吉林省吉林市永吉实验高级中学等学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

2026届高三友好学校第一次联合考试数学试题 一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，·只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合1={<x<头，集合B={lg(x+1)s2头，则UB=(：) A.{1<x<3 B.{x≤3 C.{-1<x<3} D.{1<xs3} 2.已知ana=2, 则sina-cosx sina+3cosa 2-3 A C. 3.已知角&的终边经过点 Sin Sr ,cos 5π 则tana=（ 6 6 A.-3 B.5 3 4.若a,b均为实数，则e>e“”是“lna>nb”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5药数倒-(-子 cosx的图象大致为() 6.若函数f(x)=anx+二一x既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围为() A.(0,23) B.（o,-2v5jU(2W5,+o) C.（-0,-2W5） D.2W5,t∞） ,已知=-cosx小e=引c=分》则ab,e的大小关系为) A.c<b<a B.c<a<b <c<b D.b<c<a CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP [xInx,x>0 8.已知函数)产仁r-2x+lxs0函数g()-[/(-(a-0/(-a.则下列 结论正确的是() A若a<-,则8(y)恰有2个零点 .e B.若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是 C.若g(x)恰有3个零点，则a的取值范围是[0,1) D.若1≤a<2,则g(x)恰有4个零点 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的 得0分. 9.为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进 行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度℃随时间1的变化而变化，甲、乙两人服用该药 物后，血管中药物浓度随时间1变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（) ◆cng/mL) …3 0 t(h) A.在马时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B.在12时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬树变化率相同、。ב·！： C.在2,4]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D.在，马]和2,4]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同： I0.已知函数/)=Asin(or+p)4>0,w>0m< 的 部分图像如图所示，则() A.I(r)=3sin2x 3 0+, B.fx)的图像关于点 任+0k∈Z对称 、2”6 C.fx)的图像关于直线x= kπ5n 212k∈Z☑对称 D.函数为偶函数 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP logzx,0<x<2 11.已知函数f(x)= m名r+引2s≤12若存在实数a使得方程/四=0有四 个互不相等的实数根，分别为，x2,,x4,且1<x2<x3<x4,则下列说法正 确的有（) A.0<as B.2x+x2≥2V2 c.八2 +上+1+上的取值范围为 0、 1262+92 2x 55’6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm,则此扇形的面积为 cm2 为奇函数，则b= 14.已知函数fx)=(exa)Inx-b)x-a,a,b∈R,若f(x)20恒成立， 则a-2b的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 sin(x+a)(a-) 15.已知a,B为锐角，且 3 sin(-a)sin(3x-a)cos (1)求2sina+cosa的值： (2)若cos(c+)=行，求snB的值. 16.色知函数f(x)x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f)处的切线方 程为y=3x+1 (1)求a,b的值； (2)求y=f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值， CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.设区间A是函数y=f(x)定义域内的一个子集，若存在x。∈A,使得 f()=成立，则称是f(x)的一个“不动点”，也称f(x)在区间上存在不 动点，例如g(x)=2x-1的不动点”满足g(x)=2x-1=x,即g(x)的“不动点” 是x=1. 设函数f(x)=log,(4+a2--6)，x∈[1,2]. (1)若a=4,求函数f(x)的不动点： (2)若函数f(x)在[，2]上不存在不动点，求实数a的取值范围. 18已知函数f=2sn-引m+}25cow气x-}-5 (1)求函数f(x)的单调递增区间： 2若商数8似-/2a在区间0]上恰有3个零点5西传<5<） (i)求实数a的取值范围： (i)求sin(2x+x2-3)的值， 19.已知函数f()=alhx+分-(a+)x(a>0) (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设函数g(x)=(3-)x-f(x)有两个极值点x,(:<), ①求a的取值范围；· ②证明：8()+8(：)<10-lna CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 2026届高三有好学校第一次联合考试数学答案 1、D 2、B 3、A 4、B 5、B 6、D 7、C 8、D 9、ＡＣ 10、ABC 11、ABD 12、3π 13、 -1 14、 1 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（ 13分）已知为锐角，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行化简即可； （2）根据（1）的结论，结合两角差的正弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 ， . ...........................................................4分 . 又为锐角， ，......................................6分 ；.................................................7分 【小问2详解】 由（1）可知， .....................8分 ，且为锐角， ， ....................10分 ..........11分 ....................13分 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为 （1）求a，b的值； （2）求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为13，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义列方程组求解 （2）由导数分析单调性后求解 【小问1详解】 依题意可知点为切点，代入切线方程可得.....2分 ∴，即， .......................... 3分 又由得，， 而由切线的斜率可知 ∴，即，..........................................5分 由，解得.........................................................................7分 【小问2详解】 由（1）知 ， 令，得或，..................................9分 当x变化时，，的变化情况如下表： x 2 0 0 ＋ 13 单调递减 单调递增 13 ............................................................14分 ∴最大值为13，最小值为 ..............................15分 不列表得有求单调区间和比较大小的过程，否则扣分 17. 设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，. （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围. 【答案】（1）不动点为1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“不动点”定义，令，结合指数方程的解法求不动点； （2）问题化为在上无解，令，，进一步有在区间上无解，右侧构造函数求值域，结合对数函数性质列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由“不动点”定义知：当时，，.......2分 所以，则或（舍去），所以， 所以函数在上的不动点为1 .......................................5分 【小问2详解】 根据已知，得在上无解， 所以在上无解，令，，......7分 所以，即在上无解，............8分 所以在上无解， .................9分 设，在上单调递增，故 ......10分 所以或，可得或， .........12分 又在上恒成立， 所以在上恒成立，则，则................14分 综上，实数的取值范围是. ...................................................15分 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有个零点， （i）求实数取值范围； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得到；根据正弦型函数单调性的求法可求得单调递增区间； （2）（i）令，将问题转化为与在上恰有个不同的交点，利用数形结合的方式即可求得的取值范围； （ii）由（i）中图像可确定，，由此可得，整理可得，由两角和差正弦公式可求得的值，即为所求结果. 【小问1详解】 ； .......................4分 令，解得：， 的单调递增区间为. ..........................6分. 【小问2详解】 （i）由（1）得：， 当时，， ..............................8分 设，则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点； ..............................9分 作出在上的图像如下图所示， ...................10分 由图像可知：当时，与恰有个不同的交点， 实数的取值范围为； ..............................11分 （ii）设与的个不同的交点分别为， 则，，， 即， ...........13分 整理可得：，， ........15分 . ............................17分 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个极值点， ①求a 的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出定义域，再求导，根据确定或，再对进行分类讨论，讨论求出函数的单调性； （2）对求导，结合的极值点个数得到在上有两个不等实根，得到，，，表达出，只需证，构造，，研究其单调性，求出，由对勾函数的单调性证明出结论. 【小问1详解】 定义域为，且 ，......1分 令得，或， ........................ ①当时，与，，单调递增， ，，单调递减， ................2分 ②当时，，在单调递增， .....3分 ③当时，与，，单调递增， ，，单调递减， ..............4分 综上，当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间，上单调递增，在区间单调递减； ..............................................................5分 【小问2详解】 ①由已知，， 则，....................6分 函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根， 令，只需，故，.............9分 ②又，， ...........................10分 所以 ， ............11分 要证，即证， 只需证， ..................................12分. 令，， 则， ................13分 令，则恒成立， 所以在上单调递减， 又，，...............14分 由零点存在性定理得，使得， 即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 则， ......................................................................15分 ∵由对勾函数知在上单调递增， ∴，...............16分 ∴，即，得证．...............17分 【点睛】隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 学科网（北京）股份有限公司 $