精品解析：湖北省部分高中协作体2025-2026学年高二上学期9月联考数学试题

湖北省部分高中协作体2025—2026学年上学期9月联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则集合的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】联立求出，得到答案. 【详解】联立，解得或， 所以，集合的元素个数为2. 故选：C 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知： ，，， 据此可得：. 本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3. 已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程得或,再根据图象确定满足条件时的取值范围. 【详解】因为，所以或, 的图象如图所示， 由图象得有一个实根0， 所以要使有两个不同非零实根，只需， 故选：C. 4. 已知函数，设，，，则，，的大小关系是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调性比较大小即可； 【详解】解：因为 令 解得 ∴函数在上是减函数， 因为 ∴，即 故选：A 【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题． 5. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可. 【详解】解：由题意建立如图所示直角坐标系 因为AB=3，BC=4，则B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)， ，，设， 因为BE⊥AC， 所以，解得. 由，得， 所以解得 所以， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 6. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理得，化简即得解. 【详解】由正弦定理得. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识理解掌握水平. 7. 若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立是（ ）． A. 内的所有直线与a是异面直线 B. 内不存在与a平行的直线 C. 内存在唯一一条直线与a平行 D. 内的所有直线与a都相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和平面的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设， A选项，内过点的直线与共面，所以A选项错误. D选项，内，不过点的直线与异面，所以D选项错误. BC，若存在，则由于， 所以，这与已知矛盾，所以B选项正确，C选项错误. 故选：B 8. 为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村人数之比是，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的要求计算即可. 【详解】设被抽取参与调研的乙村村民有人，则根据分层抽样按两村人口比例，甲村被抽取参与调研的有人， 所以，即，所以参加调研的总人数. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各图中，能表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合函数的对应关系直接判断即可. 【详解】对A：多个对应一个，可以是函数； 对B：在轴左侧或右侧，一个对应多个，不是函数； 对C：一个对应一个，可以是函数； 对D：为不连续的点函数. 故选：ACD 10. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得. 【详解】设、； 对A：设，则， ，故A错误； 对B： ，又，即有，故B正确； 对C：，则， ，，则， 即有，故C正确； 对D： ， ， 故，故D正确. 故选：BCD. 11. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误. 【详解】A：且，故平均数不相同，错误； B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C：，故方差相同，正确； D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 定义在上的函数满足，当时，，当时，，则________________. 【答案】340 【解析】 【分析】利用条件可得的周期，再利用函数解析式和周期性计算出至，再利用，从而将目标转化为一个周期内的函数值的运算. 【详解】因为，所以的周期， 当时，，则，， 则，， 当时，，则，，，， 则，， 则， ， 而， 所以． 故答案为：340. 13. 如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m． 【答案】 【解析】 【分析】结合圆锥的侧面展开图，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得到，利用勾股定理，即可求解. 【详解】如图所示，根据题意可得为边长为的正三角形， 所以， 所以圆锥底面周长， 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得， 故，则， 所以， 所以小猫所经过的最短路程是． 故答案为： 14. 若三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由三点共线转换为向量共线来做，根据向量共线定理列出方程即可得解. 【详解】，且三点共线， 存在实数，使得． 即， 解得 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解； （2）分、和三种情况，结合二次函数性质分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：，且二次函数的对称轴为， 若，则，解得； 若，则，符合题意； 综上所述：a的取值范围. 【小问2详解】 因为，则开口向上，且的对称轴为， 若，即时，则在区间上单调递增， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可得； 综上所述：. 16. 已知函数． （1）化简的表达式； （2）求函数的最小正周期和单调递增区间． 【答案】（1） （2）最小正周期为，单调递增区间为， 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式； （2）根据周期公式求周期，结合正弦函数的单调性求函数的单调递增区间. 【小问1详解】 因为， 又， 所以． 【小问2详解】 函数的最小正周期为， 令，, 则，, 所以函数的单调递增区间为， 17. 已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量，且. （1）求角C的大小： （2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长． 【答案】（1）；（2）6. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由向量数量积坐标运算得，又三角形的三个内角，所以有，因此，整理得，所以所求角的大小为；（2）由等差中项公式得，根据正弦定理得，又，得，由（1）可得，根据余弦定理得，即，从而可解得. （1） 在中，由于，所以. 又，，又，. 而，. （2）成等差数列，，由正弦定理得. ，.由（1）知，所以. 由余弦定理得，，. . 考点：1.正弦、余弦定理；2.向量数量积. 18. 如图，正方体的棱长为4，点M为棱的中点，P，Q分别为棱，上的点，且，PQ交于点N． （1）求证：平面ABCD； （2）求多面体的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：由题意证得，再由线面平行的判定定理即可证明； 方法二：建立如图所示空间直角坐标系，由空间向量的坐标表示求出，即可证明； （2）方法一：由设多面体BDMPQ的体积为V，连接DP，则，代入计算即可求出答案； 方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量夹角公式求出的值，即可求出，表示出，再求出点到平面的距离，即可得出答案. 【小问1详解】 方法一： ∵，，∴． ∴，即点N为线段的中点． 过点N作于点E，则，且， ∴，且，∴四边形AMNE为平行四边形， ∴．又∵平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD． 方法二： 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，， ∴，． ∵，，∴点N为的中点，则， ∴， ∴与，共面，且平面ABCD， ∴平面ABCD． 【小问2详解】 方法一： 设多面体BDMPQ的体积为V，连接DP，则 ． 方法二：∵，，，，则， ∴，且， ∴四边形PQDM为平行四边形，且，． ∵，， ∴，∴， ∴． 设为平面DMPQ的法向量，则 令，则，，即， ∴点到平面的距离为， ∴四棱B-DMPQ的体积为． 19. 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，. （1）求线段的长； （2）求异面直线与所成角余弦值； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）选择以为起点的三个向量作为基底，利用基向量表示，再利用模长公式进行求解； （2）设异面直线与所成的角为，则， 再利用空间向量的模长公式、数量积公式进行求解； （3）利用空间向量的数量积为0进行证明. 【小问1详解】 设，，， 则，，， . 因为， 所以 ， 所以线段的长为. 【小问2详解】 设异面直线与所成的角为， 则， 因为，， 所以 ， ， 则 ， 即异面直线与所成的角的余弦值为. 【小问3详解】 证明：因为，， 所以， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分高中协作体2025—2026学年上学期9月联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则集合的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C 2 D. 3 2. 已知，，，则a，b，c大小关系为 A. B. C. D. 3. 已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，设，，，则，，的大小关系是　　 A. B. C. D. 5. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）． A. 内所有直线与a是异面直线 B. 内不存在与a平行的直线 C. 内存在唯一一条直线与a平行 D. 内的所有直线与a都相交 8. 为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村人数之比是，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 40 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各图中，能表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数均不0，则（ ） A. B. C. D. 11. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 定义在上的函数满足，当时，，当时，，则________________. 13. 如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m． 14. 若三点共线，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15 已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 16. 已知函数． （1）化简的表达式； （2）求函数的最小正周期和单调递增区间． 17. 已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量，且. （1）求角C的大小： （2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长． 18. 如图，正方体的棱长为4，点M为棱的中点，P，Q分别为棱，上的点，且，PQ交于点N． （1）求证：平面ABCD； （2）求多面体的体积． 19. 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，. （1）求线段的长； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $