第4章 相交线和平行线（知识清单）数学新教材华东师大版七年级上册

第4章 相交线和平行线 一、相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 4 3 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。 ∠3+∠4=180° 注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 3、垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。 如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。 P A B O 现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 ⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。 二、平行线 1、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　如左图所示，∵∥，∥ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∥ 　　　　　　　　　　　　注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。 5、三线八角 　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。 1 2 3 4 5 6 7 8 　如图，直线被直线所截 　①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方， 叫做同位角（位置相同） 　②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错） 　③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。 　④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。 6、如何判别三线八角 　判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。 　如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。 　我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。 　如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。 A B C 1 7 A B F 2 1 A B C D 2 6 A D B F 1 B A F E 5 8 C 7、两直线平行的判定方法 方法一　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 　　　　简称：同位角相等，两直线平行 方法二　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 　　　　简称：内错角相等，两直线平行 方法三　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 　　　　简称：同旁内角互补，两直线平行A B C D E F 1 2 3 4 　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言： 　　　　　　　　　　　　　　∵　∠3＝∠2 　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2 　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180° 　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。 ⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。 三、平行线的性质 1、平行线的性质： 　性质1：两直线平行，同位角相等； 　性质2：两直线平行，内错角相等； 　性质3：两直线平行，同旁内角互补。A B C D E F 1 2 3 4 　　　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言： 　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD 　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） 　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD 　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） 　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD 　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 2、平行线的性质与判定 ①平行线的性质与判定是互逆的关系 　两直线平行　　　　　同位角相等； 　两直线平行　　　　　内错角相等； 　两直线平行　　　　　同旁内角互补。 其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。 易错点1：对顶角与邻补角识别混淆 典型错误：在复杂相交线图形中，误将有公共边但不互补的角当作邻补角；把不满足两边反向延长线关系的角错认成对顶角。例如，在三条直线相交形成多个角的图形中，将仅相邻但角度和不为 180° 的两个角判定为邻补角。 注意事项：对顶角需同时满足 “有公共顶点” 和 “两边互为反向延长线”，二者缺一不可；邻补角必须同时具备 “有公共顶点” “有一条公共边” “另一边互为反向延长线” 且两角之和为 180° 。识别时要仔细观察角的位置关系和数量关系。 易错点 2：垂线性质应用错误 典型错误：误以为在空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直；在计算点到直线距离时，未选取垂线段长度，而是随意选取斜线段长度。比如在长方体模型中，错误认为过顶点与棱垂直的直线唯一（忽略空间中不同平面的垂线）。 注意事项：“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 的性质限定在同一平面内；点到直线的距离是垂线段的长度，找距离时需先确定垂足位置，不能用斜线段代替。 易错点 3：三线八角判断失误 典型错误：在非 “三线八角” 标准图形中，强行套用同位角、内错角、同旁内角的定义。例如，当两条直线未被第三条直线所截形成封闭图形时，错误认定某些角为同位角；混淆同位角和同旁内角的位置特征，将形如 “U” 的同旁内角错看成同位角。 注意事项：识别三类角的前提是两条直线被第三条直线所截；同位角在截线同侧且在被截直线同一方（“F” 型），内错角在截线两侧且在被截直线之间（“Z” 型），同旁内角在截线同侧且在被截直线之间（“U” 型），要结合图形形状辅助判断 。 易错点 4：平行线定义理解偏差 典型错误：忽略 “在同一平面内” 的前提条件，认为空间中不相交的直线就是平行线；将重合的两条直线错误判断为平行线。比如在正方体中，认为不在同一平面的两条不相交棱是平行关系。 注意事项：平行线定义明确限定于同一平面，在立体空间中不相交的直线可能既不平行也不相交（异面直线）；重合的直线是同一条直线，不属于平行关系 。 易错点 5：平行线判定与性质混淆 典型错误：已知两直线平行，用判定定理推导角的关系（如由，错误通过 “同位角相等” 证明，实际应使用性质定理）；或已知角的关系，错误使用性质定理证明直线平行（如由，用 “两直线平行，同位角相等” 得出 ）。 注意事项：判定定理是通过角的数量关系（相等或互补）推出直线的位置关系（平行） ；性质定理是在已知直线平行的前提下，推导角的数量关系 。使用时需先明确已知条件是线的关系还是角的关系，再选择对应定理。 易错点 6：平行公理推论使用不当 典型错误：在未明确直线是否在同一平面的情况下，直接运用 “平行于同一条直线的两条直线互相平行”。例如在三棱柱中，三条棱分别平行于不同方向，错误应用该推论得出棱与棱平行的结论。 注意事项：平行公理推论成立的条件是所有直线在同一平面内 ，在立体图形或未明确平面条件时，不能随意使用该推论判断直线平行关系。 易错点 7：复杂图形中的线角关系混乱 典型错误：在多个相交线和平行线组合的复杂图形中，无法准确分离出基本模型（如 “三线八角”）；在计算角度时，混淆不同直线形成的同位角、内错角，导致角度推导错误。 注意事项：面对复杂图形，可通过标记关键角和线、分离基本图形的方法简化问题；计算角度时要明确角是由哪两条直线被哪条直线所截形成，避免跨模型错误推导 。 易错点 8：实际问题建模错误 典型错误：在应用平行线知识解决实际问题（如测量、建筑设计）时，忽略实际场景限制，直接套用定理。例如在不规则地形测量中，未考虑地面不平对平行线判定的影响，错误使用平行线性质计算距离。 注意事项：将数学知识应用于实际问题时，需结合具体情境分析，验证定理使用的前提条件是否满足，必要时对实际情况进行合理抽象和简化 。 题型01 对顶角与邻补角识别混淆 1．（21-22七年级下·河北秦皇岛·期中）下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，直线、相交形成四个角，已知，则的度数是 ． 3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，已知直线，，相交于点O，，，则 ． 4．（2025·河南·中考真题）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若平分，，求和的度数． 6．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，直线与相交于点O，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型02垂线性质应用错误 7．（天津市河西区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A．42° B．32° C．22° D．18° 8．（24-25七年级下·全国·期中）如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，，，，…，其中，这些线段，，，，…中，最短的线段是（    ） A． B． C． D． 9．（云南省临沧地区中学等学校2024—2025学年下学期5月大联考七年级数学试题）如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，是斜拉桥结构示意图，其中索塔顶端距桥梁的高度为米，拉索长度都为480米．为提升桥梁的稳定性，需在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度可以是（    ）米 A．280 B．288 C．420 D．500 11．（陕西省陕西多校期末检测2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）如图，直线，相交于点O，过点O作，且平分，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为点，，求的度数． 题型03根据平行线的性质探究角的关系 13．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③； ④． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 14．（24-25八年级下·河南许昌·期中）某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是 ． 15．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，若则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，若，，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 题型04根据平行线的性质求角的度数 17．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，若，则，，之间的关系式为 ． 18．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 19．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，平分，且，若，则等于（　　） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边，）平行． 21．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，，，则 ． 22．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，，一块三角板的顶点在直线上，边、分别交直线于、两点．，，．点在的平分线上，连接，且，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·重庆云阳·期末）如图，，连接，点为线段上一点，若，，则 ． 24．（22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，连接，若平分，，，则的度数是 ． 题型05平行线的性质在生活中的应用 25．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 27．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 29．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 30．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再右转 D．先右转，再右转 题型06根据平行线判定与性质求角度 31．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知． (1)求证：； (2)若，求的度数． 32．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知分别交、于点、，，，过点作，，求的度数． 33．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F． (1)求证：． (2)如果，且，求的度数． 34．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 35．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，为直线上的一点，为直线上的一点，连结，过点作的垂线分别交、的平分线于点、，在点整个运动过程中，当时，则 ． 36．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）如图，已知，，则 = ． 题型07根据平行线判定与性质证明 37．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)利用此图形，试证明“三角形内角和为°”，即求证：． 38．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，，点E在上，若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：（已知）， ________（两直线平行，内错角相等）． 是的角平分线（已知）， ________（角平分线定义）， ________（等式的基本事实）． （已知）， （________） ________（两直线平行，内错角相等）． ． 39．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，． (1)请说明的理由，完成下面的填空． 解：因为， 根据“ ”，得． 所以． 又因为， 所以 ， 即． 根据“同旁内角互补，两直线平行”，得 ． 再根据“ ”，得． (2)设，若，求的值． 40．（24-25七年级下·天津和平·期末）如图，点C在线段上，点F在线段上，，． (1)求证：； (2)已知于点A． ①若，求的度数； ②若，则______（用表示）． 41．（24-25七年级下·江西赣州·期末）课本再现 如图1，点，，分别是三角形的边，，上的点，，，求证：． （1）请完成下列证明过程，并在括号内填上推理的根据． 证明：， （         ）． ， （         ）． ． 类比探究 （2）如图2，若，，平分，，求． 42．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知，，求证：． 题型08平行线四大模型综合 43．（24-25六年级下·山东淄博·期末）如图，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，连结，，且满足． (1)求证：； (2)如图，作，直线与的角平分线交于点．若，求的度数； (3)如图，平分，平分，，已知，求的度数． 44．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． (1)【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． (2)【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． (3)【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数． 45．（24-25七年级下·河南商丘·期末）综合与探究： 【知识储备】 构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角（改变角的位置，不改变角的大小）”，具体来说，要转移角的位直线的平行线”实现． 【初步感知】 已知：如图1，直线，点P在直线之间，试探究三者的数量关系． 分析：我们过点P作的平行线，可以实现“移角”的功能． 请你解决这个问题，并说明理由． 【方法应用】 已知：如图2，直线，当点P在直线下方时，三者的数量关系改变吗？若改变，仅就图2写出新的关系式，并说明理由． 【拓展探索】 如图3，将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直．板绕顶点G转动，过点E作（点C在E的左侧），并保持点E在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并直接写出结果． 46．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点分别在直线上，点在之间，连接． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接与交于点，，，，求的度数（结果可用含的式子表示）； (3)如图3，点是下方一点，连接，若的延长线是的三等分线，平分交于点，求的度数． 47．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______． (2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； 48．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)，如图1，点E在内部时，试证：； (2)，在图2中，若，求出的度数 (3)，如图3，点E在外部时（1）中结论是否成立？如不成立，请直接写出之间有何数量关系？ (4)如图4，请直接表示，，，，之间的数量关系． 49．（24-25七年级下·四川成都·期中）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间． (1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________ (2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小． 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相交线和平行线 一、相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 4 3 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。 ∠3+∠4=180° 注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 3、垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。 如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。 P A B O 现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 ⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。 二、平行线 1、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　如左图所示，∵∥，∥ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∥ 　　　　　　　　　　　　注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。 5、三线八角 　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。 1 2 3 4 5 6 7 8 　如图，直线被直线所截 　①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方， 叫做同位角（位置相同） 　②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错） 　③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。 　④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。 6、如何判别三线八角 　判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。 　如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。 　我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。 　如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。 A B C 1 7 A B F 2 1 A B C D 2 6 A D B F 1 B A F E 5 8 C 7、两直线平行的判定方法 方法一　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 　　　　简称：同位角相等，两直线平行 方法二　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 　　　　简称：内错角相等，两直线平行 方法三　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 　　　　简称：同旁内角互补，两直线平行A B C D E F 1 2 3 4 　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言： 　　　　　　　　　　　　　　∵　∠3＝∠2 　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2 　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180° 　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。 ⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。 三、平行线的性质 1、平行线的性质： 　性质1：两直线平行，同位角相等； 　性质2：两直线平行，内错角相等； 　性质3：两直线平行，同旁内角互补。A B C D E F 1 2 3 4 　　　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言： 　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD 　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） 　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD 　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） 　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD 　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 2、平行线的性质与判定 ①平行线的性质与判定是互逆的关系 　两直线平行　　　　　同位角相等； 　两直线平行　　　　　内错角相等； 　两直线平行　　　　　同旁内角互补。 其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。 易错点1：对顶角与邻补角识别混淆 典型错误：在复杂相交线图形中，误将有公共边但不互补的角当作邻补角；把不满足两边反向延长线关系的角错认成对顶角。例如，在三条直线相交形成多个角的图形中，将仅相邻但角度和不为 180° 的两个角判定为邻补角。 注意事项：对顶角需同时满足 “有公共顶点” 和 “两边互为反向延长线”，二者缺一不可；邻补角必须同时具备 “有公共顶点” “有一条公共边” “另一边互为反向延长线” 且两角之和为 180° 。识别时要仔细观察角的位置关系和数量关系。 易错点 2：垂线性质应用错误 典型错误：误以为在空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直；在计算点到直线距离时，未选取垂线段长度，而是随意选取斜线段长度。比如在长方体模型中，错误认为过顶点与棱垂直的直线唯一（忽略空间中不同平面的垂线）。 注意事项：“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 的性质限定在同一平面内；点到直线的距离是垂线段的长度，找距离时需先确定垂足位置，不能用斜线段代替。 易错点 3：三线八角判断失误 典型错误：在非 “三线八角” 标准图形中，强行套用同位角、内错角、同旁内角的定义。例如，当两条直线未被第三条直线所截形成封闭图形时，错误认定某些角为同位角；混淆同位角和同旁内角的位置特征，将形如 “U” 的同旁内角错看成同位角。 注意事项：识别三类角的前提是两条直线被第三条直线所截；同位角在截线同侧且在被截直线同一方（“F” 型），内错角在截线两侧且在被截直线之间（“Z” 型），同旁内角在截线同侧且在被截直线之间（“U” 型），要结合图形形状辅助判断 。 易错点 4：平行线定义理解偏差 典型错误：忽略 “在同一平面内” 的前提条件，认为空间中不相交的直线就是平行线；将重合的两条直线错误判断为平行线。比如在正方体中，认为不在同一平面的两条不相交棱是平行关系。 注意事项：平行线定义明确限定于同一平面，在立体空间中不相交的直线可能既不平行也不相交（异面直线）；重合的直线是同一条直线，不属于平行关系 。 易错点 5：平行线判定与性质混淆 典型错误：已知两直线平行，用判定定理推导角的关系（如由，错误通过 “同位角相等” 证明，实际应使用性质定理）；或已知角的关系，错误使用性质定理证明直线平行（如由，用 “两直线平行，同位角相等” 得出 ）。 注意事项：判定定理是通过角的数量关系（相等或互补）推出直线的位置关系（平行） ；性质定理是在已知直线平行的前提下，推导角的数量关系 。使用时需先明确已知条件是线的关系还是角的关系，再选择对应定理。 易错点 6：平行公理推论使用不当 典型错误：在未明确直线是否在同一平面的情况下，直接运用 “平行于同一条直线的两条直线互相平行”。例如在三棱柱中，三条棱分别平行于不同方向，错误应用该推论得出棱与棱平行的结论。 注意事项：平行公理推论成立的条件是所有直线在同一平面内 ，在立体图形或未明确平面条件时，不能随意使用该推论判断直线平行关系。 易错点 7：复杂图形中的线角关系混乱 典型错误：在多个相交线和平行线组合的复杂图形中，无法准确分离出基本模型（如 “三线八角”）；在计算角度时，混淆不同直线形成的同位角、内错角，导致角度推导错误。 注意事项：面对复杂图形，可通过标记关键角和线、分离基本图形的方法简化问题；计算角度时要明确角是由哪两条直线被哪条直线所截形成，避免跨模型错误推导 。 易错点 8：实际问题建模错误 典型错误：在应用平行线知识解决实际问题（如测量、建筑设计）时，忽略实际场景限制，直接套用定理。例如在不规则地形测量中，未考虑地面不平对平行线判定的影响，错误使用平行线性质计算距离。 注意事项：将数学知识应用于实际问题时，需结合具体情境分析，验证定理使用的前提条件是否满足，必要时对实际情况进行合理抽象和简化 。 题型01 对顶角与邻补角识别混淆 1．（21-22七年级下·河北秦皇岛·期中）下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，根据对顶角的特点，共用顶点，两边互为反向延长线，进行判断即可． 【详解】解：A、不是对顶角，不符合题意； B、是对顶角，符合题意； C、不是对顶角，不符合题意； D、不是对顶角，不符合题意； 故选B． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，直线、相交形成四个角，已知，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查的是邻补角的性质，根据邻补角互补可得答案. 【详解】解：∵直线、相交形成四个角，， ∴， 故答案为： 3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，已知直线，，相交于点O，，，则 ． 【答案】50 【分析】本题考查对顶角相等、几何图形中角的运算，根据先根据平角定义求得，再根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：50． 4．（2025·河南·中考真题）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：由量角器可知，， ， 即所量内角的度数为， 故选：C． 5．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若平分，，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查对顶角，邻补角，几何图形中角度的计算，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）根据对顶角的定义，邻补角的定义，进行判断即可； （2）设，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）由图可知：的对顶角为，的邻补角为． （2）设，则． ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴ ∴． 6．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，直线与相交于点O，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，角和差的计算， 根据对顶角的性质得，再由计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：C． 题型02垂线性质应用错误 7．（天津市河西区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A．42° B．32° C．22° D．18° 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，根据垂直得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25七年级下·全国·期中）如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，，，，…，其中，这些线段，，，，…中，最短的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：∵， ∴根据垂线段最短可得，最短的线段是． 故选：A． 9．（云南省临沧地区中学等学校2024—2025学年下学期5月大联考七年级数学试题）如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，由垂线的定义可得，由角平分线的定义可得，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 10．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，是斜拉桥结构示意图，其中索塔顶端距桥梁的高度为米，拉索长度都为480米．为提升桥梁的稳定性，需在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度可以是（    ）米 A．280 B．288 C．420 D．500 【答案】C 【分析】题目主要考查点到直线的距离，结合图形求解即可 【详解】解：根据题意得：米，米， ∴在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度取值范围为：， 符合题意的只有选项C， 故选：C 11．（陕西省陕西多校期末检测2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）如图，直线，相交于点O，过点O作，且平分，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的平分线和角的计算，涉及到的角有平角、直角；熟练掌握平角等于度，直角等于度，是解答本题的关键．根据角平分线的定义和垂线定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 12．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，由垂线的定义可得，然后结合求解即可． 【详解】解：因为，所以， 因为， 所以， 所以． 题型03根据平行线的性质探究角的关系 13．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） ①若，则； ②若，则； ③； ④． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：①若，则， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②如图，延长交于点G， ∵， ∴， 若， 则， ∴，故②正确； ③分别过点作，则， ∴， ∴ ， ∵ ∴，故③正确； ④由③知， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 则当且仅当时，，故④错误． 故选：B． 14．（24-25八年级下·河南许昌·期中）某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，，最后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】解：过点作，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵与的平分线相交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为： 15．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，若则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质逐一排除即可，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，故原选项符合题意； 、由，可得，原选项不符合题意； 、由，不能得，原选项不符合题意； 、由，不能得，原选项不符合题意； 故选：． 16．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，若，，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质，通过找中间角建立与的关系． 利用和，结合平行线的性质，找到与、相关的角，进而得出与的关系． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， ． 故选：B． 题型04根据平行线的性质求角的度数 17．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，若，则，，之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．如图所示，过点C作，由平行线的性质得到，，然后等量代换求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质以及学生归纳总结找规律的能力，分别过、…作直线平行于，利用平行线的性质即可求出各组的值；再根据规律，归纳总结得到． 【详解】解：当有个角时，根据两直线平行同旁内角互补， 得出， 当有个角时，过点作直线平行于，同理可得， 当有个角时，分别过点、作直线平行于，同理可得， 根据规律，可得当有个角时， ， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，平分，且，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及角的和差倍分关系，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 先由，根据内错角相等判定，利用平行线同旁内角互补得，结合算出 ；再依据，将转化为，从而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 20．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边，）平行． 【答案】或或或 【分析】延长交于P点，根据平行线的性质可得，然后分四种情况解答即可． 【详解】解：如图，延长交于P点， ∵，， ， ， ， ①如图， 当时，， 此时D旋转的度数为，； ②如图 当时，， ， 此时D旋转的度数为，； ③如图 当时，， ， 此时D旋转的度数为，； ④如图 当时，， ， 此时D旋转的度数为，； 综上所述：经过15或60或105或150秒边与三角板的一条直角边（边，）平行． 故答案为：15或60或105或150 21．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，作，则，再结合题意可得，求出，即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，则， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，，一块三角板的顶点在直线上，边、分别交直线于、两点．，，．点在的平分线上，连接，且，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题主要查了平行线的性质，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解决本题的关键．过点作，根据平行线的性质得，设，用含有的式子表示角，根据的大小列出关于的方程，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点作，则， ，， ， 设，则， ， ， 点在的平分线上，且， ， ， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：B． 23．（24-25七年级下·重庆云阳·期末）如图，，连接，点为线段上一点，若，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质得到角度数量关系是关键． 如图所示，过点作，则，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40 ． 24．（22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，连接，若平分，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质得，即得，进而由角平分线的定义得，再根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型05平行线的性质在生活中的应用 25．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 26．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据作出图形，利用平行线的性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：当第一次向右拐时 （如图1）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ，且向左拐， A、B错误； 当第一次向左拐时 （如图2）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ，且向右拐， D错误， 故选：C． 27．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，求出，结合，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：C． 28．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 29．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 30．（21-22七年级下·新疆喀什·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再右转 D．先右转，再右转 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意画出图形是解答此题的关键． 根据题意画出图形，根据平行线的性质判定即可． 【详解】解：如图所示： A、 故本选项错误； B、 故本选项正确； C、 故本选项错误； D、 故本选项错误． 故选B． 题型06根据平行线判定与性质求角度 31．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据，即可得到结论； （2）由（1）知，得到，进而推出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ， ∵ ． 32．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知分别交、于点、，，，过点作，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是应用平行线的性质证得垂直． 首先得到，然后得到，进而根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：因为，， 所以，即， 因为， 所以， 所以， 所以． 33．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F． (1)求证：． (2)如果，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是正确判定平行线． （1）先利用垂直得到直角，再利用同位角相等，两直线平行即可求证； （2）先判定，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 34．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定及性质．过点P作，可得，根据平行线的性质求出，，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点P作， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 35．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，为直线上的一点，为直线上的一点，连结，过点作的垂线分别交、的平分线于点、，在点整个运动过程中，当时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义，过F作，过G作，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，，，，则可得出，，设，，则，，根据角平分线的定义以及邻补角的定义可得出，，进而得出，结合，可得出，根据平行线的性质，垂直的定义可得出，求出，，即可求解． 【详解】解∶如图，过F作，过G作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ， 设，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）如图，已知，，则 = ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由，得，则有，然后代入求解即可，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型07根据平行线判定与性质证明 37．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)利用此图形，试证明“三角形内角和为°”，即求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，证明三角形内角和为°，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）根据得出，结合已知得出，即可得证； （2）根据平行线的性质，将转化为，进而根据平角的定义，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴ 38．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，，点E在上，若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：（已知）， ________（两直线平行，内错角相等）． 是的角平分线（已知）， ________（角平分线定义）， ________（等式的基本事实）． （已知）， （________） ________（两直线平行，内错角相等）． ． 【答案】；；；同旁内角互补，两直线平行； 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的意义等知识，读懂各步推理是解题的关键；根据各步推理，结合平行线的判定与性质，角平分线的意义即可完成． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 是的角平分线（已知）， （角平分线定义）， （等式的基本事实）． （已知）， （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，内错角相等）． ． 故答案为：；；；同旁内角互补，两直线平行；． 39．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，． (1)请说明的理由，完成下面的填空． 解：因为， 根据“ ”，得． 所以． 又因为， 所以 ， 即． 根据“同旁内角互补，两直线平行”，得 ． 再根据“ ”，得． (2)设，若，求的值． 【答案】(1)垂直的定义；；；两直线平行，同位角相等 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的判定与性质、角的和差求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 根据“垂直的定义”，得∠． 所以． 又因为， 所以， 即． 根据“同旁内角互补，两直线平行”，得B． 再根据“两直线平行，同位角相等”，得． 故答案为：垂直的定义；∠1；；两直线平行，同位角相等； （2）因为 所以 所以 设， 所以， 因为， 所以 因为 所以 解得 40．（24-25七年级下·天津和平·期末）如图，点C在线段上，点F在线段上，，． (1)求证：； (2)已知于点A． ①若，求的度数； ②若，则______（用表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平角的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由同旁内角互补得出，再由平行线的性质结合题意可得，即可得证； （2）①由平行的性质可得，再求出，最后由平角的定义计算即可得解；②由平行的性质可得，再求出，最后由平角的定义计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 41．（24-25七年级下·江西赣州·期末）课本再现 如图1，点，，分别是三角形的边，，上的点，，，求证：． （1）请完成下列证明过程，并在括号内填上推理的根据． 证明：， （         ）． ， （         ）． ． 类比探究 （2）如图2，若，，平分，，求． 【答案】（1）；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；（2） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义， （1）由平行线的性质可得出答案； （2）证明，得出，求出，则可得出答案； 掌握平行线的性质并准确识图是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴， 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 42．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）已知，，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题关键． 首先证明 ，根据平行线的性质可得到 ，然后根据 ，证明 ，即可得到 ，根据平行线的性质即可证得． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 题型08平行线四大模型综合 43．（24-25六年级下·山东淄博·期末）如图，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，连结，，且满足． (1)求证：； (2)如图，作，直线与的角平分线交于点．若，求的度数； (3)如图，平分，平分，，已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行等）和性质（两直线平行，同位角相等等）以及角平分线将角分为两个相等角的性质是解题的关键． （1）通过作辅助线，利用平行线的性质得到角的关系，从而证明两直线平行． （2）利用角平分线的性质和平行线的性质，建立角度之间的等式关系来求解角度和． （3）借助角平分线的定义和平行线的性质，结合已知角度求出目标角度． 【详解】（1）解：过点作， ， ，即， ， ， ， ， （2）解：平分， ， 又，， ， 过作， ， ， ， ， ，即， ， ， ， （3）解：平分， 设， ， ， 平分， ， 又，， ， ． 44．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． (1)【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． (2)【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． (3)【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)图①中，即；图②中，；证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）如图①，过作直线，可得，再利用平行线的性质可得结论；如图②，过作直线，可得，再利用平行线的性质即可得到结论； （2）如图③，延长，交于点，过作，证明，再利用平行线的性质可得答案； （3）由（1）的结论可得：，，证明，，结合可得结论． 【详解】（1）解：如图①，过作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图②，过作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图③，延长，交于点，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④， 由（1）的结论可得：，， ∵和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 45．（24-25七年级下·河南商丘·期末）综合与探究： 【知识储备】 构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角（改变角的位置，不改变角的大小）”，具体来说，要转移角的位直线的平行线”实现． 【初步感知】 已知：如图1，直线，点P在直线之间，试探究三者的数量关系． 分析：我们过点P作的平行线，可以实现“移角”的功能． 请你解决这个问题，并说明理由． 【方法应用】 已知：如图2，直线，当点P在直线下方时，三者的数量关系改变吗？若改变，仅就图2写出新的关系式，并说明理由． 【拓展探索】 如图3，将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直．板绕顶点G转动，过点E作（点C在E的左侧），并保持点E在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并直接写出结果． 【答案】初步感知：，见解析；方法应用：改变，，见解析；拓展探索：当点F在直线与直线之间时，；当点F在直线的上方时，；当点F在直线的下方时， 【分析】本题考查了平行线的判定与性质， 初步感知∶过点P作，则，再证明，进而可得； 方法应用：过点P作，则，再证明，进而可得； 拓展探索∶分三种情况求解：①当点F在直线与直线之间时，②当点F在直线的上方时，③当点F在直线的下方时． 【详解】解：． 理由如下： 过点P作． ， ， ．即． 【方法应用】解： 当点P在下方时，三者的数量关系改变． 新的关系式：．（形式不唯一） 理由如下： 过点P作． ， ， ，， ， ． ， ． 【拓展探索】如图3中，当点F在直线与直线之间时，； 如图4中，当点F在直线的上方时，； 如图5中，当点F在直线的下方时，． 具体分析如下： ①如图3中，当点F在直线与直线之间时，． 理由如下： 过点F作． ， ， ， ， 即． ②如图4中，当点F在直线的上方时，． 理由如下： 过点F作． ， ， ， ，即． ③如图5中，当点F在直线的下方时，． 理由如下： 过点F作． ， ， ， ，即． 46．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点分别在直线上，点在之间，连接． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接与交于点，，，，求的度数（结果可用含的式子表示）； (3)如图3，点是下方一点，连接，若的延长线是的三等分线，平分交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 47．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______． (2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的有关计算； （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差，即可求解； （2）过作，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，，结合角平分线的定义及角的和差，即可得证； 能根据题意添加辅助线，并能熟练平行线的判定及性质，角平分线的定义进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：过作， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， 证明：过作，过作， ， ， ， ， ， ， 平分， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 48．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)，如图1，点E在内部时，试证：； (2)，在图2中，若，求出的度数 (3)，如图3，点E在外部时（1）中结论是否成立？如不成立，请直接写出之间有何数量关系？ (4)如图4，请直接表示，，，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不成立， (4) 【分析】本题主要考查了平行线的性质求角度，探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则可得，则，再由角的和差运算即可证明； （2）过点作，，则根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，即可求解； （3）过点作，则，那么，由于，则，即可求解； （4）过点作，过点作，过点作，则，那么，再根据（1）的结论，以及角度的和差计算即可求解． 【详解】（1）证明：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：过点作， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）解：不成立，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （4）解：过点作，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴同（1）可得：， ∴ ∵， ∴， ∴， 即：． 49．（24-25七年级下·四川成都·期中）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间． (1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________ (2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质． （1）过点作，得到，推出，，得到； （2）①应用（1）的结论，求出，即可解决问题； ②应用（1）的结论得到，由三角形外角的性质求出，由角平分线定义得到，因此． 【详解】（1）如图1，过点作， ， ． ，， ， ， ，，之间的数量关系为：， 故答案为：； （2）①如图2，，理由如下： ，， ， 由（1）知：， ； ②如图3，由（1）得：，     平分， ， ， ， ， 平分， ， ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $