专题03 二次根式 6大高频考点（期中真题汇编，河南专用北师大版2024）八年级数学上学期

专题03 二次根式 6大高频考点概览 考点01 二次根式有意义的条件 考点02 利用二次根式的性质化简 考点03 最简二次根式的判断 考点04 二次根式的混合运算 考点05 分母有理化 考点06 二次根式的应用 地 城 考点01 二次根式有意义的条件 1．（24-25八年级下·河南许昌·期中）要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如果，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解题的关键是掌握这些知识点． 根据二次根式有意义的条件得，解得，则把代入进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为2． 3．（24-25八年级下·河南焦作·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和有意义的条件；先根据二次根式有意义的条件得到，即可得到，然后根据二次根式的性质化简，然后合并解题即可． 【详解】解：由题可得， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）若二次根式有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质，概念：式子叫二次根式，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式的意义和性质是解答本题的关键．根据二次根式的意义和性质解答即可． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：， 故选：B． 5．（24-25八年级上·四川乐山·期中）（1）若都是实数，且，求的立方根； （2）已知与互为相反数，求的值． 【答案】（1）的立方根为5；（2） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根的性质． （1）根据二次根式有意义的条件，可以得到x的值，进而得到y的值，最后代入求解即可； （2）根据题意得到，进一步计算即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：，解得， 所以， 所以； （2）∵与互为相反数， ∴， ∴． 地 城 考点02 利用二次根式的性质化简 6．（24-25八年级下·河南许昌·期中）若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了二次根式的化简．根据二次根式的性质，，再结合与的大小关系，判断的符号，进而化简绝对值． 【详解】解：由二次根式的性质，得：． 因为，而， 所以，即为负数． 根据绝对值的定义，得：． 因此， 故选：D． 7．（24-25八年级下·河南商丘·期中）当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_______________的解法是错误的； (2)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值及整式的加减． （1）根据二次根式的被开方数具有非负性解答即可； （2）先把被开方数化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质解答解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ∴小亮的解答是错误的． 故答案为：小亮； （2）解：， ， ； 当时．原式． 8．（24-25八年级下·河南商丘·期中）化简 ． 【答案】2025 【分析】本题考查化简二次根式，根据即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2025． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了零指数幂，二次根式的性质，二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据零指数幂，二次根式的性质，二次根式的加减法运算法则逐一判断即可． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 10．（23-24八年级下·河南商丘·期中）下列二次根式中，不能与 合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、能与合并，不符合题意； B、不能与合并，符合题意； C、能与合并，不符合题意； D、能与合并，不符合题意； 故选：B 11．（24-25八年级上·河南郑州·期中）请写出a的一个值来说明“”这一结论是错误的．你举的例子是 （写出一个符合要求的a的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，得到当为负数时，不成立，作答即可． 【详解】解：当时，，符合题意； 故答案为：（答案不唯一）． 地 城 考点03 最简二次根式的判断 12．（24-25八年级下·河南商丘·期中）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母，从这两点出发逐项判定即可得到答案，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A：，被开方数2是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件； B：，被开方数，分母含根号，需化简为，故不是最简二次根式； C：，被开方数，含平方因数4，可化简为，故不是最简二次根式； D：，被开方数为分数，分母含根号，需化简为，故不是最简二次根式； 故选：A． 13．（24-25八年级下·河南漯河·期中）下列二次根式是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：A、中被开方数含有因数9，不是最简二次根式，不合题意； B、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不合题意； C、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 14．（23-24八年级上·河南郑州·期中）下列各式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简二次根式，利用最简二次根式定义判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 15．（24-25八年级上·河南·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、是三次根式，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 16．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的定义， 最简二次根式必须同时满足以下条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此进行逐一判断即可． 【详解】A． ，，不是最简二次根式，故此项不符合题意； B． ，不是最简二次根式，故此项不符合题意； C． ，不是最简二次根式，故此项不符合题意； D． ，符合最简二次根式的定义，故此项符合题意； 故选：D． 地 城 考点04 二次根式的混合运算 17．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1； (3)； (4)17． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并二次根式即可得到结论； （2）根据平方差公式计算即可； （3）先化简二次根式，再合并二次根式，据此计算即可； （4）根据二次根式混合运算的法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 18．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，阴影部分（正方形）的四个顶点在5×5的网格格点上． (1)请求出图中（正方形）的面积S和边长x． (2)若阴影部分边长的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)S为13，边长x为； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，无理数的估算等知识，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据图中（正方形）的面积=大正方形的面积﹣四个直角三角形的面积，进行计算即可解答； （2）先估算出的值的范围，从而可得，，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）解：图中（正方形）的面积， ∴图中（正方形）的边长， ∴图中（正方形）的面积S为13，边长x为； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴，， ∴． 19．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）（1）计算     （2）求下列未知数的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，利用平方根的含义解方程； （1）先计算二次根式的除法运算，再合并同类二次根式即可； （2）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可； 【详解】解：（1）     ； （2）， ∴， ∴， ∴或， 解得：或； 20．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算． （1）利用负整数指数幂、零指数幂、二次根式的加减法计算即可； （2）利用积的乘方和完全平方公式计算，再用二次根式加减法计算即可． 【详解】（1）解： （2） 21．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行加减计算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的混合运算： （1）利用完全平方公式、平方差公式，二次根式的运算法则进行计算； （2）利用二次根式的运算法则进行计算； （3）先利用二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 23．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式，后计算加减即可； （2）先利用乘法公式计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)4 (2)17 (3) 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算； （1）先计算乘方，求解算术平方根，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘除运算，最后计算加减运算即可； （3）先计算二次根式的乘除运算，最后计算加减运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 25．（24-25八年级上·河南郑州·期中）观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用前三个式子的规律解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律得，据此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：； （3）解：正确，理由如下， 由（2）的结论得， ∴． 26．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根数的计算、多项式除以单项式． 把各部分分别开方可得原式，再根据运算法则计算即可； 首先根据积的乘方计算可得，然后再根据多项式除以单项式的法则用多项式的每一项分别除以这个单项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（24-25八年级上·河南焦作·期中）计算． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，根据加减法即可求解． （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务． 解： ……第1步 ……第2步 ……第3步 ……第4步 (1)从第2步到第3步运用的乘法公式是______（选填“完全平方式”或“平方差公式”）； (2)上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第______步； (3)请写出正确的解题过程； (4)请根据本题以及平时学习的经验，给同学们提一条二次根式运算的注意事项． 【答案】(1)平方差公式； (2)3； (3)见详解； (4)二次根式的运算，最后结果应化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据平方差公式的特征，即可解答； （2）利用二次根式的性质进行计算，即可解答； （3）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答； （4）根据二次根式运算的注意事项，即可解答． 【详解】（1）解：从第2步到第3步运用的乘法公式是平方差公式， 故答案为：平方差公式； （2）解：上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第3步， 故答案为：3； （3）解：正确的解题过程如下： （4）解：根据本题以及平时学习的经验，给同学们提一条二次根式运算的注意事项：二次根式的运算，最后结果应化为最简二次根式． 29．（24-25八年级上·河南郑州·期中） (1)计算 (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的计算、立方根的化简，熟练掌握二次根式的四则运算和立方根的化简是解题的关键． （1）直接运用二次根式的运算法则计算即可； （2）方程两边同时开立方，可得，再化简立方根即可求解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， ， ， 30．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列运算，错误的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的性质对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的加法运算对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； В．，所以B选项不符合题意； C．与不能合并，所以C选项符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：C． 31．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 地 城 考点05 分母有理化 32．（24-25八年级上·河南郑州·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简______； (2)参照（2）式化简______； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）根据分母有理化的方法进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3） ． 33．（24-25八年级上·河南焦作·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)的有理化因式是________；的有理化因式是________； (2)观察下面的变形规律，请你猜想：________． ，，… (3)利用上面的方法，请化简： 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)9 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算及二次根式的化简，分母有理化，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． （1）根据材料中的定义及二次根式的乘法可以得到解答； （2）根据材料中给出的规律解答； （3）根据（2）得到的规律将式子化简变形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴的有理化因式是， 故答案为：，； （2）解： ， ， ， … 通过观察可得： 故答案为：； （3）解： ． 34．（23-24八年级下·河南商丘·期中）【阅读材料】在二次根式的计算中，如：，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：， ． 【解决问题】 (1)化简 的结果为________； (2)已知 求 的值； (3)计算 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键． （1）利用分母有理化、平方差公式计算； （2）利用分母有理化化简a，b，利用提公因式法把原式变形，代入算即可； （3）根据（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， ， ； （3） ． 35．（23-24八年级下·河南濮阳·期中）阅读下面的材料并解答后面所给出的问题： ①，② 两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与，数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________． (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质． （1）根据互为有理化因式的定义和示例直接得出答案； （2）利用平方差公式对分母进行分母有理化，即可解答； （3）利用平方差公式对分母进行分母有理化，再合并计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式是，的有理化因式是， 故填：，； （2） （3） 地 城 考点06 二次根式的应用 36．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为8和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A．32 B．30 C．24 D．22 【答案】C 【分析】本题考查求阴影部分面积，涉及算术平方根的应用、二次根式乘方运算等知识，读懂题意，数形结合求出大正方形的边长，进而间接表示阴影部分面积代值求解即可得到答案，根据题意，数形结合表示出大正方形边长是解决问题的关键． 【详解】解：面积为8的小正方形边长为；面积为18的小正方形边长为， 如图所示，大正方形的边长为，则大正方形的面积为， 从一个大正方形中裁去面积为8和18的两个小正方形，则余下部分的面积为， 故选：C． 37．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积，其求三角形面积的方法用现在的语言表达如下：的三边为，．若的三边，，，则的面积 7.5（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，先将，，代入求出三角形的面积，再进行比较即可． 【详解】解：将，，代入得出 ， 因为， 所以的面积7.5， 故答案为：． 38．（24-25八年级上·河南郑州·期中）某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长）． 材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 请你用适合的公式解决问题． (1)三角形的三边长为，，，则面积为 ； (2)如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查二次根式的应用，勾股定理，关键是根据三角形的面积公式解答． （1）根据秦九韶公式即可得到结论； （2）根据勾股定理求出，再由秦九韶公式，二次根式的计算解答即可． 【详解】（1）解： ，，， ， 故答案为：； （2）解：连接， 四边形中，，，， ， 的面积， ， 的面积， 四边形的面积为． 39．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B． (1)图①截出的正方形木板A的边长为_______，B的边长为_______； (2)求图①中阴影部分的面积； (3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能截出，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， 故答案为：，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， ∴阴影部分宽为， ∴阴影部分面积为， （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 40．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米． (1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）． (2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱? 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解：（米）， ∴长方形的周长为米． （2） （平方米）， 则（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式 6大高频考点概览 考点01 二次根式有意义的条件 考点02 利用二次根式的性质化简 考点03 最简二次根式的判断 考点04 二次根式的混合运算 考点05 分母有理化 考点06 二次根式的应用 地 城 考点01 二次根式有意义的条件 1．（24-25八年级下·河南许昌·期中）要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如果，那么 ． 3．（24-25八年级下·河南焦作·期中）化简： ． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）若二次根式有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·四川乐山·期中）（1）若都是实数，且，求的立方根； （2）已知与互为相反数，求的值． 地 城 考点02 利用二次根式的性质化简 6．（24-25八年级下·河南许昌·期中）若，则（    ） A．0 B． C． D． 7．（24-25八年级下·河南商丘·期中）当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_______________的解法是错误的； (2)当时，求的值． 8．（24-25八年级下·河南商丘·期中）化简 ． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·河南商丘·期中）下列二次根式中，不能与 合并的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河南郑州·期中）请写出a的一个值来说明“”这一结论是错误的．你举的例子是 （写出一个符合要求的a的值即可） 地 城 考点03 最简二次根式的判断 12．（24-25八年级下·河南商丘·期中）下列属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·河南漯河·期中）下列二次根式是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·河南郑州·期中）下列各式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·河南·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（      ） A． B． C． D． 地 城 考点04 二次根式的混合运算 17．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，阴影部分（正方形）的四个顶点在5×5的网格格点上． (1)请求出图中（正方形）的面积S和边长x． (2)若阴影部分边长的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 19．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）（1）计算     （2）求下列未知数的值． 20．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算： (1) (2)． 21．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）计算 (1)； (2)． 22．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算： (1) (2) (3) 23．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)． 24．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 25．（24-25八年级上·河南郑州·期中）观察下列算式： …………………………………………① ………………………………② ………………………………③ … (1)由上述三个算式，可得________； (2)请直接用含（正整数）的代数式表示上述规律； (3)请借助探究中获得的经验判断是否正确，并说明理由． 26．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）计算： (1) (2)． 27．（24-25八年级上·河南焦作·期中）计算． (1)； (2) 28．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务． 解： ……第1步 ……第2步 ……第3步 ……第4步 (1)从第2步到第3步运用的乘法公式是______（选填“完全平方式”或“平方差公式”）； (2)上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第______步； (3)请写出正确的解题过程； (4)请根据本题以及平时学习的经验，给同学们提一条二次根式运算的注意事项． 29．（24-25八年级上·河南郑州·期中） (1)计算 (2)解方程： 30．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列运算，错误的是（） A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 地 城 考点05 分母有理化 32．（24-25八年级上·河南郑州·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简______； (2)参照（2）式化简______； (3)化简：． 33．（24-25八年级上·河南焦作·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)的有理化因式是________；的有理化因式是________； (2)观察下面的变形规律，请你猜想：________． ，，… (3)利用上面的方法，请化简： 34．（23-24八年级下·河南商丘·期中）【阅读材料】在二次根式的计算中，如：，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：， ． 【解决问题】 (1)化简 的结果为________； (2)已知 求 的值； (3)计算 ． 35．（23-24八年级下·河南濮阳·期中）阅读下面的材料并解答后面所给出的问题： ①，② 两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与，数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________． (2)求的值； (3)求的值． 地 城 考点06 二次根式的应用 36．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为8和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A．32 B．30 C．24 D．22 37．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积，其求三角形面积的方法用现在的语言表达如下：的三边为，．若的三边，，，则的面积 7.5（填“＞”“＜”或“＝”）． 38．（24-25八年级上·河南郑州·期中）某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长）． 材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 请你用适合的公式解决问题． (1)三角形的三边长为，，，则面积为 ； (2)如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 39．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B． (1)图①截出的正方形木板A的边长为_______，B的边长为_______； (2)求图①中阴影部分的面积； (3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 40．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米． (1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）． (2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱? 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $