计算： 解：原式= =…… (1)求整式； (2)写出原习题正确的解答过程． 42．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下面展示的是嘉嘉学案纸上的一道例题及其正确的部分解答过程，其中M被墨水污染了，嘉嘉只记得M是单项式． 例：先化简，再求值：，其中． 解：原式 (1)单项式__________． (2)将解答过程补充完整． 题型十五 解分式方程（共3小题） 43．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）解下列分式方程 (1) (2) 44．（24-25八年级上·河北沧州·期中）解分式方程 (1) (2) 45．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法_____，小迪的解法_____；（填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 题型十六 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 46．（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知关于的方程的解为，则处可能为（　　） A． B． C． D． 47．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 48．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知关于的分式方程的解是非负数,那么的取值范围． 题型十七 分式方程的实际应用（共3小题） 49．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少0.3万元，且用12万元购买型充电桩与用18万元购买型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过15万元，且A型充电桩购买数量不超过12个．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 50．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知点、、在同一直线上，，，甲、乙两人同时从地出发，同向而行，分别前往地和地，甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地．    (1)设甲的速度为，完成下表： 路程 速度 时间 甲 乙 __________ (2)求甲、乙的速度． 51．（24-25八年级上·河北沧州·期中）2025年第31大学生夏季运动会终在成都学办，吉祥物“蓉宝”，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬，深受大众喜爱，与吉祥物有关的纪念品现已上市．某商店第一次用3000元购进一批“蓉宝”玩具；该商店第二次购进“蓉宝”玩具时，进价提高了，同样用了3000元，购进的数量比第一次少了10件． (1)求第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价； (2)若两次购进的“蓉宝”玩具每件售价为70元，且全部售完，求两次的总利润． 题型十八 分式化简中的求整问题（压轴）（共3小题） 52．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 53．（24-25八年级上·山东烟台·期中）若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 54．（24-25八年级上·山东东营·期中）阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 题型十九 分式化简中的“倒数型”问题（压轴）（共3小题） 55．【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 56．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 57．（2025八年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料： 消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法． (1)已知，，则______； (2)已知，，求证：； (3)已知（其中、、互不相等），求的值． 题型二十 分式化简中的整体代换（压轴）（共3小题） 58．（24-25八年级上·河北沧州·期中）请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 59．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：______ (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 60．（24-25八年级上·河北保定·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便的解决方法． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值． 题型二十一 分式方程解的含参问题（压轴）（共3小题） 61．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 62．（2024八年级上·全国·期中）已知关于的分式方程的解满足，且为整数，则符合条件的所有值的乘积为（  ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 63．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 题型二十二 分式方程的增根无解问题（压轴）（共3小题） 64．（24-25八年级上·河南周口·期中）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 65．若关于x的方程无解，则m的值为 ． 66．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 题型二十三 分式方程的实际应用（压轴）（共3小题） 67．综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 68．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4 800元．若甲、乙两车单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的2倍，已知乙车每趟运费比甲车少200元． (1)分别求出甲、乙两车每趟的运费； (2)若单独租用甲车运完此堆垃圾，需多少趟？ (3)若同时租用甲、乙两车，则甲车运x趟，乙车运y趟，才能运完此堆垃圾，其中x，y均为正整数． ①当x＝10时，y＝ ；当y＝10时，x＝ ； ②用含x的代数式表示y； 探究： (4)在(3)的条件下： ①用含x的代数式表示总运费w； ②要想总运费不大于4 000元，甲车最多需运多少趟？ 69．（2025八年级上·全国·期中）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 题型二十四 分式方程的新定义问题（压轴）（共3小题） 70．（24-25八年级上·河北沧州·期中）对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 71．（24-25八年级上·河北沧州·期中）对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ． 72．（24-25八年级上·河北唐山·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题03 分式和分式方程易错压轴题型专训 题型1 分式的相关概念 题型13 分式四则混合运算的实际应用 题型2 分式的规律性问题 题型14 分式的化简求值 题型3 分式有无意义的条件 题型15 解分式方程 题型4 分式值为零的条件 题型16 根据分式方程解的情况求值 题型5 分式的求值 题型17 分式方程的实际应用 题型6 根据分式值的情况求解 题型18 分式化简中的求整问题（压轴） 题型7 分式的基本性质 题型19 分式化简中的“倒数型”问题（压轴） 题型8 分式的分子分母化简问题 题型20 分式化简中的整体代换（压轴） 题型9 约分与通分 题型21 分式方程解的含参问题（压轴） 题型10 最简分式与最简公分母 题型22 分式方程的增根无解问题（压轴） 题型11 分式的四则混合运算 题型23 分式方程的实际应用（压轴） 题型12 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型24 分式方程的新定义问题（压轴） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式的相关概念（共3小题） 1．（24-25八年级上·河北沧州·期中）下列各式：，，，，，，其中分式有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，中，分母不含有字母，不是分式； ，，分母中含有字母，是分式，共3个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）对于代数式，有甲、乙两种判断，下列说法正确的是（     ） 甲：是分式，因为是整式，且分母中含有字母． 乙：是整式，因为，而1是整式． A．甲对、乙不对 B．乙对、甲不对 C．甲和乙均对 D．甲和乙均不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义即可解答． 【详解】解：∵因为是整式，且分母中含有字母， ∴代数式是分式，即甲对、乙不对． 故选A． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）请你写出一个满足下述两个特点的分式： ． ①这个分式中只含有字母；②当时，分式的值是0． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查分式值为零的条件，分式的定义；根据分式值为零的条件，分子为0，分母不为0，进行解答即可． 【详解】解：分式中只含有字母且当时，分式的值是0的分式为：； 故答案为：． 题型二 分式的规律性问题（共3小题） 4．（2025八年级上·全国·期中）给定一列分式：，，，﹣，……，（其中x≠0）用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是____；根据你发现的规律，试写出第9个分式_____． 【答案】； 【分析】观察分式的特点，分子均是的次方，分母均是的整数次方，奇数项为正，偶数项为负，按此规律可解题. 【详解】给定一列分式：，，，﹣，……，（其中x≠0）用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是； 根据你发现的规律，试写出第9个分式， 故答案为：； 【点睛】本题考查数式规律、分式的除法运算，善于观察掌握题目特点是解题关键，注意符号的作用. 5．一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 (用含的n式子表示，n为正整数)． 【答案】 【分析】分母中a的次数等于分式的序次，分子为序次的平方加1，当分式的序次为奇数时，分式符号为正，当分式的序次为偶数时，分式的符号为负，根据这个规律可得第7个式子是，第n个式子是． 【详解】这列分式中的第7个式子是，第n个式子是． 故答案为；． 6．观察下面一列分式：，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第5个分式为：， 第6个分式为． （2）由已知可得第n(n为正整数)个分式为∶． 理由如下： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数， 分子的底数是x，次数是连续的奇数， ∴第n(n为正整数)个分式为． 题型三 分式有无意义的条件（共3小题） 7．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若分式有意义，则（   ） A．x一定是2 B．x一定是 C．x一定不是2 D．x一定不是 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义，则分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故选：D 8．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若分式有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山东烟台·期中）若分式有意义，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了分式的有意义的条件．分式有意义，则分母不为0，即可得出答案；解题的关键是掌握分式有意义的条件． 【详解】有意义，即分母不为0， ∴， ∴， 故答案为． 题型四 分式值为零的条件（共3小题） 10．（24-25八年级上·山西忻州·期中）若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式值为零的情况．根据分式的值为0的条件，得到且，解之即可解题． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得且， 综上所述，． 故选：B． 11．（24-25八年级上·河北唐山·期中）根据下列表格信息，y可能为（   ） x … 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为0的条件和分式无意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键． 根据题意可得分式为0、分式无意义是条件，然后判断即可． 【详解】解：由表格信息可知： 当时，无意义， 排除B、C两个选项， 又当时，， ∴代入A、D两个选项中，只有A选项， 故选：A． 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）写出一个同时满足下列条件的分式： ． ①只含有字母，且当时无意义； ②当，分式的值为0． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的值为零的条件以及分式的意义．根据分母为零时分式无意义和分式的值为零的条件进行作答． 【详解】解：只含有字母，且当时无意义， 该分式的分母可以是． 当，分式的值为， 该分式的分子可以为． 故符合条件的分式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 题型五 分式的求值（共3小题） 13．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求分式的值．将分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 14．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知，则的值为（   ） A．14 B． C．7 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：． 故选：A． 15．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知：，则 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了分式的求值，由得，然后代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 题型六 根据分式值的情况求解（共3小题） 16．（24-25八年级上·河北沧州·期中）分式的值为负数，求的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 17．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知分式的值为正数，则x的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键． 18．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知：代数式 (1)当m为何值时，该式无意义？ (2)若该式的值为正数，求m的取值范围； 【答案】(1)时，该式无意义 (2) 【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案； （2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，代数式无意义； 所以时，该式无意义． （2）由题意得，该式的值为正数时，， 即． 【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题的关键． 题型七 分式的基本性质（共3小题） 19．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如果把的x与y（x，y均为正数）都扩大到原来的5倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质可把，都扩大到原来的5倍代入原式进行求解即可． 【详解】解：把，都扩大到原来的5倍代入原式得， ∴分式的值扩大到原来的5倍． 故选：B． 20．（24-25八年级上·河北保定·期中）填空 【答案】， 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 21．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 题型八 分式的分子分母化简问题（共3小题） 22．（24-25八年级上·河北保定·期中）下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 23．（24-25八年级上·河北沧州·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 24．（24-25八年级上·河北衡水·期中）在括号内填上适当的整式：，括号内应该填 【答案】 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：分式的分子分母都乘以10，得 ． 所以，括号内应填入． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题时注意：分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变． 题型九 约分与通分（共3小题） 25．（24-25八年级上·河北沧州·期中）化简分式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，将分式分子先分解因式，再约分，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 26．（2025·河北衡水·模拟预测）化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查分式化简，约分至最简形式是解题的关键．此题涉及的知识点是分式的化简，根据约分要求进行计算可得结果． 【详解】解：． 故答案为：． 27．（2025八年级上·全国·期中）（1）约分：．     （2）通分：和． 【答案】（1）；（2） 【详解】本题考查了分式的约分和通分． （1）先将原式的分子分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 解：（1）原式； （2），， 和的最简公分母是， ，． 题型十 最简分式与最简公分母（共3小题） 28．判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 【答案】(1)是 (2)不是， (3)不是， 【分析】本题考查了最简分式的判断，将分式化为最简分式． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． （1）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （2）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （3）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可． 【详解】（1）是最简分式 （2）不是最简分式， （3）不是最简分式， 29．直接写出下列各组分式的最简公分母： (1)；__________ (2)；__________ (3)；__________ (4)；__________ (5)．__________ 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． （1）（2）（3）（4）（5）根据最简公分母的定义求解即可． 【详解】（1）的最简公分母． 故答案为：； （2）的最简公分母． 故答案为：； （3）的最简公分母． 故答案为：； （4）的最简公分母． 故答案为：； （5）的最简公分母． 故答案为：． 30．确定最简公分母： （1）分式与的最简公分母是 ； （2）分式与的最简公分母是 ； （3）分式的最简公分母是 ； （4）分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了最简公分母的定义，即通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此进行解答即可． 【详解】解：（1）分式与的最简公分母是， 故答案为： （2）分式与的最简公分母是； 故答案为： （3）分式的最简公分母是； 故答案为： （4）分式与的最简公分母是． 故答案为： 题型十一 分式的四则混合运算（共3小题） 31．（24-25八年级上·河北沧州·期中）化简：． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先计算分式的除法，再计算分式的加减法即可． 【详解】解：原式． 32．（24-25八年级下·陕西西安·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解： ． 33．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意约分的灵活应用． （1）根据分式混合运算的法则进行计算即可． （2）根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式． 题型十二 已知分式恒等式，确定分子或分母（共3小题） 34．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查异分母分式的加减法，根据异分母的分式的加减法则，进行计算即可． 【详解】解：， 由题意可知：， 解得：，． 35．（24-25八年级下·河南新乡·期中）等式对于任何使分母不为0的x均成立，求A、B的值． 【答案】A=3，B=5． 【分析】根据分式的加法运算法则进行化简，然后利用待定系数法求出A与B的值． 【详解】解： ， 由题意可知：， 解得：A=3，B=5． 【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型． 36．（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知，求的值. 【答案】 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ 左边=， 右边= 所以 解得：. 把，代入，． 【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型十三 分式四则混合运算的实际应用（共3小题） 37．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 【答案】(1)两次共采购的件数为件 (2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍 【分析】本题考查分式运算的实际应用： （1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可； （2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可． 【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为， 第二次采购该商品的件数为， 所以，两次共采购的件数为（件）． （2）， 第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍． 38．现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？ 【答案】小李两次加油的平均单价更低 【分析】本题考查列代数式、分式的加减，正确列出代数式是解答的关键．先求解小李两次加油每次300元的平均单价，再求得小王两次加油30升的平均单价，然后作差比较大小即可得出结论． 【详解】解：根据题意，小李两次加油每次300元的平均单价为（元/升）， 小王两次加油30升的平均单价为（元/升）， ∴ ， ∵， ∴，则， 故小李两次加油的平均单价更低． 39．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）先化简：，再从中任选一个数，求式子的值． （2）甲、乙两地间的公路全长100千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示： ①此人从甲地到乙地需要走______小时； ②如果每小时多走5千米，此人从甲地到乙地需要走______小时；则此人从甲地到乙地少用______小时． 【答案】（1）；时，原式；时，原式； (2)①；②，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，列代数式，掌握通分，约分，速度、时间、路程三者之间的关系是解决问题的关键． （1）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把或4代入计算即可． （2）①利用路程÷速度=时间列式即可；②利用路程÷速度=时间求得速度变化前后所用时间，求得时间差即可． 【详解】（1）解： ∴取时，原式（或取，原式） （2）解：① （小时） 故答案为：． ②（小时） （小时） 故答案为：，． 题型十四 分式的化简求值（共3小题） 40．（24-25八年级上·河北·期中）下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 当时，原式．…第四步 (1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，原式的值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算分式的除法，再算加减，逐一判断即可解答； （2）先计算分式的除法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解：嘉嘉的解题过程中，从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解：正确的解题过程如下： 原式 ， 当时，原式． 41．（24-25八年级上·河北唐山·期中）有一道习题的解答过程如图所示，其中是整式． 习题：计算： 解：原式= =…… (1)求整式； (2)写出原习题正确的解答过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式加减运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （）根据分式的基本性质即可求解； （）先通分，化简后，计算即可． 【详解】（1）解：； （2）原式 ． 42．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下面展示的是嘉嘉学案纸上的一道例题及其正确的部分解答过程，其中M被墨水污染了，嘉嘉只记得M是单项式． 例：先化简，再求值：，其中． 解：原式 (1)单项式__________． (2)将解答过程补充完整． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了分式的加减法运算． （1）由解题过程知，，根据约分则可得到原式，从而确定M， （2）根据分式的加减法运算化简即可，然后将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴． （2） ＝ ＝ ＝ 当时，原式＝ 题型十五 解分式方程（共3小题） 43．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）解下列分式方程 (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解． （1）先去分母，化为一元一次方程求解，再检验即可； （2）先去分母，化为一元一次方程求解，再检验即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， 经检验：是方程的增根， ∴原方程无解； （2）解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为． 44．（24-25八年级上·河北沧州·期中）解分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1） 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 （2） 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 45．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法_____，小迪的解法_____；（填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 【答案】(1)错误，错误 (2)，过程见解析 【分析】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确， （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误； （2）解： 去分母，得 去括号得， 解得， 检验，将代入 ∴原方程的解是． 题型十六 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 46．（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知关于的方程的解为，则处可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解. 将代入原方程中解得A的值，然后将分别代入各式中判断是否等于求得的A的值即可． 【详解】解：已知关于x的方程的解为， 则， 那么， 检验： 当时，，则A不符合题意， 当时，，则B符合题意， 当时，，则C不符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：B． 47．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到，再根据方程的解为非负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得，解得， 分式方程的解为非负数， ，， 又分母不为0， ，即， ， 综上可知，且． 故选：D． 48．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知关于的分式方程的解是非负数,那么的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程,解一元一次不等式组．根据题意将整理为,再分析其结果为非负数列出关于的一元一次不等式组,即可得到本题答案． 【详解】解:, 整理得:, 移项整理得:, ∵分式方程的解是非负数,即, ∴, ∴解得且, 故答案为: 且． 题型十七 分式方程的实际应用（共3小题） 49．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少0.3万元，且用12万元购买型充电桩与用18万元购买型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过15万元，且A型充电桩购买数量不超过12个．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【答案】(1)型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.9万元 (2)共有3种购买方案，购买12个型充电桩、8个型充电桩，所需购买总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，找到题目中的数量关系是解本题关键． （1）设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元，根据“用12万元购买型充电桩与用18万元购买型充电桩的数量相等”列出方程，求解并检验方程的根即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据总费用=型单价型数量+型单价型数量，列出不等式，求出的解集，取符合题意的整数解，即可得出各购买方案，再对方案分析即可得购买总费用最少的方案． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.9万元． （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 根据题意得：， 解得：， ，且为整数， ，11，12， ∴该停车场共有3种购买方案： 方案一：购买10个型充电桩、10个型充电桩； 方案二：购买11个型充电桩、9个型充电桩； 方案三：购买12个型充电桩、8个型充电桩； ∵型充电桩的单价低于型充电桩的单价， ∴购买方案三总费用最少，最少费用（万元）， 答：共有3种购买方案，购买12个型充电桩、8个型充电桩，所需购买总费用最少． 50．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知点、、在同一直线上，，，甲、乙两人同时从地出发，同向而行，分别前往地和地，甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地．    (1)设甲的速度为，完成下表： 路程 速度 时间 甲 乙 __________ (2)求甲、乙的速度． 【答案】(1) (2)甲的速度为，乙的速度为，见解析 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程， （1）根据题意列出代数式，填表，即可求解‘ （2）根据等量关系为：乙走10千米用的时间−甲走6千米用的时间＝20分钟，列出分式方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲的速度为，则乙的速度为 ． ∴乙需要的时间为， 填表如下， 路程 速度 时间 甲 乙 （2）解：根据题意，得． 解得： 经检验，是原方程的解， ∴甲的速度为，则乙的速度为 答：甲的速度为，乙的速度为． 51．（24-25八年级上·河北沧州·期中）2025年第31大学生夏季运动会终在成都学办，吉祥物“蓉宝”，以熊猫为原型创作，手中握有“31”字样火焰的大运火炬，深受大众喜爱，与吉祥物有关的纪念品现已上市．某商店第一次用3000元购进一批“蓉宝”玩具；该商店第二次购进“蓉宝”玩具时，进价提高了，同样用了3000元，购进的数量比第一次少了10件． (1)求第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价； (2)若两次购进的“蓉宝”玩具每件售价为70元，且全部售完，求两次的总利润． 【答案】(1)50元 (2)1700元 【分析】（1）设第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为元，根据“同样用了3000元，购进的数量比第一次少了10件”列出方程，即可求解； （2）根据利润等于总售价减进价，即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为元． 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意 答：第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为50元 （2）解：第一次购进的“蓉宝”玩具的数量为（件） 第二次购进的“蓉宝”玩具的数量为（件）， （元） 答：两的总利润为1700元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 题型十八 分式化简中的求整问题（压轴）（共3小题） 52．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 53．（24-25八年级上·山东烟台·期中）若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】先化简分式，若的值为整数即的值为整数，故（x-2）为4的因数，由此确定整数x的值. 【详解】原式＝， 因为x为整数，分式的值也为整数，且x≠-2， 所以分式的值分别为﹣2、﹣4、4、2、1时，得 X=0、1、3、4、6， 所以所有符合条件的x的值有5个． 故选：B． 【点睛】此题考查分式的化简，分式有意义的条件，根据分式的值为0确定分母的值，由此得出x的值，注意分母中虽约去了（x+2），但是要考虑到x≠-2，避免错误. 54．（24-25八年级上·山东东营·期中）阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数． 【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值． 【详解】解：（1）， ； （2）， 当，即； 当，即； 当，即； 当，即， 综上，，3，，时，分式的值也为整数． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型十九 分式化简中的“倒数型”问题（压轴）（共3小题） 55．【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类比探究：已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； 拓展延伸：已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】解：类比探究： 由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． 拓展延伸： 根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 56．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 57．（2025八年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料： 消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法． (1)已知，，则______； (2)已知，，求证：； (3)已知（其中、、互不相等），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据题意，根据已知条件分别求出和，然后再相乘得，然后再变形可以得解； （2）依据题意，类似（1）求出再与相乘可得，的式子，再变形可以得解； （3）依据题意，通过消元法建立关于t的方程，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：； （2）解：由题意，∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； （3）解：由得：①， 由得：②， 把②代入①得：， ∴． ∴． 同理得：， ， ∴． ∵、、互不相等， ∴， ∴． 【点睛】本题是阅读材料问题，也是分式的化简问题，考查了分式的基本性质，有难度． 题型二十 分式化简中的整体代换（压轴）（共3小题） 58．（24-25八年级上·河北沧州·期中）请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)1；5 【分析】（1）将“”看成一个整体，模仿例1求解； （2）令，，将原式变形，即可求解； （3）将中的1用替代，即可求解；将代入将原式变形为，再将代入，进一步将原式变形为，由此可解． 【详解】（1）解：令， ； （2）解：令，， 则原式 ， 故答案为：； （3）解：， ； ， ． 【点睛】本题考查整体思想，因式分解，完全平方公式，整式的运算，分式的运算，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 59．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：______ (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①1，②5． 【分析】（1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）①将代入求解即可；②将，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，计算即可． 【详解】（1）解：将看成一个整体，令， 则原式． （2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则原式 ． （3）解：①∵， ∴ ． ②∵， ∴ ． 【点睛】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 60．（24-25八年级上·河北保定·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便的解决方法． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查整体思想，因式分解，分式运算，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． （1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将代入和求解即可． 【详解】（1）解：将看成一个整体，令， 则原式． （2）解：∵， ∴ ． 题型二十一 分式方程解的含参问题（压轴）（共3小题） 61．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解分式方程，找出能使分式方程的解为正整数的的值，注意分式方程无解的情况；解一元一次不等式组，找出不等式组有且仅有个整数解时的取值范围，综合起来找出符合所有条件的整数后即可得解． 【详解】解：， 去分母，得， 移项和合并同类项，得， 当时，分式方程无解， 当时， 系数化为，得， ∵，， ∴或， 即， 关于的分式方程的解为正整数， 或或； ， 由得， ， 由得， 要使关于的不等式组有且仅有个整数解， 即范围内有个整数解， ， ， 综上，满足条件的所有整数为，，和为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数，解题关键是熟练掌握分式方程及不等式组 的解法． 62．（2024八年级上·全国·期中）已知关于的分式方程的解满足，且为整数，则符合条件的所有值的乘积为（  ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程、有理数的平方．首先解分式方程可得，再根据分式方程的解满足，可得的取值范围，再根据为整数，确定的值的情况，再根据的取值情况判断乘积的正负性． 【详解】解：解关于的分式方程， 去分母得：， 移项得：， 提公因式得：， 去括号、合并同类项得：， 整理得:， ， ， ， ， ， 又， 和， 和， 为整数且， 和， 中符合条件的值共有个负数和个正数， 符合条件的所有值的乘积为正数． 故选：A． 63．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 【答案】(1) (2)7 (3)当x取或2或0时，分式A的值为整数 【分析】本题考查分式的运算，根据分式方程的解求参数，分式的值为整数时字母的值，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）将代入方程进行求解即可； （3）利用分离常数法，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴． 方程的两边同时乘以，得， 解得． ∵分式方程的解为， ∴，解得． ∴的值为7． （3）解：∵，且分式A的值为整数， ∴或． ∴． 由题意，得且， ∴且． ∴当x取或2或0时，分式A的值为整数． 题型二十二 分式方程的增根无解问题（压轴）（共3小题） 64．（24-25八年级上·河南周口·期中）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 65．若关于x的方程无解，则m的值为 ． 【答案】或22或 【分析】本题考查了分式方程的解法，无解的意义，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，转换为整式方程，解方程即可． 【详解】解： ， 去分母，得， 整理，得， 当时，原方程有增根， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，方程无解，也符合题意． 故答案为：或22或． 66．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 题型二十三 分式方程的实际应用（压轴）（共3小题） 67．综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】任务1：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；任务2：购买篮球4个，购买排球12个；任务3：1 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍建立方程求解即可； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个建立方程组求解即可； 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，根据题意可得，则可得，可求出一定是3的倍数，设（k为正整数），则，即，解之即可得到答案． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个， 由题意得，， 解得， 答：购买篮球4个，购买排球12个． 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个， ，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个， ∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个， ∴， ∴ ∴， ∵一定是正整数， ∴一定是3的倍数， 设（k为正整数）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， 当时，，此时不符合题意； 随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大， ∵当时，，此时， ∴当时， ， ∴只有，满足题意， 答：排球中使用抵扣券的数量为1． 68．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4 800元．若甲、乙两车单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的2倍，已知乙车每趟运费比甲车少200元． (1)分别求出甲、乙两车每趟的运费； (2)若单独租用甲车运完此堆垃圾，需多少趟？ (3)若同时租用甲、乙两车，则甲车运x趟，乙车运y趟，才能运完此堆垃圾，其中x，y均为正整数． ①当x＝10时，y＝ ；当y＝10时，x＝ ； ②用含x的代数式表示y； 探究： (4)在(3)的条件下： ①用含x的代数式表示总运费w； ②要想总运费不大于4 000元，甲车最多需运多少趟？ 【答案】（1）甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元；（2）单独租用甲车运完此堆垃圾，需运18趟；（3）①16，13，y=36－2x；（4）①w=100x＋3600，②甲车最多需运4趟． 【分析】（1）设甲、乙两车每趟的运费分别为m元，n元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运趟，由题意累出分式方程，求解即可； （3）①列出分式方程求解即可； ②根据题意，列出分式方程转换形式即可； （4）①结合（1）和（3）的结论，列出函数关系式即可； ②根据题意列出不等式，求解即可. 【详解】(1)设甲、乙两车每趟的运费分别为m元，n元，由题意，得 解得 答：甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元； (2)设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运趟，由题意，得 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：单独租用甲车运完此堆垃圾，需运18趟； (3)①由题意，得，；，； ②由题意，得， ∴y=36－2x； (4)①由（1）和（3），得总运费为w=300x＋100y=300x＋100(36－2x) =100x＋3600， ②由题意，得100x＋3600≤4 000， ∴x≤4． 答：甲车最多需运4趟． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求解. 69．（2025八年级上·全国·期中）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购小区预备支出不超过25000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可列方程， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个． （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元． ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ，解得， 的最小值为8， ∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 题型二十四 分式方程的新定义问题（压轴）（共3小题） 70．（24-25八年级上·河北沧州·期中）对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，可设，则，由可得，可得，再根据新定义计算得到结果． 【详解】解：设，则， 则， ， 则的值为． 故选：C 71．（24-25八年级上·河北沧州·期中）对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式，理解题意，正确列出方程，注意分式的分母不为0的条件是解答的关键．先根据题中新定义得方程为，然后解方程为，根据方程的解得且，进而求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 去分母，得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴且 解得且， 故答案为：且． 72．（24-25八年级上·河北唐山·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． $