专题01 整式的加减（必备知识+13题型+分层检测）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材沪教版

专题01 整式的加减（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 整式 熟悉单项式、整式概念；次数、系数能分辨清楚 主要考査概念,以选择题、填空题为主,属基础题. 合并同类项 能理解同类项，会区别是否为同类项 主要考查同类项和合并同类项，期中考试以选择题和填空题为主，属于基础题. 整式的加法和减法 会添、去括号；能够正确计算整式加减法；会解决无关型、不含某项型问题 以计算题和解答题为主，包括整式加减法计算、无关型、不含某项型问题. 知识点01 整式 主要考査概念,以选择题、填空题为主,属基础题 1.单项式的概念 数和字母的乘积叫作单项式. ，，，，. 特别地，单独一个数或一个字母也是一个单项式.如，. (1)单项式中数与字母之间都是乘积关系 (2)单项式中不含加减运算.如,都不是单项式 (3)是常数,在单项式中相当于数字因数 (4)定义中的“数”可以是小数,也可以是分数、整数 2. 单项式的系数 一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数 ，，，，的系数分别是，，，，. 单项式的系数是包含前面的符号的. (1)只含有字母的单项式,它的系数是1或-1,通常“1”省略不写 (2)单项式的系数包括它前面的符号. (3)单项式的系数是带分数时,通常写成假分数 3.单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.如，，，，的次数分别为，，，，. 非零的数是零次单项式，如，都是零次单项式. (1)圆周率是常数，单项式中出现时，要将其看成系数. (2)对于数字因数省略的单项式，它的系数是或，如单项式，的系数分别是和. (3)单项式的分母不含字母，分子不含加减运算，如形式的代数式就不是单项式；而形式的代数式也不是单项式. (4)单独一个字母的次数是，而不是.如单项式的次数是，而不是. (5)非常数的次数为，如常数的次数是. 单项式的五种情形：(1)单独的一个数，如，等；(2)单独的一个字母，如，等；(3)数与数的积，如等；(4)字母与字母的积，如等；(5)数与字母的积，如等.一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. 4.同类项 对于两个单项式，如果它们所含字母相同，且相同字母的指数也相同，那么称这两个单项式为同类项. 与是同类项.特别地，几个常数项也是同类项.如和是同类项. 对于同类项的概念的理解，要抓住两个相同和两个无关. (1)两个相同：①所含字母相同；②相同字母的指数相同.两者缺一不可. (2)两个无关：①同类项与系数大小无关；②同类项与它们所含相同字母的顺序无关. 5.整式 （1）概念：有限个单项式求和得到的代数式叫作整式，整式也叫作多项式. 如，，，都是整式.其中是由和这两个单项式求和得到的整式；是由和这两个单项式求和得到的整式；是由，和这三个单项式求和得到的整式；是由，和这三个单项式求和得到的整式. （2）单项式、整式的关系 单项式、整式的辨别 (1)单项式不含有加减运算； (2)整式是有限个单项式的和，单项式也是整式； (3)单项式和整式都可以有除法运算，但要写成分数形式且分母中不能含有字母. 知识点02 合并同类项 主要考查同类项和合并同类项，期中考试以选择题和填空题为主，属于基础题. 1.合并同类项 把整式中的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项. 2.合并同类项的法则 在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，而字母和字母的指数不变. 中，与是同类项，与是同类项，合并同类项得. (1)若两个同类项的系数互为相反数，合并后结果为. (2)合并同类项时，只有同类项能合并，非同类项不能合并且不能遗漏. (3)合并后结果可为单项式或整式. (4)合并依据是乘法分配律，数的运算律适用于整式，变形时整式值不变. (5)合并后系数若为带分数，要化为假分数. 3.整式的相关概念 （1）整式的项：合并同类项后，整式中的每个单项式叫整式的项. （2）常数项：不含字母的项叫常数项. （3）整式的次数：各项中次数最高项的次数为整式的次数. （4）项的次数是几，称几次项；合并后有几项，称几项式. 如是二次三项式，是二次项，是一次项，是常数项. (1)确定整式的项时，不要忘前面的符号（尤其是负号）. (2)次数最高的项可能有多项，甚至每项次数都为最高（如是二次三项式）. (3)单项式次数是所有字母指数和，整式次数是最高项的次数，二者勿混淆. 4.整式的升幂排列与降幂排列 合并同类项后，可根据加法交换律，按某一字母的指数大小排列整式的项. （1）按字母指数从大到小排列，叫降幂排列 按降幂排列为. （2）按字母指数从小到大排列，叫升幂排列 如上述式子按升幂排列为. 知识点03 整式的加法和减法 主要考查同类项和合并同类项，期中考试以选择题和填空题为主，属于基础题. 1.去括号法则 （1）去括号法则： 括号前面是“”号，去掉括号后，括号内各项都不变号； 括号前面是“”号，去掉括号后，括号内各项都变号. （2）去多重括号的顺序 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. （3）数与整式相乘法则 一般地，数与整式相乘，就是用这个数去乘整式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母及其指数不变. (1)去括号时，括号与前面的“”号或“”号一起去掉. (2)注意法则中的“都”字，该变号时，各项都变号；不该变号，各项都不变号.尤其括号前面是“”号，去括号时，要改变括号内每一项的符号. (3)数与整式相乘时，应把数与括号内各项相乘，切忌漏乘. (4)去多重括号一般先去小括号，再去中括号比较简单.每去掉一层括号，如果有同类项可随时合并，这样可使下一步运算简便，减少差错. 计算： (1)； (2)； (3). (1)根据去括号法则，括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号内的与都变号；(2)多重括号的化简，可先去小括号再去中括号；(3)数与整式相乘时，用乘括号内的与这两项. (1). (2) . (3) . 2.整式的加减 （1）法则 一般地，几个整式相加减，通常先用括号把每个整式括起来，用加减号连接，然后去括号，再合并同类项. （2）实质 整式加减的实质就是去括号，合并同类项. (1)整式加减的结果要最简，即不能有同类项；(2)含字母项的系数如果是带分数，要化成假分数；(3)计算结果一般不含括号. (1)求整式与的和； (2)求与的差. 求两个整式的和或差时，先把每个整式用括号括起来，再用加减号连接，然后去括号、合并同类项. （1）. (2) . 题型一、单项式的判断（必考基础） 单项式的判断方法判断 一个式子是否是单项式，关键看两点 (1)式子中是否只有乘法运算（包括乘方运算） (2)式子的分母中是否只有数字. 二者有一项不符合，则不为单项式 【典例1】下列式子是单项式的是(   ) A． B． C． D． 【变式1】（2024·上海闵行区·期中）下列说法正确的是（   ） A．2不是单项式 B．是一次式 C．的一次项系数是1 D．是单项式 【变式2】（23-24七年级下·安徽淮南区·期末）下列说法中正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是6 C．是单项式 D．是二次三项式 【变式3】（23-24七年级上·上海浦东新区·期中）下列说法中错误的是（    ） A．0是单项式 B．的系数是3 C．是四次单项式 D．是三次三项式 题型二、单项式的系数、次数（必考基础） 【典例1】（2024·上海浦东新区·期中）代数式的系数是 ． 【变式1】（2024·上海普陀区·期中）单项式次数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（2024·上海松江区·期中）单项式的系数是 ． 【变式3】（2024·上海宝山区·期中）整式是 次单项式． 【变式4】（2024·上海宝山区·期中）单项式的次数是 ． 题型三、写出满足某些特征的单项式（易错） 【典例1】（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨区·期中）写一个系数是，次数是4次的单项式： . 【变式1】（23-24七年级上·陕西咸阳区·期末）系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 【变式2】请写出一个系数为2，次数是3，且只含有a，b两个字母的单项式： ． 题型四、单项式规律题（拉分） 【典例1】观察下列关于a的单项式，探究其规律：，，，，，…，按照上述规律，第2020个单项式是（ ） A． B． C． D． 【变式1】按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，，，…请你根据以上规律写出第2024个式子是 ． 题型五、添去括号（易错） 去括号时注意两点： (1)去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉； (2)去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 【典例5】下列去括号正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算：. 题型六 同类项的判断（基础必考） 对于同类项的概念的理解，要抓住两个相同和两个无关. (1)两个相同：①所含字母相同；②相同字母的指数相同.两者缺一不可. (2)两个无关：①同类项与系数大小无关；②同类项与它们所含相同字母的顺序无关. 【典例6】下列各组式中，不是同类项的为（    ） A．和 B．和 C． 和 D．和 【变式1】下列各组中的两项，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】下列各式中是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．a和b 【变式3】下列各式是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式4】下列各单项式中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型七、合并同类项（基础必考） (1)若两个同类项的系数互为相反数，合并后结果为. (2)合并同类项时，只有同类项能合并，非同类项不能合并且不能遗漏. (3)合并后结果可为单项式或整式. (4)合并依据是乘法分配律，数的运算律适用于整式，变形时整式值不变. (5)合并后系数若为带分数，要化为假分数. 【典例7】（2024·上海虹口区·期中）合并同类项： ． 【变式1】（2024·上海崇明区·期中）合并同类项： ． 【变式2】（2024·上海松江区·期中）合并同类项： ． 题型八、已知同类项求指数中字母或代数式的值（易错） 【典例8】已知单项式与单项式是同类项，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1】若单项式与单项式的和还是单项式，则的值为（    ） A． B． C． D．9 【变式2】（2024·上海浦东新区·期中）若与的和是单项式，则 ． 题型九、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列（易错） 【典例9】多项式是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【变式1】多项式按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】将按字母的降幂排列： ． 题型十、整式的加减运算（易错） 【题型10】（2024·上海崇明区·期中）比少的整式是 ． 【变式1】（2024·上海宝山区·期中）一个多项式与的和是，那么 ． 【变式2】（2024·上海奉贤区·期中）已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是 ． 【变式3】（2024·上海宝山区·期中）多项式 减去多项式的差是 ． 【变式4】（2024·上海松江区·期中）计算： ． 题型十一、整式的加减中的化简求值（拉分） 化简求值问题的解题方法 化简求值时，先化简，再代入计算；若未给字母值但给式子值，可将式子看作整体，把多项式化为含已知式子的代数式后代入求值（运用整体代换思想简化问题） 【典例11】（2024·上海宝山区·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】先化简，再求值：，其中，． 【变式2】（2024·上海浦东新区·期中）已知：，求，并求当时的值． 【变式3】（2024·上海虹口·阶段练习）已知整式，，当时，求： 【变式4】（整体思想）已知，，求的值. 题型十一、整式加减中的无关型问题 含字母系数的整式的加减运算 (1)先进行整式加减运算，合并同类项； (2)列方程：①不含某一项，该项系数为0；②与某字母无关，含该字母的项的系数为0；③恒为定值，所有含字母的项的系数均为0. 【典例11】（2024·上海闵行区·期中）若整式不含项，则 ． 【变式1】（2024·上海宝山区·期中）如果多项式与的和中不含项，则的值为 ． 【变式2】（2024·上海黄浦区·期中）已知整式，整式，且的结果中不含的一次项，求值． 题型十二、带有字母的绝对值化简问题（拉分） 【典例12】已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（     ） A．1 B． C． D．3 【变式1】（19-20七年级上·山东德州·阶段练习）若a、b、c是有理数，，且a，b同号，b，c异号，求的值． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春区·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 题型十三、整式加减运算的应用（拉分） 【典例12】（2024·上海宝山区·期中）在计算整式的值过程中，的取值比原来扩大，的取值比原来缩小，则该整式的值（    ） A．比原来扩大 B．比原来缩小 C．比原来扩大 D．比原来缩小 【变式1】（2024·上海闵行区·期中）如果都是关于的单项式，且是一个八次单项式，是一个五次多项式，那么的次数（   ）． A．一定是五次 B．一定是八次 C．一定是三次 D．无法确定 【变式2】（2024·上海奉贤区·期中）已知 ， 且恒成立，则 ． 【变式3】（2024·上海虹口·阶段练习）如果A、B都是关于x的单项式，且是一个九次单项式，是一个五次整式，那么是一个 次整式． 【变式4】（2024·上海杨浦区·期中）有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．例如：，经过处理器得到，若，是关于的二次多项式，若是经过处理器得到的整式，满足， ． 【变式5】（2024·上海杨浦区·期中）小杰准备完成题目“求整式：■与整式：的差”，发现系数“■”印刷不清楚． (1)他把“■”猜成，求与的差； (2)小明说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．请通过计算说明原题中的“■”是多少？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列代数式中不是单项式的是（   ） A．m B． C． D． 2.（2024·上海杨浦区·期中）下列说法错误的是（    ） A．的次数是3 B．的常数项是 C．是二次二项式 D．是按的升幂排列的 3.一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式： ． 4.计算：． 5.（2024·上海宝山区·期中）化简得到（   ） A． B． C． D． 6.（2024·上海黄浦区·期中）计算： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.观察下列单项式：，，，，，… 按此规律，第个单项式是 ，第个单项式是 ． 2.（2024·上海闵行区·期中）如果与的和是单项式，那么 ． 3.（2024·上海杨浦区·期中）如图1，把一个长为、宽为的长方形（），沿虚线剪开，将其与阴影部分所表示的小正方形一起拼接成如图2所示的正方形，则下列说法错误的是（    ） A．图1所示的长方形周长 B．图2所示的大正方形方形周长 C．图2阴影部分所表示的小正方形边长 D．图2空白部分的周长 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.小杰准备完成题目：化简，发现系数“■”印刷不清楚． (1)他把“■”猜成3，请你化简； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是常数”．通过计算说明原题中的“■”是多少？ 2.【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，当，则x的值为 ； （2）当 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米，A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装总成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装总成本最低，最低成本是多少？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的加减（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 整式 熟悉单项式、整式概念；次数、系数能分辨清楚 主要考査概念,以选择题、填空题为主,属基础题. 合并同类项 能理解同类项，会区别是否为同类项 主要考查同类项和合并同类项，期中考试以选择题和填空题为主，属于基础题. 整式的加法和减法 会添、去括号；能够正确计算整式加减法；会解决无关型、不含某项型问题 以计算题和解答题为主，包括整式加减法计算、无关型、不含某项型问题. 知识点01 整式 主要考査概念,以选择题、填空题为主,属基础题 1.单项式的概念 数和字母的乘积叫作单项式. ，，，，. 特别地，单独一个数或一个字母也是一个单项式.如，. (1)单项式中数与字母之间都是乘积关系 (2)单项式中不含加减运算.如,都不是单项式 (3)是常数,在单项式中相当于数字因数 (4)定义中的“数”可以是小数,也可以是分数、整数 2. 单项式的系数 一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数 ，，，，的系数分别是，，，，. 单项式的系数是包含前面的符号的. (1)只含有字母的单项式,它的系数是1或-1,通常“1”省略不写 (2)单项式的系数包括它前面的符号. (3)单项式的系数是带分数时,通常写成假分数 3.单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.如，，，，的次数分别为，，，，. 非零的数是零次单项式，如，都是零次单项式. (1)圆周率是常数，单项式中出现时，要将其看成系数. (2)对于数字因数省略的单项式，它的系数是或，如单项式，的系数分别是和. (3)单项式的分母不含字母，分子不含加减运算，如形式的代数式就不是单项式；而形式的代数式也不是单项式. (4)单独一个字母的次数是，而不是.如单项式的次数是，而不是. (5)非常数的次数为，如常数的次数是. 单项式的五种情形：(1)单独的一个数，如，等；(2)单独的一个字母，如，等；(3)数与数的积，如等；(4)字母与字母的积，如等；(5)数与字母的积，如等.一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. 4.同类项 对于两个单项式，如果它们所含字母相同，且相同字母的指数也相同，那么称这两个单项式为同类项. 与是同类项.特别地，几个常数项也是同类项.如和是同类项. 对于同类项的概念的理解，要抓住两个相同和两个无关. (1)两个相同：①所含字母相同；②相同字母的指数相同.两者缺一不可. (2)两个无关：①同类项与系数大小无关；②同类项与它们所含相同字母的顺序无关. 5.整式 （1）概念：有限个单项式求和得到的代数式叫作整式，整式也叫作多项式. 如，，，都是整式.其中是由和这两个单项式求和得到的整式；是由和这两个单项式求和得到的整式；是由，和这三个单项式求和得到的整式；是由，和这三个单项式求和得到的整式. （2）单项式、整式的关系 单项式、整式的辨别 (1)单项式不含有加减运算； (2)整式是有限个单项式的和，单项式也是整式； (3)单项式和整式都可以有除法运算，但要写成分数形式且分母中不能含有字母. 知识点02 合并同类项 主要考查同类项和合并同类项，期中考试以选择题和填空题为主，属于基础题. 1.合并同类项 把整式中的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项. 2.合并同类项的法则 在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，而字母和字母的指数不变. 中，与是同类项，与是同类项，合并同类项得. (1)若两个同类项的系数互为相反数，合并后结果为. (2)合并同类项时，只有同类项能合并，非同类项不能合并且不能遗漏. (3)合并后结果可为单项式或整式. (4)合并依据是乘法分配律，数的运算律适用于整式，变形时整式值不变. (5)合并后系数若为带分数，要化为假分数. 3.整式的相关概念 （1）整式的项：合并同类项后，整式中的每个单项式叫整式的项. （2）常数项：不含字母的项叫常数项. （3）整式的次数：各项中次数最高项的次数为整式的次数. （4）项的次数是几，称几次项；合并后有几项，称几项式. 如是二次三项式，是二次项，是一次项，是常数项. (1)确定整式的项时，不要忘前面的符号（尤其是负号）. (2)次数最高的项可能有多项，甚至每项次数都为最高（如是二次三项式）. (3)单项式次数是所有字母指数和，整式次数是最高项的次数，二者勿混淆. 4.整式的升幂排列与降幂排列 合并同类项后，可根据加法交换律，按某一字母的指数大小排列整式的项. （1）按字母指数从大到小排列，叫降幂排列 按降幂排列为. （2）按字母指数从小到大排列，叫升幂排列 如上述式子按升幂排列为. 知识点03 整式的加法和减法 主要考查同类项和合并同类项，期中考试以选择题和填空题为主，属于基础题. 1.去括号法则 （1）去括号法则： 括号前面是“”号，去掉括号后，括号内各项都不变号； 括号前面是“”号，去掉括号后，括号内各项都变号. （2）去多重括号的顺序 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. （3）数与整式相乘法则 一般地，数与整式相乘，就是用这个数去乘整式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母及其指数不变. (1)去括号时，括号与前面的“”号或“”号一起去掉. (2)注意法则中的“都”字，该变号时，各项都变号；不该变号，各项都不变号.尤其括号前面是“”号，去括号时，要改变括号内每一项的符号. (3)数与整式相乘时，应把数与括号内各项相乘，切忌漏乘. (4)去多重括号一般先去小括号，再去中括号比较简单.每去掉一层括号，如果有同类项可随时合并，这样可使下一步运算简便，减少差错. 计算： (1)； (2)； (3). (1)根据去括号法则，括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号内的与都变号；(2)多重括号的化简，可先去小括号再去中括号；(3)数与整式相乘时，用乘括号内的与这两项. (1). (2) . (3) . 2.整式的加减 （1）法则 一般地，几个整式相加减，通常先用括号把每个整式括起来，用加减号连接，然后去括号，再合并同类项. （2）实质 整式加减的实质就是去括号，合并同类项. (1)整式加减的结果要最简，即不能有同类项；(2)含字母项的系数如果是带分数，要化成假分数；(3)计算结果一般不含括号. (1)求整式与的和； (2)求与的差. 求两个整式的和或差时，先把每个整式用括号括起来，再用加减号连接，然后去括号、合并同类项. （1）. (2) . 题型一、单项式的判断（必考基础） 单项式的判断方法判断 一个式子是否是单项式，关键看两点 (1)式子中是否只有乘法运算（包括乘方运算） (2)式子的分母中是否只有数字. 二者有一项不符合，则不为单项式 【典例1】下列式子是单项式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的概念判断，解题的关键是依据“单项式是由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，分母含字母、含加减运算的式子不是单项式”进行区分． 先明确单项式的定义，再逐个分析选项：排除含加减运算的多项式（A、B），排除分母含字母的分式（C），确认单独的数（中是常数）属于单项式． 【详解】解：A、含减法运算，是多项式，不是单项式，此选项不符合题意； B、含加法运算，是多项式，不是单项式，此选项不符合题意； C、分母含字母，是分式，不是单项式，此选项不符合题意； D、中是常数，是单独的数，属于单项式，此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（2024·上海闵行区·期中）下列说法正确的是（   ） A．2不是单项式 B．是一次式 C．的一次项系数是1 D．是单项式 【答案】B 【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了单项式和多项式的定义，单项式系数和次数，多项式的次数，需注意：单独的一个数或字母也是代数式，也是单项式，系数应包含完整的数字因数．根据单项式系数、次数的定义来求解即可． 【详解】解：A、2是单项式，故A错误，不符合题意； B、是一次式，故B正确，符合题意； C、的一次项系数是，故C错误，不符合题意； D、是多项式，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·安徽淮南区·期末）下列说法中正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是6 C．是单项式 D．是二次三项式 【答案】D 【知识点】多项式的判断、单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】依次分析每个选项，根据单项式的系数、次数，多项式的项数、次数的定义来判断对错即可． 本题主要考查了单项式的系数、次数，多项式的项数、次数的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键． 【详解】解：的系数是，故A选项错误，不符合题意． 的次数是，故B选项错误，不符合题意． ，是多项式，故C选项错误，不符合题意． 有三项，最高次项是，次数为，是二次三项式，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】（23-24七年级上·上海浦东新区·期中）下列说法中错误的是（    ） A．0是单项式 B．的系数是3 C．是四次单项式 D．是三次三项式 【答案】B 【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了单项式的定义、单项式的系数、单项式的次数、多项式的项数和次数等基本概念．根据单项式的定义、单项式的系数、单项式的次数、多项式的项数和次数进行判断即可得解． 【详解】解：A、0是单项式，故本选项不符合题意； B、的系数是，故本选项符合题意； C、是四次单项式，故本选项不符合题意； D、是三次三项式，故本选项不符合题意． 故选：B． 题型二、单项式的系数、次数（必考基础） 【典例1】（2024·上海浦东新区·期中）代数式的系数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 【变式1】（2024·上海普陀区·期中）单项式次数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的次数，掌握单项式次数为所有字母的指数和是解题的关键．根据单项式次数的定义即可求解． 【详解】解：单项式次数是， 故选：B． 【变式2】（2024·上海松江区·期中）单项式的系数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的系数，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数． 根据单项式系数的定义来解答，单项式中数字因数叫做单项式的系数． 【详解】解：由题意可得的系数是． 故答案为：． 【变式3】（2024·上海宝山区·期中）整式是 次单项式． 【答案】5 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式的次数为所有字母指数之和进行解答即可． 【详解】解：是次单项式， 故答案为：5． 【变式4】（2024·上海宝山区·期中）单项式的次数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的次数的概念，根据单项式的次数是所有字母指数的和进行计算即可，熟记单项式的次数的概念是解决此题的关键． 【详解】解：此单项式的次数为：， 故答案为：． 题型三、写出满足某些特征的单项式（易错） 【典例1】（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨区·期中）写一个系数是，次数是4次的单项式： . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，解题的关键在于熟知单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数． 根据单项式的相关定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的单项式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（23-24七年级上·陕西咸阳区·期末）系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 【答案】，． 【知识点】写出满足某些特征的单项式、单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式，根据单项式的系数、次数，可得答案． 【详解】解：系数为，只含字母的三次单项式有2个， 它们是，， 故答案为：，． 【变式2】请写出一个系数为2，次数是3，且只含有a，b两个字母的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查单项式的系数和次数，根据单项式的系数为单项式的数字因数，次数为所有字母的指数和，进行作答即可． 【详解】解：由题意，单项式可以为； 故答案为：（答案不唯一）． 题型四、单项式规律题（拉分） 【典例1】观察下列关于a的单项式，探究其规律：，，，，，…，按照上述规律，第2020个单项式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查了单项式的规律探究，熟练掌握通过分析系数和次数的变化找规律的方法是解题的关键．先分析所给单项式的系数和次数规律，再根据规律求出第2020个单项式． 【详解】解：∵所给单项式的系数依次为，是从2开始的连续偶数，第个单项式的系数为； 次数依次为，第个单项式中的次数为． ∴第2020个单项式的系数为，的次数为2020，即第2020个单项式是． 故选：D． 【变式1】按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给单项式，发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．观察所给单项式的系数及次数，发现规律：第个单项式的系数为；第个单项式的次数为，即可解决问题． 【详解】解：根据前几项单项式排列可知：各单项式的系数可表示为：，，，，，， 各单项式字母的部分规律为：． 第个单项式是． 故选：A． 【变式2】已知，，，，，…请你根据以上规律写出第2024个式子是 ． 【答案】/ 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查的是单项式规律探索，根据题意找出规律，根据此规律进行解答是解答此题的关键．根据题意找出规律为当n为奇数时，第n个单项式为；当n为偶数时，第n个单项式为；根据此规律即可得出结论． 【详解】解：已知，，，，，…， 根据以上规律第2024个式子是， 故答案为：． 题型五、添去括号（易错） 去括号时注意两点： (1)去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉； (2)去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 【典例5】下列去括号正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题考查去括号．解题的关键是掌握去括号的方法：去括号时，若括号前是“”， 去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”， 去括号后，括号里的各项都改变符号．据此进行解答即可． 【详解】解：A. ，故选项错误，不合题意； B. ，故选项错误，不合题意； C. ，故选项错误，不合题意；     D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 【变式1】下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题考查了去括号，属于基础题目，熟练掌握去括号的法则是解题的关键． 根据去括号的法则逐项判断即得答案． 【详解】解：A、，故本选项变形错误，不符合题意； B、，故本选项变形错误，不符合题意； C、，故本选项变形错误，不符合题意； D、，故本选项变形正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】计算：. 分析：式子包含中、小括号，可按由里到外或由外向里的顺序去括号. 解：解法1. 解法2. 方法：去多重括号的方法 去多重括号时，可按由里到外（先小括号，再中括号，最后大括号）或由外向里（先大括号，再中括号，最后小括号）的顺序. 题型六 同类项的判断（基础必考） 对于同类项的概念的理解，要抓住两个相同和两个无关. (1)两个相同：①所含字母相同；②相同字母的指数相同.两者缺一不可. (2)两个无关：①同类项与系数大小无关；②同类项与它们所含相同字母的顺序无关. 【典例6】下列各组式中，不是同类项的为（    ） A．和 B．和 C． 和 D．和 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】考查同类项的概念，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的概念即可求解． 【详解】解：A. 和是同类项，故该选项不符合题意；     B. 和是同类项，故该选项不符合题意；     C. 和是同类项，故该选项不符合题意；     D. 和，所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】下列各组中的两项，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义，理解同类项的定义是解题关键．根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，逐项判断即可． 【详解】解：A、与，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，符合题意； B、与，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，不符合题意； C、与，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，不符合题意； D、与是同类项，不符合题意； 故选：A 【变式2】下列各式中是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．a和b 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，几个常数项也是同类项．同类项与字母的顺序无关，与系数无关．根据同类项的定义逐项进行判定即可． 【详解】解：A．和所含字母不相同，不是同类项，此选项不符合题意； B．和所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，此选项不符合题意； C．和所含字母相同，字母的指数也相同，是同类项，此选项符合题意； D．a与b所含字母不相同，不是同类项，此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列各式是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同．根据同类项的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 与所含字母不同，不是同类项； B．与所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项； C．与12都是常数，是同类项； D． 与所含字母不相同，不是同类项． 故选C 【变式4】下列各单项式中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同类项定义逐项判断即可． 【详解】A、与，相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项符合题意； B、与，是同类项，故本选项不符合题意； C、与，都是常数项，是同类项，故本选项不符合题意； D、与，是同类项，故本选项不符合题意． 故选：A． 题型七、合并同类项（基础必考） (1)若两个同类项的系数互为相反数，合并后结果为. (2)合并同类项时，只有同类项能合并，非同类项不能合并且不能遗漏. (3)合并后结果可为单项式或整式. (4)合并依据是乘法分配律，数的运算律适用于整式，变形时整式值不变. (5)合并后系数若为带分数，要化为假分数. 【典例7】（2024·上海虹口区·期中）合并同类项： ． 【答案】/ 【知识点】合并同类项 【分析】该题主要考查了合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项法则． 根据合并同类项法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（2024·上海崇明区·期中）合并同类项： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】（2024·上海松江区·期中）合并同类项： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 合并同类项求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 题型八、已知同类项求指数中字母或代数式的值（易错） 【典例8】已知单项式与单项式是同类项，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，因此，两个单项式中对应字母的指数必须相等，由此可求出、的值，从而得出的值. 【详解】解：∵单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴，， ∴. 故选：C． 【变式1】若单项式与单项式的和还是单项式，则的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义． 根据同类项的定义可知，，进而可求出的值． 【详解】解：∵单项式与单项式的和还是单项式， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式2】（2024·上海浦东新区·期中）若与的和是单项式，则 ． 【答案】 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查同类项的定义，掌握所含字母相同，相同字母的指数也相同的几个单项式为同类项是解题关键．根据题意可知两个单项式为同类项，由此可求得m，n的值，再代入计算即可． 【详解】解：与的和是单项式， 与的是同类项， ，， ， 故答案为：． 题型九、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列（易错） 【典例9】多项式是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【答案】C 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式降幂，升幂排列的定义． 根据降幂排序和升幂排列的定义进行解答即可． 【详解】解：多项式是按y的升幂排列． 故选：C 【变式1】多项式按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式，各项以和的形式组成多项式（有时加号省略不写），所以在升幂或降幂排列时，各项要保持自己原有的符号．根据升幂排列的定义，将多项式的各项按照x的指数从小到大排列起来． 【详解】解∶多 项式按x的升幂排列为， 故选∶C． 【变式2】将按字母的降幂排列： ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式的排列，解题的关键是识别每项中字母a的指数，并注意符号的正确性．按照字a的指数从大到小排列即可，排列时需保持原式中各项的符号不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 题型十、整式的加减运算（易错） 【题型10】（2024·上海崇明区·期中）比少的整式是 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据题意列出关系式，去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 【变式1】（2024·上海宝山区·期中）一个多项式与的和是，那么 ． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据题意可得，据此根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：一个多项式与的和是， ． 故答案为：． 【变式2】（2024·上海奉贤区·期中）已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，根据这个多项式与的差，进行列式求解，即可解题． 【详解】解：这个多项式是， 故答案为：． 【变式3】（2024·上海宝山区·期中）多项式 减去多项式的差是 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减，根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【变式4】（2024·上海松江区·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型十一、整式的加减中的化简求值（拉分） 化简求值问题的解题方法 化简求值时，先化简，再代入计算；若未给字母值但给式子值，可将式子看作整体，把多项式化为含已知式子的代数式后代入求值（运用整体代换思想简化问题） 【典例11】（2024·上海宝山区·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握“去括号，合并同类项的法则”是解本题的关键． 先去小括号，再去中括号，再合并同类项可得化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减的化简求值；从内往外依次去括号，再合并同类项，最后代值计算即可．注意每去一层括号，要合并同类项后，再去括号，减少运算量． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 【变式2】（2024·上海浦东新区·期中）已知：，求，并求当时的值． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查整式化简求值，掌握整式的加减运算法则是关键．根据整式的加减运算化简，再代入求值即可求解． 【详解】解：由题意，得： 则 当． 【变式3】（2024·上海虹口·阶段练习）已知整式，，当时，求： 【答案】186 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算出，再代入，，根据整式的加减计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 当时，原式． 【变式4】（整体思想）已知，，求的值. 分析：字母关系明确但不易求字母值时，用整体代换思想代入化简后的整式求值. 解析：. 将，代入，得原式. 题型十一、整式加减中的无关型问题 含字母系数的整式的加减运算 (1)先进行整式加减运算，合并同类项； (2)列方程：①不含某一项，该项系数为0；②与某字母无关，含该字母的项的系数为0；③恒为定值，所有含字母的项的系数均为0. 【典例11】（2024·上海闵行区·期中）若整式不含项，则 ． 【答案】/ 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】此题考查了整式的加减，多项式合并得到结果，根据结果不含项得，即可确定出的值． 【详解】解：原式， 由结果中不含项，得到， 则． 故答案为：． 【变式1】（2024·上海宝山区·期中）如果多项式与的和中不含项，则的值为 ． 【答案】/0.5 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查的是整式的加减运算中与某项无关，掌握“与某项无关则合并同类项后某项的系数为”是解本题的关键.先把含的同类项合并，再利用含项的系数为，从而可得答案. 【详解】解： 多项式与的和中不含项， 解得： 故答案为： 【变式2】（2024·上海黄浦区·期中）已知整式，整式，且的结果中不含的一次项，求值． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减运算中的无关项问题，根据题意先计算，再根据题意令的一次项系数为，即可求解． 【详解】解：∵整式，整式， ∴ ， ∵的结果中不含的一次项， ∴， 解得：． 题型十二、带有字母的绝对值化简问题（拉分） 【典例12】已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（     ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【知识点】整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键． 根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解：由数轴可知，且， ∴ 则 ． 故选：D． 【变式1】（19-20七年级上·山东德州·阶段练习）若a、b、c是有理数，，且a，b同号，b，c异号，求的值． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的加减运算，解题的关键是根据a、b同号，b、c异号的条件确定a、b、c的具体取值． 先根据绝对值的性质得出a、b、c的可能值；再依据a与b同号、b与c异号的关系，分情况确定a、b、c的具体数值；最后将数值代入代数式（即计算出结果． 【详解】解：∵ ∴ 又∵a、b同号，b、c异号 当时， 则 当时， 则 答：的值为或． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春区·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 【答案】(1)<，<，<，> (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、合并同类项、带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴上数的大小关系，绝对值的性质及化简计算． （1）当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此逐项判断即可； （2）根据绝对值的含义和求法，化简即可． 【详解】（1）解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得： ，，，． 故答案为：<，<，<，>． （2）解：∵从数轴可知：，，，， ∴原式 ． 题型十三、整式加减运算的应用（拉分） 【典例12】（2024·上海宝山区·期中）在计算整式的值过程中，的取值比原来扩大，的取值比原来缩小，则该整式的值（    ） A．比原来扩大 B．比原来缩小 C．比原来扩大 D．比原来缩小 【答案】D 【知识点】整式的加减运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了整式的加减及乘法运算，根据题意列出代数式计算即可判断求解，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴该整式的值比原来缩小． 故选：． 【变式1】（2024·上海闵行区·期中）如果都是关于的单项式，且是一个八次单项式，是一个五次多项式，那么的次数（   ）． A．一定是五次 B．一定是八次 C．一定是三次 D．无法确定 【答案】A 【知识点】计算单项式乘单项式、合并同类项、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了整式的加减，单项式乘单项式，利用单项式乘单项式，单项式的加减运算来判断即可． 【详解】解：是一个八次单项式， ∴单项式、次数之和是， ∵是一个五次多项式， ∴单项式、有一个是五次单项式， 单项式、一个是五次单项式，一个是三次单项式， ∴的次数是五次． 故选：A． 【变式2】（2024·上海奉贤区·期中）已知 ， 且恒成立，则 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的运算，以及解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据整式的加减进行整理，得出关于x的方程，解方程可得x的值． 【详解】解：因为， 且恒成立， 所以 ， 故答案为：． 【变式3】（2024·上海虹口·阶段练习）如果A、B都是关于x的单项式，且是一个九次单项式，是一个五次整式，那么是一个 次整式． 【答案】五 【知识点】整式的加减运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了整式的加减计算，单项式乘以单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式，整式的加减运算． 利用单项式乘单项式，整式的加减运算法则来判断即可． 【详解】解：∵A、B都是关于x的单项式，且是一个九次单项式，是一个五次多项式， ∴单项式A、B一个是五次单项式，一个是四次单项式， ∴的次数是五次． 故答案为：五． 【变式4】（2024·上海杨浦区·期中）有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．例如：，经过处理器得到，若，是关于的二次多项式，若是经过处理器得到的整式，满足， ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了新定义运算，多项式的定义，一元一次方程，根据题意列出一次多项式是解题的关键．根据题意进行计算即可求解；根据题意得，又，根据是关于的二次多项式，得出，进而即可求解． 【详解】解：由整理得到： ， ∴ 则关于的方程， ∴， ∴， 解得：， ∵是关于的二次多项式 ∴， ∴符合题意， ∴． 故答案为： 【变式5】（2024·上海杨浦区·期中）小杰准备完成题目“求整式：■与整式：的差”，发现系数“■”印刷不清楚． (1)他把“■”猜成，求与的差； (2)小明说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．请通过计算说明原题中的“■”是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． （1）原式去括号、合并同类项即可得； （2）设“■”是，将看作常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为，据此得出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：设“■”是， 则原式 ， ∵标准答案的结果是常数， ∴， 解得：． 原题中的“■”是． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列代数式中不是单项式的是（   ） A．m B． C． D． 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的识别，解题的关键是掌握单项式的定义． 利用单项式的定义逐项进行判断即可，即单项式是数与字母或字母与字母的积，单个的数与单个的字母也是单项式． 【详解】解：A.该选项是单项式，不符合题意； B. 该选项不是单项式，符合题意； C. 该选项是单项式，不符合题意； D. 该选项是单项式，不符合题意； 故选：B． 2.（2024·上海杨浦区·期中）下列说法错误的是（    ） A．的次数是3 B．的常数项是 C．是二次二项式 D．是按的升幂排列的 【答案】D 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 【详解】解：A．的次数是3，正确； B．的常数项是，正确； C．是二次二项式，正确；     D．是按的升幂排列的，故原说法不正确； 故选D． 3.一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查了单项式的概念和单项式的次数的概念，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，根据单项式系数、次数的定义来求解即可． 【详解】解：∵单项式满足∶①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母 ∴满足单项式的条件如：， 故答案为：． 4.计算：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】根据整式的加减，合并同类项计算即可． 本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 5.（2024·上海宝山区·期中）化简得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，先去括，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 6.（2024·上海黄浦区·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 先去括号，再合并即可． 【详解】解： ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.观察下列单项式：，，，，，… 按此规律，第个单项式是 ，第个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字因数和字母的指数的变化特点，写出相应的单项式． 根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可写出第n个单项式，从而可以写出第2025个单项式． 【详解】解：∵一列单项式：，，，，，… ∴第n个单项式为：， 当时，这个单项式是， 故答案为：，． 2.（2024·上海闵行区·期中）如果与的和是单项式，那么 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、合并同类项、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出、的值，再代入计算即可．解题的关键是掌握同类项的概念． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 3.（2024·上海杨浦区·期中）如图1，把一个长为、宽为的长方形（），沿虚线剪开，将其与阴影部分所表示的小正方形一起拼接成如图2所示的正方形，则下列说法错误的是（    ） A．图1所示的长方形周长 B．图2所示的大正方形方形周长 C．图2阴影部分所表示的小正方形边长 D．图2空白部分的周长 【答案】C 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，正方形的判定和性质，拼图的几何意义，熟练掌握拼图的意义是解题的关键． 设小正方形的边长为x，则剪下的小长方形的长为n，宽为x，较大长方形的另一边为，结合图2，大长方形的长为，阴影部分的宽为，上端来自剪下的大长方形宽为，根据矩形的性质，正方形的判定和性质，计算判断即可． 【详解】解：设小正方形的边长为x，则剪下的小长方形的长为n，宽为x，较大正方形的边长为，结合图2，大正方形的长为或， ∴， ∴， 图1所示的长方形周长，故A选项正确，不符合题意； ， 图2所示的大正方形方形周长，故B选项正确，不符合题意； 图2阴影部分所表示的小正方形边长，故C选项错误，符合题意； 图2空白部分的周长，故D选项正确，不符合题意； 故选C． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.小杰准备完成题目：化简，发现系数“■”印刷不清楚． (1)他把“■”猜成3，请你化简； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是常数”．通过计算说明原题中的“■”是多少？ 【答案】(1) (2)4 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）设“■”是，然后去括号，合并同类项得出原式，再根据标准答案是常数，得出，求出a即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设“■”是， 则原式 ． 因为标准答案是常数， 所以， 解得． 故原题中的“■”是4． 2.【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，当，则x的值为 ； （2）当 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米，A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装总成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装总成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或4；（2），7；（3）实验室P建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义即可得解； （2）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和，当时，距离之和最小，化简即可； （3）A、B、C在数轴上分别表示，1，3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低． 【详解】（1）由题可知式子在数轴上的几何意义数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； ∵表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离， ∴表示数轴上x到的距离加上x到3的距离等于7， ∵， ∴表示有理数x的点一定在表示有理数的点的左侧或表示有理数3的点右侧， 当表示有理数x的点一定在表示有理数的点的左侧时，， 解得：； 当表示有理数x的点一定在表示有理数3的点的右侧时，， 解得：； 综上，或4； （2）∵表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和， ∴当时，的值最小，且最小值为： ； （3）设市民广场O为原点，建立数轴，实验室P所对应的数为x，A、B、C在数轴上分别表示，1，3， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人， ∴运输距离为：， ∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点分别与表示有理数的点，与表示有理数1的点，与表示有理数3的点之间的距离的和， ∴由（2）得，在之间才能取最小值，最小值为： ， 核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份， ∴此时最低成本为12元， 即实验室P建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $