学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷01（北师大版九上全部：特殊平行四边形+一元二次方程+概率+图形的相似+投影与视图+反比例函数）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2012九年级数学上册第1~6章（特殊平行四边形~反比例函数）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D．和的大小无法比较 3．如图所示，该零件由三个圆柱组成，下列说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同 C．左视图和主视图相同 D．三视图都相同 4．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲 8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 9．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（ ） A．36 B．32 C．16 D．8 10． 如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论：①；②四边形为平行四边形； ③若，则；④若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则的值为 ． 12．一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则白球有 个． 13．在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图所示．点P(4，3)在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是 m. 14．若a是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值是 ． 15．如图，在中，点是边的中点，，． 则= ． 16．如图，已知矩形，，，将延翻折的，将延翻折的，点F正好落在所在直线上，问当时， .    三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 18．（8分）四个完全相同的乒乓球，分别标有数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，再从剩下的3个球中随机摸出一个球，记下数字后将两个球都放回． (1)第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 19．（8分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，＝ ；（填两数字之比） (2)如图②，在线段AB上找一点P，使 （利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法）； (3)如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形． 20．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 21．（8分）如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 22．（10分）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 23．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 24.（12分）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： (1)【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； (3)【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； (4)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2012九年级数学上册第1~6章（特殊平行四边形~反比例函数）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D．和的大小无法比较 3．如图所示，该零件由三个圆柱组成，下列说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同 C．左视图和主视图相同 D．三视图都相同 4．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲 8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 9．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（ ） A．36 B．32 C．16 D．8 10．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则的值为 ． 12．一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则白球有 个． 13．在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图所示．点P(4，3)在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是 m. 14．若a是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值是 ． 15．如图，在中，点是边的中点，，． 则= ． 16．如图，已知矩形，，，将延翻折的，将延翻折的，点F正好落在所在直线上，问当时， .    三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 18．（8分）四个完全相同的乒乓球，分别标有数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，再从剩下的3个球中随机摸出一个球，记下数字后将两个球都放回． (1)第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 19．（8分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，＝ ；（填两数字之比） (2)如图②，在线段AB上找一点P，使 （利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法）； (3)如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形． 20．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 21．（8分）如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 22．（10分）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 23．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 24.（12分）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： (1)【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； (3)【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； (4)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷01 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C C A C B A A C 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11． 7 12． 13． 1.2 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）解：∵关于x的方程总有两个实数根， ∴， 解得：；………………………4 分 （2）解：设为方程的另一个根， ∴，．………………………6 分 解得：，， ∴m的值为1，另一个根为3．……………………… 8分 18．（8分）（1）解：第一次摸到的球可能的结果有1、2、3、4共四种结果， ∴第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 故答案为：．………………………3 分 （2）依题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种， ∴两次摸到的球上数字之和为偶数的概率为．……………………… 8分 19．（8分）（1）……………………… 2分 （2）解：点如图所示， ；……………………… 5分 （3）如图③中，即为所求作． ……………………… 8分 20．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ （1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为．……………………… 3分 （2）解：设售价应降低元， 由题意得：，………………………5 分 整理得：， 解得或，……………………… 7分 ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元．……………………… 8分 21．（8分）（1）解：∵ ， ∴ ，即． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形为平行四边形． 又∵ 于点， ∴ ， ∴ 四边形为矩形．………………………4 分 （2）解：∵ 四边形为矩形，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且．……………………… 6分 ∵ ， ∴， 解得． 又∵ 四边形是矩形，， ∴ ．……………………… 8分 22．（10分）（1）解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为．……………………… 4分 （2）解：设秒后可使与相似，则，， 当时，，即， 解得：． 秒后可使．………………………6 分 当时，，即， 解得， 综上所述，满足条件的的值为秒或秒．……………………… 8分 23．（10分）（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为，……………………… 2分 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为；……………………… 4分 （2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或；………………………6 分 （3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，，………………………8 分 ∴ ， 即的面积为．……………………… 10分 24.（12分）【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）……………………… 2分 （2）解：如图，过点作于点，与的交点为， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ；……………………… 6分 （3）解：如图，过点作于点，与的交点为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ；……………………… 10分 （4）．……………………… 12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2012九年级数学上册第1~6章（特殊平行四边形~反比例函数）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程移项得， 两边同时加上得， 整理得， ，选项C符合题意， 故选:C． 2．反比例函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D．和的大小无法比较 【答案】B 【详解】解：该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， 又点在反比例函数的图象上，且， ， 故选：B． 3．如图所示，该零件由三个圆柱组成，下列说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．左视图和俯视图相同 C．左视图和主视图相同 D．三视图都相同 【答案】C 【详解】解：由图可知：该几何体的俯视图为圆，左视图和主视图相同，均为大长方形中间含有一个小长方形； 故选C． 4．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设四张卡片从左到右分别为A、B、C、D，则四张卡片内容中是物理学变化的有：B，D．画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为物理变化的结果有：共2种， ∴抽取两张卡片内容均为物理变化的概率为． 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 6．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 7．已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲 【答案】B 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 根据平移可知，， ∴，， 四边形是平行四边形， ∴． 方案甲，添加不能判断四边形是菱形； 方案乙，由， 平行四边形是菱形； 方案丙，由， ∵， ∴， ∴， ， 平行四边形是菱形． 所以正确的是乙和丙． 故选：B． 8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【详解】解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 9．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（ ） A．36 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【详解】解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 故选：C． 10．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图象在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论： ①； ②四边形为平行四边形； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形，反比例函数， 设，，则点，，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 则， ， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ，故①正确； 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形，故②正确； ， ， ， ，且，则， ， ， 直线的解析式为， ，且， ， ，故③错误； ， ， 解得， ， 即， ， ， （舍去）或，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则的值为 ． 【答案】7 【详解】解：， ， ． 故答案为：7 12．一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则白球有 个． 【答案】 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴估计摸到红球的概率为， ∴红球有（个）， ∴白球有（个）； 故答案为：． 13．在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图所示．点P(4，3)在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是 m. 【答案】1.2 【详解】解：设函数的表达式， 将点的坐标代入上式得：，解得， 则反比例函数表达式为， 当时，即， 解得， 故答案为：1.2． 14．若a是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵a是关于x一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15．如图，在中，点是边的中点，，． 则= ．    【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，已知矩形，，，将延翻折的，将延翻折的，点F正好落在所在直线上，问当时， .    【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的折叠、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，根据矩形的折叠得到，，，，进一步证明，则，设，则，，得到，解方程并确定，则，利用勾股定理即可求出. 【详解】解：将延翻折的，将延翻折的，点F正好落在所在直线上，四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∵ ∴， ， ∴， 设，则，， ， 解得或是分式方程的解， ∴， ， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 【答案】(1)； (2)m的值为1， 另一根为3 【详解】（1）解：∵关于x的方程总有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：设为方程的另一个根， ∴，． 解得：，， ∴m的值为1，另一个根为3． 18．（8分）四个完全相同的乒乓球，分别标有数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，再从剩下的3个球中随机摸出一个球，记下数字后将两个球都放回． (1)第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）解：第一次摸到的球可能的结果有1、2、3、4共四种结果， ∴第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 故答案为：． （2）依题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种， ∴两次摸到的球上数字之和为偶数的概率为． 19．（8分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，＝ ；（填两数字之比） (2)如图②，在线段AB上找一点P，使 （利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法）； (3)如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形． 【答案】(1) (2)见解析； (3)见解析 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点如图所示， ； （3）如图③中，即为所求作． 20．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 21．（8分）如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ，即． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形为平行四边形． 又∵ 于点， ∴ ， ∴ 四边形为矩形． （2）解：∵ 四边形为矩形，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且． ∵ ， ∴， 解得． 又∵ 四边形是矩形，， ∴ ． 22．（10分）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 【答案】(1)2秒或秒后可使的长为 (2)t的值为秒或秒 【详解】（1）解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为． （2）解：设秒后可使与相似，则，， 当时，，即， 解得：． 秒后可使． 当时，，即， 解得， 综上所述，满足条件的的值为秒或秒． 23．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)或 (3) 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或； （3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． 24.（12分）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： (1)【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； (3)【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； (4)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：如图，令与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点，与的交点为， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ； （3）解：如图，过点作于点，与的交点为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； （4）解：如图，连接、， 由折叠的性质可知，，，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 同（2）理可得：，即， ， 作点关于的对称点，连接、、， ，，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， ， 有最小值为， 的最小值为． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 3 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共18分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 三 、解答题（共72分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 8 分） ) ( 18．（ 8 分） 19．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（8分） 21．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （ 10 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （ 1 0 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 1 2 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1【/] 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A]B][C][D] 5[A][B][CI[D] 9[A][B][C]D] 2 [A][B][C][D] 6[A]B][C][D] 10[A]B][CD] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 4[A]B][C][D] 8[AJ[B][C][D] IIIIIII 二、 填空题（每小题3分，共18分) 11. 12. 13 14. 15 16. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分) 数学弟1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) B B 0 A C D B 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内趣学第2熏低然形弧框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) A ◇ 请在各题目的答题区域内作等趣盥墨鲁矩程沙限定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) B A P》 请在各题目的答题膛锦钓4顶赂（超6侧色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域嫩学第5题（熟烦形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) E B F 图1 图2 H E A D G E B B F 图3 图4 请在各题目的答题区域内嫩学，嘿须框限定区域的答案无效！