专题01 三角形初步以及全等三角形（期末复习讲义，必备知识+12大重难题型+过关验收）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题01 全等三角形（期末复习讲义） 知识模块 核心考点 复习目标 考情规律 1. 三角形的基本概念 1. 三角形的定义与构成要素（顶点、边、角）； 2. 三角形的表示法； 3. 三角形的稳定性。 1. 能准确复述三角形的定义并识别图形； 2. 能用符号正确表示三角形； 3. 能解释三角形稳定性在生活中的应用 选择题、填空题常见。主要考查：①利用定义判断图形；②利用稳定性解释实际现象（如脚手架、桥梁设计）。 2. 三角形的分类 1. 按角分类：锐角、直角、钝角三角形； 2. 按边分类：不等边、等腰、等边三角形及其关系。 1. 能根据角的特征对三角形进行分类； 2. 能辨析“等边三角形是特殊的等腰三角形”，并理解等腰三角形的腰、底、底角等概念。 常与内角和、三边关系结合考查概念辨析题。易错点：混淆等腰三角形和等边三角形的从属关系。 3. 三角形的内角和定理 1. 定理内容：三角形三个内角的和等于180°； 2. 证明思路（平行线“移角”）； 3. 推论：直角三角形的两个锐角互余。 1. 会推导并证明内角和定理； 2. 理解并应用该定理及其推论进行角度计算，特别是求未知角的度数。 必考核心。考查方式：①解答题中直接计算；②与角平分线、高线等结合，求复杂图形中的角度（常见综合题）。 4. 三角形的三边关系 1. 关系定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边； 2. 应用：判断三条线段能否构成三角形；求第三边的取值范围。 1. 能准确复述三边关系定理； 2. 理解并应用定理判断构成条件、求边长的取值范围，并应用于等腰三角形周长问题。 高频考点。常以两种形式出现：①选择题直接判断能否构成三角形；②解答题中，与等腰三角形结合，要求根据两边长分类讨论求周长，易漏解。 5. 三角形的三条重要线段 高线：定义、画法（尤其是钝角三角形）、交点位置（垂心）； 中线：定义、重心性质、面积关系； 角平分线：定义、内心性质。 1. 能画出三角形（特别是钝角三角形）的高，并说出三种线段交点的不同位置； 2. 理解并应用中线平分面积、角平分线平分内角的性质进行计算和推理 必考重点。高频考查方向：①作图题或选择题识别高、中线、角平分线；②解答题中综合考查：利用中线求周长、面积；利用高和角平分线求角度（常作为中档题）。 6. 图形的全等 1. 全等形的概念与性质； 2. 全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）； 3. 三角形全等的判定定理（SSS, SAS, ASA, AAS）。 1. 能复述全等三角形的定义和性质； 2. 理解并应用四种判定定理证明两个三角形全等，并能规范书写证明过程。 本章核心和难点，为后续学习奠基。证明题主要考查：①直接运用判定定理证明全等；②先证全等，再利用全等性质证明线段或角相等。 7. 利用三角形全等测距离 将实际问题抽象为几何模型，构造全等三角形来测量不可直接到达的两点间的距离 能根据实际问题，设计并描述利用全等原理进行间接测量的方案。 常作为实际应用题出现，考查数学建模和转化思想。可能会以解答题形式要求说明方案的数学依据（即证明两个三角形全等） 知识点01 三角形的定义与分类 这部分是理解后续所有性质的起点。 定义与表示：理解“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形”这一定义，并学会用符号“△ABC”正确表示三角形。 分类体系： 按角分：锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（有一个角等于90°）、钝角三角形（有一个角大于90°）。 按边分：不等边三角形（三边均不相等）、等腰三角形（有两边相等），其中等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点02 稳定性 三角形是最稳定的几何图形，这一特性在建筑、工程中广泛应用。 知识点03 三角的三边关系定理： 定理：三角形任意两边之和大于第三边。 推论：三角形任意两边之差小于第三边。 应用：判断三条线段能否构成三角形；已知两边求第三边的取值范围。 知识点04 三角的内角和定理： 定理：三角形三个内角的和等于180°。 推论：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 应用：进行角度计算，是求解复杂图形中角度问题的万能钥匙。 知识点05 三角的重要线段： 高：从顶点向其对边所在直线作的垂线段。钝角三角形的高可能在形外，是易错点。 中线：连接顶点与对边中点的线段。三条中线的交点是重心，中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。 角平分线：平分内角的线段。 知识点06 全等三角的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 知识点07 全等三角的判定定理： 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 特别注意：“边边角”（SSA）不能作为判定依据。 知识点08 利用三角形全等测距离： 将实际问题抽象为几何模型，通过构造全等三角形来测量不可直接到达的两点间距离（如河宽）。 题型一、三角形三边关系的应用 答｜题｜模｜板 解题关键在于将文字条件转化为不等式组。先确定已知两边，则第三边取值范围为：已知两边之差 < 第三边 < 已知两边之和。常用于判断三条线段能否构成三角形，或求等腰三角形边长、周长时，必须检验是否满足三边关系，防止产生无效解。 1．（24-25七年级下·山东聊城·期末）有四段长度分别为，，，的铁丝，任意取出其中的三段，可以组成（    ）个不同的三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3或5 C．4或5 D．6 3．（24-25七年级下·河北衡水·期末）为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 题型二、三角形重要线段的应用 解｜题｜技｜巧 需清晰区分高、中线、角平分线的性质。高可用于求面积和直角；中线隐含线段相等和面积平分的条件；角平分线直接带来角相等。解题时，将线段性质作为已知条件，参与角度计算或全等证明，是常见的突破口。 5．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是 A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）在直角中，是边上的高线，且，则的长为 ． 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若的面积为3，则的面积是 ． 8．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是 ． ①的面积等于的面积；②；③． 题型三、全等三角形的性质 解｜题｜技｜巧 性质应用是证明的目标。一旦证得全等，立即标注其对应边相等、对应角相等，这是证明线段或角相等的核心工具。在复杂图形中，准确找到全等三角形的对应关系是关键，需避免“张冠李戴”。 9．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，≌，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 11．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，已知，则的度数为 ． 12．（24-25七年级下·广东清远·期末）已知，，则 题型四、与角平分线有关的内角和问题 解｜题｜技｜巧 见到角平分线，立即设两个小角相等（如∠1=∠2）。结合三角形内角和为180°，通常在三角形中列出关于角度的方程求解。若涉及多个角平分线，则可能产生角之间的和差倍数关系，需系统性推导。 13．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（ ） A．115° B．120° C．125° D．130° 14．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点D在上，且，则的度数为 ． 15．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，是的角平分线，点在上，且，求的度数． 16．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 题型五、与平行线有关的三角形内角和问题 解｜题｜技｜巧 平行线带来同位角、内错角相等。这些相等的角可替代原三角形中的某些内角，与第三个内角共同构成180°，从而建立等量关系。解题时，常需通过平行线进行“角度转移”，将分散的角集中到一个三角形中。 17．（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 19．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 题型六、三角形折叠中内角和问题 解｜题｜技｜巧 折叠本质是轴对称，折叠前后的图形对应角相等。解题时，先找出所有相等的角，再结合原三角形的内角和、平角（180°）或周角（360°）来构造方程。关键是利用折叠不变量建立角之间的联系。 20．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将一角折叠，若，则 ． 21．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 22．（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 23．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则 ． 题型七、全等三角形的性质与SSS 解｜题｜技｜巧 当题目条件给出或易于证明三组边对应相等时，优先选用SSS判定。关键在于准确找出三对相等的边。公共边是常见的隐含条件。此方法无需角的条件，是思路最直接的判定方法。 24．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 25．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点． 求作：过点作直线的平行线． 作法：①过点作一条直线，与直线相交于点； ②以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； ③以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线． 请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知， 在和中， ， （______）， ， （______）． 26．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，E是的中点，，，与相等吗？为什么？ 27．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，仪器可以用来平分一个角，，将仪器上的点与的顶点R重合，调整与，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，你认为合理吗？为什么？      八、全等三角形的性质与SAS 答｜题｜模｜板 应用SAS判定的核心是确认“角是两边的夹角”。需先找出两组相等的边，再证明这两条边的夹角相等。顺序不限，但“夹角相等”这一条件必须严格满足，警惕“边边角”的错误用法。 28．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当 时，？请说明理由． 九、全等三角形的性质与ASA（AAS）的应用 答｜题｜模｜板 两者均需两对角相等。关键区别在于边：ASA的边是两角的夹边，而AAS的边是其中一角的对边。解题时，先找角的条件（公共角、对顶角、平行线所得角等），再找所需边相等，是最高效的判定路径之一。 31．（24-25七年级下·辽宁铁岭·月考）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书之间竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧2本书籍的上方边沿，点、、、，在同一平面内．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 32．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，D为平面上一点，，若，则的面积为 ． 33．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分，平分，且，求的度数． 34．（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 十、添加条件证明三角形全等 答｜题｜模｜板 此类题是判定定理的逆用。分析现有图形和已知条件（如一组边或角相等），缺什么补什么。补充的条件需能使判定定理成立（如已知两边，则补充夹角或第三边）。常见策略是构造另一组角或边相等。 35．（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，下列条件不能证明的是（   ）． A．， B．， C．， D．， 36．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在与中，若，，下列条件不能使这两个三角形全等的是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，已知，，，要使成立，还需要一条件，这个条件可以是 （填一个正确的即可）． 38．（24-25七年级下·山东·期末）如图，，，且，要使，则可以添加的条件是 ，（写出一个你认为正确的即可） 十一、全等三角形判定的综合应用 答｜题｜模｜板 在复杂图形中，常需多次证明全等。一般思路为：先证一对三角形全等，利用其性质得到新的边或角相等条件，再作为证明下一对三角形全等的前提。此过程环环相扣，要求每一步推理严谨。 39．（23-24八年级上·湖北咸宁·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 40．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 41．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定，最恰当的理由是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 十二、全等三角形的综合应用 答｜题｜模｜板 此类题将全等与面积、周长、线段和差倍分等问题结合。核心是先通过证明全等得到基本等量关系，再运用代数方法（如设未知数列方程）求解几何量。体现了数形结合思想，是本章能力的综合考查。 43．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 44．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 45．（20-21八年级上·北京朝阳·期末）如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，P为BC上一点（不与B，C重合）．在AB上找一点M，在AC上找一点N，使得△AMN与△PMN全等，以下是甲、乙两位同学的作法． 甲：连接AP，作线段AP的垂直平分线，分别交AB，AC于M，N两点，则M，N两点即为所求； 乙：过点P作PM∥AC，交AB于点M，过点P作PN∥AB，交AC于点N，则M，N两点即为所求． （1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ； A．两人都正确            B．甲正确，乙错误            C．甲错误，乙正确 （2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明． 46．（24-25八年级上·北京·期中）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 47．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图是折叠凳及其侧面上半部分三角形的示意图．若，则折叠凳的宽可能为（   ） A． B． C． D． 48．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知等腰三角形的周长为，一条边的长为，则它的腰长为 ． 49．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．已知和均垂直于地面，点、、、在同一水平线上，且与、垂直，，，．若，且，求设计出的闸机一侧边缘（即或）的长度． 50．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 51．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，是边上的一点，是边上的一点，且． (1)若是的角平分线（图1所示），求的度数； (2)若是的高（图2所示），求的度数． 52．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 53．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，为边上的高，为边上的中线，平分，交于点． (1)若，的面积为20，求的长； (2)若，，求的度数． 54．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图1，已知点P在直线l外，利用如下方法也可以作出过点P与直线l平行的直线： 在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线，则． (1)这种作法用到了哪些你学过的基本尺规作图？（提示：连接PA） (2)请说明这种作平行线方法的道理． (3)连接，，，则与相等吗？请说明理由． 55．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 56．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 57．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点，于点．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，，连接、，且于点，与交于点， ①求证：； ②若，，求的面积． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 58．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在和中，，，，已知，则（ ） A． B． C．或 D．或 59．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或 60．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 61．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）综合性学习：长方形内的旋转与翻折 【阅读】 长方形的四个角都是直角，它们都是，且旋转或翻折之后对应的角不变（如图1）．例如，翻折到之后，，． 【理解】 （1）如图1，四边形是长方形，、的数量关系是　　　． （2）如图2，四边形是长方形，四边形是由四边形翻折而来，若是，则的度数是　　　°． 【运用】 （3）如图3，长方形、分别由长方形旋转而来，若，，则的度数是　　　°． （4）如图4，长方形，将翻折至，当时，则的度数是　　　°． （5）如图5，长方形，在中，一个锐角是．将旋转（），得到，点和点的对应点分别是和，若，旋转角是　　　°． 62．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 63．（24-25七年级下·四川成都·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 64．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 试卷第2页，共70页 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等三角形（期末复习讲义） 知识模块 核心考点 复习目标 考情规律 1. 三角形的基本概念 1. 三角形的定义与构成要素（顶点、边、角）； 2. 三角形的表示法； 3. 三角形的稳定性。 1. 能准确复述三角形的定义并识别图形； 2. 能用符号正确表示三角形； 3. 能解释三角形稳定性在生活中的应用 选择题、填空题常见。主要考查：①利用定义判断图形；②利用稳定性解释实际现象（如脚手架、桥梁设计）。 2. 三角形的分类 1. 按角分类：锐角、直角、钝角三角形； 2. 按边分类：不等边、等腰、等边三角形及其关系。 1. 能根据角的特征对三角形进行分类； 2. 能辨析“等边三角形是特殊的等腰三角形”，并理解等腰三角形的腰、底、底角等概念。 常与内角和、三边关系结合考查概念辨析题。易错点：混淆等腰三角形和等边三角形的从属关系。 3. 三角形的内角和定理 1. 定理内容：三角形三个内角的和等于180°； 2. 证明思路（平行线“移角”）； 3. 推论：直角三角形的两个锐角互余。 1. 会推导并证明内角和定理； 2. 理解并应用该定理及其推论进行角度计算，特别是求未知角的度数。 必考核心。考查方式：①解答题中直接计算；②与角平分线、高线等结合，求复杂图形中的角度（常见综合题）。 4. 三角形的三边关系 1. 关系定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边； 2. 应用：判断三条线段能否构成三角形；求第三边的取值范围。 1. 能准确复述三边关系定理； 2. 理解并应用定理判断构成条件、求边长的取值范围，并应用于等腰三角形周长问题。 高频考点。常以两种形式出现：①选择题直接判断能否构成三角形；②解答题中，与等腰三角形结合，要求根据两边长分类讨论求周长，易漏解。 5. 三角形的三条重要线段 高线：定义、画法（尤其是钝角三角形）、交点位置（垂心）； 中线：定义、重心性质、面积关系； 角平分线：定义、内心性质。 1. 能画出三角形（特别是钝角三角形）的高，并说出三种线段交点的不同位置； 2. 理解并应用中线平分面积、角平分线平分内角的性质进行计算和推理 必考重点。高频考查方向：①作图题或选择题识别高、中线、角平分线；②解答题中综合考查：利用中线求周长、面积；利用高和角平分线求角度（常作为中档题）。 6. 图形的全等 1. 全等形的概念与性质； 2. 全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）； 3. 三角形全等的判定定理（SSS, SAS, ASA, AAS）。 1. 能复述全等三角形的定义和性质； 2. 理解并应用四种判定定理证明两个三角形全等，并能规范书写证明过程。 本章核心和难点，为后续学习奠基。证明题主要考查：①直接运用判定定理证明全等；②先证全等，再利用全等性质证明线段或角相等。 7. 利用三角形全等测距离 将实际问题抽象为几何模型，构造全等三角形来测量不可直接到达的两点间的距离 能根据实际问题，设计并描述利用全等原理进行间接测量的方案。 常作为实际应用题出现，考查数学建模和转化思想。可能会以解答题形式要求说明方案的数学依据（即证明两个三角形全等） 知识点01 三角形的定义与分类 这部分是理解后续所有性质的起点。 定义与表示：理解“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形”这一定义，并学会用符号“△ABC”正确表示三角形。 分类体系： 按角分：锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（有一个角等于90°）、钝角三角形（有一个角大于90°）。 按边分：不等边三角形（三边均不相等）、等腰三角形（有两边相等），其中等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点02 稳定性 三角形是最稳定的几何图形，这一特性在建筑、工程中广泛应用。 知识点03 三角的三边关系定理： 定理：三角形任意两边之和大于第三边。 推论：三角形任意两边之差小于第三边。 应用：判断三条线段能否构成三角形；已知两边求第三边的取值范围。 知识点04 三角的内角和定理： 定理：三角形三个内角的和等于180°。 推论：直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。 应用：进行角度计算，是求解复杂图形中角度问题的万能钥匙。 知识点05 三角的重要线段： 高：从顶点向其对边所在直线作的垂线段。钝角三角形的高可能在形外，是易错点。 中线：连接顶点与对边中点的线段。三条中线的交点是重心，中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。 角平分线：平分内角的线段。 知识点06 全等三角的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 知识点07 全等三角的判定定理： 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 特别注意：“边边角”（SSA）不能作为判定依据。 知识点08 利用三角形全等测距离： 将实际问题抽象为几何模型，通过构造全等三角形来测量不可直接到达的两点间距离（如河宽）。 题型一、三角形三边关系的应用 答｜题｜模｜板 解题关键在于将文字条件转化为不等式组。先确定已知两边，则第三边取值范围为：已知两边之差 < 第三边 < 已知两边之和。常用于判断三条线段能否构成三角形，或求等腰三角形边长、周长时，必须检验是否满足三边关系，防止产生无效解。 【典例1】（24-25七年级下·山东聊城·期末）有四段长度分别为，，，的铁丝，任意取出其中的三段，可以组成（    ）个不同的三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，分别验证所有可能的三段组合是否满足该条件，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四段铁丝的长度为，，，，任取三段的组合共有4种： ，，，此时最大边，，满足条件； ，，，最大边，，不满足条件； ③，，，最大边，，不满足条件， ④，，，最大边，，满足条件； 符合条件的组合有2个， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3或5 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·河北衡水·期末）为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ∴比长． 题型二、三角形重要线段的应用 解｜题｜技｜巧 需清晰区分高、中线、角平分线的性质。高可用于求面积和直角；中线隐含线段相等和面积平分的条件；角平分线直接带来角相等。解题时，将线段性质作为已知条件，参与角度计算或全等证明，是常见的突破口。 【典例1】（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，根据三角形内角和定理，即得解． 【详解】解：∵，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）在直角中，是边上的高线，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算、一元一次方程的应用等知识点，利用等面积法列出方程成为解题的关键． 由直角三角形的面积公式得到，然后代值求解方程即可． 【详解】解：如图： ∵，， ∴，即， ∴， 解得：． 故答案为． 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若的面积为3，则的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了中线的性质，三角形的面积公式，掌握知识点是解题的关键． 由可得，由三角形的中线的性质，可得，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：18． 【变式3】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是 ． ①的面积等于的面积；②；③． 【答案】①②③ 【分析】根据中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等解答即可． 【详解】解：∵是中线， ∴的面积等于的面积； 故①正确； ∵，是高， ∴， ∴， 故②正确； ∵，是高， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键． 题型三、全等三角形的性质 解｜题｜技｜巧 性质应用是证明的目标。一旦证得全等，立即标注其对应边相等、对应角相等，这是证明线段或角相等的核心工具。在复杂图形中，准确找到全等三角形的对应关系是关键，需避免“张冠李戴”。 【典例1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，≌，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟记全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，进而求出． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握，利用全等三角形的性质“全等三角形对应边相等”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·广东清远·期末）已知，，则 【答案】/60度 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键.先求解，再利用全等三角形的性质可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 故答案为：. 题型四、与角平分线有关的内角和问题 解｜题｜技｜巧 见到角平分线，立即设两个小角相等（如∠1=∠2）。结合三角形内角和为180°，通常在三角形中列出关于角度的方程求解。若涉及多个角平分线，则可能产生角之间的和差倍数关系，需系统性推导。 【典例1】．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（ ） A．115° B．120° C．125° D．130° 【答案】A 【分析】由，可得，再根据、是的角平分线，即可得到的度数，最后根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：， ， 又、是的角平分线， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是． 【变式1】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点D在上，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据三角形的内角和定理，求出，再根据是的角平分线，得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】在中，，， ， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，是的角平分线，点在上，且，求的度数． 【答案】． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义．根据三角形内角和定理求得，由角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可求出答案． 【详解】解：因为， 所以， 因为是的角平分线， 所以，， 因为， 所以． 【变式3】（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的高线和角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键． （1）由三角形高线可得，再利用三角形内角和定理，先求出，再求出即可； （2）由角平分线的定义，得到，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ， ， ， ， ； （2）解：平分，， ， ， ． 题型五、与平行线有关的三角形内角和问题 解｜题｜技｜巧 平行线带来同位角、内错角相等。这些相等的角可替代原三角形中的某些内角，与第三个内角共同构成180°，从而建立等量关系。解题时，常需通过平行线进行“角度转移”，将分散的角集中到一个三角形中。 【典例1】（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角以及三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质，平角以及三角形的内角和是解题的关键． 由两直线平行，同位角相等得到，再根据平角的度数以及三角形的内角和即可得到． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和，对顶角相等，直角三角形两锐角互余的应用； 根据，得，再，即可求解； 【详解】解：∵，如图； ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： . 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线定义得，进而即可得证； （2）由，得，进而结合角平分线得，，再根据，即可求得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，， ∵分别平分和 ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型六、三角形折叠中内角和问题 解｜题｜技｜巧 折叠本质是轴对称，折叠前后的图形对应角相等。解题时，先找出所有相等的角，再结合原三角形的内角和、平角（180°）或周角（360°）来构造方程。关键是利用折叠不变量建立角之间的联系。 【典例1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将一角折叠，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 由由折叠的性质和平行线的性质即可解答题目． 【详解】解：，， ，， 由折叠可得，， ， 故答案为：60． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则 ． 【答案】/73度 【分析】本题考查平行线的性质，折叠问题，关键是由掌握平行线的性质和折叠的性质． 由平行线的性质以及折叠的性质推出，由折叠的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵沿折叠得， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：． 故答案为：． 题型七、全等三角形的性质与SSS 解｜题｜技｜巧 当题目条件给出或易于证明三组边对应相等时，优先选用SSS判定。关键在于准确找出三对相等的边。公共边是常见的隐含条件。此方法无需角的条件，是思路最直接的判定方法。 【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查利用三角形全等的判定作图，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．以为公共边，结合两个三角形全等的判定定理，使所作的三角形另外两条边分别与的边相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有3个， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点． 求作：过点作直线的平行线． 作法：①过点作一条直线，与直线相交于点； ②以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； ③以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线． 请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知， 在和中， ， （______）， ， （______）． 【答案】；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质，平行线的判定，根据全等三角形的判定与性质、平行线的判定填空即可． 【详解】证明：由作图可知，在和中， ， ∴， ∴， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；同位角相等，两直线平行． 【变式2】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，E是的中点，，，与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先由中点定义得出，再用“”证明，即可由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：，理由如下： ∵E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，仪器可以用来平分一个角，，将仪器上的点与的顶点R重合，调整与，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，你认为合理吗？为什么？      【答案】合理，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 根据条件得出，然后得出即可． 【详解】解：合理， 理由： 在和中， ， ． ， 平分． 八、全等三角形的性质与SAS 答｜题｜模｜板 应用SAS判定的核心是确认“角是两边的夹角”。需先找出两组相等的边，再证明这两条边的夹角相等。顺序不限，但“夹角相等”这一条件必须严格满足，警惕“边边角”的错误用法。 【典例1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，是网格型问题，本题构建全等三角形是关键． 证明≌，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：记与的交点为点F，如图， 在和中， ， ≌， ， ， ， ∴， ． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和中，， ． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当 时，？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)90，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）根据已知条件可依据“”判定和全等； （2）由得，根据可得． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴（）； （2）解：当时，，理由如下： 当时，， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90． 九、全等三角形的性质与ASA（AAS）的应用 答｜题｜模｜板 两者均需两对角相等。关键区别在于边：ASA的边是两角的夹边，而AAS的边是其中一角的对边。解题时，先找角的条件（公共角、对顶角、平行线所得角等），再找所需边相等，是最高效的判定路径之一。 【典例1】（24-25七年级下·辽宁铁岭·月考）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书之间竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧2本书籍的上方边沿，点、、、，在同一平面内．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键．根据题意证明出即可求解． 【详解】解：每本书长，厚度为， ，， 是等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ，， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：24． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，D为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 如图：过点B作于点E，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】解：如图：过点B作于点E， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴的面积为：． 故答案为：18． 【变式2】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据两直线平行内错角相等，利用即可证明； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可推出，，然后根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）133 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，得出，，即可得解； （3）过点作于，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，，，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 十、添加条件证明三角形全等 答｜题｜模｜板 此类题是判定定理的逆用。分析现有图形和已知条件（如一组边或角相等），缺什么补什么。补充的条件需能使判定定理成立（如已知两边，则补充夹角或第三边）。常见策略是构造另一组角或边相等。 【典例1】（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，下列条件不能证明的是（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，故A选项不符合题意； ∵，，； ∴，故B选项不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意； ，无法判定；故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在与中，若，，下列条件不能使这两个三角形全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可. 【详解】解：A、添加条件，结合条件，，可以利用证明这两个三角形全等，不符合题意； B、添加条件，结合条件，，可以利用证明这两个三角形全等，不符合题意； C、添加条件，结合条件，，不可以利用证明这两个三角形全等，符合题意； D、添加条件，可得：，结合条件，，可以利用证明这两个三角形全等，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，已知，，，要使成立，还需要一条件，这个条件可以是 （填一个正确的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法有．根据题意得，则已知一条边和一个角，结合全等三角形的判定方法，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， 当时，可用证明； 当时，可用证明； 当时，可用证明； 故答案为：或或（答案不唯一）． 【变式3】（24-25七年级下·山东·期末）如图，，，且，要使，则可以添加的条件是 ，（写出一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据三角形全等的判定定理，结合图形添加即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故添加条件为， 故答案为：（答案不唯一）． 十一、全等三角形判定的综合应用 答｜题｜模｜板 在复杂图形中，常需多次证明全等。一般思路为：先证一对三角形全等，利用其性质得到新的边或角相等条件，再作为证明下一对三角形全等的前提。此过程环环相扣，要求每一步推理严谨。 【典例1】（23-24八年级上·湖北咸宁·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，三角形的三边关系等．判断能否唯一画出，需验证各选项是否满足三角形全等的判定条件（如、、、、），或三条线段的长是否符合三角形的三边关系． 【详解】解：A、，，，已知三角形的两边、以及一个角， ∵不是边、的夹角， 故根据三角形的判定定理，无法判定所画三角形与A选项所给条件的三角形全等， 即无法能画出唯一的，A选项不符合题意； B、，，，已知三角形的三个角的度数，没有三角形的边长， 故根据三角形的判定定理，无法判定所画三角形与B选项所给条件的三角形全等， 即无法能画出唯一的，B选项不符合题意； C、∵， 故，，三条线段无法构成三角形，故C选项不符合题意； D、，，，已知三角形的两个角与，以及、的夹边的长， 故根据三角形的判定定理，能判定所画三角形与D选项所给条件的三角形全等， 即能画出唯一的，D选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，关键是掌握：、、、、定理． 根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角． 【详解】解：∵甲图有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等； ∵乙图与三角形有两角及其夹边相等，二者全等． ∵丙图与三角形有两角及一边相等，二者全等． ∴乙与全等（）；丙与全等（）． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定，最恰当的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法，根据即可判定，故可求解． 【详解】解：∵点A、C、E在同一条直线上， ∴， 又由题意得：， ∴， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）． 故选：B． 十二、全等三角形的综合应用 答｜题｜模｜板 此类题将全等与面积、周长、线段和差倍分等问题结合。核心是先通过证明全等得到基本等量关系，再运用代数方法（如设未知数列方程）求解几何量。体现了数形结合思想，是本章能力的综合考查。 【典例1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 【变式2】（20-21八年级上·北京朝阳·期末）如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，P为BC上一点（不与B，C重合）．在AB上找一点M，在AC上找一点N，使得△AMN与△PMN全等，以下是甲、乙两位同学的作法． 甲：连接AP，作线段AP的垂直平分线，分别交AB，AC于M，N两点，则M，N两点即为所求； 乙：过点P作PM∥AC，交AB于点M，过点P作PN∥AB，交AC于点N，则M，N两点即为所求． （1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ； A．两人都正确            B．甲正确，乙错误            C．甲错误，乙正确 （2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明． 【答案】A． 【分析】(1)如图1，根据线段垂直平分线的性质得到MA=MP，NA=NP，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PMN，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形AMPN为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到MA=PN，MP=AN，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PNM，则可对乙进行判断． (2)根据（1）即可得出证明过程 【详解】（1）解：如图1，∵MN垂直平分AP， ∴MA=MP，NA=NP， 而MN=MN， ∴△AMN≌△PMN（SSS），所以甲正确； 如图2，∵MN∥AN，PN∥AM， ∴四边形AMPN为平行四边形， ∴MA=PN，MP=AN， 而MN=MN， ∴△AMN≌△PNM（SSS），所以乙正确． 故选：A． （2）正确做法的证明同（1） 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定． 【变式3】（24-25八年级上·北京·期中）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形． （1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到， （2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图2，，理由如下： 延长到K，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 47．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图是折叠凳及其侧面上半部分三角形的示意图．若，则折叠凳的宽可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴折叠凳的宽可能为； 故选D． 48．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知等腰三角形的周长为，一条边的长为，则它的腰长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握三角三边关系是解决本题的关键． 根据题意分为一条边的长为为腰长时或一条边的长为为底边时进行分类讨论即可． 【详解】解：根据题意得，当的边为等腰三角形的腰时， ∴此时的三边为， 又∵， ∴此情况的三边不能组成三角形， 当的边为等腰三角形的底边时， ∴此时等腰三角形的腰为， ∴此时的三边为， ∵， ∴此时的三边能组成三角形， 故答案为：7． 49．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，闸机识别行人身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过．已知和均垂直于地面，点、、、在同一水平线上，且与、垂直，，，．若，且，求设计出的闸机一侧边缘（即或）的长度． 【答案】． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用可证，根据全等三角形对应边相等可知，，从而可以求出，从而可得，根据可得：． 【详解】解：由题意得，， ． 在和中，， ， ，， ，， ， ， ，， ， 设计出的双翼边缘（即和）的长度为． 50．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 51．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，是边上的一点，是边上的一点，且． (1)若是的角平分线（图1所示），求的度数； (2)若是的高（图2所示），求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得，根据角平分线的定义得，再根据两直线平行，内错角相等即可得出答案； （2）根据三角形高的定义得，根据直角三角形两锐角互余得，再根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）∵是的高， ∴， ∵， ∵， 由（1）知：， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，三角形高的定义，直角三角形两锐角互余等知识点，掌握三角形内角和定理及平行线的性质是解题的关键． 52．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 53．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，为边上的高，为边上的中线，平分，交于点． (1)若，的面积为20，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形的中线和高、角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形相关线段的性质是解题的关键． （1）根据三角形的面积求出，再根据三角形中线得到的长； （2）求出，由和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为20， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上的中点， ∴． （2）∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 54．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图1，已知点P在直线l外，利用如下方法也可以作出过点P与直线l平行的直线： 在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线，则． (1)这种作法用到了哪些你学过的基本尺规作图？（提示：连接PA） (2)请说明这种作平行线方法的道理． (3)连接，，，则与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)用到了作一条线段等于已知线段 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】 本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据五种基本作图判断即可； （2）利用全等三角形的判定和性质以及平行线的判定证明即可； （3）利用全等三角形的性质证明． 【详解】（1） 解：用到了作一条线段等于已知线段； （2） 理由：连接，， 由作图可知，， ， ， ， ； （3） 结论：． 理由：由（2）可知， ． 55．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1：①见解析 ；②； 任务2：①90； ②． 【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【详解】解：任务一： ①如图1中，即为所求； ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ②， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 56．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 57．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点，于点．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，，连接、，且于点，与交于点， ①求证：； ②若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）50（3）①证明见解析；②63 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题目条件构造或识别全等三角形，利用全等三角形的对应边、对应角相等关系解决线段证明和面积计算问题． （1）先根据垂直条件得出两个直角，再结合平角和已知角的关系推导一组对应角相等，再证明，进而证明目标线段相等； （2）过两点作垂直构造：“一线三垂直”模型，得到，将实线围成图形的面积转化为规则图形（如梯形、矩形）的面积，代入数据计算； （3）①过两点作垂直构造“一线三垂直”模型，得到， 再证明，从而； ②由（1）的全等结论，推导图形中线段的长度关系，确定目标图形（如）的底和高，代入面积公式计算． 【详解】（1）证明： ∵， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， 同理可得， ∴， ∴实线所围成的图形的面积； （3）①如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①可知，， ， ， ， ， 由（1）得： ， ， ， ， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 58．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在和中，，，，已知，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 分两种情况讨论，一是作于点，于点，点在点右侧，点在点右侧，可根据“”证明，得，再根据“HL”证明，则；二是作，交的延长线于点，则点在点左侧，延长到点，使，连接，则，所以，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：分两种情况讨论： （1）如图1，作于点，于点，点在点右侧，点在点右侧， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）如图2，作，交的延长线于点，则点在点左侧， 延长到点，使，连接， 垂直平分， ， ， ， 由得:， ， 故选：C． 59．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，， ， ， ∵四边形是矩形， ， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当时，， ， ； ②当时，， ，， ，， 的值为2或， 故选：D． 60．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 61．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）综合性学习：长方形内的旋转与翻折 【阅读】 长方形的四个角都是直角，它们都是，且旋转或翻折之后对应的角不变（如图1）．例如，翻折到之后，，． 【理解】 （1）如图1，四边形是长方形，、的数量关系是　　　． （2）如图2，四边形是长方形，四边形是由四边形翻折而来，若是，则的度数是　　　°． 【运用】 （3）如图3，长方形、分别由长方形旋转而来，若，，则的度数是　　　°． （4）如图4，长方形，将翻折至，当时，则的度数是　　　°． （5）如图5，长方形，在中，一个锐角是．将旋转（），得到，点和点的对应点分别是和，若，旋转角是　　　°． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题主要考查了理由余角和补角、三角形内角和求角的度数，根据折叠、旋转性质，结合图形得出角的关系（相等、互余、互补等）是解题关键． （1）根据可得，，进而由平角的定义可得，由此得出，结合即可得出结论； （2）由折叠可知，根据周角的定义和，可求，在由邻补角求出的度数； （3）先根据同角的余角相等证明，进而由即可求解； （4）先折叠可以证明，进而可得：，再由，可得，结合已知解方程即可求出； （5）由旋转可知：，，分两种情况：当在内时，，当在内时，，结合求解即可． 【详解】解：（1）如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， （2）由折叠可知：， ∵，， ∴， ∴； （3）∵长方形、， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， （4）由翻折可知：，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴，即， 又∵， ∴． （5）∵长方形，在中，一个锐角是． ∴， 由旋转可知：，， 当在内时，， 又∵，即， ∴，解得， 当在内时，， ∴，解得（不合题意舍去）， 综上可得：旋转角是． 62．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【答案】（1），（2）见解析，（3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 63．（24-25七年级下·四川成都·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析    （2），证明见解析    （3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，即可； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 64．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 试卷第2页，共70页 1 / 71 学科网（北京）股份有限公司 $