专题01 特殊平行四边形（十六大题型）（期中真题汇编，四川专用）九年级数学上学期

专题01 特殊平行四边形 16大高频考点概览 考点01 利用菱形的性质和判定求角度或线段长度 考点09根据正方形的性质和判定求角度或线段长度 考点02利用菱形的性质求最值 考点10根据正方形的性质求面积 考点03菱形的性质与判定综合解答题 考点11正方形的性质和判定综合解答题 考点04根据矩形的性质和判定求角度或线段长度 考点12正方形的性质与判定求最值 考点05根据矩形的性质求面积 考点13根据特殊四边形的判定判断选项 考点06矩形与折叠问题 考点14特殊平行四边形中的动点问题 考点07矩形的性质和判定求最值 考点15特殊平行四边中的多结论问题 考点08矩形的性质和判定综合解答题 考点16特殊平行四边形的解答题压轴 地 城 考点01 利用菱形的性质和判定求角度或线段长度 1．(23-24九上·四川达州达川区达州中学附属实验学校·期中)如图所示，若，则等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．(24-25九上·四川泸州第七中学校·期中)如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)如图，在菱形中，，，于点，则的长为（   ） A． B．5 C． D．10 4．(23-24九上·四川南充仪陇县·期中)如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 5．(23-24九上·四川绵阳三台县·期中)如图，在菱形中，对角线交于点，且，，过点作于点，则长为（    ） A． B． C． D． 6．(23-24九上·四川成都武侯区棕北中学·期中)如图，在菱形中，对角线相交于点，，则长为(    ) A．3 B．5 C．6 D．10 7．(24-25九上·四川成都成都第七中学·期中)如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为 ． 8．(24-25九上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，若，则的度数为 ．    9．(24-25九上·四川绵阳东辰学校·期中)如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接若，则的长为 ． 10．(24-25九上·四川成都青羊区树德中学光华校区·期中)如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为 ． 地 城 考点02 利用菱形的性质求最值 1．(24-25九上·四川达州开江县永兴中学·期中)如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（   ）． A．3 B．6 C． D． 2．(24-25九上·四川雅安汉源县·期中)如图，菱形中，，，，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 3．(24-25九上·四川成都郫都区第二中学·期中)如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·四川江阳区·期中)点是菱形的对角线上的动点，，，是中点， 的最小值（    ） A． B．2 C．4 D．8 5．(24-25九下·四川内江资中县·期中)菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F、P分别是上的动点，点G是中点，在运动过程中始终保持，那么的最小值是 ． 6．(24-25九上·四川成都石室联合中学教育集团·期中)如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 7．(24-25九上·四川绵阳梓潼县·期中)如图，菱形中，，；点是的中点，点是上一动点，连接．分别是的中点，连接，则的最小值是 ． 地 城 考点03 菱形的性质与判定综合解答题 1．(24-25九下·四川达州大竹县文星中学·期中)如图，与关于对称，且满足． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点A作于点E，交 于点F，若，求的长及四边形的面积． 2．(24-25九上·四川广元苍溪县·期中)如图，已知：在四边形中，、相交于点．，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点，分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 2．(24-25九上·四川泸州江阳区梓橦路学校·期中)如图，四边形是菱形，交的延长线于E，，交的延长线于F．请你猜想与的大小有什么关系，并证明你的猜想． 3．(24-25九上·四川成都武侯区成都西川中学·期中)如图，已知垂直平分，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 4．(23-24九上·四川渠县文崇中学·期中)如图，已知四边形是平行四边形，，垂足分别是为E，F，并且．求证：四边形是菱形．    5．(23-24九上·四川成都武侯区武侯区启明学校·期中)如图，在四边形中，，平分，，E为中点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求四边形的面积． 6．(24-25九上·四川德阳中江县·期中)如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点，． (1)连接，求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 7．(24-25九上·四川泸州江阳区第十中学校·期中)如图，在中，、分别是、的中点，，过点作交的延长线于． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 8．(24-25九上·四川自贡富顺第三中学校·期中)如图，是直角三角形，且，四边形是平行四边形，为的中点，平分，点在上，且求证：． 地 城 考点04 根据矩形的性质和判定求角度或线段长度 1．(24-25九上·四川成都金堂县·期中)如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 2．(24-25九上·四川绵阳东辰学校·期中)矩形与，如图放置，点、、共线，点、、共线，连接，取的中点，连接，若，，则 ． 3．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)如图是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则的周长为 ． 4．(24-25九上·四川成都七中育才学校·期中)如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为 ． 5．(24-25九上·四川泸州江阳区泸州蓝田中学校·期中)矩形中，对角线相交于点O，，，则的长为 ． 6．(23-24九下·四川达州渠县渠县中学·期中)如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的长为 ． 7．(23-24九上·四川成都青白江区城厢学校·期中)如图，在矩形中，对角线相交于点，垂足为，则的值为 ． 地 城 考点05 根据矩形的性质求面积 1．(24-25九上·四川广元苍溪县·期中)如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（      ） A．12 B．24 C．27 D．54 2．(2025·四川省成都市·期中)如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的一半长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别与，，交于点，，，若，，则矩形的面积为 ． 3．(24-25九上·四川南充西充县双凤中学·期中)如图所示，矩形的两条对角线相交于点O，，，将向右平移得到，则向右平移过程中扫过的面积是 ．    地 城 考点06 矩形与折叠问题 1．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)如图，将矩形沿折叠，使与重合，再次展开，P为上一点，再沿折叠，使点A的对应点G恰好落在上，连接，已知，，则的长为 ． 2．(24-25九上·四川乐山马边彝族自治县·期末)如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，，，则 ． 3．(24-25九下·四川成都七中育才学校·模拟)如图所示，长方形纸片，点为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿翻折至长方形所在平面内得到，连接，，若，，且是以为腰的等腰三角形，则 ． 4．(24-25九上·四川成都棕北中学·期中)如图，在矩形中，，．折叠矩形使得点A恰好落在边上，折痕与边相交于点E，与矩形另一边相交于点F．若，则的长为 ． 5．(23-24九上·四川成都青白江区城厢学校·期中)如图，矩形中，点在边上，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，则的长是 ． 6．(24-25九上·四川达州渠县第三中学·期中)如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（       ） A．1 B．3 C．1 或 D．1 或 3 地 城 考点07 矩形的性质和判定求最值 1．(24-25九上·四川成都东部新区·期中)如图，是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则 ． 2．(24-25九上·四川自贡蜀光绿盛实验学校·期中)如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，且，点F为的中点，则的最大值为 ． 3．(24-25九上·四川成都成都石室天府中学·期中)已知矩形中，，，点E为延长线上一点，若，连接，M为的中点， P、Q为边上两个动点，且，连接P、B、M、Q，则四边形周长的最小值为 ． 4．(24-25九上·四川成都成都第七中学初中学校·期中)如图，在矩形中，，点E为上一点，且，点F为边上一动点，连接，过点A作于点G，连接，则的最小值为 ，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，在点F运动的过程中，的最小值为 ． 地 城 考点08 矩形的性质和判定综合解答题 1．(24-25九上·四川泸州第十五中学校·期中)如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处． (1)求的长； (2)求的面积． 2．(24-25九上·四川南充阆中北大博雅骏臣学校·期中)如图，点E，F在菱形的对边上，． (1)求证：四边形为矩形 (2)若，试求菱形的面积 3．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)已知点P是矩形边的中点，将矩形绕点P顺时针旋转得到矩形，使点D的对应点G落在线段的延长线上，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 4．(24-25九上·四川成都青羊实验学校·期中)如图，的对角线、相交于点，，，与交于点． (1)在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：________________，使得四边形是矩形，并说明理由； (2)若，，，求的面积． 5．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 6．(24-25九上·四川达州渠县中学·期中)如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点F，延长到点E，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 7．(24-25九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中)如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 地 城 考点09 根据正方形的性质和判定求角度或线段长度 1．(24-25九上·四川广安广安区广安友实学校·期中)如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川成都南开为明学校·期中)如图，以正方形的边为一边向内作等边，连接，则的度数为（   ）    A．60° B．45° C．75° D．67.5° 3．(24-25九上·四川南充阆中北大博雅骏臣学校·期中)如图，正方形的边长为2，E为对角线上一点，且，点P为线段上一动点，且于F，于G，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·四川成都温江区王府外国语学校·期中)如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则 ． 5．(24-25九上·四川绵阳东辰学校·期中)如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是 ． 6．(24-25九上·四川泸州高中初中教育联合校·期中)如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，点M在边上，且，点N是上的动点，连接，点E是的中点，连接，当时，线段的长为 ． 7．(24-25九上·四川成都天府第七中学·期中)如图，正方形的边长为4，点E在上，的平分线交于点F，则的长为 ． 地 城 考点10 根据正方形的性质求面积 1．(24-25九上·四川德阳广汉·期中)将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（   ）    A． B． C． D． 2．(24-25九上·四川广安岳池县·期中)如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　）      A．16 B．25 C．36 D．49 3．(24-25九上·四川达州宣汉县双河中学·期中)如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向平移到正方形的位置，它们的重叠部分 （图中的阴影部分）的面积是正方形面积的一半，若 ，则正方形平移的距的长为 ． 4．(24-25九上·四川成都青羊区树德中学光华校区·期中)如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为 ． 地 城 考点11 正方形的性质和判定综合解答题 1．(24-25九上·四川南充阆中北大博雅骏臣学校·期中)如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 2．(24-25九上·四川广安代中学校·期中)在线段上取一点B使，以为边在同侧作正方形，在上取在的延长线上取K使，连接． (1)求证：四边形为正方形； (2)利用第（1）题，证明勾股定理． 3．(23-24九上·四川南充南部县振兴初级中学·期中)如图，点E是正方形的边上一点，连接，将绕着点E逆时针旋转，得到，过点G作，垂足为F，，垂足为H，连接，交于I． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)连接，若正方形的边长为，求的周长． 4．(24-25九上·四川自贡蜀光绿盛实验学校·期中)正方形中，点M是边上任意一点，于点E，于点F，若，，求的长． 5．(24-25九上·四川绵阳游仙区·期中)如图，四边形为一个正方形，点E是的中点，连接，交的延长线于点F．连接、，、分别与交于点P、Q． (1)求证：； (2)求证：Q为的中点； (3)连接，若正方形的边长为，则的长度为？ 地 城 考点12 正方形的性质与判定求最值 1．(24-25九上·四川南充南部县南部中学·期中)如图，在边长为的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接．则的最小值为 ． 2．(24-25九上·四川成都西川中学·期中)我们规定：在平面内，一个点到图形上所有点的距离的最大值称为这个点到这个图形的“形距”，如图，正方形的边长为6，其中心为O，点M在正方形外，且．当正方形绕着点O旋转时，点M到正方形的形距d的最小值为 ． 3．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)如图，已知正方形的边长为8，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，，则的最小值是 ． 地 城 考点13 根据特殊四边形的判定判断选项 1．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等 C．两组对边分别平行 D．对角线相等 2．(24-25九上·四川泸州古蔺县金兰教育集团·期中)下列命题错误的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．矩形的四个内角都是直角 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3．(24-25九上·四川泸州江阳区第十中学校·期中)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 4．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)下列命题的逆命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．矩形的对角线相等 C．正方形的对角线互相垂直平分 D．若，则， 5．(23-24九上·四川成都成华区·期中)下列命题中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组邻边相等的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线互相平分且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 6．(23-24九上·四川达州渠县·期中)下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（   ） A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 地 城 考点14 特殊平行四边形中的动点问题 1．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm，点P从B点出发以1cm/s的速度沿CB延长线运动，运动时间为t秒．以AP为斜边在其上方构造等腰直角△APD．当t＝1秒时，则CD＝ cm，当D运动的路程为4cm时，则P运动时间t＝ 秒． 2．(24-25九上·河北邯郸广平县·期中)如图，在四边形中，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿边以的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 3．如图，是直角梯形，，，，点P从B点开始，沿边向点A以的速度移动，点Q从D点开始，沿DC边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从B、D同时出发，P、Q有一点到达终点时运动停止，设移动时间为t． (1)t为 时四边形是平行四边形； (2)t为何值时四边形是矩形？ (3)t为 时四边形是等腰梯形． 地 城 考点15 特殊平行四边中的多结论问题 1．(24-25九上·四川广元苍溪县·期中)如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①；②；③；④的面积是2．其中正确的结论为（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)在正方形中，，E是对角线上的一动点，连接，作交直线于点F，以，为边作平行四边形，与相交于点H，连接．下列结论正确的是：①四边形是正方形；②；③正方形的面积最小值是4；④当时，．其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．(24-25九上·四川泸州高中初中教育联合校·期中)如图，已知正方形的边长为6，E为边上一点（点E不与端点C，D重合），将沿对折至，延长交边点G，连接，对角线与、分别交于P、Q两点．以下各结论：①；②；③；④若，则G为的中点；⑤线段的最小值为．其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①③④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 4．(24-25九上·四川自贡富顺县第二中学校·期中)如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（    ） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②③④ 5．(24-25九上·四川自贡荣县·期中)如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（ ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④⑤ 6．(24-25九上·四川南充高坪区高坪区江陵初级中学·期中)如图，正方形与正方形（边长不等），三点共线，连接交、、分别于，下面结论正确的有（　　） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 7．(24-25九上·四川绵阳江油·期中)如图，在中，于点，延长于点交于，延长与的延长线交于点，下面给出四个结论：①；②；③；④；⑤线段与互相平分．其中正确的结论有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 8．(24-25九上·四川达州渠县第二中学·期中)如图，在等腰中，，F 是边上的中点，点 D，E 分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论： ①是等腰直角三角形； ②四边形不可能为正方形， ③长度的最小值为； ④四边形的面积保持不变； ⑤面积的最大值为 4． 其中正确的结论是（  ）    A．①②③ B．①②⑤ C．①③④ D．③④⑤ 9．(24-25九上·四川成都实外西区学校·期中)如图，是一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点．点为射线上一动点，以为底边，在的下方作等腰直角，为中点，连接．当取最小値时， ． 地 城 考点16 特殊平行四边形的解答题压轴 1．(24-25九上·四川成都锦江区师一学校·期中)在等腰中，，，将绕点转逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点） (1)如图，连接、，求证：． (2)如图，若，，绕点按逆时针方向旋转至得到的过程中，当时，连接，请求出的面积； (3)如图，若，；当与重合时，再将沿着直线平移，得到，连接，求的周长的最小值． 2．(24-25九上·四川成都青羊区树德中学·期中)在几何图形变换的数学课堂情境中，徐老师引导学生共同探索角度与线段长度的相关奥秘． (1)如图1，已知，在射线和射线上取，连接，点D、H分别是线段、上的点，若，求的度数． (2)在（1）问的条件下，如图2，过点A作的平行线交延长线于点E，求证：． (3)如图3，若，点A在射线上，且，点P是射线上一动点，以点A为直角顶点作，若的面积为，请直接写出长度的最大值． 3．(24-25九上·四川成都青羊区泡桐树中学·期中)已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D． (1)如图1，当点D落在上时，求的长； (2)如图2，当点D在上方且满足时，求的长； (3)如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接． ①当为等腰三角形时，求出长； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式． 4．(24-25九上·四川南充营山县西城实验初级中学校·期中)如图，在平行四边形中，点P是上的一个动点，连接，是边上的高． (1)若四边形是菱形，，求的度数； (2)若，，，，求的长； (3)过点P作交线段于点F，过点B作于点H，交于点N．若，，，求证：． 5．(24-25九上·四川广元苍溪县·期中)如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持，连接、． (1)的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由； (2)求周长的最小值； (3)在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 6．(24-25九上·四川广元苍溪县·期中)【教材呈现】下列材料是人教版八年级下册数学教材第65页数学活动的部分内容． 在一张矩形纸片的一端，利用如图③所示的方法折出一个正方形． 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形是正方形； 【教材延伸】（2）如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，求的长． （3）如图③，直线分别交平行四边形的边于点，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，求的长． 7．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)【问题呈现】军军在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 军军通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为_____度，线段长度的最小值为_____． 【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图．军军收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 8．(24-25九上·四川内江资中县·期中)【模型建立】（1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； 【模型应用】（2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线；求直线的函数解析式； （3）如图3，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A、轴于点C，点P是线段上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，直接写出点D的坐标，若不能，请说明理由． 9．(24-25九上·四川成都青羊实验学校·期中)定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． (1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号） (2)①：如图1，在菱形中，于点E，点F是菱形边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形为“等距四边形”，求线段EF的长； ②：将①中条件改为，其余条件不变，请画出图形，并求出以为边的正方形面积． (3)如图2，在平行四边形中，，点P是内任意一点，在上是否分别存在点，使得这些点与点P的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，求这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由． 10．(23-24九上·四川南充南部县振兴初级中学·期中)如图，点E是正方形的边上一点，连接，将绕着点E逆时针旋转，得到，过点G作，垂足为F，，垂足为H，连接，交于I． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)连接，若正方形的边长为，求的周长． 11．(24-25九上·四川泸州高中初中教育联合校·期中)如图，在中， (1)若是菱形，，试求出的度数； (2)如图2，若，点E在边的延长线上，连接，．，若M是的中点，连接，求证：； (3)如图3，，点P是上动点，连结．过点P作交线段于点F．过B点作于H，交的高于点N．，，请你写出线段之间的数量关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊平行四边形 16大高频考点概览 考点01 利用菱形的性质和判定求角度或线段长度 考点09根据正方形的性质和判定求角度或线段长度 考点02利用菱形的性质求最值 考点10根据正方形的性质求面积 考点03菱形的性质与判定综合解答题 考点11正方形的性质和判定综合解答题 考点04根据矩形的性质和判定求角度或线段长度 考点12正方形的性质与判定求最值 考点05根据矩形的性质求面积 考点13根据特殊四边形的判定判断选项 考点06矩形与折叠问题 考点14特殊平行四边形中的动点问题 考点07矩形的性质和判定求最值 考点15特殊平行四边中的多结论问题 考点08矩形的性质和判定综合解答题 考点16特殊平行四边形的解答题压轴 地 城 考点01 利用菱形的性质和判定求角度或线段长度 1．(23-24九上·四川达州达川区达州中学附属实验学校·期中)如图所示，若，则等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上．过点P作交于M，可得，再结合题目推出四边形为菱形，即可得，又由可得，由直角三角形性质即可． 【详解】解：如图：过点P作交于M， ∴ ∴四边形为菱形， ∴ 则， 又∵ ∴． 故选：C 2．(24-25九上·四川泸州第七中学校·期中)如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵， ∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键． 3．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)如图，在菱形中，，，于点，则的长为（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理的应用，掌握菱形的对角线相互垂直平分是解题的关键，注意等积法的应用．由菱形的性质得到对角线互相垂直，利用勾股定理可求得的长和菱形面积，利用等积法可求得的长． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴ ，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．(23-24九上·四川南充仪陇县·期中)如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据菱形的性质可知，，，结合旋转的性质可得，，，从而可得的长，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，，， ，， ，， 绕着点C旋转得到， ，，， ， ． 故选：C． 5．(23-24九上·四川绵阳三台县·期中)如图，在菱形中，对角线交于点，且，，过点作于点，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查菱形的性质，勾股定理，关键是根据面积法得到的长． 利用菱形的性质即可计算得出的长，再根据面积法即可得到的长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 故选：B． 6．(23-24九上·四川成都武侯区棕北中学·期中)如图，在菱形中，对角线相交于点，，则长为(    ) A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理列式求出，即可求得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 故选：C． 7．(24-25九上·四川成都成都第七中学·期中)如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质，得到，，再根据垂直平分线性质，得到，从而得到，最后利用三角形外角性质即可求出的度数． 【详解】解：连接， 四边形是菱形，， ，，， ， 垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握菱形的基本性质是解题关键． 8．(24-25九上·四川成都锦江区锦江区师一学校·期中)如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，若，则的度数为 ．    【答案】/25度 【来源】四川省成都市锦江区锦江区师一学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【分析】根据菱形的性质求出，，根据互余性质得到，计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系． 9．(24-25九上·四川绵阳东辰学校·期中)如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接交于点，由菱形的性质得，垂直平分，则，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，由于点，得，求得，则，由，求得，，则，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点， 四边形是菱形，，， ，垂直平分， 是等边三角形，，， ，， ， 是上一点，于点，， ， ， ， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10．(24-25九上·四川成都青羊区树德中学光华校区·期中)如图，菱形的边长为，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作垂直平分线，菱形的性质，勾股定理；延长交于点，交于点，如图，根据菱形的性质得到，，利用作法得垂直平分，所以，，接着计算出，则，然后计算出，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：延长交于点，交于点，如图，      四边形为菱形， ，， ， 由作法得垂直平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 地 城 考点02 利用菱形的性质求最值 1．(24-25九上·四川达州开江县永兴中学·期中)如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（   ）． A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，如图所示，首先由菱形性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质证明是等边三角形，构建垂线段最短，可知当时，最短，即最短． 【详解】解：连接，，，如图所示： 四边形是菱形， ， ， ，都是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 时，最小， ∵为等边三角形， ∴此时， ∴， 的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质、动点最值问题-垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用垂线段最短解决最值问题． 2．(24-25九上·四川雅安汉源县·期中)如图，菱形中，，，，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，，过点作于，证明，可得，当，，三点共线时，最短，再进一步求解可得答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作于， 由菱形的对称性可得：， ， 当，，三点共线时，最短（根据两点之间线段最短）， 菱形中，，， ，为等边三角形， ，， ， ， ， 的最小值为：； 故选：C． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．(24-25九上·四川成都郫都区第二中学·期中)如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，作点关于的对称点，则，，连接交于点，得到，可知当在一条直线上时，的值最小， 此时，再证明四边形是平行四边形即可求解，根据轴对称找到点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，则，，连接交于点， ∴， 由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，的值最小， 此时， ∵四边形为菱形，周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 4．(24-25九上·四川江阳区·期中)点是菱形的对角线上的动点，，，是中点， 的最小值（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查轴对称最短路线问题和菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对称性是解题的关键． 由菱形的对称性可得，可得，则当点，点，点三点共线时，有最小值为，在中，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值为， ，且四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， , ， ， 在中，， 故的最小值为． 故选：A． 5．(24-25九下·四川内江资中县·期中)菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F、P分别是上的动点，点G是中点，在运动过程中始终保持，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质，点的运动轨迹，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，找出点的运动轨迹，结合图形求解是解题关键． 根据菱形的性质及等边三角形的判定得出为等边三角形，确定，，，再由斜边中线的性质得出，确定点G的运动轨迹为以O为圆形，1为半径，在内的圆弧上运动，作点O关于的对称点M，以点M为圆形，1为半径画圆，延长交BC于点I，连接，交于点，交圆M于点，得出当点B、、三点共线时，取得最小值，结合图形，利用勾股定理及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 同理：， ∵点G是中点，在运动过程中始终保持， ∴， 点G的运动轨迹为以O为圆形，1为半径，在内的圆弧上运动， 作点O关于的对称点M，以点M为圆形，1为半径画圆，延长交BC于点I，连接，交于点，交圆M于点，如图所示： 当点B、、三点共线时，取得最小值， ∵对称， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 6．(24-25九上·四川成都石室联合中学教育集团·期中)如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、菱形的性质、勾股定理解直角三角形．由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 故答案为：． 7．(24-25九上·四川绵阳梓潼县·期中)如图，菱形中，，；点是的中点，点是上一动点，连接．分别是的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定与性质，连接并延长交于点，连接，证明得出，由三角形中位线定理得出，从而得出当时，最小，此时有最小值，过点作于点，此时点和点重合，根据菱形的性质得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别是，的中点， ∴， ∴要使有最小值， 即最小， ∴当时，最小， 过点作于点，此时点和点重合， 在菱形中，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 地 城 考点03 菱形的性质与判定综合解答题 1．(24-25九下·四川达州大竹县文星中学·期中)如图，与关于对称，且满足． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点A作于点E，交 于点F，若，求的长及四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；面积为80 【分析】题目主要考查菱形的判定和性质，轴对称图形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据轴对称图形的性质得出，再由平行线的性质及等角对等边得出，利用菱形的判定即可证明； （2）连接，根据题意得出，由勾股定理得出，设，根据勾股定理确定，再由菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）证明：∵与关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）连接，如图所示： ∵与关于对称， ∴， ∵，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的面积为：． 2．(24-25九上·四川广元苍溪县·期中)如图，已知：在四边形中，、相交于点．，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点，分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质可证得，得，即可求证； （2）作线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接、，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：如图，菱形即为所求． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 2．(24-25九上·四川泸州江阳区梓橦路学校·期中)如图，四边形是菱形，交的延长线于E，，交的延长线于F．请你猜想与的大小有什么关系，并证明你的猜想． 【答案】，证明见解析 【分析】此题考查了菱形的性质与角平分线的性质，解题的关键是做出辅助线，根据角平分线的性质得出结论．连接，由四边形是菱形，则可得，再由，，根据角平分线的性质，即可证得． 【详解】证明：，理由如下： 连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴． 3．(24-25九上·四川成都武侯区成都西川中学·期中)如图，已知垂直平分，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理 （1）证明，根据全等三角形的判定和性质、平行线的性质得出，进而即可得证； （2）证明根据是菱形，根据菱形的性质分析，设则，勾股定理求得 ，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形， ， 如图，设交于点， 设则 即 解得： ，即 ， ， ． 4．(23-24九上·四川渠县文崇中学·期中)如图，已知四边形是平行四边形，，垂足分别是为E，F，并且．求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法，首先利用已知条件和平行四边形的性质判定，再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：在和中， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴ ∴， ∴平行四边形是菱形． 5．(23-24九上·四川成都武侯区武侯区启明学校·期中)如图，在四边形中，，平分，，E为中点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定得出结论； （2）过D作于H，根据菱形四边形的性质和含30度角的直角三角形的性质求解、即可． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴，， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过D作于H， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴四边形的面积为． 6．(24-25九上·四川德阳中江县·期中)如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点，． (1)连接，求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由菱形的性质得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解得，则，进而由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图， ，平分， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2）解：， ， ， ，平分， ， 由（1）可知，，四边形为菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 7．(24-25九上·四川泸州江阳区第十中学校·期中)如图，在中，、分别是、的中点，，过点作交的延长线于． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线定理得，且，再证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得到结论； （2）由菱形的性质得到，，再证是等边三角形，得，根据等边三角形面积公式求出的面积，从而求出菱形的面积． 【详解】（1）证明： 、分别是、的中点， 是的中位线， ，且， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 根据等边三角形面积计算公式， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的面积公式是解题的关键． 8．(24-25九上·四川自贡富顺第三中学校·期中)如图，是直角三角形，且，四边形是平行四边形，为的中点，平分，点在上，且求证：． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形性质，角平分线定义，得到，利用直角三角形性质得到，结合平行四边形的性质证明，结合全等三角形性质进而即可证明． 【详解】证明：，平分，， ， ，为的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，角平分线定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于灵活运用相关知识． 地 城 考点04 根据矩形的性质和判定求角度或线段长度 1．(24-25九上·四川成都金堂县·期中)如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【答案】/34度 【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则．结合矩形的性质可得，再根据即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．(24-25九上·四川绵阳东辰学校·期中)矩形与，如图放置，点、、共线，点、、共线，连接，取的中点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．延长交于点，先证得，，再利用勾股定理求得，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 四边形和四边形都是矩形， ，、， ， ， 又是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 3．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)如图是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，勾股定理的应用，解题的关键是熟知矩形的性质．先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到的周长即可． 【详解】解：，矩形， ，，， ， ， 点和点分别是和的中点， ，，是的中位线， ，， ． 故答案为：． 4．(24-25九上·四川成都七中育才学校·期中)如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的性质与判定，由条件可求得为等边三角形，则可求得的长． 【详解】 ， ， 四边形为矩形 ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 5．(24-25九上·四川泸州江阳区泸州蓝田中学校·期中)矩形中，对角线相交于点O，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是矩形的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的应用，求得AB的长是解题的关键．由矩形的性质可得到，于是可证明为等边三角形，于是可求得，然后依据勾股定理可求得的长． 【详解】解：如图， ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴． 在中，． 故答案为：． 6．(23-24九下·四川达州渠县渠县中学·期中)如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用．根据旋转后的中点恰好与点重合，利用旋转的性质得到直角三角形中，，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到为，进而得到，利用等角对等边得到，设，表示出与，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的长即可． 【详解】解：旋转后的中点恰好与点重合，即， 在中， ∴，即， ， ， ， ， 在中，设，则有 ，， 根据勾股定理得：， 解得：， ， 故答案为：． 7．(23-24九上·四川成都青白江区城厢学校·期中)如图，在矩形中，对角线相交于点，垂足为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．根据矩形的对角线相等且平分，以及到线段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上，得到为等边三角形，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 地 城 考点05 根据矩形的性质求面积 1．(24-25九上·四川广元苍溪县·期中)如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（      ） A．12 B．24 C．27 D．54 【答案】B 【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解． 【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S△DFP＝S△PBE＝×3×8＝12， ∴S阴＝12＋12＝24， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD． 2．(2025·四川省成都市·期中)如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的一半长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别与，，交于点，，，若，，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，尺规作垂直平分线及其性质，勾股定理，掌握垂直平分线的性质，矩形的性质是解题的关键．如图，连接，由作图可知垂直平分线段，由垂直平分线的性质，矩形的性质勾股定理可得，再求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知垂直平分线段， ∵，， ，， 四边形是矩形， ， ， 矩形的面积为， 故答案为：． 3．(24-25九上·四川南充西充县双凤中学·期中)如图所示，矩形的两条对角线相交于点O，，，将向右平移得到，则向右平移过程中扫过的面积是 ．    【答案】 【分析】首先根据平移的性质得出，进而可知平移过程扫过的面积是矩形的面积，即可得出答案． 【详解】 向右平移得到， 平移过程扫过的面积是矩形的面积， ， 矩形的面积为 向右平移过程中扫过的面积是 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质及平移的性质，解题的关键是知道平移过程扫过的面积是矩形的面积． 地 城 考点06 矩形与折叠问题 1．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)如图，将矩形沿折叠，使与重合，再次展开，P为上一点，再沿折叠，使点A的对应点G恰好落在上，连接，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要利用矩形的折叠性质，结合勾股定理来求解 的长度．先通过第一次折叠确定 是 的中垂线，得到相关线段关系；再由第二次折叠得出 ，利用勾股定理求出角度，最后在 中用勾股定理算出 ． 【详解】解：∵矩形 沿 折叠， 与 重合， ∴ 垂直平分 ． ∵ ， ∴ ； ∵ ，矩形对边相等， ∴ ． ∵沿 折叠，点 的对应点为 ， ∴ ． 在 中，， ． 根据勾股定理 ，即 ． 在上取一点，使得，连接 ∵ ， ∴， 是等边三角形， ∴ ． ∵矩形 中 ， ∴ ． 过 作 于 ． 在 中，， ． ∴； ∴由勾股定理， ． ∵ ， ∴ ． 在 中，根据勾股定理 ，即 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠性质、勾股定理以及含角直角三角形的判定与性质．熟练掌握折叠前后对应边相等、中垂线性质，灵活运用勾股定理是解题关键． 2．(24-25九上·四川乐山马边彝族自治县·期末)如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键． 由矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得、由勾股定理可得、，设，则，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∵折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，即，解得：， ∴． 故答案为5． 3．(24-25九下·四川成都七中育才学校·模拟)如图所示，长方形纸片，点为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿翻折至长方形所在平面内得到，连接，，若，，且是以为腰的等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形、等腰三角形的性质和判定、折叠的性质，本题构建直角三角形，利用勾股定理列方程是解题的关键． 分两种情况：①当时，如图，作辅助线，构建直角三角形，利用角的特殊三角函数值求得的长； ②当时，如图，作辅助线，构建直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程可求得的长． 【详解】解：当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况： ①当时，如图，过作于，交于点， 四边形是长方形， ， ， ， 是长方形的对称轴， 如图，连接， ， ， 是等边三角形， ， 由折叠得：， ； ②当时，如图，过作，交于，交于， ∵， ， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， 四边形为矩形， ，， ， 设，则，， 由勾股定理得：， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 4．(24-25九上·四川成都棕北中学·期中)如图，在矩形中，，．折叠矩形使得点A恰好落在边上，折痕与边相交于点E，与矩形另一边相交于点F．若，则的长为 ． 【答案】或2 【分析】本题是矩形的折叠问题，主要考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论并准确画出相关图形，是解答本题的关键．设折叠后，点A的对应点为M点，折痕为，设，分两种情况讨论：当点F在边时，画出图形，过E点作于点N，先证明四边形是矩形，再在中，利用勾股定理即可作答；当点F在边时，如图，过M点作于点H，点B的对应点为G点，同理证明四边形是矩形，再在中，利用勾股定理即可作答． 【详解】设折叠后，点A的对应点为M点，折痕为， 设，当点F在边时，如图，过E点作于点N， ， 根据折叠有：， , ， 在矩形中，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得，即， 当点F在边时，如图，过M点作于点H，点B的对应点为G点， 根据折叠有：， , ， 在矩形中，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， , 在中，， ， ，即， 的长为或2， 故答案为：或2． 5．(23-24九上·四川成都青白江区城厢学校·期中)如图，矩形中，点在边上，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，则的长是 ． 【答案】9 【分析】本题考查矩形与折叠，根据矩形和折叠的性质，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵矩形，沿直线折叠，点恰好落在边上的点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 6．(24-25九上·四川达州渠县第三中学·期中)如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（       ） A．1 B．3 C．1 或 D．1 或 3 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是分两种情况考虑，画出对应图形． 分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时，    矩形中，，， ∴， 由折叠性质可得：，，，则点在上， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴，则， 如图，当时，    ∴， 由折叠性质可得：， ∴四边形为正方形， ∴，则， 综上，或1， 故选．C． 地 城 考点07 矩形的性质和判定求最值 1．(24-25九上·四川成都东部新区·期中)如图，是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则 ． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，根据是等边三角形，得出，根据已知进而求得，勾股定理求得，则，根据两点之间线段最短，可得，当且仅当、、三点共线时，取得最小值为，进而中，勾股定理求得，在中求得，进而可得，在中勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：过点作于点，连接， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值为， ， 在中，根据勾股定理，得 ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 在中，根据勾股定理，得 ． 当最小时，则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 2．(24-25九上·四川自贡蜀光绿盛实验学校·期中)如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，且，点F为的中点，则的最大值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，取中点O，连接，，根据矩形的性质可求，的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，有最大值，即． 【详解】解：如图，取中点O，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点F是中点，点O是的中点， ∴，， ∴， ∵点O是的斜边的中点， ∴， ∵根据三角形三边关系可得：， ∴当点O，点E，点F共线时，最大值为． 故答案为：9． 3．(24-25九上·四川成都成都石室天府中学·期中)已知矩形中，，，点E为延长线上一点，若，连接，M为的中点， P、Q为边上两个动点，且，连接P、B、M、Q，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由于和是定值，只要最小，利用对称确定出就是的最小值，最后利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图1， 过点Q作交于G，作点G关于的对称点，连接， 当点，Q，M在同一条线上时，最小，而和是定值， 此时，四边形周长最小， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 如图2， 在中，，， ， ∵ ， ∵M为 的中点， ，， 在中，，， 在中，， ， 在中，， 四边形周长最小值为 ， 故答案为： 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性，确定出的最小值是解本题的关键． 4．(24-25九上·四川成都成都第七中学初中学校·期中)如图，在矩形中，，点E为上一点，且，点F为边上一动点，连接，过点A作于点G，连接，则的最小值为 ，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，在点F运动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】如图所示，取中点O，连接，则由直角三角形的性质可得，再由矩形的性质和勾股定理得到，再由，可得当三点共线，且点G在线段上时，有最小值，最小值为；如图所示，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，证明，得到；求出，，进而推出，则，同理可得当点H在上时，有最小值，最小值为． 【详解】解：如图所示，取中点O，连接， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点G在线段上时，有最小值，最小值为； 如图所示，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得当M、H、C三点共线，且点H在上时，有最小值，最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 地 城 考点08 矩形的性质和判定综合解答题 1．(24-25九上·四川泸州第十五中学校·期中)如图，在长方形中，、，点E为边上的一点，将沿直线折叠，点D刚好落在边上的点F处． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)的长为6； (2) 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得； （2）设，则在中，利用勾股定理可求出x的值，结合图形求面积即可． 【详解】（1）解：∵在长方形中，、， ∴，， 又∵将沿直线折叠， ∴，，， 在中，； （2）由（1）得， 设，则 在中，， ∴， 解得， 即的长为5， ∴， ∴的面积为：． 2．(24-25九上·四川南充阆中北大博雅骏臣学校·期中)如图，点E，F在菱形的对边上，． (1)求证：四边形为矩形 (2)若，试求菱形的面积 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键． （1）由菱形的性质可得，，，由可得，可得四边形AECF是矩形； （2）由勾股定理可求的值，由菱形的面积公式可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴ ∴， ∴菱形的面积 3．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)已知点P是矩形边的中点，将矩形绕点P顺时针旋转得到矩形，使点D的对应点G落在线段的延长线上，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过连接辅助线、，利用点是中点及旋转性质得出边的关系，先证四边形是平行四边形，再结合矩形性质证其为矩形，从而得到 ，实现的证明． （2）先根据已知条件求出相关线段长度和角度，如利用勾股定理求，结合角度关系得出，进而求出、，最后在中用勾股定理求 ． 【详解】（1）证明：连接， ∵点P是的中点 ∴， 由题可知： ∴四边形是平行四边形 又由题可知： ∴是矩形 ∴ ∴ （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，灵活运用旋转性质找等量关系是解题的关键． 4．(24-25九上·四川成都青羊实验学校·期中)如图，的对角线、相交于点，，，与交于点． (1)在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：________________，使得四边形是矩形，并说明理由； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一），理由见解析 (2)240 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质． （1）由，可得四边形是平行四边形，只需添加条件使得即可得到矩形； （2）由（1）可得当时，四边形是矩形，得到，根据平行四边形的对角线互相平分并结合勾股定理求出，证明是菱形，根据菱形的性质即可求出面积． 【详解】（1）解：添加条件：，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：由（1）可得当时，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴在中，， ∴在中，， ∵， ∴是菱形， ∴． 5．(24-25九上·四川成都武侯区·期末)如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则 6，，所以，则． 【详解】（1）证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴ 6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． 6．(24-25九上·四川达州渠县中学·期中)如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点F，延长到点E，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识； （1）根据菱形的性质得到且，再证，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由勾股定理得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ． 7．(24-25九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中)如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，进而得到，即可得证； （2）设，根据矩形的性质，得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）由（1）知平行四边形为矩形， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 地 城 考点09 根据正方形的性质和判定求角度或线段长度 1．(24-25九上·四川广安广安区广安友实学校·期中)如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握正方形以及等边三角形的性质是解本题的关键．等边三角形的三个内角都相等，且都等于． 【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 2．(24-25九上·四川成都南开为明学校·期中)如图，以正方形的边为一边向内作等边，连接，则的度数为（   ）    A．60° B．45° C．75° D．67.5° 【答案】C 【分析】在正方形ABCD中，△ABE是等边三角形，可求出∠ABE的大小以及推断出BC＝BE，从而可求出∠BEC． 【详解】在正方形中，． 是等边三角形， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质．根据正方形和等边三角形的性质推知BE＝BC是解题的关键． 3．(24-25九上·四川南充阆中北大博雅骏臣学校·期中)如图，正方形的边长为2，E为对角线上一点，且，点P为线段上一动点，且于F，于G，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，三角形的面积，连接，，交于M，由正方形的性质可求解的长，利用三角形的面积可得，进而可求解． 【详解】解：连接，，交于M， ∵四边形为正方形，， ∴，垂足为M，， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．(24-25九上·四川成都温江区王府外国语学校·期中)如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 分点F在上、点F在上两种情况，分别依据全等三角形的性质以及矩形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点F在上时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，当点F在上时， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：或． 5．(24-25九上·四川绵阳东辰学校·期中)如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，勾股定理是解决问题的关键．延长交于点，连接，，依题意得，证明四边形是矩形得，，则，由勾股定理得，再证明是直角三角形，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得出的长． 【详解】解：延长交于点，连接，，如图所示： 四边形是正方形，， ，，， ， 四边形是正方形，， ，，， ， 四边形是矩形， ，，， 在中，， 由勾股定理得：， ， 是直角三角形， 点是的中点， 是的斜边上的中线， ． 故答案为：． 6．(24-25九上·四川泸州高中初中教育联合校·期中)如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，点M在边上，且，点N是上的动点，连接，点E是的中点，连接，当时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接，由正方形性质得，由点E是的中点，可得 ，进而可得，由此可证明，继而得，证明，则，， 然后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为正方形，且边长为6， ∴， ∵点E是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．(24-25九上·四川成都天府第七中学·期中)如图，正方形的边长为4，点E在上，的平分线交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，由证得得出，则，由，，，得出，则，由勾股定理求得，便可求得，进而求得即可． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴ ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线得出全等三角形是解题的关键． 地 城 考点10 根据正方形的性质求面积 1．(24-25九上·四川德阳广汉·期中)将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．设第一个正方形为，连接，第一个正方形与第二正方形的两边分别交于点E，F，则，证明，可得，从而得到第一个阴影部分的面积为，再由两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和，即可求解． 【详解】解：如图，设第一个正方形为，连接，第一个正方形与第二正方形的两边分别交于点E，F，则，    ∵点是正方形的中心， ∴ ，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第一个阴影部分的面积为， 同理其它的阴影部分的面积为， 根据题意得：两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和， ∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为． 故选：C． 2．(24-25九上·四川广安岳池县·期中)如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　）      A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 首先得到，，然后在中，得到，然后利用求解即可． 【详解】解：∵四边形和四边形为正方形， ∴， ， ∵在中，， ∴， ∴． 故选：C． 3．(24-25九上·四川达州宣汉县双河中学·期中)如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向平移到正方形的位置，它们的重叠部分 （图中的阴影部分）的面积是正方形面积的一半，若 ，则正方形平移的距的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平移的性质，正方形的性质，掌握正方形面积的计算方法是正确解答的前提．根据正方形面积的计算方法对角线乘积的一半，根据重叠的部分的面积是正方形面积的一半列方程求解即可． 【详解】解：设，则，由题意得， ， 解得，不合题意，舍去， 即平移的距离为． 故答案为：． 4．(24-25九上·四川成都青羊区树德中学光华校区·期中)如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定；由四边形是正方形，四边形是正方形，可证明，即得，而，可知，故． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 地 城 考点11 正方形的性质和判定综合解答题 1．(24-25九上·四川南充阆中北大博雅骏臣学校·期中)如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、正方形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质，得到，根据，得到，根据矩形的判定得到四边形是矩形，根据平分，得到，根据正方形的判定定理得到矩形是正方形； （2）根据正方形的性质得到，，进而得到，根据全等三角形的性质即可完成证明； （3）先证明，进而得到与是等腰直角三角形，推出，得到，由即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 四边形矩形， ， ， ， ， 四边形是矩形， 平分， ， 矩形是正方形； （2）由（1）得，四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）由（1）得，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 是正方形的对角线， ， ， 与是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 2．(24-25九上·四川广安代中学校·期中)在线段上取一点B使，以为边在同侧作正方形，在上取在的延长线上取K使，连接． (1)求证：四边形为正方形； (2)利用第（1）题，证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先根据题意证明出，然后得到四边形是菱形，然后由得到菱形是正方形． （2）设，，根据，即可得证． 【详解】（1）证明：由题意，可知：， ，， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． （2）设，， ∵， ∵， ∴， ∴， 即：． 【点睛】本题考查正方形的性质和判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理的证明，解题的关键是证明出． 3．(23-24九上·四川南充南部县振兴初级中学·期中)如图，点E是正方形的边上一点，连接，将绕着点E逆时针旋转，得到，过点G作，垂足为F，，垂足为H，连接，交于I． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)连接，若正方形的边长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了旋转性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的判定及性质以及作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）先证根据证得四边形为矩形，再证明进而可证得，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得证； （2）延长到点M，使，连接，先证可得，，进而可证得，即可得证； （3）由（2）可知，则的周长为，由此可求得答案． 【详解】（1）证明：∵将绕着点E逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵在正方形中， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴矩形为正方形； （2）证明：如图，延长到点M，使得，连接， ∵在正方形中 ∴，， 在与中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：由（2）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长为， ∵正方形的边长为， ∴的周长为， 故答案为：． 4．(24-25九上·四川自贡蜀光绿盛实验学校·期中)正方形中，点M是边上任意一点，于点E，于点F，若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正方形的性质得出，，得出，再证出，由证明，根据对应边相等得出，，所以． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 5．(24-25九上·四川绵阳游仙区·期中)如图，四边形为一个正方形，点E是的中点，连接，交的延长线于点F．连接、，、分别与交于点P、Q． (1)求证：； (2)求证：Q为的中点； (3)连接，若正方形的边长为，则的长度为？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，证明，即可得证； （2）取的中点M，连接，由等腰直角三角形的性质可得，结合题意可得，，，证明，得出，即可得解； （3）将绕点D逆时针旋转可得，连接，则，，，证明，得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，取的中点M，连接， ∵，， ∴， ∵点E是的中点，点M是的中点， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴Q为的中点； （3）解：如图，将绕点D逆时针旋转可得，连接， ∴，，， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 地 城 考点12 正方形的性质与判定求最值 1．(24-25九上·四川南充南部县南部中学·期中)如图，在边长为的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 取的中点，连接，， 则， ， ， 当、、三点共线时，取最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 2．(24-25九上·四川成都西川中学·期中)我们规定：在平面内，一个点到图形上所有点的距离的最大值称为这个点到这个图形的“形距”，如图，正方形的边长为6，其中心为O，点M在正方形外，且．当正方形绕着点O旋转时，点M到正方形的形距d的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形与旋转，连接，在的延长线上取一点E，使，以O为圆心，的长为半径作，当正方形的顶点A在上运动到时，点M到正方形的形距，此时d的值最小，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点O是正方形的中心，正方形的边长为， ， 在的延长线上取一点E，使，以O为圆心，的长为半径作， 当正方形的顶点A在上运动到时，点M到正方形的形距，此时d的值最小， 设交于点F，则， ， ， ， ， ∴点M到正方形的形距d的最小值为， 答案为：． 3．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)如图，已知正方形的边长为8，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、旋转的性质、最短路径等知识点，正确作出辅助线、确定点F的轨迹成为解题的关键． 如图：过F作垂直于的延长线于G，即，根据正方形的性质、旋转的性质可证，进而得到；如图：当点E和点D重合时，记为，由旋转的性质和正方形的性质可得，即是等腰直角三角形， 则点F的轨迹为过且与夹角为的直线上，即．如图：作点D关于直线的对称点，连接，则，根据对称性可得的最小值为，然后根据题意以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过F作垂直于的延长线于G，即， ∴， ∵正方形的边长为8， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 如图：当点E和点D重合时，记为， ∵将绕点逆时针旋转到， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点F的轨迹为过且与夹角为的直线上，即． 如图：作点D关于直线的对称点，连接，则， ∵， ∴当三点共线时，的最小值为， 如图：过作的垂线交的延长线于H，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 由题意可得：点H在直线上，则是等腰直角三角形，即， ∴， 故答案为：． 地 城 考点13 根据特殊四边形的判定判断选项 1．(24-25九上·四川成都双流区成都实外西区学校·期中)矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等 C．两组对边分别平行 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别．根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，再分析矩形具有而菱形不具有性质即可得出答案． 【详解】解：矩形和菱形是平行四边形， C、两组对边分别平行；B、两组对角分别相等是二者都具有的性质， ∵A、对角线互相垂直是菱形具有的性质， D、对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质． 故选：D． 2．(24-25九上·四川泸州古蔺县金兰教育集团·期中)下列命题错误的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．矩形的四个内角都是直角 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握矩形的判定方法及性质，平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的判定与性质直接判断即可． 【详解】A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，符合题意； B、平行四边形的对角线互相平分，命题正确，不符合题意； C、矩形的四个内角都是直角，命题正确，不符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意； 故选：A． 3．(24-25九上·四川泸州江阳区第十中学校·期中)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质和矩形的性质可求解． 【详解】解：A、∵矩形的两组对边平行，平行四边形的两组对边平行， ∴矩形和平行四边形都具有两组对边分别平行，故此选项不符合题意； B、∵矩形的四个角相等，都要等于90度，平行四边形的两组对角分别相等， ∴矩形和平行四边形都具有两组对角分别相等，故此选项不符合题意； C、∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形具有对角线相等，平行四边形不具有对角线相等，故此选项符合题意； D、∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形和平行四边形都具有对角线互相平分，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 4．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)下列命题的逆命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．矩形的对角线相等 C．正方形的对角线互相垂直平分 D．若，则， 【答案】D 【分析】本题考查了真命题假命题的判断，逆命题，二次根式的性质，正方形以及矩形的性质，判断各选项的逆命题是否为真，需先写出原命题的逆命题，再验证其正确性即可． 【详解】解：A、原命题“若，则”为假（因，当时等式成立）， 逆命题为“若，则”，但，故逆命题为假，不符合题意； B、原命题“矩形的对角线相等”为真，逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，但等腰梯形对角线相等却非矩形，故逆命题为假，不符合题意； C、原命题“正方形的对角线互相垂直平分”为真，逆命题为“对角线互相垂直平分的四边形是正方形”，但菱形对角线也垂直平分却未必是正方形，故逆命题为假，不符合题意； D、原命题“若，则且”为真（因等式成立需且），逆命题为“若且，则”，此时两边均有意义且相等，故逆命题为真，符合题意， 故选：D． 5．(23-24九上·四川成都成华区·期中)下列命题中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组邻边相等的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线互相平分且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，正方形的性质，再逐一分析判断即可，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形为矩形；故不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形；故不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分；故不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等；故符合题意； 故选：D． 6．(23-24九上·四川达州渠县·期中)下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（   ） A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【来源】四川省达州市渠县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，根据相关概念，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，所以A项错误，不符合题意． B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，所以B项错误，不符合题意． C、菱形的四个角不一定相等，所以C项错误，不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，符合题意． 故选：D． 地 城 考点14 特殊平行四边形中的动点问题 1．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm，点P从B点出发以1cm/s的速度沿CB延长线运动，运动时间为t秒．以AP为斜边在其上方构造等腰直角△APD．当t＝1秒时，则CD＝ cm，当D运动的路程为4cm时，则P运动时间t＝ 秒． 【答案】 4 8 【分析】连接CD，作DF⊥CB于F，DE⊥CA于E．首先证明AC+CB＝CD，延长即可解决问题； 【详解】解：连接CD，作DF⊥CB于F，DE⊥CA于E． ∵DA＝DP，∠ADP＝90°， ∴∠DAP＝∠DPA＝45°， ∵∠ACP+∠ADP＝180°， ∴A，C，P，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠APD＝45°， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵DE⊥CA，DF⊥CF， ∴DE＝DF， ∵∠EDF＝∠ADP＝90°， ∴∠ADE＝∠PDF， ∵∠DEA＝∠DFP＝90°， ∴△DEA≌△DFP（ASA）， ∴AE＝DF， ∵CD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL）， ∴CE＝DF， ∴四边形ECFD是正方形， ∴AC+CP＝EC+AE+CF﹣PF＝2EC＝CD， ∵t＝1s时，AC＝5cm，CP＝3cm， ∴CD＝＝4（cm）， 当t＝0时，CD＝＝， 当D运动的路程为4cm时，CD＝4+＝， ∵AC+CP＝CD， ∴5+CP＝15， ∴CP＝10， ∴PB＝8，t＝8. 故答案为4；8． 【点睛】本题考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．(24-25九上·河北邯郸广平县·期中)如图，在四边形中，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿边以的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形； (3)问：四边形是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1)当时，四边形是矩形； (2)当时，四边形是平行四边形； (3)四边形不能成菱形，理由见解析 【分析】（1）由题意可知，，，则，根据矩形的性质列方程，求出t的值即可； （2）由题意可知，，，则，根据平行四边形的性质列方程，求出t的值即可； （3）过点作于点，则四边形是矩形，由勾股定理求得，若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，结合（2）的结果可知，，即四边形不能成菱形． 【详解】（1）解：设运动的时间为 由题意可知，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 解得：， 即当时，四边形是矩形； （2）解：由题意可知，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：， 即当时，四边形是平行四边形； （3）解：四边形不能成菱形，理由如下： 如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， ， 在中，， 若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 由（2）可知，当时，四边形是平行四边形； 此时， ， 四边形不能成菱形． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，一元一次方程的应用、动点问题、勾股定理，掌握特殊的四边形的性质是解题关键． 3．如图，是直角梯形，，，，点P从B点开始，沿边向点A以的速度移动，点Q从D点开始，沿DC边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从B、D同时出发，P、Q有一点到达终点时运动停止，设移动时间为t． (1)t为 时四边形是平行四边形； (2)t为何值时四边形是矩形？ (3)t为 时四边形是等腰梯形． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的性质，熟知一组对边平行不相等，另一组对边不平行但相等的四边形是等腰直角梯形是解题的关键． （1）若四边形是平行四边形，则，即，即可得到答案； （2）若四边形是矩形，则，即，即可得到答案； （3）分别过点作，由于是直角梯形，故四边形是矩形，，若四边形是等腰梯形，故，由此求出答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，即， ， 解得； （2）解：四边形是矩形， ，即， ， 解得； （3）解：分别过点作， 是直角梯形，，， 四边形是矩形， ， 四边形是等腰梯形， 故， ，即， ． 地 城 考点15 特殊平行四边中的多结论问题 1．(24-25九上·四川广元苍溪县·期中)如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①；②；③；④的面积是2．其中正确的结论为（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①证明和全等得，根据三角形外角性质得，由此可对结论①进行判断；②先由勾股定理求出，进而得，由此可对结论②进行判断；③连接交于点，过点作于点，证明四边形是矩形得，进而得，由勾股定理得，，由此可对结论③进行判断；④根据和全等得，而，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形和四边形都是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵是的外角， ， ， 故结论①正确； ②∵四边形是正方形，且， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是正方形，， ， ， 故结论②正确； ③连接交于点，过点作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 故结论③不正确； ④， ， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解正方形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 2．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)在正方形中，，E是对角线上的一动点，连接，作交直线于点F，以，为边作平行四边形，与相交于点H，连接．下列结论正确的是：①四边形是正方形；②；③正方形的面积最小值是4；④当时，．其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】过点E作分别交于点M，交于点N，根据题意证明出是等腰直角三角形，得到，然后证明出，得到，进而可判断①；根据题意证明出，得到，，进而判断②；根据题意得到当时，取得最小值，即此时正方形的面积取得最小值，求出，，即可判断③；设，则，得到，，然后根据勾股定理求出，得到，即可判断④． 【详解】如图所示，过点E作分别交于点M，交于点N ∵四边形是正方形 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形，故①正确； ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵只有当点E是中点时，，即此时，故②错误； ∵E是对角线上的一动点， ∴当时，取得最小值，即此时正方形的面积取得最小值 ∵ ∴ ∴ ∴正方形的面积取得最小值为，故③正确； 当时， ∵， ∴， ∴设，则 ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴在中， ∴ ∴（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∵当时， 此时 ∵ ∴，故④错误． 综上所述，其中结论正确的个数是2个． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．(24-25九上·四川泸州高中初中教育联合校·期中)如图，已知正方形的边长为6，E为边上一点（点E不与端点C，D重合），将沿对折至，延长交边点G，连接，对角线与、分别交于P、Q两点．以下各结论：①；②；③；④若，则G为的中点；⑤线段的最小值为．其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①③④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、乘法公式、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 由正方形的性质得，，，由翻折得，，，，可证明，得，，所以，可判断①正确；因为，，所以，可判断②错误；将绕点顺时针旋转得到，连接，可证明，得，因为，所以，则，可判断③正确；由，，得，，由勾股定理得，求得，则为的中点，可判断④正确；连接，则，由，得，则，所以的最小值为，可判断⑤正确． 【详解】解：四边形是边长为6的正方形， ，， 将沿对折至，延长交边于点， ，，，， ， 在和中， ， ， ，， ，故①正确； ，， ，故②错误； 将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ，， ，， ，且，， ， 解得， ， 为的中点，故④正确； 连接，则， ， ， ， 的最小值为，故⑤正确， 故选：B． 4．(24-25九上·四川自贡富顺县第二中学校·期中)如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（    ） A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】过E作，过E作于N，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出，故③正确；进而求得，故②正确；当时，点C与点F重合，则，，得到不一定等于，故④错误． 【详解】解：过E作，过E作于N，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， 故①正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故③正确； ∴， 故②正确； 当时，点C与点F重合，则，， ∴不一定等于， 故④错误． 综上，正确的有①②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 5．(24-25九上·四川自贡荣县·期中)如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（ ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，首先根据等腰直角三角形的性质可以得到，，根据同角的余角相等可证，从而可证，所以结论③成立；根据全等三角形对应边相等可得，所以结论①成立；因为，，所以，所以结论②成立；根据三角形两边之和大于第三边可证，从而可得，所以可知结论④错误；当时，可得，即得到，得到，由与不一定垂直，可得不一定等于，故可知⑤错误，据此即可求解，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质找到相等的角和边，再根据边和角之间的关系证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质判断各项结论是否正确． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 在和中 ， ， ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ 故④错误； ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当时，， 则， 即， ∵与不一定垂直， ∴不一定等于，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②③， 故选：. 6．(24-25九上·四川南充高坪区高坪区江陵初级中学·期中)如图，正方形与正方形（边长不等），三点共线，连接交、、分别于，下面结论正确的有（　　） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明即可判断；证明即可判断；由，，正方形与正方形的边长不等，可得，即得，得到，即可判断；由，，，可得，即得，即可判断；根据图形找到全等三角形是解题的关键． 【详解】解：∵正方形与正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故正确； 在和中， ， ∴， ∴，，故正确； 在中，， 在中，， ∵正方形与正方形的边长不等， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵，，， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确的结论有共个． 故选：． 7．(24-25九上·四川绵阳江油·期中)如图，在中，于点，延长于点交于，延长与的延长线交于点，下面给出四个结论：①；②；③；④；⑤线段与互相平分．其中正确的结论有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①由等腰直角三角形的性质可求；②由余角的性质和平行四边形的性质可求；③由“”可证，可得；④在和中，只有三个角相等，没有边相等，则与不全等，⑤假设是的中点，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，而没有这个条件，故⑤不正确． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∴ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，故②正确； ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确， 在和中，只有三个角相等，没有边相等， ∴与不全等，故④错误． 若点是的中点， ∵， ∴， 则 ∴， ∵点不一定是的中点， 则不一定成立 则线段与互相平分，不一定成立，故⑤错误， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和行，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 8．(24-25九上·四川达州渠县第二中学·期中)如图，在等腰中，，F 是边上的中点，点 D，E 分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论： ①是等腰直角三角形； ②四边形不可能为正方形， ③长度的最小值为； ④四边形的面积保持不变； ⑤面积的最大值为 4． 其中正确的结论是（  ）    A．①②③ B．①②⑤ C．①③④ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】①连接，证明，得到是等腰直角三角形； ②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形是菱形，利用正方形的判定定理进行判断； ③当最小时，也最小，利用垂线段的性质求出的最小值，进行计算即可； ④根据，得到； ⑤由③的结论进行计算即可． 【详解】①连接，    ∵是等腰直角三角形，且F是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，①正确； ②当D、E分别为、中点，即、分别为和斜边上的中线， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形，又， ∴四边形是正方形，②错误； ③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小， 当时，最小，此时． ∴，③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵F 是边上的中点， ∴ ∴四边形的面积保持不变，④正确； ⑤由③可知当最小时，也最小，的最小值是3，则的最小值为， 当面积最大时，此时的面积最小． 此时，⑤错误； 综上，正确的是：①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键． 9．(24-25九上·四川成都实外西区学校·期中)如图，是一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点．点为射线上一动点，以为底边，在的下方作等腰直角，为中点，连接．当取最小値时， ． 【答案】/ 【分析】设，则，，如图，取的中点，连接，得出是等边三角形，则，取的中点，连接，，设交于点，连接，设，则，，证明，则当在射线上运动时，在射线上运动，证明四边形是正方形，则关于的对称点为，当取最小値时，在上，当在上，过点作于点，设，则，勾股定理得出，根据，求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， 设，则，， 为中点，则， 如图，取的中点，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 如图，取的中点，连接，，设交于点，连接， ∵等腰直角，， ∴， 设，则， ∵ ∴， ∴ ∵等腰直角，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，则当在射线上运动时，在射线上运动， ∵ ∴ ∴ ∴是的中点 ∴， ∵ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴四边形是正方形 ∴关于的对称点为， ∴ ∴ ∴当取最小値时，在上 如图，当在上，过点作于点， ∵, ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠问题，矩形的性质与正方形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．掌握利用对称变换将折线段和转化为直线段和是解题的关键． 地 城 考点16 特殊平行四边形的解答题压轴 1．(24-25九上·四川成都锦江区师一学校·期中)在等腰中，，，将绕点转逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点） (1)如图，连接、，求证：． (2)如图，若，，绕点按逆时针方向旋转至得到的过程中，当时，连接，请求出的面积； (3)如图，若，；当与重合时，再将沿着直线平移，得到，连接，求的周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积为或； (3)的周长的最小值为． 【分析】（）将绕点转逆时针方向旋转，得到，则有，， ，所以，证明，然后通过性质即可求证； （）分当，垂足在延长线上时，过作于点，于点，当，垂足在延长线上时，过作于点，于点两种情况分析，通过矩形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理即可求解； （）连接，由平移性质可得，，，证明四边形是平行四边形，则，故有的周长，作点关于直线对称点，连接交于点，连接，，所以，即的周长，又，则当点三点共线时，的周长有最小值，为，过作交延长线于点，则，证明四边形是菱形，则，，所以，，通过勾股定理直角三角形性质可得，，所以，则，因此的周长有最小值，为． 【详解】（1）证明：∵将绕点转逆时针方向旋转，得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当，垂足在延长线上时，过作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点转逆时针方向旋转，得到， ∴， 同理可得， ∴， ∴的面积为； 如图，当，垂足在延长线上时，过作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点转逆时针方向旋转，得到， ∴， 同理可得， ∴， ∴的面积为， 综上可知：当时，的面积为或； （3）解：如图，连接， 由平移性质可得，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长， 作点关于直线对称点，连接交于点，连接，， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当点三点共线时，的周长有最小值，为，如图， 过作交延长线于点，则， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵绕点转逆时针方向旋转，得到， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵点关于直线对称点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．(24-25九上·四川成都青羊区树德中学·期中)在几何图形变换的数学课堂情境中，徐老师引导学生共同探索角度与线段长度的相关奥秘． (1)如图1，已知，在射线和射线上取，连接，点D、H分别是线段、上的点，若，求的度数． (2)在（1）问的条件下，如图2，过点A作的平行线交延长线于点E，求证：． (3)如图3，若，点A在射线上，且，点P是射线上一动点，以点A为直角顶点作，若的面积为，请直接写出长度的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，平角的定义，等量代换解答即可． （2）在上截取，利用等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等量代换解答即可． （3）作，，和交于点C，过点A作交于点D，作于点E，作于点F，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理，两点之间线段最短解答即可． 【详解】（1）解：， 又，， ． （2）证明：如图2所示，在上截取， ， ，，， 又， 故为等边三角形， ，即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （3）解：如图3所示，作，，和交于点C， 过点A作交于点D，作于点E，作于点F， ，， ， ∴，， 四边形为矩形， ， ， ，即， ，即为定长． 取中点R，连接， 由斜边中线定理知， ， ， 当B、R、Q三点共线时取等号， ， 即长度的最大值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，三角函数的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 3．(24-25九上·四川成都青羊区泡桐树中学·期中)已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D． (1)如图1，当点D落在上时，求的长； (2)如图2，当点D在上方且满足时，求的长； (3)如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接． ①当为等腰三角形时，求出长； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式． 【答案】(1)3 (2) (3)①3或6；② 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想分析动点问题是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，，在中，根据勾股定理可得， 设，则，在中，根据勾股定理，即可求解； （2）延长交延长线于点M，可得，从而得到，在中， 根据勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解； （3）①分情况讨论：，即；当时，作于点H； 当四边形为正方形时，此时，，根据旋转的性质及全等三角形的性质与判定，即可解答； ②作于点H，证明，可得，，在中， 根据勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）在中，，，． 将沿折叠得， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即； （2）如图4，延长交延长线于点M， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即； （3）①，即； 如图5，当时，作于点H， 则， ， 由旋转的性质得，， ， 又， ， ； 如图6，当四边形为正方形时，此时，， 由旋转的性质得，， 是等腰直角三角形， 此时点D在上，且为的中点，此时，符合题意， ； 综上所述，的长为3或6； ②如图7，作于点H， ， 由旋转的性质得， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ． 4．(24-25九上·四川南充营山县西城实验初级中学校·期中)如图，在平行四边形中，点P是上的一个动点，连接，是边上的高． (1)若四边形是菱形，，求的度数； (2)若，，，，求的长； (3)过点P作交线段于点F，过点B作于点H，交于点N．若，，，求证：． 【答案】(1)； (2)5； (3)证明过程见详解． 【分析】（1）利用菱形性质和已知条件得度数，及，再根据平行线性质即可求解； （2）根据题意，利用勾股定理求线段长即可； （3）连接，根据题意可证，得线段间的关系，再证，得，等量代换即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，， ， ； （2） 是边上的高， ， 由勾股定理可得， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，解得：， ， ； （3）证明：连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 5．(24-25九上·四川广元苍溪县·期中)如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持，连接、． (1)的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由； (2)求周长的最小值； (3)在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)的值不会变， (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）连接，由菱形的性质可得，，则可证明与为等边三角形，再证明，得到，则可推出，据此可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，，则可证明为等边三角形；得到，，当时，周长有最小值，则，，据此可得的周长最小值为； （3）由菱形的性质可得，则轴，再由，得到点M在y轴上，则；设，分为对角线，为对角线和为对角线，三种情况由平行四边形的对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 连接，    ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴与为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会变，； （2）解：∵， ∴，， ∴； ∴为等边三角形； ∴， ∴， 当时，周长有最小值， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长最小值为； （3）解：由（2）可得当的周长有最小值时，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴轴， ∵， ∴点M在y轴上， ∴； 设， 当为对角线时，由平行四边形的对角线中点坐标相同可得： ， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的对角线中点坐标相同可得： ， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的对角线中点坐标相同可得： ， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 6．(24-25九上·四川广元苍溪县·期中)【教材呈现】下列材料是人教版八年级下册数学教材第65页数学活动的部分内容． 在一张矩形纸片的一端，利用如图③所示的方法折出一个正方形． 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形是正方形； 【教材延伸】（2）如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，求的长． （3）如图③，直线分别交平行四边形的边于点，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先根据折叠的性质可得， 再根据等腰直角三角形的性质得出，从而可得，于是可证明四边形是菱形，再根据，可得出四边形是正方形； （2）先根据矩形的性质得出，再根据正方形的性质得出，从而可得四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可知：，从而可利用勾股定理求得，再求得，从而可利用勾股定理得到关于的方程求解； （3）先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据等腰直角三角形的性质得出，然后利用折叠的性质可得，再利用勾股定理得到关于的方程求解，再求得，从而可说明四边形是平行四边形，结合，可得四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，利用勾股定理求得，再利用线段差求得，从而可利用勾股定理求得． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）∵矩形中，， ∴， 由（1）知：四边形是正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 在中，， ，， ∴， 即， 解得． （3）过点作，交的延长线于，过点作于， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，折叠的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 7．(24-25九上·四川绵阳三台县·期中)【问题呈现】军军在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 军军通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为_____度，线段长度的最小值为_____． 【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图．军军收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】（1）见解析；（2），；方法应用：线段长度的最小值为米 【分析】问题解决： （1）先利用平行四边形的判定和性质，结合已知来推导．通过，判定四边形是平行四边形，得到，再结合，从而得出 ． （2）先由（1）及等边三角形性质找角的关系得度数；再根据，结合点运动路径，利用垂线段最短求最小值即最小值 ． 方法应用： 求钢丝绳长度最小值，类比前面构造平行四边形，将转化为，通过找最小值求解．先构造平行四边形，得出相关边和角的关系，再利用直角三角形性质求最小值 ． 【详解】问题呈现：（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴； （2）是等边三角形， ∴， 又∵， ∴, 由（1）知， ∴； 当时，最小，此时（所对直角边是斜边的一半 ）， ∵， ∴， 又， 最小值为 ． 故答案为：30，2； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴当时，最小，此时最小， 作于点， 在中，， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴线段长度的最小值为米． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形性质、等腰三角形性质、直角三角形性质（含角和角 ），熟练掌握平行四边形的构造转化线段，以及利用特殊三角形性质求最值是解题的关键． 8．(24-25九上·四川内江资中县·期中)【模型建立】（1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； 【模型应用】（2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线；求直线的函数解析式； （3）如图3，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A、轴于点C，点P是线段上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，直接写出点D的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或 【分析】（）利用证明即可； （）过点作交直线于点，过点作轴交轴于点，则，首先可证得为等腰直角三角形，同理（）可证得，于是有，，然后求得直线与轴、轴的交点、的坐标，即可求得线段、的长，进而求得线段、的长，于是即可求得点的坐标，最终利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （）分四种情况讨论：当时；当时；当，且点在上方时；当，且点在下方时；分别求出点的坐标即可得出答案． 【详解】（）证明：，于点，于点， ， ， ， ， 又， ； （）解：如图，过点作交直线于点，过点作轴交轴于点，则， ， ， ，为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， 把代入，得：， 解得：， ， 把代入，得：， ， ，， ，， ， ， 设直线的函数表达式为，把、代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （）解：能成为等腰直角三角形，理由如下： ，轴于点，轴于点， ， ，，四边形为矩形， 设， 分四种情况： 当时， 如图，，则，过点作轴于点，交的延长线于点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：， ； 当时， 如图，，则，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， 又， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：， 此时，两点重合，两点重合， ； 当，且点在上方时， 如图，，且点在上方，则，过点作交射线于点， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：， ， 不在第四象限， 不符合题意，故舍去； 当，且点在下方时， 如图，，且点在下方，则，过点作交的延长线于点， 则， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 将代入，得： ， 解得：， ； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定（等角对等边），全等三角形的判定与性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题，已知两点坐标求两点距离，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，矩形的判定与性质，多边形内角和问题，解一元一次方程等知识点，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键． 9．(24-25九上·四川成都青羊实验学校·期中)定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． (1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号） (2)①：如图1，在菱形中，于点E，点F是菱形边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形为“等距四边形”，求线段EF的长； ②：将①中条件改为，其余条件不变，请画出图形，并求出以为边的正方形面积． (3)如图2，在平行四边形中，，点P是内任意一点，在上是否分别存在点，使得这些点与点P的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，求这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②； (2)①或8；②图见解析，以为边的正方形面积为或； (3)存在，这三个“等距四边形”的周长和为． 【分析】本题考查了矩形、菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“等距四边形”的定义逐一判断即可． （2）①分两种情况：当点F在上且BF⊥AD时，当点在上且时，分别求解即可； ②分两种情况：当点在上且时， 当点在上且时，四边形是等距四边形，分别求解即可； （3）过点分别作于，于，于，先证明四边形是菱形，再得到是等边三角形，根据勾股定理得到，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形对角线互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线长的一半，不符合题意； ②矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合题意； ③菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线的一半，不符合题意； 故答案为：②； （2）解：①根据等距四边形的定义，当点F在上且BF⊥AD时，四边形是等距四边形，如图1，取的中点O，连接， ∵， ， ， 四边形是等距边形， 在菱形中，，，， ， ， ， ， 根据菱形的对称性得，， 是等边三角形， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图， 连接，，交于点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，在菱形中，，， ， ； ②根据等距四边形的定义，当点在上且时，四边形是等距四边形，如图，取的中点，连接，，， ，， ， ， 四边形是等距边形， 在菱形中，，，， ， ， ， ， 根据菱形的对称性得，， 是等腰三角形， 在中，， ， 过作于， ， ， ， ∴以为边的正方形面积为； 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图， 连接，，交于点， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴以为边的正方形面积为； （3）解：过点分别作于，于，于，如图2， 同（2）的方法得，四边形，四边形，四边形是等距四边形，过点作于， ∵在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 在中，，， ∵， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形，四边形，四边形的周长的和为． 10．(23-24九上·四川南充南部县振兴初级中学·期中)如图，点E是正方形的边上一点，连接，将绕着点E逆时针旋转，得到，过点G作，垂足为F，，垂足为H，连接，交于I． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)连接，若正方形的边长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了旋转性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的判定及性质以及作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）先证根据证得四边形为矩形，再证明进而可证得，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得证； （2）延长到点M，使，连接，先证可得，，进而可证得，即可得证； （3）由（2）可知，则的周长为，由此可求得答案． 【详解】（1）证明：∵将绕着点E逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵在正方形中， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴矩形为正方形； （2）证明：如图，延长到点M，使得，连接， ∵在正方形中 ∴，， 在与中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：由（2）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长为， ∵正方形的边长为， ∴的周长为， 故答案为：． 11．(24-25九上·四川泸州高中初中教育联合校·期中)如图，在中， (1)若是菱形，，试求出的度数； (2)如图2，若，点E在边的延长线上，连接，．，若M是的中点，连接，求证：； (3)如图3，，点P是上动点，连结．过点P作交线段于点F．过B点作于H，交的高于点N．，，请你写出线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）延长，交于点F，连接，证明四边形是矩形，进而可得，根据已知可得，根据三线合一即可得证； （3）连接，证明，可得，，证明，再证明，可得，，证明．可得，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵是菱形， ∴， ， ∴， ∴． （2）证明：如图2所示，延长，交于点F，连接， ∵， ∴， 又∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解： 证明：连接，如图3， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，．， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $