专题03 概率的进一步认识（五大题型）（期中真题汇编，四川专用）九年级数学上学期

专题03 概率的进一步认识 5大高频考点概览 考点01 几何图形中求概率 考点02 利用列举法求概率 考点03 利用列表法或树状图求概率 考点04 游戏的公平性 考点05 概率的进一步认识综合题 地 城 考点01 几何图形中求概率 1．(24-25九上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，若以虚线折叠纸片．现假设可以在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 2．(24-25九上·四川雅安名山中学蒙山校区·期中)如图，正六边形转盘被分成六个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在涂色部分的概率是 ． 3．(24-25七下·四川成都树德中学·期中)欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为6，中间有边长为1的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是 ．（保留π） 4．(24-25九上·四川成都郫都区嘉祥外国语学校·期中)如图，地面上铺满了正方形的地砖（），现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率是 ． 5．(23-24九上·四川成都武侯区武侯区启明学校·期中)如图，边长为2的正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．    6．(24-25九上·四川成都高新技术产业开发区·期末)用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，．现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 9．(24-25九上·四川成都郫都区西川汇锦都学校·期中)如图是一张四边形纸板，对角线，，，顺次连按各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷到大纸板上，则飞镖落在阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率是 ． 地 城 考点02 利用列举法求概率 1．如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都北京师范大学成都实验中学·期中)在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“石头”时，对手与你打平的概率为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都教育科学研究院附属实验中学·期中)随机抛一枚硬币两次，两次都是反面朝上的概率是 ． 4．(24-25九上·四川成都金牛区实验外国语学校·期中)小明在1，，4中任取一个数作为m的值，小慧也在1，，4中任取一个数作为n的值，则点落在双曲线上的概率为 ． 地 城 考点03 利用列表法或树状图求概率 1．(24-25九上·四川成都武侯区领川外国语学校·期中)新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门学科中选两科．若从政治、化学、生物、地理四门学科中随机选择两科，则选中政治学科的概率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九下·四川达州万源中学·期中)电影《哪吒之魔童闹海》不仅视觉震撼，而且有多层次的教育意义．某班级在组织学生集体观看影片后，开展了“剧本分析，角色扮演”活动．为了决定角色的扮演者，老师设计了摸卡片游戏，把四张分别写有“哪吒”“敖丙”“申公豹”“太乙真人”且除文字外其他均相同的卡片放在不透明的袋子中，甲同学从四张卡片中随机抽取1张后，乙同学再从剩余的卡片中随机抽取1张，根据抽取卡片上的角色确定扮演者，则甲、乙同学扮演“哪吒”，“敖丙”的概率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九下·四川达州大竹县文星中学·期中)达州市拥有诸多著名景点，小明做旅游攻略选中了“凤凰山”、“崇人谷”、“罗江古镇”、“杨烈水乡”这四个景点．他想先选择两个景点去游玩，若选择每个景点的可能性相同，则他同时选中“崇人谷”和“罗江古镇”这两个景点的概率为 ． 4．(24-25九上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字，1，4，搅匀后随机摸出一个小球，其上的数字记为p，放回重新搅匀后，再随机摸出一个小球，其上的数字记为q，则p，q使得关于x的方程有实数解的概率是 ． 5．(24-25九上·四川成都第七中学初中学校·期中)有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为，则直线不经过第三象限的概率为 ． 6．(24-25九上·四川达州通川区第八中学·期中)甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为 ． 7．(24-25九上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有数字，，1，4．随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为 ． 8．(24-25九上·四川成都武侯区成都第七中学高新校区·期中)两人一组，每个人在纸上随机写一个不大于4的正整数分别作为和的值，则一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1的概率为 ． 10．(24-25九上·四川达州渠县有庆中学·期中)在不透明的口袋中,有五个形状、大小、质地完全相同的小球，五个小球上分别标有数字-2、-1、0、2、3，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为点C的横坐标，然后放回摇匀，再从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为点C的纵坐标，则点C恰好与点A(-2,2)、B(3,2)构成直角三角形的概率是 11．(24-25九上·四川绵阳涪城区·期中)今年十月初，我校为迎接建党“二十大召开”，举行了“童心向党，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．那么九年级同学获得前两名的概率是 ． 12．(24-25九上·四川成都成都第七中学·期中)已知关于的一元二次方程，从1，2，3三个数中任取一个数作为方程中的的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中的值，能使该方程有实数根的概率是 ． 地 城 考点04 游戏的公平性 1．(24-25九上·四川巴中南江县实验中学·期中)同一副扑克中有9张分别写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的扑克牌，把它们的背面朝上洗匀后，在桌面排开，从中任意摸取一张牌． (1)摸到大于4的概率是多少？ (2)小明和小凡利用这9张扑克做游戏，摸到奇数小明获胜，摸到偶数小凡获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 2．(24-25九上·四川成都七中育才学校·期中)小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 3．(24-25九上·四川成都新津为明学校（南校区）·期中)某公司组织部分员工到一博览会的A、B、C、D、E五个展馆参观，公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示．请根据统计图回答下列问题：    （1）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整； （2）若A馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机同时抽出两张牌，若牌面数字和为偶数时，门票给小明，否则给小华．”请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平？ 4．(24-25九上·四川渠县崇德实验学校·期中)小亮与小明做掷骰子(质地均匀的正方体，6个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6)的试验， （1）他们共做了50次试验，试验结果如下： ①填空：试验中，“朝上的点数为1”的频率是　　　　. ②小亮说：“根据试验,出现朝上的点数为1的概率最大”他的说法正确吗?为什么? （2）两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过6，则小亮获胜，否则小明获胜，小亮与小明谁获胜的可能性大?试说明理由． 地 城 考点05 概率的进一步认识综合题 1．(24-25九上·四川德阳中江县·期中)学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校．某校赵老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差，请根据图中信息，解答下列问题： (1)全班学生总人数是______； (2)补全条形统计图，在扇形统计图中，______，C类的圆心角为______； (3)赵老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用树状图或列表法求出抽中全是B类学生的概率． 2．(24-25九上·四川成都武侯区领川外国语学校·期中)在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个． (1)若在甲袋中再放入x个红球，2个白球，摇匀后从甲袋中摸出1个小球，且摸出的小球是红色的概率为，求x的值． (2)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的两个球都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）． 3．(24-25九下·四川眉山洪雅县·期中)为传承中华优秀传统文化，不断提升青少年的审美和人文素养，我县某学校举办了以“绽放艺术风采、激发强国力量”为主题的艺术展演活动．张老师从全校50个班中随机抽取了A、B、C、D共4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)张老师所调查的4个班共征集到作品 件，在扇形统计图中，表示A班的扇形周心角的度数为，则B班的扇形周心角的度数为 ，并补全条形统计图； (2)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程）． 4．(24-25九上·四川成都第七中学初中学校·期中)在一只不透明的口袋里，装有若干个红球和白球，它们除了颜色不同外其余都相同，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的______，______； (2)“摸到白球的”的概率的估值是______（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，现从袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从袋中摸出一球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 5．(24-25九下·四川广安·期中)为了解广安市民对共享单车的使用情况，小月以问卷的形式，对部分广安市民某天的骑行时间（分）进行了随机调查，将获得的数据分成四组（；；；），并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图． (1)求参与本次随机调查的市民共有______人，其中B组的人数所在扇形的圆心角的度数为_________； (2)补全条形统计图； (3)小月打算在、两组中各随机选一名用户进行采访，若这两组中各有两名女士，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率． 6．(24-25九上·四川成都西川中学·期中)为增进全校同学对网络诈骗的了解、增强防范意识，校学生会宣传部决定从A，B，C，D，E这5名同学中随机选择部分同学参加知识宣讲活动，已知A，B，C为男生，D，E为女生． (1)若随机选择一人参加宣讲活动，则男生被选中的概率为______； (2)若随机选择两人参加宣讲活动，请用列表或画树状图的方法求两人中至少有一名女生的概率． 7．(24-25九上·四川成都金堂县·期中)近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次一共调查了 位同学，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数； (3)为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率． 8．(24-25九上·四川成都武侯区西川实验学校·期中)某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分8分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知该校初三共 名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是 人； (2)由图可知的值为 ； (3)初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中至少有1个女生的概率． 9．(24-25九上·四川成都玉林中学·期中)为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课科技项目中，你最喜欢的是　　　　　　（单选） A．无人机    B．人工智能    C．动漫    D．编程 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： (1)请补全条形统计图， (2)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ (3)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 10．(24-25九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中)一个不透明的袋子中共装有个小球，其中个红球，个白球，个黄球． 这些小球除颜色外都相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球次． (1)随机摸球次，其中摸出黄球次，则这次摸球中，摸出黄球的频率是 ． (2)随机摸球次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 11．(24-25九上·四川广安友谊中学·期中)某网站调查；2024年网民们关注的热点话题为：消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根据抽样调查的相关数据绘制统计图表如下，根据信息解答下列问题： (1)本次共抽查______人，“反腐”的圆心角度______，关注教育的有______人； (2)某市约有2800万人，由上述数据估计该市关注“消费”的人数是多少？ (3)某部门有甲、乙、丙、丁四人关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或树状图法计算抽取的两人恰好是甲和乙的概率； 12．(24-25九上·四川成都盐道街中学·期中)为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：；；；，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数； (3)若“”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各名同学的概率． 13．(24-25九上·四川达州渠县中学·期中)某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心” 宣传推广工作，截至2023年底，注册人数已达216.39万人，某社区工作人员为调 查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（80－100分）、B：比较了解（60－80分）、C：基本了解（40－60分）、D：不太了解（0－40分） 四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图．      请根据如图提供的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中，A等级对应的扇形的圆心角度数为________，补全条形统计图； (2)若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数； (3)为更好地开展“国家反诈中心”宜传推广工作，社区准备招募2名宜讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，求选取的2人不是同一组居民的概率． 14．(23-24九上·四川成都金堂县·期中)某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的总人数为______人． (2)扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人． (3)通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率． 15．(23-24九上·四川泸县二外梁才学校·期中)根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成、、、四个层级，其中分钟以上；分钟；分钟；分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题： (1)求扇形统计图中“”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图； (2)全校约有学生1500人，估计“”层级的学生约有多少人？ (3)学校从“”层级的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？ 16．(23-24九下·四川达州渠县渠县中学·期中)某校积极响应推进“文明城市建设”的工作，培养学生的环保意识．为了解学生对环保知识的掌握情况，该校进行了环保知识竞赛，竞赛结束后，教务处随机抽取了部分学生成绩进行统计，发现所有学生的成绩均不低于75分，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了不完整的统计图，请结合统计图，解答下列问题： (1)条形统计图中， ，扇形统计图中， ．并补全条形统计图； (2)该校决定从获得满分的甲、乙、丙、丁4名学生中随机选取2名参加市上的比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、乙2名学生的概率． 17．(23-24九上·四川成都武侯区武侯区启明学校·期中)小汤对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)________，热学对应的圆心角＝_________． (2)如图2，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，请用树状图或列表法求出灯泡亮的概率． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率的进一步认识 5大高频考点概览 考点01 几何图形中求概率 考点02 利用列举法求概率 考点03 利用列表法或树状图求概率 考点04 游戏的公平性 考点05 概率的进一步认识综合题 地 城 考点01 几何图形中求概率 1．(24-25九上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，若以虚线折叠纸片．现假设可以在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠的性质，几何概率：某事件的概率这个事件所占有的面积与总面积之比．等边三角形纸片的面积为S，根据等边三角形的性质和三角形面积公式得到阴影部分的面积，然后用阴影部分的面积除以等边三角形纸片的面积即可． 【详解】解：设等边三角形纸片的面积为S， 根据题意得阴影部分的面积， 所以这个点取在阴影部分的概率． 故答案为：． 2．(24-25九上·四川雅安名山中学蒙山校区·期中)如图，正六边形转盘被分成六个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在涂色部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，直接用涂色的三角形个数除以三角形总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在涂色部分的概率是， 故答案为：． 3．(24-25七下·四川成都树德中学·期中)欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为6，中间有边长为1的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是 ．（保留π） 【答案】 【分析】此题考查了几何概率，根据满足题意的题意的图形面积除以总面积即可求出答案． 【详解】解：∵铜钱的面积为，而中间正方形小孔的面积为， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是． 故答案为： 4．(24-25九上·四川成都郫都区嘉祥外国语学校·期中)如图，地面上铺满了正方形的地砖（），现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何概率，先求出正方形和圆碟的面积，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵圆碟的圆心如果在正方形的地砖（）的中心部位，即的范围外，则与地砖间隙相交， ∴圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是． 故答案为： 5．(23-24九上·四川成都武侯区武侯区启明学校·期中)如图，边长为2的正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．    【答案】 【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率的计算方法，以及扇形面积和正方形面积的计算方法是解题的关键． 将图中阴影面积除以正方形面积即可求出米粒落在图中阴影部分的概率． 【详解】解：设正方形的边长为，则4个扇形的半径为， ∴米粒落在图中阴影部分的概率为：， 故答案为：． 6．(24-25九上·四川成都高新技术产业开发区·期末)用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，．现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】根据针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域的面积与整体的面积比即可解答； 【详解】 设 则 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了几何概率问题，该题解答的关键是确定针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域的面积与整体的面积比． 9．(24-25九上·四川成都郫都区西川汇锦都学校·期中)如图是一张四边形纸板，对角线，，，顺次连按各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷到大纸板上，则飞镖落在阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率是 ． 【答案】 【分析】利用三角形中位线的性质，可证得四边形是矩形，计算出两个四边形的面积即可得到阴影部分的面积，再计算，可得结论． 【详解】解：∵、是、边上的中点， ∴是的中位线 ∴，， 同理，可得，， ，， ，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴ ∴则飞镖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率，理解几何概率的意义，是正确计算的前提． 地 城 考点02 利用列举法求概率 1．如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列举法求事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有： 闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合四个的情况有：，，，， 故这些开关随机闭合至少两个共11种， 其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种， 将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为． 故选：D． 2．(24-25九上·四川成都北京师范大学成都实验中学·期中)在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“石头”时，对手与你打平的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用列举法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的公式即可求解． 【详解】解：用列举法把所有等可能结果表示出来为，对手可能出现的结果有：石头，剪刀，布种等可能结果，平手的结果是， ∴当你出“石头”时，对手与你打平的概率为， 故选：． 【点睛】本题主要考查概率的计算，理解并掌握概率的计算方法是解题的关键． 3．(24-25九上·四川成都教育科学研究院附属实验中学·期中)随机抛一枚硬币两次，两次都是反面朝上的概率是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以求得两次反面朝上的概率． 【详解】解：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，共“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”，4种情况，其中两次都是反面朝上的有1种情况， ∴两次都是反面朝上的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查列举法求概率，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率． 4．(24-25九上·四川成都金牛区实验外国语学校·期中)小明在1，，4中任取一个数作为m的值，小慧也在1，，4中任取一个数作为n的值，则点落在双曲线上的概率为 ． 【答案】 【分析】根据列举法得到所有点的个数，代入求出在双曲上的点即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 所有点的情况下为： ，，，，，，，，，9种情况；，，，在双曲线上， ∴概率为：， 故答案为． 【点睛】本题考查概率求解，解题的关键是列举出所有点． 地 城 考点03 利用列表法或树状图求概率 1．(24-25九上·四川成都武侯区领川外国语学校·期中)新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门学科中选两科．若从政治、化学、生物、地理四门学科中随机选择两科，则选中政治学科的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． 先画出树状图，找出所有等可能情况及选中政治学科的情况数，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意画树状图如下： 根据树状图可知：共有12种等可能的情况，其中选中政治学科的情况数有6种， ∴选中政治学科的概率为， 故选：D． 2．(24-25九下·四川达州万源中学·期中)电影《哪吒之魔童闹海》不仅视觉震撼，而且有多层次的教育意义．某班级在组织学生集体观看影片后，开展了“剧本分析，角色扮演”活动．为了决定角色的扮演者，老师设计了摸卡片游戏，把四张分别写有“哪吒”“敖丙”“申公豹”“太乙真人”且除文字外其他均相同的卡片放在不透明的袋子中，甲同学从四张卡片中随机抽取1张后，乙同学再从剩余的卡片中随机抽取1张，根据抽取卡片上的角色确定扮演者，则甲、乙同学扮演“哪吒”，“敖丙”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：分别用表示“哪吒”“敖丙”“申公豹”“太乙真人”张卡片， 画出树状图， 共有种等可能的结果，其中甲、乙同学扮演“哪吒”，“敖丙”的结果数为2， ∴甲、乙同学扮演“哪吒”，“敖丙”的概率为， 故选：B． 3．(24-25九下·四川达州大竹县文星中学·期中)达州市拥有诸多著名景点，小明做旅游攻略选中了“凤凰山”、“崇人谷”、“罗江古镇”、“杨烈水乡”这四个景点．他想先选择两个景点去游玩，若选择每个景点的可能性相同，则他同时选中“崇人谷”和“罗江古镇”这两个景点的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，熟练掌握运用是解题关键． 首先根据题意列表，然后得所有等可能的结果与满足条件的结果，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：令“凤凰山”、“崇人谷”、“罗江古镇”、“杨烈水乡”这四个景点分别为A、B、C、D， 列表如下 由表可知共有12种等可能的结果，选择去“崇人谷”和“罗江古镇”这两个景点的结果有2种， ∴概率为， 故答案为：． 4．(24-25九上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字，1，4，搅匀后随机摸出一个小球，其上的数字记为p，放回重新搅匀后，再随机摸出一个小球，其上的数字记为q，则p，q使得关于x的方程有实数解的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图求概率的运用，根的判别式的运用，解答时运用列表求出所有可能的情况是关键． 由题意通过列表求出、的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率． 【详解】解：当关于x的方程有实数根时，， 即， 由题意，列表为： p               q 1 4 ，（能） 1，（能） 4，（能） 1 ，1（能） 1，1（不能） 4，1（能） 4 ，4（不能） 1，4（不能） 4，4（能） ∵通过列表可以得出共有9种情况，其中能使关于x的方程有实数根的有6种情况， ∴p，q满足关于x的方程有实数根为． 故答案为：． 5．(24-25九上·四川成都第七中学初中学校·期中)有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为，则直线不经过第三象限的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，一次函数的图像和性质，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出直线不经过第三象限，即的结果数，然后根据概率公式求解即可； 【详解】解：由题意，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中直线不经过第三象限的结果有：，共2种， 直线不经过第三象限的概率为， 故答案为：． 6．(24-25九上·四川达州通川区第八中学·期中)甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法，列表或画树状图求随机事件的概率，根据方程有两个不相等的实根可得，画树状图表示所有等可能结果，再找出甲获胜的概率，即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 画树状图表示所有等可能结果如下，抽取结果表示为， 共有9种等可能结果，其中的有，，，，，共5种， ∴甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为， 故答案为： ． 7．(24-25九上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有数字，，1，4．随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为 ． 【答案】/0.375 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握列表法与树状图法以及一元二次方程根的判别式是解答本题的关键． 由题意得，，则，再画树状图求概率即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 画树状图如下， 共有16种等可能的结果，满足的结果有６种， ∴方程是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为， 故答案为：． 8．(24-25九上·四川成都武侯区成都第七中学高新校区·期中)两人一组，每个人在纸上随机写一个不大于4的正整数分别作为和的值，则一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1的概率为 ． 【答案】/0.625 【分析】根据与两坐标轴的交点坐标为，求出次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积，得到之间的关系，利用树状图法求概率即可． 【详解】解： ∵与两坐标轴的交点坐标为， 又∵一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积不小于1，和是不大于4的正整数， ∴，即， 画树状图，如下： 由树状图知共有16种情况，满足的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)， (2，3)， (2，4)，(3，3)， (3，4) ，(4，3) ，(4，4)，10种情况， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查利用树状图求概率．熟练掌握利用一次函数的图象与坐标轴的交点坐标，计算出图象与两坐标轴围成的三角形面积，是解题的关键． 10．(24-25九上·四川达州渠县有庆中学·期中)在不透明的口袋中,有五个形状、大小、质地完全相同的小球，五个小球上分别标有数字-2、-1、0、2、3，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为点C的横坐标，然后放回摇匀，再从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为点C的纵坐标，则点C恰好与点A(-2,2)、B(3,2)构成直角三角形的概率是 【答案】 【分析】 画出树状图，然后找出可以构成直角三角形的点的情况数，再根据概率公式列式进行计算即 可得解． 【详解】 解：画树状图如下： 共有25种情况， 当点的坐标为、、、、、、、、、 共10种情况时，构成直角三角形， （直角三角形）． 【点睛】 本题考查了画树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 11．(24-25九上·四川绵阳涪城区·期中)今年十月初，我校为迎接建党“二十大召开”，举行了“童心向党，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．那么九年级同学获得前两名的概率是 ． 【答案】 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率． 【详解】解：画树状图得： 一共有12种等可能的结果，九年级同学获得前两名的有2种情况， 则九年级同学获得前两名的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12．(24-25九上·四川成都成都第七中学·期中)已知关于的一元二次方程，从1，2，3三个数中任取一个数作为方程中的的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中的值，能使该方程有实数根的概率是 ． 【答案】/ 【分析】先利用树状图展示所有6种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到当；；时，该一元二次方程有实数根，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数， 因为， 所以能使该一元二次方程有实数根占3种， ；；， 所以能使该一元二次方程有实数根的概率． 故答案为： 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了根的判别式． 地 城 考点04 游戏的公平性 1．(24-25九上·四川巴中南江县实验中学·期中)同一副扑克中有9张分别写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的扑克牌，把它们的背面朝上洗匀后，在桌面排开，从中任意摸取一张牌． (1)摸到大于4的概率是多少？ (2)小明和小凡利用这9张扑克做游戏，摸到奇数小明获胜，摸到偶数小凡获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了等可能事件的概率，一般地，如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据摸到奇数的结果求出摸到奇数的概率，根据摸到偶数的结果求出摸到偶数的概率，比较概率大小即可得知游戏是否公平． 【详解】（1）解：摸到大于4的结果有5种， ； （2）不公平，理由如下： 摸到奇数的结果有5种， ， 摸到偶数的结果有4种， ， ， 这个游戏对双方不公平． 2．(24-25九上·四川成都七中育才学校·期中)小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据哥哥去的概率为，设计转盘即可． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平． （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占3份；白色占1份，蓝色和黄色占4份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，哥哥去． 3．(24-25九上·四川成都新津为明学校（南校区）·期中)某公司组织部分员工到一博览会的A、B、C、D、E五个展馆参观，公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示．请根据统计图回答下列问题：    （1）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整； （2）若A馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机同时抽出两张牌，若牌面数字和为偶数时，门票给小明，否则给小华．”请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平？ 【答案】（1）见解析；（2）小明获得门票的概率为，小华获得门票的概率为，这个规则对双方不公平． 【分析】（1）根据“总体=部分÷对应百分比”计算出总数量，用总数量乘以B馆对应的百分比可得其数量，用C馆门票数量除以总数量求出对应百分比，从而补全图形； （2）列表得出所有等可能的结果，再根据概率公式计算两人获胜的概率，从而进行判断即可． 【详解】解：（1）门票的总数量为20÷10%＝200（张）， ∴B馆门票为200×25%＝50（张），C馆门票数量所占百分比为100%＝15%， 补全图形如下；    （2）画树状图或列表， 1 2 3 4 1 \ 3 4 5 2 3 \ 5 6 3 4 5 \ 7 4 5 6 7 \ 共有12种可能，其中和为偶数的有4种结果，和为奇数的有8种结果， ∴小明获得门票的概率为，小华获得门票的概率为， ∵， ∴这个规则对双方不公平． 【点睛】本题考查了统计图的分析及用列表法或画树状图法求概率判断游戏公平性，熟练掌握各计算公式是解题的关键． 4．(24-25九上·四川渠县崇德实验学校·期中)小亮与小明做掷骰子(质地均匀的正方体，6个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6)的试验， （1）他们共做了50次试验，试验结果如下： ①填空：试验中，“朝上的点数为1”的频率是　　　　. ②小亮说：“根据试验,出现朝上的点数为1的概率最大”他的说法正确吗?为什么? （2）两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过6，则小亮获胜，否则小明获胜，小亮与小明谁获胜的可能性大?试说明理由． 【答案】（1）①0.2；②不正确，因为在一次试验中频率并不一定等于概率,只有当试验次数很大时,频率才趋近于概率；（2）小亮获胜的可能性大,理由见解析； 【分析】（1）①根据概率计算即可；②根据概率和频率的不同判断即可； （2）根据列表法计算即可； 【详解】(1)①； ②不正确，因为在一次试验中频率并不一定等于概率,只有当试验次数很大时,频率才趋近于概率． (2)小亮获胜的可能性大，理由如下． 列表如下： 第2枚骰子掷得第1枚的点数骰子掷得的点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 1 12 由表格可知,所有可能的结果共有36种，每一种结果出现的可能性相同． 所以P(点数之和超过6)=，P(点数之和不超过6)=． 因为，所以小亮获胜的可能性大． 地 城 考点05 概率的进一步认识综合题 1．(24-25九上·四川德阳中江县·期中)学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校．某校赵老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差，请根据图中信息，解答下列问题： (1)全班学生总人数是______； (2)补全条形统计图，在扇形统计图中，______，C类的圆心角为______； (3)赵老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用树状图或列表法求出抽中全是B类学生的概率． 【答案】(1)40 (2)见详解，60， (3) 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比 （1）由A类人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，再分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比，据此即可补全图形； （3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【详解】（1）全班学生总人数为（人； （2）类人数为， 类所占百分比为，圆心角为：，类百分比为， 补全图形如下： （3）列表如下： A B B C A AB AB AC B BA BB BC B BA BB BC C CA CB CB 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是类的有2种情况， 所以全是类学生的概率为． 2．(24-25九上·四川成都武侯区领川外国语学校·期中)在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个． (1)若在甲袋中再放入x个红球，2个白球，摇匀后从甲袋中摸出1个小球，且摸出的小球是红色的概率为，求x的值． (2)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的两个球都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）． 【答案】(1)5 (2)，过程见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握用列表法与树状图法求概率以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据概率公式列方程求解即可． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸出的都是白色小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得：． ∴x的值为5． （2）解：列表如下∶ 红 白 黑 红 白 白 共有9种等可能的结果，其中摸出的都是白色小球的结果有2种， ∴摸出的都是白色小球的概率为． 3．(24-25九下·四川眉山洪雅县·期中)为传承中华优秀传统文化，不断提升青少年的审美和人文素养，我县某学校举办了以“绽放艺术风采、激发强国力量”为主题的艺术展演活动．张老师从全校50个班中随机抽取了A、B、C、D共4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)张老师所调查的4个班共征集到作品 件，在扇形统计图中，表示A班的扇形周心角的度数为，则B班的扇形周心角的度数为 ，并补全条形统计图； (2)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程）． 【答案】(1)24，，见解析 (2) 【分析】（1）根据公式计算A所占的百分比，利用利用样本容量频数所占百分比计算即可求出总数；根据扇形统计图的意义，计算度数即可；计算B班件数然后补全统计图即可； （2）画树状图计算即可． 【详解】（1）根据题意，调查的总件数（件）； B班的作品数为（件）， B班的扇形周心角的度数为：， 补全条形统计图为： （2）设男生为B，女生为，画树状图如下： 一共有12种等可能性，一男一女有6种等可能性， 所以恰好抽中一男一女的概率． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，画树状图计算概率，熟练掌握统计图的意义，画树状图计算概率是解题的关键． 4．(24-25九上·四川成都第七中学初中学校·期中)在一只不透明的口袋里，装有若干个红球和白球，它们除了颜色不同外其余都相同，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的______，______； (2)“摸到白球的”的概率的估值是______（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，现从袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从袋中摸出一球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 【答案】(1)； (2) (3)取走了9个白球 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，频率与频数分布表，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数计算求解即可； （2）大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此可得答案； （3）设取走了x个白球，根据从袋中摸出一球是红球的概率是结合概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，；； （2）解：由表格可知， 随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴“摸到白球的”的概率的估值是； （3）解：设取走了x个白球， 由题意得，， 解得， 答：取走了9个白球． 5．(24-25九下·四川广安·期中)为了解广安市民对共享单车的使用情况，小月以问卷的形式，对部分广安市民某天的骑行时间（分）进行了随机调查，将获得的数据分成四组（；；；），并绘制出如图所示的两幅不完整的统计图． (1)求参与本次随机调查的市民共有______人，其中B组的人数所在扇形的圆心角的度数为_________； (2)补全条形统计图； (3)小月打算在、两组中各随机选一名用户进行采访，若这两组中各有两名女士，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率． 【答案】(1)20， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、补全条形统计图、求扇形统计图圆心角度数、利用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用组的人数除以所占比例即可得出参与本次随机调查的市民的人数，再利用乘以B组的人数所占比例即可得解； （2）先求出、两组的人数，再补全条形统计图即可； （3）画树状图求解即可． 【详解】（1）解：参与本次随机调查的市民共有人，其中B组的人数所在扇形的圆心角的度数为； （2）解：组人数为（人）， 组人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）解：画树状图如下： 或列表如下： D组/C组 男1 男2 女1 女2 男3 （男1，男3） （男，男3） （女1，男3） （女，男3） 女3 （男1，女3） （男，女3） （女1，女3） （女，女3） 女4 （男1，女） （男，女4） （女1，女4） （女，女4） （说明：画树状图或列表法自选其一即可） 共有12种等可能结果，其中两人恰好是一男一女的结果有6种． ． 6．(24-25九上·四川成都西川中学·期中)为增进全校同学对网络诈骗的了解、增强防范意识，校学生会宣传部决定从A，B，C，D，E这5名同学中随机选择部分同学参加知识宣讲活动，已知A，B，C为男生，D，E为女生． (1)若随机选择一人参加宣讲活动，则男生被选中的概率为______； (2)若随机选择两人参加宣讲活动，请用列表或画树状图的方法求两人中至少有一名女生的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式计算，即可得到答案； （2）列出树状图，找出刚好选出的两名同学中至少有一名是女生的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】（1）解：随机选择一人参加宣讲活动， ∴男生被选中的概率； （2）解：画树状图为： 共有20种等可能的结果，其中两人中至少有一名女生的结果数为14， 所以两人中至少有一名女生的概率． 7．(24-25九上·四川成都金堂县·期中)近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次一共调查了 位同学，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数； (3)为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)200，图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用选择“水资源保护”的人数除以扇形统计图中“水资源保护”的百分比可得本次调查的学生人数；分别求出选择“节能减排”和“植树造林”的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以“垃圾分类”的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次一共调查了（位）同学， ∴选择“节能减排”的人数为（人）， ∴选择“植树造林”的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 故答案为：200． （2）解：“垃圾分类”对应的圆心角度数为． （3）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有12种等可能的结果，其中水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果有8种， ∴水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率为． 8．(24-25九上·四川成都武侯区西川实验学校·期中)某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分8分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知该校初三共 名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是 人； (2)由图可知的值为 ； (3)初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中至少有1个女生的概率． 【答案】(1)500，210 (2)18 (3) 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的关联、列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． （1）用等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以等级人数所占的百分比得到等级人数； （2）先用1分别减去、、等级的百分比得到等级所占的百分比，从而确定的值； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的2人中至少有1个女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：(名)， 所以该校初三共500名学生， 比赛成绩等级为级的学生人数为(名)； 故答案为：500，210； （2）解：等级人数所占的百分比为 ， 所以， 故答案为：18； （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种， 所以抽取的2人中至少有1个女生的概率． 9．(24-25九上·四川成都玉林中学·期中)为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课科技项目中，你最喜欢的是　　　　　　（单选） A．无人机    B．人工智能    C．动漫    D．编程 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： (1)请补全条形统计图， (2)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ (3)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)300人 (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比求出调查的学生总人数，再求出选择课程和课程的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择课程的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：调查的学生人数为（人）， 选择课程的人数为（人）， 选择课程的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）解：（人）． 故估计全体1000名学生中最喜欢活动的人数约为300人． （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种， ∴． 故恰好甲和丁同学被选到的概率为 10．(24-25九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中)一个不透明的袋子中共装有个小球，其中个红球，个白球，个黄球． 这些小球除颜色外都相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球次． (1)随机摸球次，其中摸出黄球次，则这次摸球中，摸出黄球的频率是 ． (2)随机摸球次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】(1) (2)两次摸出的小球都是红球的概率为，列表见解析 【分析】本题考查求频率，画树状图或列表法求概率，概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）列表可知共有种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有种结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是， 故答案为：； （2）列表如下： 红 红 白 白 黄 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） （红，黄） 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） （红，黄） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） （白，黄） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） （白，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，白） （黄，白） （黄，黄） 共有种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有种结果， 两次摸出的小球都是红球的概率为． 11．(24-25九上·四川广安友谊中学·期中)某网站调查；2024年网民们关注的热点话题为：消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根据抽样调查的相关数据绘制统计图表如下，根据信息解答下列问题： (1)本次共抽查______人，“反腐”的圆心角度______，关注教育的有______人； (2)某市约有2800万人，由上述数据估计该市关注“消费”的人数是多少？ (3)某部门有甲、乙、丙、丁四人关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或树状图法计算抽取的两人恰好是甲和乙的概率； 【答案】(1)1400，，350 (2)840万 (3) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，树状图求概率． （1）根据关注环保的人数是140人，所占的比例式是，即可求得总人数，关注“反腐”的人数占总人数的百分比乘以可得“反腐”的圆心角度，利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数； （2）利用总人数乘以关注“消费”的百分比即可； （3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：调查的总人数是：（人）， “反腐”的圆心角度是：， 关注教育的人数是：（人）， 故答案为：1400，，350； （2）解：， 答：估计该市关注“消费”的人数是840万人； （3）解：画树形图得： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的有2种结果， 所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率为． 12．(24-25九上·四川成都盐道街中学·期中)为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：；；；，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数； (3)若“”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各名同学的概率． 【答案】(1)，，图形见解析； (2)估计八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数约人； (3)． 【分析】（）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用乘以组的学生人数所占的百分比即可得出答案；求出组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可． （）根据用样本估计总体，用乘以样本中八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数所占的百分比，即可得出答案； （）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中七年级和八年级各名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案； 本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． 【详解】（1）解：该校此次调查共抽取了（名）学生． 扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：，； 组中八年级的学生人数为（人）， 补全条形统计图如图所示． （2）解：（人）， ∴估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约人； （3）解：将七年级的名同学分别记为，，将八年级的名同学分别记为，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各名同学的结果有：，，，，，，，共种， ∴恰好选中七年级和八年级各名同学的概率为． 13．(24-25九上·四川达州渠县中学·期中)某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心” 宣传推广工作，截至2023年底，注册人数已达216.39万人，某社区工作人员为调 查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（80－100分）、B：比较了解（60－80分）、C：基本了解（40－60分）、D：不太了解（0－40分） 四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图．      请根据如图提供的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中，A等级对应的扇形的圆心角度数为________，补全条形统计图； (2)若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数； (3)为更好地开展“国家反诈中心”宜传推广工作，社区准备招募2名宜讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，求选取的2人不是同一组居民的概率． 【答案】(1)，图见详解 (2)对于“国家反诈中心”非常了解的人数约2400人 (3)选取的2人不是同一组居民的概率为 【分析】（1）用条形统计图中C的人数除以扇形统计图中C的百分比求出问卷调查的人数，再用条形统计图中A的人数除以问卷调查的人数再乘以即可得A等级对应的人数所占百分比；求出B等级的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用8000乘以样本中A等级对应的人数所占百分比，即可得出答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及选取的2人不是同一组居民的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：问卷调查的人数为（人）， ∴扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为， ∴A等级对应的扇形的圆心角度数为． 故答案为：． B等级的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）解：（人）． 答：对于“国家反诈中心”非常了解的人数约2400人． （3）解：将3个一组居民分别记为A，B，C，1个二组居民记为D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选取的2人不是同一组居民的结果有6种， ∴选取的2人不是同一组居民的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 14．(23-24九上·四川成都金堂县·期中)某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的总人数为______人． (2)扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人． (3)通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率． 【答案】(1)40 (2)；420 (3) 【分析】（1）用参加足球的学生人数除以其所占的百分比可得本次抽样调查的总人数； （2）用乘以本次抽样调查中参加排球的学生所占的百分比，即可求出扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数；根据用样本估计总体，用1200乘以扇形统计图中“游泳”对应的百分比，即可得出答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次抽样调查的总人数为（人． 故答案为：40． （2）解：参加排球项目的学生人数为（人）． 扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为． 故答案为：． （人． 参加“游泳”的人数大约为420人． （3）解：将两名男生分别记为，，两名女生分别记为， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中到市上参加比赛的两人恰为一男一女的结果有：，，，，，，，，共8种， 到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率为． 【点睛】本题考查用列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 15．(23-24九上·四川泸县二外梁才学校·期中)根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成、、、四个层级，其中分钟以上；分钟；分钟；分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题： (1)求扇形统计图中“”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图； (2)全校约有学生1500人，估计“”层级的学生约有多少人？ (3)学校从“”层级的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？ 【答案】(1)，补全图见解析 (2)人 (3) 【分析】本题考查了统计与概率的综合应用． （1）先求出“”层级人数占调查人数的百分比，再乘圆周角度数，即可求出所对应扇形的圆心角度数，求出“B”层级的人数，即可补全条形统计图； （2）先求出“A”层级的人数占调查人数的百分比，乘该校学生总数，可估计出相应的人数； （3）画出树状图，求出所有等可能得结果，再确定恰好抽到1男1女的结果，根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：（1）接受问卷调查的学生共有：（人，        扇形统计图中“”等级的扇形的圆心角的度数为：， “”层级的人数为：（人， 补全条形统计图如下： （2）解：估计“”层级的学生约有：（人； （3）解：画树状图得： 共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况， 恰好抽到1个男生和1个女生的概率为． 16．(23-24九下·四川达州渠县渠县中学·期中)某校积极响应推进“文明城市建设”的工作，培养学生的环保意识．为了解学生对环保知识的掌握情况，该校进行了环保知识竞赛，竞赛结束后，教务处随机抽取了部分学生成绩进行统计，发现所有学生的成绩均不低于75分，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了不完整的统计图，请结合统计图，解答下列问题： (1)条形统计图中， ，扇形统计图中， ．并补全条形统计图； (2)该校决定从获得满分的甲、乙、丙、丁4名学生中随机选取2名参加市上的比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、乙2名学生的概率． 【答案】(1)60；36；统计图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率： （1）先用C组的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再求出m、n，最后求出E组的人数进而补全统计图即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲、乙2名学生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：人， ∴此次一共调查了400人， ∴，， ∴； E组的人数为人，补全统计图如下： 故答案为：60；36； （2）解：分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四人，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲、乙2名学生的结果数有2种， ∴恰好选中甲、乙2名学生的概率为． 17．(23-24九上·四川成都武侯区武侯区启明学校·期中)小汤对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)________，热学对应的圆心角＝_________． (2)如图2，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，请用树状图或列表法求出灯泡亮的概率． 【答案】(1)80， (2) 【分析】本题考查扇形统计图、频数分布表、用树状图或列表法求概率，理解题意，熟知物理相关知识是解答的关键． （1）先根据参与“光学”人数除以其所占的百分比求得调查人数，再乘以参与“力学”的频率求解m值，用乘以参与“热学”所占的比例求解圆心角即可； （2）画树状图得到所有等可能的结果数，再找到灯泡亮的可能结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：调查人数为（人）， ∴， 热学对应的圆心角为， 故答案为：80，； （2）解：画树状图，如图： 由图知，一共有12种等可能的结果，其中能使灯泡亮的有、、、、、，共6种， ∴灯泡亮的概率为． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $