专题02 一元二次方程（二十大题型）（期中真题汇编，四川专用）九年级数学上学期

专题02 一元二次方程 20大高频考点概览 考点01 判断是否为一元二次方程 考点11根的判别式解答题综合 考点02利用一元二次方程的定义求参数的值 考点12解一元二次方程（计算题） 考点03由一元二次方程的解求参数 考点13换元法解一元二次方程 考点04一元二次方程解得估算 考点14利用根与系数的关系求参数的值 考点05直接开平方法解一元二次方程（选填题） 考点15利用根与系数的关系求代数式的值 考点06一元二次方程配方法中相关求解 考点16根与系数的关系解答题综合 考点07配方法求代数式的值 考点17一元二次方程实际应用之传播问题 考点08配方法的实际应用之最值问题 考点18一元二次方程实际应用之增长率问题 考点09根据根的判别式判断根的情况 考点19一元二次方程实际应用之与图形有关问题 考点10根据根的判别式求参数的值 考点20一元二次方程实际应用之销售利润问题 地 城 考点01 判断是否为一元二次方程 1．(24-25九上·四川南充白塔中学·期中)下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义，对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、时，是一元一次方程，故A错误，不符合题意； B、是一元二次方程，故B正确，符合题意； C、是分式方程，故C错误，不符合题意； D、是一元一次方程，故D错误，不符合题意； 故选：B． 2．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)有下列关于x的方程：①，②，③，④，⑤，⑥．其中是一元二次方程的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：①，时，不是一元二次方程； ②，，是一元二次方程； ③，含两个字母，不是一元二次方程； ④ ，分母含字母，不是一元二次方程； ⑤，最高次数不是2，不是一元二次方程； ⑥，，是一元一次方程，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有②，共1个， 故选：A 3．(24-25九上·四川乐山实验中学·期中)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵不是整式方程， ∴不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D、∵不是整式方程， ∴不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 4．(24-25九上·四川自贡富顺县自贡富顺联考九年级期中考试·期中)下列是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的最高项的次数为2的整式方程，叫作一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不符合题意； 故选C． 5．(24-25九上·四川雅安中学·期中)下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程． 【详解】解：A、的次数是1，故该选项不符合题意； B、是一元二次方程，故该选项符合题意； C、，若，则方程为，次数为1，故该选项不符合题意； D、不是整式方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．(24-25九上·四川遂宁射洪射洪绿然学校·期中)下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此判断每个选项即可． 【详解】解：A、化简整理得，未知数的最高次为4次，不是一元二次方程，故不符合题意； B、不是整式方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：C． 7．(24-25九上·四川遂宁洪中学校教育联盟·期中)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵不是整式方程， ∴不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 8．(24-25九上·四川泸州合江县·期中)下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 只有时，才是一元二次方程，故本选项不符合题意； B. ，含有两个未知数，本选项不符合题意； C. ，未知数的最高次数是3，故本选项不符合题意； D.是一元二次方程，本选项符合题意． 故选：D． 地 城 考点02 利用一元二次方程的定义求参数的值 1．(24-25九上·四川泸州合江县·期中)关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义进行分析，列式计算判，即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(23-24九上·四川内江资中县·期中)已知是关于的一元二次方程，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键． 根据一元二次程的定义得出关于a的不等式组，求出a的值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：． 3．(23-24九上·四川成都武侯区四川大学附属中学西区学校·期中)已知是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解： 是一元二次方程， ， 解得． 故答案为：． 4．(23-24九上·四川宜宾叙州区观音片区·期中)若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程”即可得． 【详解】解：由题意得：，， 解得，， 故， 故答案为：． 5．(24-25九上·四川内江第二中学中·期中)方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 利用一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 6．(24-25九上·四川巴中南江县实验中学·期中)若是关于x的一元二次方程，则a可以为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．一元二次方程的一般形式：，据此进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．(24-25九上·四川广元旺苍县·期中)若关于的一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程化成一般式，再根据题意解答即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∵化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点03 由一元二次方程的解求参数 1．(24-25九上·四川内江第一中学·期中)已知m是一元二次方程的根，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握一元二次方程解的意义是解题关键．根据方程的解代入方程得出，即，再整体代入计算求值即可； 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：0； 2．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)已知是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键． 把代入一元二次方程，可得，然后解方程即可． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的一个解， ∴，解得：． 故答案为：． 3．(24-25九上·四川成都武侯区西川实验学校·期中)已知是方程的一个根，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：4． 4．(24-25九上·四川宜宾兴文县·期中)已知一元二次方程的一个根为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值，根据是一元二次方程的一个根得出，将变形为，再把代入进行计算即可． 【详解】解： 是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 5．(24-25九上·四川自贡富顺县自贡富顺联考九年级期中考试·期中)若是关于x的一元二次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，把代入方程，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．(24-25九上·四川广安友实学校·期中)若是方程的根，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，先将m代入一元二次方程中得到，进而整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，则， ∴ ， 故答案为：5． 7．(24-25九·四川内江威远县新场中学·期中)已知关于的方程的一个根为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程解的定义．熟知方程解的定义是解决问题的关键；将代入即可求得结果． 【详解】解：方程的一个根是， ， 解得， 故答案为：． 8．(24-25九上·四川泸州第七中学校·期中)已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入方程求出m值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为2， ∴， 解得． 故选：B． 地 城 考点04 一元二次方程解得估算 1．(24-25九上·四川成都实验外国语学校·期中)根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子的值在0附近时的x值，是解决此题的关键． 利用表中的对应值得到时，；时，，从而得到x在之间取一数值时，，于是得到一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围． 【详解】解：∵时，；时，， ∴当x在之间取一数值时，， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为． 故选：C． 2．(24-25九上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出的解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B 地 城 考点05 直接开平方法解一元二次方程（选填题） 1．(24-25九上·四川眉山仁寿县·期中)方程的解正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用直接开方法解方程，即可得到答案． 【详解】解：， ， ，， 故选：C． 2．(23-24九上·四川达州渠县贵福中学·期中)已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为异号， 故选：． 3．(23-24九上·四川达州渠县有庆中学·期中)方程的解为（    ） A．， B． C． D．无解 【答案】A 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ，， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4．(24-25九上·四川达州大竹县第二中学·期中)关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法及整体的思想是解题的关键．先将系数化1，再直接开平方解方程即可． 【详解】 故答案为： 5．(23-24九上·四川成都成华区成都华西中学·期中)关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握，有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程，有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 即a的取值范围是， 故答案为：． 地 城 考点06 一元二次方程配方法中相关求解 1．(24-25九下·四川眉山青神县·期中)用配方法解方程，下列配方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法，先移项，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，进行配方即可．熟练掌握一除，二移，三配，四变形的步骤，是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴； 故选C 2．(24-25九上·四川成都某校·期中)一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：B． 3．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤是解题的关键． 把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解：， ． 故选A． 4．(24-25九上·四川南充阆中东风中学·期中)用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，配方法，先移项，再配方，即可得出选项；能正确配方是解此题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故选：D． 5．(24-25九上·四川自贡荣县·期中)用配方法解方程，应把方程的两边同时（    ） A．加上 B．减去 C．加上 D．减去 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据题意可知只需要把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上即可，据此可得答案． 【详解】解：， ， ， 则应把方程的两边同时加上， 故选：C． 6．(24-25九上·四川泸州泸县第五中学·期中)用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 7．(24-25九上·四川成都温江区光华实验中学·期中)把方程化成的形式，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 8．(24-25九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中)一元二次方程，配方为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 地 城 考点07 配方法求代数式的值 1．(24-25九上·四川内江隆昌知行中学·期中)若a，b，c满足，则 ； 【答案】 【分析】先配成平方和等于0的性质，再利用平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：54． 【点睛】本题主要考查平方的非负性，配方法的应用，算术平方根等知识，将原方程配成平方和等于0的形式，是解题的关键． 2．(24-25九上·四川内江第一中学·期中)已知实数a，b满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方的非负性和算术平方根的非负性，配方法的应用，将原方程配成平方和等于0的形式是解题的关键．先配成平方和等于0的性质，再利用平方和算术平方根的非负性得出和，然后再代入分式求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴且 ∴，即，， ∴， 故答案为： 3．(23-24九上·四川南充南部县振兴初级中学·期中)如果满足，，且 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、求代数式的值等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系的应用是解题的关键． 由题意可知是方程的两个不相等的实数根，则，，把变形后整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵满足，，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 地 城 考点08 配方法的实际应用之最值问题 1．(23-24九上·四川宜宾叙州区观音片区·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： ； ∵无论取何实数，都有，∴，即的最小值为2． 请利用上述知识解决以下问题： (1)求代数式的最小值． (2)证明：无论取何实数，二次根式 都有意义． 【答案】(1)代数式的最小值为8 (2)见解析 【分析】（1）先把配方得到，再结合偶次方的非负性可得代数式的最小值； （2）先把被开方数通过配方化为，再结合偶次方的非负性与二次根式有意义的条件可得结论． 【详解】（1）解：== ∵无论取何实数，都有，∴， ∴代数式的最小值为8． （2）证明：= ∵无论取何实数，都有，∴ ∴无论取何实数，二次根式 都有意义． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，代数式的最值，偶次方的非负性的应用，二次根式有意义的条件，掌握以上基础知识是解本题的关键． 2．(23-24九上·四川南充仪陇县·期中)配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】： （1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)； ①10      ②24     ③34    ④60 【探究问题】： （2）若可配方成 (m，n为常数)，则的值为_____； （3）已知 (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】： （4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）①③；（2）；（3），理由见解析；（4）2029 【分析】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，理解并掌握完美数的定义是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义，判断各数是否能写成的形式即可； （2）通过配方将变形，求出m和n的值，代入求解即可； （3）通过配方将变形为，对照“完美数”的定义即可求解； （4）通过配方将变形为，根据求出x的取值范围，根据增减性即可求解 【详解】解：（1），，24和60不能写成的形式， 10和34是“完美数”， 24和60不是“完美数”， 故答案为：①③； （2）， ，， ， 故答案为：； （3）当时，S是“完美数”，理由如下： ， 当时，， ∵a，b是整数， ∴和也是整数， ∴当时，S是“完美数”； （4）解：∵， ∴，                                                        ∴原式 ，                                                       …… 又∵， ∴， ∵， ∴当时，原式的值随着x的增大而增大， ∴当时，原式取最小值，最小值为：． 3．(24-25九上·四川乐山峨眉山博睿特外国语学校·期中)根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知x2﹣2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值； (2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2＋b2﹣10a﹣12b＋61＝0，求△ABC的最大边c的值； (3)已知a﹣b＝8，ab＋c2﹣16c＋80＝0，求a＋b＋c的值． 【答案】(1)9 (2)6、7、8、9、10 (3)8 【分析】（1）将已知的等式化为，再根据平方式的非负性即可求解； （2）将已知的等式化为，再根据平方式的非负性即可求出a、b，再根据三角形三边的关系即可就出c的取值范围，即可求解； （3）将已知的等式化为，再根据平方式的非负性即可求解； 【详解】（1）∵ ， ∴， ∴， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， 即xy的值是9； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴a=5，b=6， ∵，， ∴， ∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10； （3）∵，， ∴， ∴， ∴ ，， ∴a=4，c=8， 即， ∴ ， 即的值是8． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用以及平方数的非负性等知识，灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 地 城 考点09 根据根的判别式判断根的情况 1．(24-25九上·四川资阳安岳中学·期中)关于x的一元二次方程的实数根情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，判断其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，，，， ∴ ， 由于，因此， 即对所有实数恒成立． 因此，方程总有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．(24-25九下·四川广安·期中)关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 先求出，再根据结果判断即可. 【详解】解：一元二次方程中，， ∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根. 故选：C. 3．(24-25九上·四川眉山东坡区苏祠中学共同体·期中)关于方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴关于一元二次方程没有实数根． 故选：D． 4．(24-25九上·四川绵阳江油·期中)关于一元二次方程的根的说法，正确的是（   ） A．有两个相等实数根 B．没有实数根 C．两根之和为2 D．两根之积为 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式可得出，进而可得出该方程没有实数根． 【详解】解：由题意可知：， ∴方程没有实数根， 故选：B． 5．(24-25九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中)对于实数，定义运算“”为：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于的方程为是解题的关键．先根据新定义得到关于的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解： ， 关于的方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6．(24-25九上·四川资中县第二中学·期中)方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可求解． 【详解】解：∵ ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 7．(23-24九上·四川达州渠县临巴中学·期中)方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根． 【详解】解：原方程整理得， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 地 城 考点10 根据根的判别式求参数的值 1．(23-24九上·四川南充南部中学·期中)关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根与系数的关系等知识，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．一元二次方程是形如的方程，其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据题意可知且，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得． 故选：A． 2．(24-25九上·四川眉山东坡区苏祠中学共同体·期中)若关于的方程有两个实数根，则应满足（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，由方程为一元二次方程，得,再结合根的判别 式：当时，方程有实数根，即可求解,熟练地掌握当时，方程有实数根，当时，方程无实数根是解题的关键． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， ， 解得：， 且， 故选：． 3．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟记①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程无实数根，是解决问题的关键．根据列不等式解题即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 故选：D． 4．(24-25九上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式符号与解的对应关系是解题关键． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式组即可． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又， 且， 故选：C． 5．(24-25九上·四川眉山仁寿县龙正学区期中测试·期中)如果关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图像不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一次函数图象与其系数的关系，根据判别式求出的取值范围，进而确定一次函数解析式中一次项系数和常数项的符号，据此可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 6．(24-25九上·四川眉山青神县共同体·期中)如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为的情况．因为一元二次方程有两个实数根，所以且，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 即且， ∴且． 故选：C． 7．(24-25九上·四川广安友实学校·期中)关于的一元二次方程的两个根为，则的取值范围是(　 　) A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选：D． 8．(24-25九上·四川成都七中育才学校·期中)已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：C． 9．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．因为一元二次方程有实数根，所以可得，解不等式求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， ， 整理得：， 合并同类项得：， 解得：． 故选：D． 10．(24-25九上·四川自贡田家炳中学·期中)已知有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据一元二次方程的定义得到，再利用判别式求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：C． 地 城 考点11 根的判别式解答题综合 1．(24-25九上·四川自贡·期末)已知关于x的方程． (1)求证：当时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)，，(答案不唯一) 【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断； （2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 方程总有两个实数根； （2）解：由题意可知，， 即：． 以下答案不唯一，如： 当，时，方程为． 解得． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，本题属于基础题型． 2．(24-25九上·四川巴中南江县实验中学·期中)已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可； （2）当边长为2的边为腰时，则可知方程有一个根为2，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为2的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：当腰长为2时，则可知方程有一个实数根为2， ∴，解得， ∴方程为，解得或， ∴三角形的三边长为，满足题意， ∴三角形的周长为； 当底边长为2时，则可知方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 方程为，解得， ∴三角形的三边长为，，不满足题意． 综上，的周长为． 3．(24-25九上·四川成都青羊区泡桐树中学·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根； (2)已知等腰三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求这个三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据根的判别式来判断即可； （2）根据等腰三角形腰相等求出符合条件的，即可求出周长． 【详解】（1）证明： 恒成立 故无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当腰为时，为方程的解， 把代入，得， 得， 方程的另外一个解为， 此时三角形的周长， 当底为时，由于另两边恰好是这个方程的两根， 故， 解得， 此时方程的解为， 三角形的周长． 综上所述，答案为或． 【点睛】本题主要考查根的判别式，等腰三角形的性质，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 4．(24-25九上·四川内江隆昌隆昌第六中学·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求m的值． (2)求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）将代入一元二次方程，即可求解． （2）求判别式即可证明； 【详解】（1）解：∵方程的一个根为2， 将代入一元二次方程， 得， 解得． （2）证明：， ， ∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； 【点睛】本题考查一元二次方程的根和根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根存在性的判别方法． 5．(24-25九上·四川乐山中区·期中)已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若此一元二次方程的两根是两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）5 【分析】（1）根据根的判别式计算即可； （2）求出一元二次方程的两个根，再利用勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵， ∴ ， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）∵ ∴， ∴，， ∴两直角边分别是，，斜边长为10， ∴， 解得：（舍去），, ∴k的值时5． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、勾股定理、根的判别式，准确计算是解题的关键． 6．(24-25九上·四川成都·期中)关于x的一元二次方程． （1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． （2）若原方程的一个根是1，求此时m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到，然后解不等式即可求解； （2）将代入原方程求解即可． 【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）把带入原方程得：， 解得： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根． 地 城 考点12 解一元二次方程（计算题） 1．(24-25九上·四川内江第一中学·期中)解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，包括公式法和因式分解法，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解决本题的关键． （1）通过计算判别式，再代入求根公式求解即可； （2）先移项，再提取公因式，由因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ∴判别式， 代入求根公式可知，， ∴方程的解为，； （2）解：， ∴， 即， 可得， ∴，， ∴方程的解为，． 2．(24-25九上·四川成都武侯区西川实验学校·期中)解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 去分母得， ∴， 解得， 经检验：当时， ∴是原分式方程的解； （2）解：， ∴， 则， 解得，． 3．(23-24九上·四川南充南部中学·期中)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）将原方程整理为，然后利用因式分解法求解即可； （2）将原方程整理为，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴． 4．(24-25九上·四川南充南部县第二中学·期中)（1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）先把原方程化成一般式，然后根据因式分解法求解即可； （2）根据直接开平方法求解即可． 【详解】解∶（1）原方程可化为， ∴， ∴或， ∴，； （2）∵， ∴， ∴或， ∴，． 5．(24-25九上·四川成都温江区光华实验中学·期中)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用配方法解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，求解即可 【详解】（1）， ， ， ， ∴， ，； （2）． ， ∴或， ，． 6．(24-25九上·四川成都武侯区四川大学附属中学西区学校·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ∴； （2）解： 或 解得：． 7．解下列方程： (1) (2)（配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特点灵活选用方程的解法是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：方程化为， 则， ∴，， ∴，； （2）解：方程化为， 配方，得， 即， 开平方，得， ∴，． 地 城 考点13 换元法解一元二次方程 1．(24-25九上·四川宜宾兴文县·期中)已知的解是1，，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】利用换元法，解一元二次方程即可． 【详解】解：令， 则：方程转化为： ， ∵的解是1，， ∴的解为：， 即：或， 解得：，； 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键． 2．(24-25九上·四川成都锦江区成都七中育才学校·期中)已知实数a、b满足，则 ． 【答案】2 【分析】设，将已知方程整理为关于y的一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，得到y的值，即可确定出的值． 【详解】解：设，则原方程变形为， 解得，， ∴2或-1， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 3．(24-25九上·四川达州万源河口中学·期中)若，求的值为 ． 【答案】4 【分析】设，把原方程变形，求得x，即可得出的数值． 【详解】解：设，则原方程为， 整理得， ， ∴，， 解得，， ∵是非负数， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 4．(23-24九上·四川绵阳三台县部分学校·期中)若实数x满足， 则＝ ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值．解题的关键是掌握换元思想，因式分解法解一元二次方程．设，原方程化为，解这个一元二次方程，可得 的值是或，用判别式是非负数排除，得，最后整体代入求值即可． 【详解】解：设， ∵，即：， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 当时，即：， ∵， ∴此时无解，舍去； ∴， 故答案为：． 5．(23-24九上·四川南充仪陇县·期中)若实数x满足，则的值是 ． 【答案】5 【分析】根据方程特点设，则原方程可化为，接下来解一元二次方程求y，即为的值，最后验根即可解答．本题属于换元法解方程的问题，关键是掌握这类问题的求解方法． 【详解】解：方程整理得：， 设， 则原方程变形为：， ， ，， 当时，， ， ， 则， 故答案为：5 6．(24-25九上·四川乐山犍为县·期中)方程的解是，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴方程的解为或， 解得：，； 故答案为：，． 地 城 考点14 利用根与系数的关系求参数的值 1．(24-25九上·四川成都双流区·期末)已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用根与系数的关系得到关于的方程，解方程即可解决问题，能根据根与系数的关系得出关系式，是解此题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，， ，， ， 即：， 解得：． 故答案为：． 2．(23-24九上·四川成都锦江区金苹果锦城一中·期中)已知关于x的一元二次方程的两个实数根满足，则实数m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式等知识点，先利用根的判别式的意义得到，再利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于m的方程后利用m的取值范围得到满足条件的m的值，熟记概念并灵活运用是解本题的关键． 【详解】根据题意得， 解得， 根据根与系数的关系得， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴m的值为3． 故答案为：3 3．(23-24九上·四川泸州合江县·期中)已知，是关于x的一元二次方程的两实数根，且，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根于系数的关系，根据题意得，再根据根于系数的关系联立等式即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根于系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ， 解得：， ， 即：， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 4．(24-25九上·四川眉山仁寿县书院初级中学校·期中)已知关于x的一元二次方程的一个根是1， 则它的另一个根为 ，m的值为 ． 【答案】 3 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入一元二次方程，求得m值，然后将m值代入原方程，利用根与系数的关系求另一根． 【详解】解：设方程的另一根是． 一元二次方程的一个根为1， 是原方程的解， ， 解得； 又由根与系数的关系可得，得， ，即原方程的另一根是3． 故答案为：①3；②． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．另外，本题也可以设方程的另一根是．然后利用根与系数的关系来求另一个根及m的值． 地 城 考点15 利用根与系数的关系求代数式的值 1．(24-25九下·四川眉山洪雅县·期中)已知、是方程的两个实数根，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，解题的关键是根据根与系数的关系得到，． 根据根与系数的关系可得出，，代入并利用完全平方公式变形计算即可得出结论． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：0． 2．(24-25九上·四川南充南部县第二中学·期中)已知m，n是方程的两实数根，则 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义以及根与系数的关系．根据一元二次方程根的定义可得出，根据根与系数的关系得出，然后整体代入求解即可． 【详解】解∶∵m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为∶3． 3．(24-25九上·四川眉山洪雅县·期中)已知实数，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握其计算方法是解题的关键． 根据题意，设，，可得，将原式变形得，由此代入计算即可求解． 【详解】解：已知实数，且，， ∴设，， ∴，即， ∵， ∴原式， 故答案为： ． 4．(24-25九上·四川成都郫都区嘉祥外国语学校·期中)设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入原式中即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·四川成都某校·期中)设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵、是一元二次方程的根， ， ， 故答案为：． 6．(24-25九上·四川内江翔龙中学·期中)已知，是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，将式子变形为，代入计算即可得解． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．(24-25九上·四川遂宁射洪射洪绿然学校·期中)已知一元二次方程的两实数根为、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两实数根为、， ∴，， ∴， 故答案为：． 地 城 考点16 根与系数的关系解答题综合 1．(24-25九上·四川泸州第七中学校·期中)已知关于x的方程：． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为3或 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）表示出根的判别式，证明大于零即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 2．(24-25九上·四川泸州合江县·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，是方程的两根，且时，求的值． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合题意求出，即可得出，再代入所求式子计算即可得解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，是方程的两根， ∴，， 当时，即 ， ∴，满足题意， ∴， ∴． 3．(24-25九上·四川资阳安岳中学·期中)已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 4．(23-24九上·四川南充南部中学·期中)已知是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，，可知，然后化简代入求值． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， ． 5．(24-25九上·四川成都泡桐树中学·期中)综合与探究 已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，求m的值； (3)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质． （1）根据判别式即可解答； （2）根据根与系数的关系得，，接着利用得到，进行求解即可； （3）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得； （2）解：，， ，即， ，即， 解得，， 而， 的值为6； （3）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， 所以， 方程化为， 解得，则，故舍去， 这个三角形的周长为17． 5．已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，由列不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，结合已知求得b值，再将b值代入方程中求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为a，b， ∴，又， ∴，解得， 将代入中，得， 解得． 6．(24-25九上·四川内江威远县凤翔中学·期中)如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知、满足，，求的值； (2)已知、、满足，，求正数的最小值 【答案】(1)或2 (2)4 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系、解不等式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意可得a，b是的解，根据一元二次方程根与系数的关系可得当时，，；时，分别代入求值即可； （2）由，，即a、b是方程的解，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足，， ∴a，b是的解， 当时，，， ∴， 当时，． 综上，的值为或2． （2）解：∵，， ∴，， ∴a、b是方程的解， ∴，即， ∵c是正数， ∴， ∴， ∴， ∴正数c的最小值是4． 7．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴方程总有实数根； （2）解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 地 城 考点17 一元二次方程实际应用之传播问题 1．(23-24九上·四川广元苍溪县石马初级中学·期中)近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由两轮后传染的人数为人，由等量关系建立方程求出其解即可，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意，得：，即， 解得：（舍去），， 故选：． 2．(23-24九上·四川达州达川区四中联盟·期中)新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，且传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：利用经过两轮传染后患了新冠的人数开始患病的人数每轮传染中平均一个人传染的人数），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出的值． 【详解】解：依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：C． 3．(24-25九上·四川自贡·期末)某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】A 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，第一轮传染后有人患了流感，第二轮有人，根据两轮后共有72人，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，第一轮传染后有人患了流感，第二轮有人，依题意，得 解得：（舍去） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 4．(24-25九上·四川绵阳绵阳中学英才学校·期中)疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新冠”，平均一个人传染x个人．则由题意列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平均一个人传染x个人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解∶设平均一个人传染x个人，根据题意得： ， 即． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 5．(24-25九·四川内江威远县新场中学·期中)秋冬是流感易发季节，已知有1人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中一个人传染人，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为：． 6．(24-25九·四川内江威远县新场中学·期中)秋冬是流感易发季节，已知有1人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中一个人传染人，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为：． 7．(24-25九上·四川宜宾兴文县·期中)有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染9个人 (2)1000人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有100人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：，即： 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染9个人． （2）第一轮的患病人数为：人， 第二轮的患病人数为：人， 则，第三轮的患病人数为：人． 8．(24-25九上·四川成都都江堰·期中)德尔塔是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均一个人传染了个人； （1）用含的代数式表示：经过第一轮传染后，共有多少人感染了德尔塔病毒? （2）列方程求解：在每轮传染中，平均一个人传染了几个人? （3）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有多少人感染德尔塔病毒? 【答案】（1）；（2）每轮传染中平均一人传染了人；（3）经过三轮传染后共有人感染德尔塔. 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，列方程求解即可； （3）根据（2）中所求数据，进而表示出经过三轮传染后感染德尔塔病毒的人数． 【详解】； 根据题意：，解得(舍去)， 答：每轮传染中平均一人传染了人； （人）， 答：经过三轮传染后共有人感染德尔塔病毒． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 地 城 考点18 一元二次方程实际应用之增长率问题 1．(24-25九下·四川广安·期中)某旅游景点2022年接待游客25万人次，2024年接待游客36万人次，设该景点接待游客人次年平均增长率为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该景点接待游客人次年平均增长率为，则2023年接待的游客数为万人次，则2024年接待的游客数为万人次，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 2．(24-25九上·四川成都某校·期中)某校前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为72万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则列方程得（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据“前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为72万元”，可得出方程． 【详解】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为， 依题意得． 故选：C． 3．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 依题意得：， 故选：． 4．(24-25九上·四川内江第一中学·期中)某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设平均每月增长的百分率为x，由题意，得： ， 故选D． 5．(24-25九上·四川泸州江阳西路学校·期中)某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入300万元，预计2022年投入500万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要了一元二次方程的应用——增长率问题，，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．一般用，设教育经费的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为， 则2020的教育经费为： 2022的教育经费为：， 可得方程：． 故选：A． 6．(24-25九上·四川内江第二中学中·期中)国家为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某药品原价每盒25元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，如果两次降价的百分率相同，求该药品每次降价的百分率． 【答案】该药品每次降价的百分率为 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决率的问题，解题的关键是准确找出等量关系． 设该药品每次降价的百分率为，根据两次降价列出方程求解即可． 【详解】解：设该药品每次降价的百分率为，由题意得， ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 答：该药品每次降价的百分率为． 7．(24-25九上·四川眉山东坡区苏祠中学共同体·期中)年月日，龙芯产品发布暨用户大会举行．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，条生产线最大产能是万个/季度，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1) (2)条【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设前三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量（前三季度生产量的平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设前三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：前三季度生产量的平均增长率为； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴， 答：应该再增加条生产线． 8．(24-25九上·四川绵阳江油·期中)新能源汽车节能、环保，越来越受到消费者喜爱．某新能源汽车厂近几年产量逐年增加，2021年产量为16万辆，2023年产量增加到49万辆． (1)从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是多少？ (2)按照这个增长速度，预计在2024年，该新能源汽车厂产量可以达到多少万辆（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)万辆 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． （1）从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是x，根据2021年产量为16万辆，2023年产量增加到49万辆，列出方程进行求解即可； （2）利用2023年产量，根据增长率，求出2024年该新能源汽车厂产量即可． 【详解】（1）解：设该新能源汽车厂在2021年到2023年中年产量的平均增长率为． 解这个方程得：，（不合题意，舍去） 答：从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是； （2）解：预计该新能源汽车厂2024年产量：（万辆）． 9．(24-25九上·四川成都实验外国语学校·期中)某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求第二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加10件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 【答案】(1) (2)72元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为，根据题意即可得出关于的一元二次方程，进行计算即可得； （2）设该商品售价定为元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为72元． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为， 依题意得， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设该商品售价定为元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让利顾客，赢得市场， ， 即该商品售价定为72元时，商场当月获利2160元． 10．(24-25九上·四川绵阳外国语学校·期中)某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 地 城 考点19 一元二次方程实际应用之与图形有关问题 1．(24-25九上·四川眉山东坡区苏祠中学共同体·期中)如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由道路的宽为∶ m，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解∶道路的宽为， 种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得∶． 故选∶C． 2．(24-25九上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破． 把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 3．(23-24九上·四川宜宾兴文县·期中)空地上有一段长为的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木栏围成一个封闭的矩形菜园（如图），已知木栏总长为40米．若，，则（　　） A．只有一种围法 B．有两种围法 C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据矩形面积公式列方程，解方程即可求解．根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，舍去； 当时，， ∴只有一种围法． 故选：A． 4．(23-24九上·四川南充仪陇县·期中)杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》(1275年)提出了这样一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则列方程可得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形长与宽之间的关系，可得出长为步，再结合矩形的面积为八百六十四平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：宽比长少一十二步，且设宽为x步， 长为步， 又直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步）， 根据题意可列出方程． 即： 故选：A． 5．(24-25九上·四川绵阳江油·期中)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长根据这个问题列出方程，并将所列方程化为一般形式，得： ． 【答案】． 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确掌握矩形的面积求法是解题关键．直接根据题意表示出宽，再根据矩形面积公式得出答案． 【详解】解：矩形的长为，则长为，可列方程为： ， 则． 故答案为：． 6．(23-24九上·四川遂宁蓬溪县蓬溪中学校·期中)如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故答案为：． 7．(24-25九上·四川宜宾东辰学校初中部·期中)某小区将原来面积为400平方米的正方形场地改建为面积为300平方米的长方形场地，且长和宽之比为3：2． (1)求原正方形的边长、新长方形的长和宽? (2)若把原正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新场地的长方形围墙，则这些铁栅栏是否够用？请说明理由． 【答案】(1)原正方形的边长为20米，新长方形的长和宽分别为：米，米； (2)这些铁栅栏够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次根式的性质，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系； （1）根据算术平方根直接求出正方形的边长，先设新长方形的长和宽分别为：，再根据新场地的面积为300平方米，列方程求出长方形的长和宽， （2）求出长方形的周长和正方形的周长，进行比较即可得出结论. 【详解】（1）解：（米）， 设新长方形的长和宽分别为：米和，米， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， 答：原正方形的边长为20米，新长方形的长和宽分别为：米和米； （2）解：（米），（米）， ∵， ∴这些铁栅栏够用. 8．(24-25九上·四川成都西川中学·期中)学校停车场车位布局如图所示．已知矩形停车场的长为，宽为，共有五个等宽矩形停车区，其总面积为，其余部分是等宽通道，设通道宽． (1)用含的代数式表示：停车区宽为______，停车区的长为______． (2)停车场的通道宽为多少米？ 【答案】(1) (2)5m 【分析】本题主要考查代数式表示数或数量关系，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据图示中，矩形停车场的宽为，是停车区与两条通道的宽的和，由此列式即可求解； （2）根据面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得停车区的宽为：， 停车区的长为：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， 解得（舍去）， ∴停车场的通道宽为5米． 地 城 考点20 一元二次方程实际应用之销售利润问题 1．(24-25九上·四川成都四川师范大学附属中学教育集团·期中)2024年成都世园会吉祥物为“桐妹儿”，核心创意来自中国特有的孑遗植物珙桐（又称鸽子花）和三星堆“青铜神鸟”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．某商店购进“桐妹儿”的玩偶和钥匙扣，进货价分别为每个66元和59元，准备以每个88元和79元进行销售． (1)该店铺购进玩偶和钥匙扣共80个，若进货后能全部售出，则可获利1702元，问分别购进玩偶和钥匙扣多少个？ (2)该店铺打算把钥匙扣调价销售，若按原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，能使钥匙扣平均每天销售利润为288元？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设购进玩偶个，钥匙扣个，根据“购进玩偶和钥匙扣共个，若进货后能全部售出，则可获利元”列出方程组，解方程组即可得出答案； （2）设将销售价定为每个元时，能使钥匙扣平均每天销售利润为元，根据“每天销售利润每个钥匙扣销售利润每天销售数量”列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进玩偶个，钥匙扣个， 根据题意可得： ， 解得：， 答：购进玩偶个，钥匙扣个； （2）解：设将销售价定为每个元时，能使钥匙扣平均每天销售利润为元， 根据题意可得： ， 解得：， 答：将销售价定为每个元时，能使钥匙扣平均每天销售利润为元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用（销售、利润问题），一元二次方程的应用（营销问题），解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，弄清题意，根据题中的数量关系正确列出方程（组）是解题的关键． 2．(24-25九上·四川成都郫都区嘉祥外国语学校·期中)某景区民宿有客房60间供游客居住，每个房间是按整间出租．已知当每个房间每天的定价为140元时，客房会全部住满，当个房间每天的定价每增加20元时，就会有4个房间空闲． (1)若某天每间客房的定价增加了60元，求这天客房的总收入； (2)如果政府规定该农家乐入住率超过可以获得每间10元的政府补贴，某天客房收入9360元，试求这天农家乐可获得政府补贴多少元？ 【答案】(1)9600元 (2)520元 【分析】本题考查有理数混合运算的实际运用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． （1）每间客房的定价增加了60元，则空闲的房间有12间，根据每个房间的定价乘以出租的房间数即可求出总收入； （2）设每间客房的定价增加了x元，房间出租了间，根据客房收入9360元，可得方程，求解后根据入住率超过进行取舍，进而得到出租的房间数，即可解答． 【详解】（1）解：若每间客房的定价增加了60元，则空闲的房间有（间）， ∴总收入为（元） 答：这天客房的总收入为9600元． （2）解：设每间客房的定价增加了x元，房间出租了间， ∵客房收入9360元， ∴ 解得，， ∵入住率超过可以获得每间10元的政府补贴， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴这天农家乐可获得政府补贴为：（元）． 3．(24-25九上·四川成都武侯区西川实验学校·期中)某商场以每件元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)该商场规定这种商品每件售价不得高于元，商品要想获得元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程的实际应用，注意计算的准确性是解题关键． （1）设与之间的函数关系式为：，将点代入即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：， （2）解：由题意得：， 令，则， 解得：， ∵商场规定这种商品每件售价不得高于元， ∴， ∴商品要想获得元的利润，每件商品的售价应定为元 4．(24-25九上·四川成都第七中学初中学校·期中)某文具店购进A、B两种型号的笔袋，两次购进笔袋的情况如表： 进货批次 A型笔袋（个） B型笔袋（个） 总费用（元） 一 10 5 400 二 5 10 350 (1)求A，B两种型号的笔袋进价各是多少元？ (2)在销售过程中，为了增大A型笔袋的销售量，超市决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市将每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的利润为240元？ 【答案】(1)A种型号的笔袋进价是30元，乙种型号的笔袋进价是20元 (2)超市将每个A型笔袋降价2元或4元时，每天售出A型笔袋的利润为240元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元二次方程． （1）设A型笔袋的进价是x元，B型笔袋的进价是y 元，利用进货总价进货单价进货数量，结合两次购进笔袋的数量及总费用，列出二元一次方程组，解之即可； （2）设每个A型笔袋降价m元，则每个A型笔袋的销售利润为元，每天可以售出个，利用每天售出A型笔袋的利润每个的销售利润日销售量，列出关于m的一元二次方程，解之即可． 【详解】（1）解：设A种型号的笔袋进价是x元，B种型号的笔袋进价是y元， 由题意可知：， 解得， 答：A种型号的笔袋进价是30元，B种型号的笔袋进价是20元； （2）解：设每个A型笔袋降价m元，则每个A型笔袋的销售利润为元，每天可以售出 个， 根据题意得：， 解得： ， 答：超市将每个A型笔袋降价2元或4元时，每天售出A型笔袋的利润为240元． 5．(24-25九上·四川成都七中育才学校·期中)成都市龙泉驿区水蜜桃果大质优，外观艳丽，素有天下第一桃之称．某种植基地年开始种植水蜜桃亩， 到年水蜜桃的种植面积达到亩． (1)求该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率； (2)市场调查发现，当水蜜桃的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地水蜜桃的平均成本价为元/千克，若每天获利元，则售价应为多少元？ 【答案】(1)该基地这两年水蜜桃种植面积的平均增长率为 (2)售价应为16元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率，根据该基地年及年水蜜桃的种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润 销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率， 依题意，得：， 解得：或（舍去） 答：该基地这两年水蜜桃种植面积的平均增长率为． （2）解：设售价应降低元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：或 要尽量减少库存， ， （元）， 答：售价应为16元． 6．(24-25九上·四川眉山仁寿县·期中)电商平台某服装销售商家在销售中发现某品牌童装平均每天可售出40件，每件盈利80元．该电商为了迎接“双11”，电商决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件． (1)要想平均每天在销售这种童装上盈利4800元，那么每件童装应降价多少元？ (2)这种童装盈利能否达到5200元，请说明理由？ 【答案】(1)每件童装应降价40元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设每件童装应降价x元，根据“盈利4800元”列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设每件童装应降价x元，根据“盈利5200元”列出一元二次方程，求出根的判别式即可得到答案． 【详解】（1）解：设每件童装应降价元， 由题意得：， 解得或， ∵要尽量减少库存， ∴， ∴每件童装应降价40元； （2）解：不能， 理由如下： 设将售价降价元/件， 由题意得：， 即：， ， 方程无实数根， 利润不能达到5200． 7．(24-25九上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为． (1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？ (2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克． ①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示） ②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)到年“猕猴桃”的种植面积达到亩； (2)售价应降低元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及有理数的乘方，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算求解即可； （2）①由降低元，得每天可售出千克，②根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：（亩） 答：到年“猕猴桃”的种植面积达到亩； （2）解：①设售价应降低元，则每天可售出千克； ②依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低元． 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 20大高频考点概览 考点01 判断是否为一元二次方程 考点11根的判别式解答题综合 考点02利用一元二次方程的定义求参数的值 考点12解一元二次方程（计算题） 考点03由一元二次方程的解求参数 考点13换元法解一元二次方程 考点04一元二次方程解得估算 考点14利用根与系数的关系求参数的值 考点05直接开平方法解一元二次方程（选填题） 考点15利用根与系数的关系求代数式的值 考点06一元二次方程配方法中相关求解 考点16根与系数的关系解答题综合 考点07配方法求代数式的值 考点17一元二次方程实际应用之传播问题 考点08配方法的实际应用之最值问题 考点18一元二次方程实际应用之增长率问题 考点09根据根的判别式判断根的情况 考点19一元二次方程实际应用之与图形有关问题 考点10根据根的判别式求参数的值 考点20一元二次方程实际应用之销售利润问题 地 城 考点01 判断是否为一元二次方程 1．(24-25九上·四川南充白塔中学·期中)下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)有下列关于x的方程：①，②，③，④，⑤，⑥．其中是一元二次方程的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25九上·四川乐山实验中学·期中)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·四川自贡富顺县自贡富顺联考九年级期中考试·期中)下列是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·四川雅安中学·期中)下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 6．(24-25九上·四川遂宁射洪射洪绿然学校·期中)下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·四川遂宁洪中学校教育联盟·期中)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·四川泸州合江县·期中)下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 利用一元二次方程的定义求参数的值 1．(24-25九上·四川泸州合江县·期中)关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 2．(23-24九上·四川内江资中县·期中)已知是关于的一元二次方程，则等于 ． 3．(23-24九上·四川成都武侯区四川大学附属中学西区学校·期中)已知是一元二次方程，则 ． 4．(23-24九上·四川宜宾叙州区观音片区·期中)若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 5．(24-25九上·四川内江第二中学中·期中)方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 6．(24-25九上·四川巴中南江县实验中学·期中)若是关于x的一元二次方程，则a可以为 ． 7．(24-25九上·四川广元旺苍县·期中)若关于的一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为 ． 地 城 考点03 由一元二次方程的解求参数 1．(24-25九上·四川内江第一中学·期中)已知m是一元二次方程的根，则的值为 ． 2．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)已知是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 3．(24-25九上·四川成都武侯区西川实验学校·期中)已知是方程的一个根，则的值是 ． 4．(24-25九上·四川宜宾兴文县·期中)已知一元二次方程的一个根为，则的值是 ． 5．(24-25九上·四川自贡富顺县自贡富顺联考九年级期中考试·期中)若是关于x的一元二次方程的解，则 ． 6．(24-25九上·四川广安友实学校·期中)若是方程的根，则的值为 ． 7．(24-25九·四川内江威远县新场中学·期中)已知关于的方程的一个根为，则m的值为 ． 8．(24-25九上·四川泸州第七中学校·期中)已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 地 城 考点04 一元二次方程解得估算 1．(24-25九上·四川成都实验外国语学校·期中)根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 2．(24-25九上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 直接开平方法解一元二次方程（选填题） 1．(24-25九上·四川眉山仁寿县·期中)方程的解正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．(23-24九上·四川达州渠县贵福中学·期中)已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 3．(23-24九上·四川达州渠县有庆中学·期中)方程的解为（    ） A．， B． C． D．无解 4．(24-25九上·四川达州大竹县第二中学·期中)关于x的方程的解是 ． 5．(23-24九上·四川成都成华区成都华西中学·期中)关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 地 城 考点06 一元二次方程配方法中相关求解 1．(24-25九下·四川眉山青神县·期中)用配方法解方程，下列配方法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都某校·期中)一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·四川南充阆中东风中学·期中)用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·四川自贡荣县·期中)用配方法解方程，应把方程的两边同时（    ） A．加上 B．减去 C．加上 D．减去 6．(24-25九上·四川泸州泸县第五中学·期中)用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·四川成都温江区光华实验中学·期中)把方程化成的形式，则的值是 ． 8．(24-25九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中)一元二次方程，配方为，则的值是 ． 地 城 考点07 配方法求代数式的值 1．(24-25九上·四川内江隆昌知行中学·期中)若a，b，c满足，则 ； 2．(24-25九上·四川内江第一中学·期中)已知实数a，b满足：，则 ． 3．(23-24九上·四川南充南部县振兴初级中学·期中)如果满足，，且 ，则的值为 ． 地 城 考点08 配方法的实际应用之最值问题 1．(23-24九上·四川宜宾叙州区观音片区·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： ； ∵无论取何实数，都有，∴，即的最小值为2． 请利用上述知识解决以下问题： (1)求代数式的最小值． (2)证明：无论取何实数，二次根式 都有意义． 2．(23-24九上·四川南充仪陇县·期中)配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】： （1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)； ①10      ②24     ③34    ④60 【探究问题】： （2）若可配方成 (m，n为常数)，则的值为_____； （3）已知 (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】： （4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 3．(24-25九上·四川乐山峨眉山博睿特外国语学校·期中)根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知x2﹣2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值； (2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2＋b2﹣10a﹣12b＋61＝0，求△ABC的最大边c的值； (3)已知a﹣b＝8，ab＋c2﹣16c＋80＝0，求a＋b＋c的值． 地 城 考点09 根据根的判别式判断根的情况 1．(24-25九上·四川资阳安岳中学·期中)关于x的一元二次方程的实数根情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 2．(24-25九下·四川广安·期中)关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 3．(24-25九上·四川眉山东坡区苏祠中学共同体·期中)关于方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 4．(24-25九上·四川绵阳江油·期中)关于一元二次方程的根的说法，正确的是（   ） A．有两个相等实数根 B．没有实数根 C．两根之和为2 D．两根之积为 5．(24-25九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中)对于实数，定义运算“”为：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．(24-25九上·四川资中县第二中学·期中)方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．(23-24九上·四川达州渠县临巴中学·期中)方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 地 城 考点10 根据根的判别式求参数的值 1．(23-24九上·四川南充南部中学·期中)关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川眉山东坡区苏祠中学共同体·期中)若关于的方程有两个实数根，则应满足（　　） A． B． C．且 D．且 3．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 5．(24-25九上·四川眉山仁寿县龙正学区期中测试·期中)如果关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图像不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 6．(24-25九上·四川眉山青神县共同体·期中)如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 7．(24-25九上·四川广安友实学校·期中)关于的一元二次方程的两个根为，则的取值范围是(　 　) A． B． C．且 D．且 8．(24-25九上·四川成都七中育才学校·期中)已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B． C． D． 9．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25九上·四川自贡田家炳中学·期中)已知有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 地 城 考点11 根的判别式解答题综合 1．(24-25九上·四川自贡·期末)已知关于x的方程． (1)求证：当时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根． 2．(24-25九上·四川巴中南江县实验中学·期中)已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 3．(24-25九上·四川成都青羊区泡桐树中学·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根； (2)已知等腰三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求这个三角形的周长． 4．(24-25九上·四川内江隆昌隆昌第六中学·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求m的值． (2)求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． 5．(24-25九上·四川乐山中区·期中)已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若此一元二次方程的两根是两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值． 6．(24-25九上·四川成都·期中)关于x的一元二次方程． （1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． （2）若原方程的一个根是1，求此时m的值． 地 城 考点12 解一元二次方程（计算题） 1．(24-25九上·四川内江第一中学·期中)解方程 (1) (2) 2．(24-25九上·四川成都武侯区西川实验学校·期中)解方程 (1) (2) 3．(23-24九上·四川南充南部中学·期中)解方程： (1)； (2)． 4．(24-25九上·四川南充南部县第二中学·期中)（1）解方程： （2）解方程： 5．(24-25九上·四川成都温江区光华实验中学·期中)解方程： (1)； (2)． 6．(24-25九上·四川成都武侯区四川大学附属中学西区学校·期中)计算： (1) (2) 7．解下列方程： (1) (2)（配方法） 地 城 考点13 换元法解一元二次方程 1．(24-25九上·四川宜宾兴文县·期中)已知的解是1，，则方程的解为 ． 2．(24-25九上·四川成都锦江区成都七中育才学校·期中)已知实数a、b满足，则 ． 3．(24-25九上·四川达州万源河口中学·期中)若，求的值为 ． 4．(23-24九上·四川绵阳三台县部分学校·期中)若实数x满足， 则＝ ． 5．(23-24九上·四川南充仪陇县·期中)若实数x满足，则的值是 ． 6．(24-25九上·四川乐山犍为县·期中)方程的解是，则方程的解是 ． 地 城 考点14 利用根与系数的关系求参数的值 1．(24-25九上·四川成都双流区·期末)已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为 ． 2．(23-24九上·四川成都锦江区金苹果锦城一中·期中)已知关于x的一元二次方程的两个实数根满足，则实数m的值为 ． 3．(23-24九上·四川泸州合江县·期中)已知，是关于x的一元二次方程的两实数根，且，则m的值是 ． 4．(24-25九上·四川眉山仁寿县书院初级中学校·期中)已知关于x的一元二次方程的一个根是1， 则它的另一个根为 ，m的值为 ． 地 城 考点15 利用根与系数的关系求代数式的值 1．(24-25九下·四川眉山洪雅县·期中)已知、是方程的两个实数根，则 ． 2．(24-25九上·四川南充南部县第二中学·期中)已知m，n是方程的两实数根，则 3．(24-25九上·四川眉山洪雅县·期中)已知实数，且，，则 ． 4．(24-25九上·四川成都郫都区嘉祥外国语学校·期中)设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 5．(24-25九上·四川成都某校·期中)设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 6．(24-25九上·四川内江翔龙中学·期中)已知，是方程的两根，则 ． 7．(24-25九上·四川遂宁射洪射洪绿然学校·期中)已知一元二次方程的两实数根为、，则的值为 ． 地 城 考点16 根与系数的关系解答题综合 1．(24-25九上·四川泸州第七中学校·期中)已知关于x的方程：． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设，是方程的两个根，且，求m的值． 2．(24-25九上·四川泸州合江县·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，是方程的两根，且时，求的值． 3．(24-25九上·四川资阳安岳中学·期中)已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 4．(23-24九上·四川南充南部中学·期中)已知是一元二次方程的两个实数根，求的值． 5．(24-25九上·四川成都泡桐树中学·期中)综合与探究 已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，求m的值； (3)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 5．已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 6．(24-25九上·四川内江威远县凤翔中学·期中)如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知、满足，，求的值； (2)已知、、满足，，求正数的最小值 7．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，，求代数式的值． 地 城 考点17 一元二次方程实际应用之传播问题 1．(23-24九上·四川广元苍溪县石马初级中学·期中)近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·四川达州达川区四中联盟·期中)新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，且传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 3．(24-25九上·四川自贡·期末)某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 4．(24-25九上·四川绵阳绵阳中学英才学校·期中)疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新冠”，平均一个人传染x个人．则由题意列方程得（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九·四川内江威远县新场中学·期中)秋冬是流感易发季节，已知有1人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中一个人传染人，则的值为 ． 6．(24-25九·四川内江威远县新场中学·期中)秋冬是流感易发季节，已知有1人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中一个人传染人，则的值为 ． 7．(24-25九上·四川宜宾兴文县·期中)有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 8．(24-25九上·四川成都都江堰·期中)德尔塔是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平均一个人传染了个人； （1）用含的代数式表示：经过第一轮传染后，共有多少人感染了德尔塔病毒? （2）列方程求解：在每轮传染中，平均一个人传染了几个人? （3）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有多少人感染德尔塔病毒? 地 城 考点18 一元二次方程实际应用之增长率问题 1．(24-25九下·四川广安·期中)某旅游景点2022年接待游客25万人次，2024年接待游客36万人次，设该景点接待游客人次年平均增长率为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都某校·期中)某校前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为72万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则列方程得（  ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·四川内江第一中学·期中)某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A． B． C． D． 5．(24-25九上·四川泸州江阳西路学校·期中)某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入300万元，预计2022年投入500万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·四川内江第二中学中·期中)国家为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某药品原价每盒25元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，如果两次降价的百分率相同，求该药品每次降价的百分率． 7．(24-25九上·四川眉山东坡区苏祠中学共同体·期中)年月日，龙芯产品发布暨用户大会举行．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，条生产线最大产能是万个/季度，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 8．(24-25九上·四川绵阳江油·期中)新能源汽车节能、环保，越来越受到消费者喜爱．某新能源汽车厂近几年产量逐年增加，2021年产量为16万辆，2023年产量增加到49万辆． (1)从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是多少？ (2)按照这个增长速度，预计在2024年，该新能源汽车厂产量可以达到多少万辆（结果保留小数点后一位）？ 9．(24-25九上·四川成都实验外国语学校·期中)某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求第二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加10件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 10．(24-25九上·四川绵阳外国语学校·期中)某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 地 城 考点19 一元二次方程实际应用之与图形有关问题 1．(24-25九上·四川眉山东坡区苏祠中学共同体·期中)如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·四川宜宾兴文县·期中)空地上有一段长为的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木栏围成一个封闭的矩形菜园（如图），已知木栏总长为40米．若，，则（　　） A．只有一种围法 B．有两种围法 C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法 4．(23-24九上·四川南充仪陇县·期中)杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》(1275年)提出了这样一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则列方程可得（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·四川绵阳江油·期中)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长根据这个问题列出方程，并将所列方程化为一般形式，得： ． 6．(23-24九上·四川遂宁蓬溪县蓬溪中学校·期中)如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为 ． 7．(24-25九上·四川宜宾东辰学校初中部·期中)某小区将原来面积为400平方米的正方形场地改建为面积为300平方米的长方形场地，且长和宽之比为3：2． (1)求原正方形的边长、新长方形的长和宽? (2)若把原正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新场地的长方形围墙，则这些铁栅栏是否够用？请说明理由． 8．(24-25九上·四川成都西川中学·期中)学校停车场车位布局如图所示．已知矩形停车场的长为，宽为，共有五个等宽矩形停车区，其总面积为，其余部分是等宽通道，设通道宽． (1)用含的代数式表示：停车区宽为______，停车区的长为______． (2)停车场的通道宽为多少米？ 地 城 考点20 一元二次方程实际应用之销售利润问题 1．(24-25九上·四川成都四川师范大学附属中学教育集团·期中)2024年成都世园会吉祥物为“桐妹儿”，核心创意来自中国特有的孑遗植物珙桐（又称鸽子花）和三星堆“青铜神鸟”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．某商店购进“桐妹儿”的玩偶和钥匙扣，进货价分别为每个66元和59元，准备以每个88元和79元进行销售． (1)该店铺购进玩偶和钥匙扣共80个，若进货后能全部售出，则可获利1702元，问分别购进玩偶和钥匙扣多少个？ (2)该店铺打算把钥匙扣调价销售，若按原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，能使钥匙扣平均每天销售利润为288元？ 2．(24-25九上·四川成都郫都区嘉祥外国语学校·期中)某景区民宿有客房60间供游客居住，每个房间是按整间出租．已知当每个房间每天的定价为140元时，客房会全部住满，当个房间每天的定价每增加20元时，就会有4个房间空闲． (1)若某天每间客房的定价增加了60元，求这天客房的总收入； (2)如果政府规定该农家乐入住率超过可以获得每间10元的政府补贴，某天客房收入9360元，试求这天农家乐可获得政府补贴多少元？ 3．(24-25九上·四川成都武侯区西川实验学校·期中)某商场以每件元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)该商场规定这种商品每件售价不得高于元，商品要想获得元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 4．(24-25九上·四川成都第七中学初中学校·期中)某文具店购进A、B两种型号的笔袋，两次购进笔袋的情况如表： 进货批次 A型笔袋（个） B型笔袋（个） 总费用（元） 一 10 5 400 二 5 10 350 (1)求A，B两种型号的笔袋进价各是多少元？ (2)在销售过程中，为了增大A型笔袋的销售量，超市决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市将每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的利润为240元？ 5．(24-25九上·四川成都七中育才学校·期中)成都市龙泉驿区水蜜桃果大质优，外观艳丽，素有天下第一桃之称．某种植基地年开始种植水蜜桃亩， 到年水蜜桃的种植面积达到亩． (1)求该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率； (2)市场调查发现，当水蜜桃的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地水蜜桃的平均成本价为元/千克，若每天获利元，则售价应为多少元？ 6．(24-25九上·四川眉山仁寿县·期中)电商平台某服装销售商家在销售中发现某品牌童装平均每天可售出40件，每件盈利80元．该电商为了迎接“双11”，电商决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件． (1)要想平均每天在销售这种童装上盈利4800元，那么每件童装应降价多少元？ (2)这种童装盈利能否达到5200元，请说明理由？ 7．(24-25九上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为． (1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？ (2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克． ①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示） ②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？ 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $