专题02 轴对称（必备知识+21题型+分层测试）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题02 轴对称（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称与轴 对称图形 能准确说出轴对称和轴对称图形的定义， 区分二者联系与区别. 基础考点，常出现在小题中. 垂直平分线 理解并掌握垂直平分线的性质，并会用性质解决相关问题. 期中必考点，选择填空和解答题都可能会考查，常与全等三角形结合考查. 角平分线 理解并掌握角平分线的性质，并会用性质解决相关问题. 期中必考点，选择填空和解答题都可能会考查，常与内角和定理和全等三角形结合考查. 等腰三角形的性质与判定 掌握等腰三角形的性质与判定方法，会解决相关的问题. 期中必考点，选择填空和解答题都可能会考查，常作为综合题的背景，易忽略分类讨论. 知识点01 轴对称图形 1、轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点02 轴对称图形的性质 1、性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点． 2、画对称轴的方法： （1）过两对对称点所连的线段的中点作直线； （2）作一对对称点连线的垂直平分线. 知识点03 轴对称 1、轴对称：如果两 个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合. 2、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴 图形 区别 意义 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 对称轴的条数 一条或多条 只有一条 对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）. 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． 知识点04 轴对称的性质 1、轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 2、找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． 3、、作一个图形关于某条直线成轴对称的方法： 先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 知识点05 画已知图形的轴对称图形 画与已知图形成轴对称的图形的步骤： （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 知识点06 线段的垂直平分线的性质 ◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.简称：中垂线. ◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ★★应用格式：（如下图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ★★作用：证明线段相等. 知识点07 线段垂直平分线的画法 ◆作线段的垂直平分线 已知线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1)如图，分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD， CD 即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 知识点08 角的平分线的性质 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. 知识点09 作已知角的平分线 ◆已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 知识点10 等腰三角形的概念及性质 ★1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． ★2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. ★3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.简称：等腰三角形三线合一. 在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. ★4、含30°角的直角三角形的性质 ①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． ②此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． 【注意】 ①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 题型一 轴对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【典例1】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】中华文明源远流长，以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 题型二 轴对称 解｜题｜技｜巧 如果两 个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 【典例1】《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A．B． C． D． 【变式1】下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．  B．   C．   D．   【变式2】如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 题型三 确定轴对称图形的对称轴的条数 解｜题｜技｜巧 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 【典例1】下列图形中对称轴最多的是（   ） A．等边三角形 B．正方形 C．长方形 D．等腰梯形 【变式1】花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，如图这种眉心花钿图案的对称轴条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ） A． B． C． D． 题型四 轴对称在镜面对称中的应用 解｜题｜技｜巧 1、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 2、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 【典例1】小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【变式1】小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 【变式2】小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个钟如图所示，其中时间最接近四点钟的是（    ） A．  B．  C．   D．   题型五 作图轴对称变换 解｜题｜技｜巧 作一个图形关于某条直线成轴对称的方法：先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 【典例1】如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 【变式1】在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于 某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】作图题（不要求写作法）： 如图，在10×5的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点上）．在给出的方格纸中，画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A1B1C1D1． 题六 画已知图形的轴对称图形 解｜题｜技｜巧 轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下： 1．找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； 2．连接这对对应点； 3．画出对应点所连线段的垂直平分线． 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 【典例1】在下面各图中画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于l成轴对称图形． 【变式1】以图中的虚线为对称轴画出该图形的另一半． 【变式2】如图，直线l是一个轴对称图形的对称轴，在网格中画出这个轴对称图形的另一半． 题型七 利用轴对称解决台球准确击球问题 解｜题｜技｜巧 与光线入射角类似的问题还有“台球反弹问题”，根据根据网格结构作出球的运动路线是解题的关键． 【典例1】如图是一个经过改造的规格为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1＝∠2．若∠3＝25°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　） A．65° B．75° C．55° D．85° 【变式1】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4 个点中，可以瞄准的是（　　） A． 点A B．点B C．点C D．点D 题型八 线段垂直平分线的性质 解｜题｜技｜巧 运用求线段长或证明线段长或求周长的问题时，如果不能直接求就要利用线段垂直平分线的性质进行转化，连接线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点是常用的添加辅助线的方法. 【典例1】在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是（    ） A． B． C． D．无法计算 【变式1】如图，，的垂直平分线交于D，连接，若，则（   ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，中，的垂直平分线分别交于点D，E，的垂直平分线分别交于点F，G，连接． (1)若的周长为10，求线段的长； (2)若，求的度数． 题型九 作线段的垂直平分线 解｜题｜技｜巧 本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【典例1】如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C． D． 【变式1】如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A， 点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，若的周长为14，求的面积． 题型十 角的平分线的性质 解｜题｜技｜巧 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法. 【典例1】如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知如图，中，是角平分线，，垂足为E．若，则点D到边的距离 是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【变式2】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是 ． 题型十一 角平分线的尺规作图 解｜题｜技｜巧 用尺规作已知角的平分线的步骤： （1）以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于两点； （2）分别以这两点为圆心，以大于这两点间的距离的一半长为半径画弧，两弧交于角内一点； （3）过角的顶点和这个交点作射线，即得已知角的平分线. 【典例1】如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，在中，按以下步骤作图： ①在，上分别截取，； ②分别以点D，E为圆心，大于，两弧相交于点F； ③作射线交于点M； ④过点M作于点N． 下列结论一定成立的是（　　）    A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 题型十二 利用等腰三角形的性质求线段长 解｜题｜技｜巧 利用等腰三角形的性质求线段长有时利用面积公式、线段的垂直平分线等知识来解题. 【典例1】如图，在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，，求的周长． (2)分别过点，作于、于，若，，求的长． 题型十三 利用等腰三角形的性质求角的度数 解｜题｜技｜巧 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.利用等腰三角形的性质，角的平分线的性质、三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键． 【典例1】 如图，在中，，分别是的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在四边形中，，，为对角线，且．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BC＝BD，求∠A的度数． 题型十四 等腰三角形中的多结论判断问题 解｜题｜技｜巧 等腰三角形中的多结论判断问题主要是利用角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 【典例1】如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．则下列结论：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD；④OD＝2CD．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（　　） A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十五 等腰三角形中的分类讨论问题 解｜题｜技｜巧 解决等腰三角形的分类讨论问题时，主要从边，分为腰和底来讨论；角：分为顶角和底角来讨论；一腰上的高问题：要分锐角和钝角三角形来讨论；在讨论的时候有时利用等腰三角形的性质和判定时需要用到方程的思想和三角形的内角和定理来解决. 【典例1】一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（　　） A．3cm，5cm B．4cm，4cm C．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对 【变式1】等腰三角形的一个内角是70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为（　　） A．20° B．35° C．20°或35° D．30°或35° 【变式2】△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，点D在线段BC上，若△ADC为直角三角形时∠ADB的度数为（　　） A．90° B．60° C．90°或60° D．90°或120° 题型十六 等腰三角形性质的证明 解｜题｜技｜巧 在等腰三角形的有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中 线是常见的辅助线． 【典例1】如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于E，求证：AE⊥BC． 【变式1】如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F， 求证：EC∥DF． 【变式2】如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．求证：DE＝ BF． 题型十七 等腰三角形的判定 解｜题｜技｜巧 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简称：等角对等边） 【典例1】如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形． 【变式2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝ BE，求证：△ABC为等腰三角形． 题型十八 等腰三角形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 【典例1】如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB＝15，则AC为（　　） A．15 B．18 C．20 D．23 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF． 【变式2】如图，AD是△ABC的角平分线，CE∥AD，与BA的延长线相交于点E，点F在AD的延长线上，且FC＝AC．求证： （1）△ACE是等腰三角形； （2）AB∥CF． 题型十九 30°直角三角形的性质 解｜题｜技｜巧 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【典例1】如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式2】如图，在中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型二十 利用轴对称进行设计 解｜题｜技｜巧 利用轴对称进行设计主要是利用轴对称的性质进行作图问题. 【典例1】如图，在4×4的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形． 【变式1】观察图①～④中阴影部分构成的图案： (1)请写出这四个图案都具有的一个共同特征：___________； (2)在图⑤，图⑥中各设计一个新的图案，使该图案具有图①～④的共同特征． 【变式2】认真观察图（1）～图（4）中阴影部分构成的图案，回答下列问题：    (1)请写出这4个图形都具有的两个共同特征①______；②______． (2)请在图（5）中，设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征 题型二十一 最短路径问题 解｜题｜技｜巧 线段之和最短 (或线段之差最长)是利用定理“三角形仟意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”给予证明的,其论证方法是依照轴对称定理，利用几何尺规作图，将变动的线段经过等量代换为一条直线段完成的. 【典例1】昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 2．一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 3．下列说法中错误的是（    ） A．关于某直线成轴对称的两个图形全等 B．面积相等的两个三角形成轴对称 C．两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 D．成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合 4．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（   ） A． B．或 C． D． 5．如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 6．如图，大正方形由9个相同的小正方形拼成，图中已有3个小正方形涂上了颜色，如果在图中再涂上一个正方形，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有（    ）种不同的涂法． A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，交 于点，再分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，点为上一点，，垂足为点， 若，则点到 的距离为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 10．如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝2，则BF的长为 ． 12． 如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，若的面 积为，则 ． 13．如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 14．如图所示，在中，已知的垂直平分线交于点N，交于点M，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长是，求的长度． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，AE⊥CD于点E． 求证：DC﹣DB＝2DE． 16．如图，中，，点D在的延长线上，连接平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G． (1)求证：； (2)若，，求和的度数； (3)求证：． 17．如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 18．已知在中，，，点是边的中点，点分别在射线、上，且． (1)试说明的理由； (2)如图，当点在上、点在上时，试说明的理由； (3)如图，当点在的延长线上、点在的延长线上时，试问、与三者面积间有怎样的数量关系，并说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 轴对称（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称与轴 对称图形 能准确说出轴对称和轴对称图形的定义， 区分二者联系与区别. 基础考点，常出现在小题中. 垂直平分线 理解并掌握垂直平分线的性质，并会用性质解决相关问题. 期中必考点，选择填空和解答题都可能会考查，常与全等三角形结合考查. 角平分线 理解并掌握角平分线的性质，并会用性质解决相关问题. 期中必考点，选择填空和解答题都可能会考查，常与内角和定理和全等三角形结合考查. 等腰三角形的性质与判定 掌握等腰三角形的性质与判定方法，会解决相关的问题. 期中必考点，选择填空和解答题都可能会考查，常作为综合题的背景，易忽略分类讨论. 知识点01 轴对称图形 1、轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点02 轴对称图形的性质 1、性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点． 2、画对称轴的方法： （1）过两对对称点所连的线段的中点作直线； （2）作一对对称点连线的垂直平分线. 知识点03 轴对称 1、轴对称：如果两 个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合. 2、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 图形 区别 意义 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 对称轴的条数 一条或多条 只有一条 对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）. 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． 知识点04 轴对称的性质 1、轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 2、找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． 3、、作一个图形关于某条直线成轴对称的方法： 先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 知识点05 画已知图形的轴对称图形 画与已知图形成轴对称的图形的步骤： （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 知识点06 线段的垂直平分线的性质 ◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.简称：中垂线. ◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ★★应用格式：（如下图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ★★作用：证明线段相等. 知识点07 线段垂直平分线的画法 ◆作线段的垂直平分线 已知线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1)如图，分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD， CD 即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 知识点08 角的平分线的性质 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. 知识点09 作已知角的平分线 ◆已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 知识点10 等腰三角形的概念及性质 ★1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． ★2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. ★3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.简称：等腰三角形三线合一. 在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. ★4、含30°角的直角三角形的性质 ①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． ②此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． 【注意】 ①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 题型一 轴对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【典例1】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合，不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合，不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合，不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，是轴对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【变式2】中华文明源远流长，以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 题型二 轴对称 解｜题｜技｜巧 如果两 个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 【典例1】《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【变式1】下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．  B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可： 【详解】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意； 只有D成轴对称，符合题意． 故选：D． 【变式2】如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可. 【详解】解:选项A，B，C都不是轴对称图形，只有选项D是轴对称图形． 故答案为D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义,理解轴对称图形的定义是解答本题的关键. 题型三 确定轴对称图形的对称轴的条数 解｜题｜技｜巧 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 【典例1】下列图形中对称轴最多的是（   ） A．等边三角形 B．正方形 C．长方形 D．等腰梯形 【答案】B 【分析】本题考查了求对称轴条数，先分别求出每个选项的对称轴条数，再进行比较，即可作答． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴， 正方形有4条对称轴， 长方形有2条对称轴， 等腰梯形有1条对称轴， ∵， ∴对称轴最多的是正方形， 故选：B 【变式1】花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，如图这种眉心花钿图案的对称轴条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，由此即可得解，熟练掌握轴对称图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，这种眉心花钿图案的对称轴条数是6， 故选：D． 【变式2】下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念分别找出各选项中对称轴的条数，然后选择答案即可． 【详解】解：A、共有6条对称轴； B、共有2条对称轴； C、共有1条对称轴； D、共有3条对称轴； 所以对称轴条数最少的是C选项． 故选∶C． 题型四 轴对称在镜面对称中的应用 解｜题｜技｜巧 1、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 2、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 【典例1】小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键． 直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625． 故选：A． 【变式1】小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了镜面对称，熟练掌握镜面反射的原理与性质是解题的关键． 根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，即可解答． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得拍照的时刻应是， 故选：C． 【变式2】小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个钟如图所示，其中时间最接近四点钟的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】经过镜面反射后，四点变为八点，那么答案应该是最接近八点的图形， 故选：C． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 题型五 作图轴对称变换 解｜题｜技｜巧 作一个图形关于某条直线成轴对称的方法：先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 【典例1】如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 【答案】B 【分析】此题考查轴对称的性质，解题关键在于画出图形. 根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图所示，对称轴有三种位置，与成轴对称的格点三角形有3个， 故选：B． 【变式1】在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于 某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【详解】解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 故选：B． 【变式2】作图题（不要求写作法）： 如图，在10×5的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点上）．在给出的方格纸中，画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A1B1C1D1． 【分析】轴对称图形对应点到对称轴的距离相等，利用此性质找对应点，顺次连接即可． 【详解】解：所作图形如下所示． 题六 画已知图形的轴对称图形 解｜题｜技｜巧 轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下： 1．找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点； 2．连接这对对应点； 3．画出对应点所连线段的垂直平分线． 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴． 【典例1】在下面各图中画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于l成轴对称图形． 【分析】分别找出点A、B、C关于直线l的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可． 【详解】解：△A′B′C′如图所示． 【变式1】以图中的虚线为对称轴画出该图形的另一半． 【分析】根据轴对称变换的性质作出图形即可． 【详解】解：图形如图所示： 【变式2】如图，直线l是一个轴对称图形的对称轴，在网格中画出这个轴对称图形的另一半． 【分析】根据轴对称的性质找出对应点即可求解． 【详解】解：这个轴对称图形的另一半如图所示． 题型七 利用轴对称解决台球准确击球问题 解｜题｜技｜巧 与光线入射角类似的问题还有“台球反弹问题”，根据根据网格结构作出球的运动路线是解题的关键． 【典例1】如图是一个经过改造的规格为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】D． 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 所以球最后将落入的球袋是4号袋， 故选：D． 【变式1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1＝∠2．若∠3＝25°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　） A．65° B．75° C．55° D．85° 【答案】A． 【分析】利用∠2+∠3＝90°，进而求出∠2的度数，再利用∠1＝∠2即可得出答案． 【详解】解：∵由题意可得：∠2+∠3＝90°，∠3＝25°， ∴∠2＝65°， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝65°． 故选：A． 【变式1】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4 个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D． 【分析】要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反射路线即可得出答案． 【详解】解： 可以瞄准点D击球． 故选：D． 题型八 线段垂直平分线的性质 解｜题｜技｜巧 运用求线段长或证明线段长或求周长的问题时，如果不能直接求就要利用线段垂直平分线的性质进行转化，连接线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点是常用的添加辅助线的方法. 【典例1】在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是（    ） A． B． C． D．无法计算 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质和直角三角形的性质，由垂直平分线的性质可得，则，再求出，，在中利用直角三角形的性质即可得的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，，的垂直平分线交于D，连接，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，中，的垂直平分线分别交于点D，E，的垂直平分线分别交于点F，G，连接． (1)若的周长为10，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质定理． （1）利用线段垂直平分线的性质定理进行求解即可； （2）利用三角形内角和定理求出，再利用线段垂直平分线的性质和等边对等角得出相等角，最后利用角的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型九 作线段的垂直平分线 解｜题｜技｜巧 本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【典例1】如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 【变式1】如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A， 点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 【变式2】如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，若的周长为14，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图步骤及性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）结合线段垂直平分线的性质可求出，再利用三角形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）可得，， ∵的周长为14， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为． 题型十 角的平分线的性质 解｜题｜技｜巧 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法. 【典例1】如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质， 根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴周长为． 故选：B． 【变式1】已知如图，中，是角平分线，，垂足为E．若，则点D到边的距离 是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过D作于F，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过D作于F， ∵平分，，， ∴， 即点到的距离为2， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是 ． 【答案】35 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十一 角平分线的尺规作图 解｜题｜技｜巧 用尺规作已知角的平分线的步骤： （1）以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于两点； （2）分别以这两点为圆心，以大于这两点间的距离的一半长为半径画弧，两弧交于角内一点； （3）过角的顶点和这个交点作射线，即得已知角的平分线. 【典例1】如图，已知，在射线，上分别截取，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点C，作射线，则就是的平分线．作图依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，角平分线的作法、全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用作法得到，，则根据全等三角形的判定方法可判断，然后根据全等三角形的性质得到，进而得到就是所求作的的角平分线． 【详解】解：如图所示，连接、， 由题可得，，， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴是的平分线（角平分线定义）． ∴作图依据是“”， 故选：D． 【变式1】如图所示，在中，按以下步骤作图： ①在，上分别截取，； ②分别以点D，E为圆心，大于，两弧相交于点F； ③作射线交于点M； ④过点M作于点N． 下列结论一定成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的作图，以及角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 可根据所给的作图步骤，结合角平分线的性质和判定定理来逐一分析选项． 【详解】解：由题意可知，平分， 不一定等于， 不一定等于，因此选项不符合题意； 不一定等于， 不一定等于，因此选项不符合题意； 平分， ，因此选项符合题意； 不一定等于， 不一定等于，因此选项不符合题意． 故选：． 【变式2】如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作于．只要证明，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：即为的平分线，如图所示． （2）解：如图，作于点H． 因为平分， 所以， 所以 ． 题型十二 利用等腰三角形的性质求线段长 解｜题｜技｜巧 利用等腰三角形的性质求线段长有时利用面积公式、线段的垂直平分线等知识来解题. 【典例1】如图，在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，先证明，求解，再进一步求解可得答案. 【详解】解：∵，于点， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴，. 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝12，BD＝CE，进而得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC＝12， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中 ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝12，BD＝CE， ∵BD＝4， ∴CE＝BD＝4， ∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8． 故选：C． 【变式2】如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，，求的周长． (2)分别过点，作于、于，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答； （2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为； （2）解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型十三 利用等腰三角形的性质求角的度数 解｜题｜技｜巧 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.利用等腰三角形的性质，角的平分线的性质、三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键． 【典例1】 如图，在中，，分别是的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出，再由角平分线求出，然后在中，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，在四边形中，，，为对角线，且．若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握等边对等角与平行线的性质是解决本题的关键． 由，可得，再根据，可得，由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BC＝BD，求∠A的度数． 【分析】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设∠ABD＝x，结合三角形外角的性质，则可用x的代数式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，运用三角形的内角和为180°，可求∠A的度数． 【详解】解：∵DE＝EB ∴设∠BDE＝∠ABD＝x， ∴∠AED＝∠BDE+∠ABD＝2x， ∵AD＝DE， ∴∠AED＝∠A＝2x， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3x， ∵BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC＝3x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x， 在△ABC中，3x+3x+2x＝180°， 解得x＝22.5°， ∴∠A＝2x＝22.5°×2＝45°． 题型十四 等腰三角形中的多结论判断问题 解｜题｜技｜巧 等腰三角形中的多结论判断问题主要是利用角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 【典例1】如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．则下列结论：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD；④OD＝2CD．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【分析】由在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，可求得∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，∠ABC＝∠BDC＝∠C＝72°，继而求得：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD． 【详解】解：∵AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠C＝2∠A，故①正确； ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴BD平分∠ABC，故②正确； ∴∠BDC＝∠C＝72°， ∴BC＝BD＝AD，故③正确； 由条件不能得出OD＝2CD，故④错误． 故选：C． 【变式1】在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（　　） A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 【答案】B． 【分析】根据题意画出图形，再根据在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°求出∠C的度数；由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，故可得出∠DBC的度数，进而得出BD是∠ABC的平分线；由三角形内角和定理可求出∠BDC的度数；由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形． 【详解】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C72°， 故①正确； ∵DM是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°， ∴BD是∠ABC的平分线， 故②错误； ∵在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°． 故③错误； ∵DM是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD ∴△ABD是等腰三角形； 故④正确； ∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵∠A＝∠ABD＝36°， ∴∠CBD＝36°， ∴BD＝BC， ∴AD＝BD＝BC，故⑤正确． 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C． 【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 【详解】解：∵DE∥AC， ∴∠DMA＝∠MAC，∠EMC＝∠MCA， ∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M， ∴∠DAM＝∠MAC，∠ECM＝∠MCA， ∴∠DAM＝∠DMA，∠EMC＝∠ECM， ∴DA＝DM，ME＝EC， 即△ADM和△CEM都是等腰三角形； 故①正确； ∴DE＝DM+EM＝AD+CE， ∵AC＞DE， ∴AD+CE＜AC，故④错误； ∴△BDE的周长为：BD+DE+BE＝DB+DM+ME+BE＝AB+BC；故②正确； 根据已知条件无法证明AM＝2CM，故③错误． 故选：C． 题型十五 等腰三角形中的分类讨论问题 解｜题｜技｜巧 解决等腰三角形的分类讨论问题时，主要从边，分为腰和底来讨论；角：分为顶角和底角来讨论；一腰上的高问题：要分锐角和钝角三角形来讨论；在讨论的时候有时利用等腰三角形的性质和判定时需要用到方程的思想和三角形的内角和定理来解决. 【典例1】一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（　　） A．3cm，5cm B．4cm，4cm C．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对 【答案】C． 【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】解：当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3（cm），能够组成三角形； 当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4（cm），能够组成三角形． 故另两边长分别为3cm，5cm或4cm，4cm． 故选：C． 【变式1】等腰三角形的一个内角是70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为（　　） A．20° B．35° C．20°或35° D．30°或35° 【答案】C． 【分析】题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解． 【详解】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高． ①当∠A＝70°时， 则∠ABC＝∠C＝55°， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝90°﹣55°＝35°； ②当∠C＝70°时， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝90°﹣70°＝20°； 故选：C． 【变式2】△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，点D在线段BC上，若△ADC为直角三角形时∠ADB的度数为（　　） A．90° B．60° C．90°或60° D．90°或120° 【答案】D． 【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想：当∠BAD＝90°时；当∠ADB＝90°时；即可求得∠ADC的度数． 【详解】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形， ∴如图1， 当∠CAD＝90°时，则∠ADB＝120°， 如图2， 当∠ADC＝90°时，则∠ADB＝90°． 综上所述，∠ADB的度数是120°或90°． 故选：D． 题型十六 等腰三角形性质的证明 解｜题｜技｜巧 在等腰三角形的有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中 线是常见的辅助线． 【典例1】如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于E，求证：AE⊥BC． 【分析】由AB＝AC，BD＝CD，AD是公共边，即可证得△ABD≌△ACD（SSS），则可得∠BAD＝∠CAD，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得AE⊥BC． 【详解】解：在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AB＝AC， ∴AE⊥BC． 【变式1】如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F， 求证：EC∥DF． 【分析】先由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC∠ABC，∠ECB∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代换得到∠ECB＝∠F，于是根据平行线的判定得出EC∥DF． 【详解】证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD、CE为底角的平分线， ∴∠DBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠DBC＝∠ECB， ∵∠DBC＝∠F， ∴∠ECB＝∠F， ∴EC∥DF． 【变式2】如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．求证：DE＝ BF． 【分析】证明CD∥BE，推出∠DCE＝∠BEF，利用SAS证明△DCE≌△FEB即可证明结论成立． 【详解】证明：∵等腰△ACD和等腰△BCE， ∴AD＝CD，EC＝EB，∠A＝∠DCA， ∵∠A＝∠CBE， ∴∠DCA＝∠CBE， ∴CD∥BE， ∴∠DCE＝∠BEF， ∵EF＝AD， ∴EF＝CD， 在△DCE和△FEB中， ， ∴△DCE≌△FEB（SAS）， 题型十七 等腰三角形的判定 解｜题｜技｜巧 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简称：等角对等边） 【典例1】如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C． 【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏． 【详解】解：AB＝AC，∠ABC＝36°， ∴∠BAC＝108°， ∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°， ∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个， 故选：C． 【变式1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠BAD，等量代换得到∠ADE＝∠CAD于是得到结论． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠CAD ∴AE＝ED， ∴△AED是等腰三角形． 【变式2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝ BE，求证：△ABC为等腰三角形． 【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形． 【详解】证明：∵DF⊥AC， ∴∠DFA＝∠EFC＝90°． ∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF， ∵BD＝BE， ∴∠BED＝∠D． ∵∠BED＝∠CEF， ∴∠D＝∠CEF． ∴∠A＝∠C． ∴△ABC为等腰三角形． 题型十八 等腰三角形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 【典例1】如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB＝15，则AC为（　　） A．15 B．18 C．20 D．23 【答案】B． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根据线段的和差关系可得，△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答． 【详解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO， ∴MO＝MB，NO＝NC， ∵△AMN的周长为33，AB＝15， ∴AM+MN+AN＝33， ∴AM+OM+ON+AN＝33， ∴AM+MB+CN+AN＝33， ∴AB+AC＝33， ∴AC＝18， 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数； （2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°，再由∠B＝36°得∠BAD＝54°，由此可得∠CAD的度数； （2）根等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，再根据EF∥AB得∠F＝∠BAD，由此得∠F＝∠CAD，然后根据等腰三角形的判定进而得出结论． 【详解】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°， ∵∠B＝36°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝54°， ∴∠CAD＝54°； （2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠F＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAD， ∴AE＝EF． 【变式2】如图，AD是△ABC的角平分线，CE∥AD，与BA的延长线相交于点E，点F在AD的延长线上，且FC＝AC．求证： （1）△ACE是等腰三角形； （2）AB∥CF． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAF＝∠CAF，根据平行线的性质得出∠CAF＝∠ACE，∠BAF＝∠E，根据等腰三角形的判定得出答案即可； （2）根据等腰三角形的性质，得出∠CAF＝∠F，根据平行线的判定即可得出答案． 【详解】证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAF＝∠CAF， ∵CE∥AD， ∴∠CAF＝∠ACE，∠BAF＝∠E， ∴∠E＝∠ACE， ∴AE＝AC， ∴△ACE是等腰三角形． （2）∵FC＝AC， ∴∠CAF＝∠F， ∵∠CAF＝∠BAF， ∴∠F＝∠BAF， ∴AB∥CF． 题型十九 30°直角三角形的性质 解｜题｜技｜巧 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【典例1】如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质，熟练运用该性质是解题关键．先求出，再在中，结合是中点及该性质求出． 【详解】解：， 是的中点， ． 又，， ． 故选：B． 【变式1】如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角的性质． 根据等边对等角得到，根据30度角的性质得到，根据等角对等边得到，进而可求的长． 【详解】∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，在中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而得到，即，则；然后根据等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键； （2）由30度所对的直角边是斜边的一半可得，同理可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，   ∵，， ∴， ∴． 题型二十 利用轴对称进行设计 解｜题｜技｜巧 利用轴对称进行设计主要是利用轴对称的性质进行作图问题. 【典例1】如图，在4×4的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形． 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示： ． 【变式1】观察图①～④中阴影部分构成的图案： (1)请写出这四个图案都具有的一个共同特征：___________； (2)在图⑤，图⑥中各设计一个新的图案，使该图案具有图①～④的共同特征． 【答案】(1)都是轴对称图形； (2)见解析． 【分析】（1）本问主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． （2）根据轴对称图形的定义画图即可． 【详解】（1）根据观察，①～④图都是轴对称图形． （2）解： 【变式2】认真观察图（1）～图（4）中阴影部分构成的图案，回答下列问题：    (1)请写出这4个图形都具有的两个共同特征①______；②______． (2)请在图（5）中，设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征 【答案】(1)①轴对称图形；②阴影部分的面积都等于4个小正方形的面积和 (2)见解析 【分析】本题考查利用轴对称设计图案的知识，解题时要注意判断图形的共性，首先要看对称性；有阴影的，注意观察阴影部分的面积是否相同． （1）从图形的对称性，以及图形中阴影部分的面积入手考虑； （2）只需符合是轴对称图形，阴影部分面积为4即可． 【详解】（1）解：①都是轴对称图形； ②阴影部分的面积都等于4个小正方形的面积和； （2）解：如图（答案不唯一）：    题型二十一 最短路径问题 解｜题｜技｜巧 线段之和最短 (或线段之差最长)是利用定理“三角形仟意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”给予证明的,其论证方法是依照轴对称定理，利用几何尺规作图，将变动的线段经过等量代换为一条直线段完成的. 【典例1】昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【详解】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 【变式1】如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 【变式2】如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的特点是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】由题知A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D. 2．一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【答案】D 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326， 故选：D． 3．下列说法中错误的是（    ） A．关于某直线成轴对称的两个图形全等 B．面积相等的两个三角形成轴对称 C．两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 D．成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的相关概念． 根据轴对称的相关概念逐一判断即可． 【详解】解：A．关于某直线成轴对称的两个图形全等，原说法正确； B． 面积相等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误； C． 两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴，原说法正确； D． 成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合，原说法正确； 故选：B 4．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，分为顶角和底角两种情况分析求解即可． 【详解】解：若为顶角，符合题意； 若为底角，但不符合三角形的内角和定理， 故该等腰三角形的顶角是． 故选：D． 5．如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，，垂直平分， 综上可知：正确，共个． 故选：D． 6．如图，大正方形由9个相同的小正方形拼成，图中已有3个小正方形涂上了颜色，如果在图中再涂上一个正方形，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有（    ）种不同的涂法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查学生轴对称性的认识．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：如图，一共有4种不同的涂法． 故选：C． 7．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，交 于点，再分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，点为上一点，，垂足为点， 若，则点到 的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作角平分线，角平分线的性质． 作于点，由角平分线的性质，可得，即可得点到 的距离． 【详解】解：作于点， 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点到 的距离为． 故选：D． 8．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B． 【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°， ∴∠A＝54°， ∵BC＝BD， ∴∠CDB＝∠DCB＝72°， ∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°， ∴CE＝BE，AE＝CE， ∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形， 故选：B． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题、等边三角形的判定与性质，理解转化思想和等边三角形的性质是解答本题的关键． 在上取点，使得，根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上取点，使得，过作于， ， 垂直平分， ，， ，即的最小值为的长， 当时，最小，过作于， ，， 为等边三角形， 于点，于， ， 故选：B． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝2，则BF的长为 ． 【答案】4． 【分析】根据等腰三角形的判定和性质和含30度角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°． ∴∠B＝∠C＝30°， ∵EF垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C＝30°， ∴∠AEF＝60°，∠F＝30°， ∴∠BAE＝∠EAF＝90°， ∵∠B＝∠F＝30°， ∴BE＝EF， ∴BF＝2AF＝4． 故答案为：4． 12． 如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，若的面 积为，则 ． 【答案】4. 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故答案为：4． 13．如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后证明出，即可得到； （2）由得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．如图所示，在中，已知的垂直平分线交于点N，交于点M，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长是，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质定理． （1）根据等边对等角求出，利用三角形的内角和求出顶角，利用线段垂直平分线得出直角，最后利用三角形内角和定理即可求解； （2）利用线段垂直平分线的性质定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，AE⊥CD于点E． 求证：DC﹣DB＝2DE． 【分析】在CD上截取CM＝BD，AB与CD交于点O，只要证明△ABD≌△ACM，推出AD＝AM，再根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：如图，在CD上截取CM＝BD，AB与CD交于点O． ∵∠1＝∠BAC，∠DOB＝∠AOC， ∴∠ABD＝∠ACM， 在△ABD和△ACM中， ， ∴△ABD≌△ACM， ∴AD＝AM， ∵AE⊥DM， ∴DE＝EM， ∴CD﹣BD＝CM+DM﹣CM＝2DE． 16．如图，中，，点D在的延长线上，连接平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G． (1)求证：； (2)若，，求和的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等边对等角得出，再由等角的余角相等得出，利用等角对等边即可证明； （2）根据角平分析及等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可求解； （3）根据三角形内角和定理得出 ，，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． 在中，． 在中，． （3）证明：在中， ． 在中，． ∴． 17．如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 【答案】(1)的度数为 (2)的面积为4 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形内角和，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，，根据三角形内角和即得； （2）过点作，，垂足为分别为F,，根据角平分线性质得到， ，，即得的面积． 【详解】（1）解：平分， ， 平分， ， ， 的度数为； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 平分，，， ， 平分，，， ， 的面积 ， 故的面积为4． 18．已知在中，，，点是边的中点，点分别在射线、上，且． (1)试说明的理由； (2)如图，当点在上、点在上时，试说明的理由； (3)如图，当点在的延长线上、点在的延长线上时，试问、与三者面积间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据等腰三角形的性质可得，根据三线合一得出，，进而根据等角对等边得出，即可得证； （2）根据，，证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）证明，得出，进而得出． 【详解】（1）解：在中，，， ， ，点是边的中点， ， ， ，即； （2），， ，， ， 在和中，， ， ； （3），理由如下： ， ， 同（2）可得， 在和中， ， ， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $