第4章 相交线和平行线（复习讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

第4章 相交线和平行线（复习讲义） 基础目标：准确识别相交线、平行线，理解相交线形成的对顶角、邻补角概念，掌握 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 的基本事实，认识同位角、内错角、同旁内角。 进阶目标：学会用几何语言规范书写推理过程，明确每一步推理的依据，逐步培养逻辑思维能力和严谨的数学表达能力。 拓展目标：通过本单元的学习，进一步提升学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养，为后续数学学习和解决复杂问题奠定坚实基础。 知识点1对顶角与邻补角 1.邻补角形成的前提是两条直线相交 2.互为邻补角同时满足这三条：1）有公共顶点；2)其中一边是公共边；3）另一边互为反向延长线 3.邻补角的定义既包含了两个角的位置关系，又包含了两个角的数量关系。邻：指的是位置相邻，补：指的是两个角的和为180°。 对顶角的特征：①有一个公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线． 对顶角的性质：对顶角相等． 知识点2垂线与垂线段 垂线的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足． 垂线的性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 垂线段的概念：垂线段是指连接直线外一点与垂足形成的线段． 垂线段的性质：在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 知识点3同位角、内错角、同旁内角 同位角、内错角、同旁内角的定义： ①如图，∠1和∠5分别在直线AB，CD的上方，并且都在直 线EF的右侧，像这样位置的一对角叫做同位角． ②如图，∠3和∠5这两个角都在直线AB，CD之间，并且∠3 在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧，像这样位置的一对角叫 做内错角． ③如图，∠3和∠6这两个角都在直线AB，CD之间，并且在直线EF的一旁，像这样位置的一对角叫做同旁内角． 知识点4平行线 平行线的概念：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． 平行公理及推论：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 知识点5平行线的判定 两直线平行的判定方法： 方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．（简称同位角相等，两直线平行）． 方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．（简称内错角相等，两直线平行）． 方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．（简称同旁内角互补，两直线平行）． 注意：在解决与平行有关的问题时，要排除图形中其他线的干扰，分清由角的关系可判断哪两条直线平行，避免“张冠李戴”现象的发生．避免错误的方法是找出由两个角确定两条直线平行的基本图形，看清是哪两条直线被同一条直线所截形成的同位角相等或内错角相等，或同旁内角互补，才能判定是哪两条直线平行． 知识点6平行线的性质 平行线的性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单地说：两直线平行，同位角相等． 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单地说：两直线平行，内错角相等． 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单地说：两直线平行，同旁内角互补． 注意：①“同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”都是在两条直线平行的条件下推出来的结论，单独说“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”是错误的．②平行线的三个性质特征的大前提都是“两条平行线被第三条直线所截”，离开这个前提就不存在同位角、内错角相等，同旁内角互补．③由平行线的性质可以推出同位角、内错角、同旁内角的关系，所以一定要结合图形认清角的类型． 题型一 对顶角、邻补角 【例1】如图，直线与相交于点，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】如图，直线，相交于点，于点，若则的度数为 ． 【变式1-2】如图，直线相交于点O． (1)的对顶角是 ，的邻补角是 ； (2)若，求的度数． 【变式1-3】如图，两条直线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型二 垂线 【例1】如图，要在河岸上建一个水泵房引水到处．可过点作于点，则将水泵房建在处最节省水管长度，其数学道理是 ． 【变式1-1】如图，在直角中，，点从点出发沿方向运动，若，，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，直线l表示一段河道，现要从河道l向村庄P引水，现有，，，四条水渠，其中长度最短的水渠是线段，理由是 ． 题型三 平行线公理 【例1】如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【变式1-1】如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式1-2】若，，则与的位置关系是 ． 【变式1-3】如图，若，， 则与的位置关系是 题型四 同位角、内错角、同旁内角 【例1】如图，与的关系是（    ） A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角 【变式1-1】下列图形中，与不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，与是一对（    ） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【变式1-3】如图，与的位置关系是 ．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 题型五 两直线平行的条件 【例1】下列图形中，由能得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知直线a，b被直线c所截，且，直线吗？说明理由．    【变式1-3】如图，已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 题型六 利用平行线的性质求角度 【例1】如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，平分．若，则 度． 【变式1-2】随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，，分别为前叉、下管和立管（点在上），，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型七 平行线与折叠综合 【例1】将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【变式1-2】如图，把长方形纸片沿折叠，，则 ． 【变式1-3】如图，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，交于点E，若，则等于（    ） A． B． C． D． 题型八 平行线在生活中的实际应用 【例1】一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（    ） A．第一次左拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次右拐 D．第一次左拐，第二次右拐 【变式1-1】仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为 ． 【变式1-3】当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型九 平行线的性质与判定综合 【例1】如图，在三角形中，点D，E分别在上，点F，G在上，与交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的大小． 【变式1-1】如图，已知，点D在上，交于点E，连接，若． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【变式1-2】如图，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【变式1-3】如图，，． (1)判断和的大小关系； (2)试说明：； (3)若是的平分线，，求的度数． 题型十 求平行线间的距离 【例1】已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-1】如图，将梯形分成了一个三角形和平行四边形，三角形的面积与平行四边形面积的比是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【变式1-3】如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（浙江省嘉兴市2024--2025学年七年级下学期数学期末考试试卷　）如图，于点，则点到的距离是（    ）． A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 2．（2025·内蒙古包头·三模）如图，一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在的延长线上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．如图，长方形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点，测得， ， 若三点在同一条直线上， 则 的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，下列条件中能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（陕西省渭南市高新区2024—2025学年下学期七年级数学期末试题）如图是一根吸管放置在纸杯内的截面图，已知，表示吸管，若，则的度数为 ． 6．（24-25七年级下·天津和平·期末）如图，直线，相交于点O，于点O，平分，，则的度数为 度． 7．（2025·广东广州·二模）如图，若，则 ． 8．（24-25七年级下·四川广安·期末）如图，直线相交于点平分．若，则的度数为 ． 三、解答题 9．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，直线与相交于点O，是的平分线，已知． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 10．（24-25七年级下·重庆云阳·期末）推理填空： 如图，点是四边形的边上一点，连接，；若，，．求证：． 证明：（已知）， ① （内错角相等，两直线平行）， ② （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等式性质）， ③ ． （已知）， ④ （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （ ⑤ ）． 11．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知，直线分别交，于E，F，平分，若，求的度数． 12．（24-25七年级下·江西新余·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，与交于点H， ．试说明：． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，O位于两平行线之间且和的平分线交于点，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，……，再分别作和的平分线交于点，若，则n的值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，点在直线上，点，在直线上，．将射线绕点以的速度逆时针转动，同时射线绕点以的速度逆时针转动，设转动时间为秒.在转动过程中，当射线与射线第一次互相垂直时，的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）小明、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知， 小明说：“如果还知道，则能得到．” 小刚说：“一定大于．” 小颖说：“如果连接，则一定平行于．” 他们三人中，有（   ）个人的说法是正确的． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③ 6．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，分别交直线，于点，，且，点是位于直线，之间且在直线左侧的一点，连接，，作射线关于的对称射线．作射线关于的对称射线，若，则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为 ． 10．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，，点M在直线，之间，是的平分线，连接，，在的延长线上取点N，连接，若，，则的度数为 ． 11．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ． 三、解答题 12．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知：点在直线上，点在直线上，且． (1)如图1，点在直线、之间，连接、，求证： ； (2)如图2，平分，平分，、相交于点，求证：； (3)如图3，，点在延长线上，点在上，点在内，连接，，求的值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相交线和平行线（复习讲义） 基础目标：准确识别相交线、平行线，理解相交线形成的对顶角、邻补角概念，掌握 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 的基本事实，认识同位角、内错角、同旁内角。 进阶目标：学会用几何语言规范书写推理过程，明确每一步推理的依据，逐步培养逻辑思维能力和严谨的数学表达能力。 拓展目标：通过本单元的学习，进一步提升学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养，为后续数学学习和解决复杂问题奠定坚实基础。 知识点1对顶角与邻补角 1.邻补角形成的前提是两条直线相交 2.互为邻补角同时满足这三条：1）有公共顶点；2)其中一边是公共边；3）另一边互为反向延长线 3.邻补角的定义既包含了两个角的位置关系，又包含了两个角的数量关系。邻：指的是位置相邻，补：指的是两个角的和为180°。 对顶角的特征：①有一个公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线． 对顶角的性质：对顶角相等． 知识点2垂线与垂线段 垂线的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足． 垂线的性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 垂线段的概念：垂线段是指连接直线外一点与垂足形成的线段． 垂线段的性质：在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 知识点3同位角、内错角、同旁内角 同位角、内错角、同旁内角的定义： ①如图，∠1和∠5分别在直线AB，CD的上方，并且都在直 线EF的右侧，像这样位置的一对角叫做同位角． ②如图，∠3和∠5这两个角都在直线AB，CD之间，并且∠3 在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧，像这样位置的一对角叫 做内错角． ③如图，∠3和∠6这两个角都在直线AB，CD之间，并且在直线EF的一旁，像这样位置的一对角叫做同旁内角． 知识点4平行线 平行线的概念：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． 平行公理及推论：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 知识点5平行线的判定 两直线平行的判定方法： 方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．（简称同位角相等，两直线平行）． 方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．（简称内错角相等，两直线平行）． 方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．（简称同旁内角互补，两直线平行）． 注意：在解决与平行有关的问题时，要排除图形中其他线的干扰，分清由角的关系可判断哪两条直线平行，避免“张冠李戴”现象的发生．避免错误的方法是找出由两个角确定两条直线平行的基本图形，看清是哪两条直线被同一条直线所截形成的同位角相等或内错角相等，或同旁内角互补，才能判定是哪两条直线平行． 知识点6平行线的性质 平行线的性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单地说：两直线平行，同位角相等． 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单地说：两直线平行，内错角相等． 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单地说：两直线平行，同旁内角互补． 注意：①“同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”都是在两条直线平行的条件下推出来的结论，单独说“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”是错误的．②平行线的三个性质特征的大前提都是“两条平行线被第三条直线所截”，离开这个前提就不存在同位角、内错角相等，同旁内角互补．③由平行线的性质可以推出同位角、内错角、同旁内角的关系，所以一定要结合图形认清角的类型． 题型一 对顶角、邻补角 【例1】如图，直线与相交于点，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，由图形可得与是对顶角，即可得到，即可解答． 【详解】解：由图形可得与是对顶角， ． 故选：B． 【变式1-1】如图，直线，相交于点，于点，若则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了邻补角互补，对顶角相等，根据已知和邻补角互补得出，进而根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式1-2】如图，直线相交于点O． (1)的对顶角是 ，的邻补角是 ； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题考查了对顶角，邻补角，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据对顶角，邻补角定义求解，即可解题； （2）根据邻补角性质得到，结合对顶角性质得到，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：的对顶角是， 的邻补角是或， 故答案为：；或； （2）解：∵， ∴， 又∵，， ∴ ． 【变式1-3】如图，两条直线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了邻补角互补，对顶角相等，先根据对顶角相等得到，再根据邻补角互补即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 题型二 垂线 【例1】如图，要在河岸上建一个水泵房引水到处．可过点作于点，则将水泵房建在处最节省水管长度，其数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】此题主要考查点到直线的距离，掌握直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短是解题关键． 利用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”解题即可． 【详解】解：通过比较发现：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 即将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【变式1-1】如图，在直角中，，点从点出发沿方向运动，若，，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，设点到的距离为，则，求出，然后通过垂线段最短即可求解，正确理解垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：由题意得直角面积为， 设点到的距离为，则， 解得：， 由垂线段最短可知，长度的最小值为， 故选：． 【变式1-2】下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，符合题意； B、表示点A到的距离，不符合题意； C、表示不是点B到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】如图，直线l表示一段河道，现要从河道l向村庄P引水，现有，，，四条水渠，其中长度最短的水渠是线段，理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据“垂线段最短”进行解答即可，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是正确解答的关键． 【详解】解：现要从河道l向村庄P引水，现有，，，四条水渠，其中长度最短的水渠是线段 ，理由是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 题型三 平行线公理 【例1】如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行公理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解，∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过点P作直线的平行线，可作的平行线有1条， 故选：A 【变式1-1】如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判定即可． 【详解】解∶ ，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故选∶D． 【变式1-2】若，，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据平行公理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴则与的位置关系是是平行， 故答案为：平行． 【变式1-3】如图，若，， 则与的位置关系是 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 题型四 同位角、内错角、同旁内角 【例1】如图，与的关系是（    ） A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】A 【分析】本题主要考查了内错角的定义，是需要识记的内容，比较简单．根据内错角的定义解答即可． 【详解】解：与是两直线被第三条直线所截得到的两角，这两角分别位于截线的两侧，并且位于被截直线之间，因而是内错角． 故选：A． 【变式1-1】下列图形中，与不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角等知识．同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：根据题意知，选项ACD中，与有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； 选项B中，与的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，符合题意； 故选：B． 【变式1-2】如图，与是一对（    ） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的定义．直接根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】解：由图可知，与是一对同旁内角， 故选：D． 【变式1-3】如图，与的位置关系是 ．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 【答案】内错角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角和同旁内角的特征，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与的位置关系是内错角； 故答案为：内错角． 题型五 两直线平行的条件 【例1】下列图形中，由能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A、不能判定，故本选项不符合题意； B、，则（内错角相等，两直线平行），故本选项符合题意； C、，则（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、不能判定，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的判定，平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理即可直接作出判断． 【详解】解：A、∵， ∴，不能判断，故本选项不符合题意； B、∵，∴，故本选项符合题意； C、∵， ∴，不能判断，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，不能判断，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】如图，已知直线a，b被直线c所截，且，直线吗？说明理由．    【答案】直线，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定、对顶角相等，先根据对顶角相等，结合已知得到，再根据“同旁内角互补，两直线平行”可得结论． 【详解】解：直线，理由如下： ∵，, ∴， ∴直线． 【变式1-3】如图，已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同旁内角互补两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故选：B． 题型六 利用平行线的性质求角度 【例1】如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】如图所示， ． 故选：D． 【变式1-1】如图，平分．若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上内容是解题的关键．根据平行线的性质和角平分线的定义，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ． 故答案为： 【变式1-2】随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，，分别为前叉、下管和立管（点在上），，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质，角度和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式1-3】如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．根据平行线的性质得到，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 题型七 平行线与折叠综合 【例1】将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折叠得到，平行线的性质，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵长方形纸片的对边平行， ∴， ∴； 故选B． 【变式1-1】如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /120度 /150度 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，熟记矩形的性质以及折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠及平行线的性质即可求解； （2）根据平行以及折叠对应角相等，得到：，利用外角的性质得到：，再根据折叠得到：，利用平角的定义即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得： ，， ∴， ∵， ∴； （2）根据题意得： ， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】如图，把长方形纸片沿折叠，，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，角的和差求出的度数，平行线的性质求出的度数，折叠求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式1-3】如图，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，交于点E，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，求出，折叠得到，即可得出结论． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵折叠， ∴； 故选B． 题型八 平行线在生活中的实际应用 【例1】一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（    ） A．第一次左拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次右拐 D．第一次左拐，第二次右拐 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两条直线平行的性质两条直线平行，同位角相等，再根据题意得两次拐的方向不相同，但角度相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵第一次拐的角是，第二次拐的角是，由于仍在原来的方向上平行前进， ∴， ∴第一次与第二次拐的方向不相同，即第二次右拐， 故选：． 【变式1-1】仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质的应用；由得，进而求得；再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式1-2】某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为 ． 【答案】/49度 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据某一时刻在阳光照射下的光线互相平行，可得，，再代入计算即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴的大小为． 故答案为：． 【变式1-3】当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据题意可得，代入数据可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：根据题意知：水平面与容器底面是平行的， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为． 故选：C． 题型九 平行线的性质与判定综合 【例1】如图，在三角形中，点D，E分别在上，点F，G在上，与交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，邻补角： （1）根据，可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）根据，可得的度数，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】如图，已知，点D在上，交于点E，连接，若． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，结合已知可得出，然后根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据平行线的性质可求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】如图，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据，得出，根据平行线的判定即可作答． （2）先根据平行线的性质得出，再根据，得出，根据角平分线定义得出，最后根据平行线的性质得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】如图，，． (1)判断和的大小关系； (2)试说明：； (3)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】此题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟知平行线和角平分线的性质． （1）根据两直线平行，同位角相等，即可解答； （2）先根据，得到，再根据得到故可求解； （2）先求出，得到，根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵， ． （2）证明：∵， ， ∵， ， ∴； （3）解：∵，， ， 平分 ， ∵， ． 题型十 求平行线间的距离 【例1】已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段之间的距离的计算，理解线段之间的距离的计算，分类讨论思想是关键． 依题意有以下两种情况：①当直线在直线之间时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离；②当直线在直线外时，根据平行线间的距离可求出与之间的距离，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵，与之间的距离为，与之间的距离为， 分两种情况讨论如下： ①当直线在直线之间时，如图1所示： 此时与之间的距离是：； ②当直线在直线外时，如图2所示： 此时与之间的距离是：， 综上所述：与之间的距离是或． 故选：C． 【变式1-1】如图，将梯形分成了一个三角形和平行四边形，三角形的面积与平行四边形面积的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， ∴三角形的面积为：，平行四边形的面积为：， ∴， 故选：A． 【变式1-2】几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线间的距离，运用等积法求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以平行线与之间的距离为． 【变式1-3】如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点在上，点在上， ∴的长度是到的距离， 故选：． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（浙江省嘉兴市2024--2025学年七年级下学期数学期末考试试卷　）如图，于点，则点到的距离是（    ）． A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，注意：从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间线段的长，叫作这点到直线的距离．根据点到直线的距离的定义得出答案即可． 【详解】解：于， 点到直线的距离是线段的长度， 故选：C． 2．（2025·内蒙古包头·三模）如图，一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在的延长线上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．如图，长方形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点，测得， ， 若三点在同一条直线上， 则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，角度和差，由题意得，则，又，然后通过对顶角相等即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，下列条件中能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论． 【详解】解∶A．∵，∴，不能判断，故选项A不符合题意； B．∵，∴，不能判断，故选项B不符合题意； C．∵，∴，能判断，故选项C符合题意； D．根据无法证明两直线平行，故选项D不符合题意； 故选∶C． 二、填空题 5．（陕西省渭南市高新区2024—2025学年下学期七年级数学期末试题）如图是一根吸管放置在纸杯内的截面图，已知，表示吸管，若，则的度数为 ． 【答案】/104度 【分析】本题考查平行线的性质、对顶角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据对顶角的性质求得的度数，根据平行线的性质得到的度数． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·天津和平·期末）如图，直线，相交于点O，于点O，平分，，则的度数为 度． 【答案】122 【分析】本题考查了平角的定义，角的平分线，垂直的定义，熟练掌握垂直定义，平角的定义是解题的关键．根据平角的定义，角的平分线，垂直的定义，解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：122． 7．（2025·广东广州·二模）如图，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】根据平行线的性质得出的度数，进而利用邻补角解答即可． 本题考查平行线的性质，解答本题的关键是根据两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川广安·期末）如图，直线相交于点平分．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差倍分关系，对顶角的性质，邻补角的性质，先证明，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴． ∴， 故答案是：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，直线与相交于点O，是的平分线，已知． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，角的和差，及对顶角的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）由角平分线的定义得，然后根据邻补角的定义即可求解； （2）先根据求出，由对顶角的性质得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∴ （2）由（1）得，又 ∴ 又∵ ∴ 10．（24-25七年级下·重庆云阳·期末）推理填空： 如图，点是四边形的边上一点，连接，；若，，．求证：． 证明：（已知）， ① （内错角相等，两直线平行）， ② （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等式性质）， ③ ． （已知）， ④ （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （ ⑤ ）． 【答案】①；②；③；④；⑤两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定方法和性质，以及等量代换，进行作答即可． 【详解】解：证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等式性质）， ． （已知）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 11．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知，直线分别交，于E，F，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，由平行线的性质可得到的度数，再由角平分线的定义可得到的度数，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， 平分， ， ∵， ． 12．（24-25七年级下·江西新余·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，与交于点H， ．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据同位角相等，两直线平行可得 ，进而可得，由 ，可得，最后根据等量代换即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，O位于两平行线之间且和的平分线交于点，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，……，再分别作和的平分线交于点，若，则n的值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 过点作，过点作，则，先求出，同理可得：，得到规律，再代入求值即可． 【详解】解：如图，过点作，过点作． ， ， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 同理可得：， 以此类推：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，点在直线上，点，在直线上，．将射线绕点以的速度逆时针转动，同时射线绕点以的速度逆时针转动，设转动时间为秒.在转动过程中，当射线与射线第一次互相垂直时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线与旋转．熟练掌握平行线的判定和性质，旋转的性质，垂直性质，是解题的关键． 设点D，Q的对应点为， 射线与交于点G，过G作，由，得， 得，由，得，当射线与射线第一次互相垂直时， ，得，即可得出答案． 【详解】解：设点D，Q的对应点为， 射线与交于点G，过G作，如图 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当射线与射线第一次互相垂直时，， ∴， ∴， 解得． 故选：D． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质与判定，过点作，利用平行线性质得到，过点作，利用平行线性质得到进行求解，即可解题． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ，即 过点作， ，， ， ， ， ， ， ； ∴ 故选：C． 4．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）小明、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知， 小明说：“如果还知道，则能得到．” 小刚说：“一定大于．” 小颖说：“如果连接，则一定平行于．” 他们三人中，有（   ）个人的说法是正确的． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质与判定以及分类讨论思想是解题的关键． 由可得，然后根据平行线的判定与性质逐个判断即可． 【详解】解：对于小明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即小明的说法正确； 对于小刚：∵，， ∴， 如下图， ①当时，则，即一定大于； ②当与不平行时， 如图，设， 当点在点G的上方时， ∵， 由①知，一定大于； 当点在点G的下方时， 见上图，则不一定大于， 综上，不一定大于，即小刚的说法错误； 对于小颖，如果连接，则不一定平行于，故小颖的说法错误； 综上知：他们三人中，有1个人的说法是正确的． 故选：B． 5．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算，由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，， 可判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：A． 6．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，过点作，，分别表示出、，即可分析出答案． 【详解】解： ①正确； 过点作，， ， ， 设，，则， ， ②正确； ， ， 而 ③错误； ， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填序号，填不全得1分，不填或有错误答案均得0分）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查平行线的拐点模型，过点H作，设，，则，，分别表示出、，即可分析出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴， ∴③错误； ， ∴④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，分别交直线，于点，，且，点是位于直线，之间且在直线左侧的一点，连接，，作射线关于的对称射线．作射线关于的对称射线，若，则的度数为 ． 【答案】45°或135/135°或45 【分析】本题考查平行线的性质、角的对称及角度计算，解题关键是作辅助线利用平行线性质，结合对称与垂直条件，通过角度关系推导求解． 分、在左侧和右侧两种情况，过作，利用得，将转化为（设为），结合对称（对称射线与原射线夹角相等）、垂直、平行线同旁内角互补等性质，建立角度和差方程，求解（即）． 【详解】解： 关于的对称射线．作射线关于的对称射线， 当．，在左侧时 过作， 因为， 所以． 设，，由对称可知，． 因为， 所以；同理，． 所以， 设，交于点G， 所以， 所以， ， 即， ， 所以即， 当．，在右侧时 过作， 因为， 所以． 设，，由对称可知，． 因为， 所以；同理，． 所以， 设，交于点G， 所以， 因为， 即， ， 所以即， 故答案为：45或135． 9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 故答案为：． 10．（24-25七年级下·吉林松原·期中）如图，，点M在直线，之间，是的平分线，连接，，在的延长线上取点N，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线，角的和差等知识，解题的关键是掌握平行线的性质．过作，过作，设，可得，由，可得，从而，又，即知，故． 【详解】解：过作，过作，如图： 设，则， ， ∵平分， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ． 【答案】96 【分析】本题主要考查平行线和角平分线．熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差倍分计算，添加辅助线，是解题关键． 过点M作，过点E作，可得，结合角平分线的计算得，结合图形利用各角之间的数量关系得出，由已知条件求解即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点M作，过点E作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵ 平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：96． 三、解答题 12．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知：点在直线上，点在直线上，且． (1)如图1，点在直线、之间，连接、，求证： ； (2)如图2，平分，平分，、相交于点，求证：； (3)如图3，，点在延长线上，点在上，点在内，连接，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质探究角度之间的关系，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，则，进而可得，可得，即可得证 （2）过点分别作的平行线，根据平行线的性质可得,，，，根据角平分线的定义可得，，分别表示出，即可得证． （3）延长交于点，过点作，由（1）可得，结合已知可得，设，则，得出，进而表示出，代入，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 即； （2）解：如图，过点分别作的平行线， ∵， ∴ ∴,，， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ （3）解：如图，延长交于点，过点作 由（1）可得 ∵，即 ∴ 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 4 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $