专题01 三角形（必备知识+19题型+分层测试）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题01 三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的有关概念 能准确描述三角形各部分名称，明确三角 形的定义. 基础必考点，常出现在小题 三角形的分类 能根据角或边的特征，正确对三角形进行 分类. 基础考点，易因混淆分类标准而出错，常在选择题中出现. 三角形的内角和定理 理解并能灵活运用三角形内角和为180°，以及直角三角形两锐角互余等推论进行角度的计算或证明. 核心考点，贯穿三角形角度相关题目，在计算、 证明题中出现频率较高. 三角形三边关系 掌握三角形的三边关系，并运用此类关系 判断三条线段能否组成三角形，求线段的 取值范围.. 重要考点，一般以选择填空题的形式考查，是 解决三角形相关问题的基础. 全等三角形的性质与判定 熟练运用全等三角形的判定和性质，解决计算或证明问题. 期中必考点，选择填空和中等难度题型均可 能出现. 利用全等三角形测距离 利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系. 基础考点，选择填空和解答题都可能会考查，题目通常会给出一些已知条件，如角度、边长等，要求考生通过构造全等三角形来求解未知距离. 知识点01 三角形的有关概念 ★1、三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. ★2、三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. ★3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形. 如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC， 读作“三角形ABC”. 知识点02 三角形的内角和定理 ★1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . ★2、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 知识点03 三角形的分类 ★三角形可以按内角的大小进行 知识点04 直角三角形 ★1、直角所对的边称为直角三角形的斜边；夹直角的两条边称为直角边. 常用符号“Rt△ABC”来表示“直角三角形ABC ”. ★2、直角三角形的两个锐角互余. 知识点05三角形的三边关系 ★三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 知识点06 三角形的高、中线与角平分线 ★一、三角形的高 ◆1、三角形的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． ◆2、三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. ◆3、三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点， 在三角形外. ★二、三角形的中线 ◆1、三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. ◆2、三角形的重心： 三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如右图中的点O)，重心在三角形内部. ★三、三角形的角平分线 ◆1、三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. ◆2、三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 知识点07 全等图形 全等图形的概念： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【注意】全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关，因此平移、翻折、旋转前后的图形全等． 知识点08 全等三角形 1、全等形的有关概念和表示方法： （1）全等三角形： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示． 全等的表示方法：△ABC≌△FDE 【注意】在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （3）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． （4）寻找对应元素的规律 ①有公共边的，公共边一般是对应边； ②有公共角的，公共角一般是对应角； ③有对顶角的，对顶角一般是对应角； ④两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； ⑤两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角. 2、三种常见的全等类型： （1）平移型；（2）翻折型；（3）旋转型. 全等变化：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等． 知识点09 全等三角形的性质 性质1：全等三角形的对应边相等． 性质2：全等三角形的对应角相等． 拓展：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等． ②全等三角形的周长相等，面积相等． 【注意】 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点10 全等三角形的判定方法 ★★利用“SSS”判定两个三角形全等 文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). ★★利用“SAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). 3、方法： （1）已知两边，可以找“夹角”； （2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边. 【注意】1. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 2. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. 3. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. ★★利用“ASA”判定两个三角形全等 1、文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 2、几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (ASA). ★★利用“AAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (AAS). 3、“ASA”与“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边. 把夹边相等写在两角相等的中间. 由三角形内角和定理可知，“ASA”与“AAS”可以互相转化. AAS “S”是两角的夹边. 把两角相等写在一起，边相等放在最后. 知识点11 利用三角形全等测距离 ★1、当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离;当两点之间不能直接到达时，可以构造全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量． ★2、通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法： （1）构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形； （2）构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形； （3）构造三边对应相等的两个全等三角形． ★3、总结：利用三角形全等来设计测量方案:首先根据已有的条件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法;然后，在测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏地 测量到位”． 题型一 三角形的有关概念 解｜题｜技｜巧 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【典例1】下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【变式2】如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 题型二 三角形的内角和定理 解｜题｜技｜巧 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决. 【典例1】如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，，，，求的度数． 题型三 三角形的分类 解｜题｜技｜巧 三角形按三个内角的大小，可将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 【典例1】 是一个三角形的三个内角，且，那么这个三角形一定是（    ）三角形． A．钝角 B．直角 C．锐角 【变式1】下列命题不正确的是（   ） A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 B．三角形中至少有两个内角是锐角 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形中至少有一个角小于等于 【变式2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 题型四 直角三角形的性质 解｜题｜技｜巧 直角三角形的两个锐角互余，有时要与三角形的内角和定理相结合，反过来两个锐角互余的三角形是直角三角形.. 【典例1】将直角三角板（含）和直尺按如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，于点C，是的平分线，若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝50°，则∠2的度数为 °． 题型五 三角形的三边关系 解｜题｜技｜巧 1.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 2.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，容易忽略． 【典例1】如图，为了估计池塘两岸A、B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A、B间的距离不可能是（    ） A．7米 B．8.8米 C．15.5米 D．26米 【变式1】如果三角形的两边长分别为3和5，那么周长l的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】已知的三边长分别为a，b，c，其中． (1)求边长c的取值范围． (2)化简：． 题六 与三角形中线有关的计算 解｜题｜技｜巧 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形． 【典例1】如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【变式1】如图，是的中线，，的周长比的周长大，则 ． 【变式2】是边上的中线，E，F是上的点，的面积是9，阴影部分的面积是 ． 题型七 与三角形高有关的计算 解｜题｜技｜巧 与三角形的高有关的计算有时结合三角形的内角和求角度，有时与三角形的面积建立关系，用到面积法． 【典例1】在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，则 ． 【变式2】如图，是的边上的高，平分，若，求的度数． 题型八 与三角形的角平分线有关的计算 解｜题｜技｜巧 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 【典例1】如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，，是高，是中线，是角 平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（    ） ①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【变式2】如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ； (2)若，求和的度数． 题型九 利用全等三角形的性质求角度 解｜题｜技｜巧 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中角的对应关系，再由这种关系实现已知角和未知角之间的转换，从而求出所要求的角的读数等． 【典例1】如图，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，与交于点O，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，△ABC≌△ADE，AC与DE相交于点F，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）若AD平分∠BAC，求∠BAD的度数； （2）若AC⊥DE，求∠DAC的度数． 题型十 利用全等三角形的性质求线段长 解｜题｜技｜巧 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中边的对应关系，再由这种关系实现已知线段和未知线段之间的转换，从而求出所要求的线段的长等． 【典例1】如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．12 D．6 【变式1】如图，，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 题型十一 利用全等三角形的性质证明 解｜题｜技｜巧 利用全等三角形的性质证明线段、角的数量关系的方法是先根据全等三角形的性质，得到线段、对应角相等，然后根据等量关系将已知线段、角进行等量代换，再结合图形利用线段、角的和、差、倍、分关系进行计算、证明，此外，要注意挖掘图形中隐含的条件. 【典例1】如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【变式1】如图，已知△ABF≌△CDE． （1）若∠B＝35°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数； （2）求证：AE＝CF． 【变式2】如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且． (1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角． (2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由． 题型十二 利用SSS证明全等 解｜题｜技｜巧 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 【典例1】如图，，．求证：． 【变式1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【变式2】如图，已知在和中，，求证： (1)； (2)． 题型十三 利用SAS证明全等 解｜题｜技｜巧 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. （1）已知两边，可以找“夹角”； （2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边． 【典例1】如图，点A，F，C，D在同一直线上，BC∥EF，AF＝DC，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF． 【变式1】如图，已知点是线段上一点，，，是上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2】如图，已知，． 求证：(1)； (2)． 题型十四 利用ASA证明全等 解｜题｜技｜巧 有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 【典例1】已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC⊥CD，DE⊥AC于点E，AB＝CE，求证：△ABC≌△CED． 【变式1】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．求证：△AEC≌△BED． 【变式2】如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE． 题型十五 利用AAS证明 解｜题｜技｜巧 两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 【典例1】已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【变式1】如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点B作， 与的垂线交于点E．求证：． 【变式2】已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E， 于D．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型十六 添加条件使三角形全等 解｜题｜技｜巧 添加条件使三角形全等，注意两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备 SSA 时一般是不能判定三角形全等的． 【典例1】如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，有如下条件：①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式2】如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请 从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 题型十七 全等三角形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 三角形的全等判定与性质的综合应用主要是用来探究线段、角之间的数量，因此可利用全等三角形的性质解决问题． 【典例1】如图，已知CA＝CB，AD＝BD，M、N分别是CA、CB的中点，求证：DM＝DN． 【变式1】已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分． 【变式1】 如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 题型十八 利用全等测量距离 解｜题｜技｜巧 全等三角形在实际问题中的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【典例1】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置CD垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A．15cm B．30cm C．40cm D．45cm 【变式1】如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可在河的一侧取AB的垂线BM上两点C，D，使BC＝CD，再画出BM的垂线DE，使E在AC的延长线上，若BD＝10m，DE＝12m，CE＝13m，则A，B两点的距离是（　　） A．5m B．10m C．12m D．13m 【变式2】某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出BC的长度，如果不能，请你说明理由． 题型十九 三角形全等的综合题 解｜题｜技｜巧 三角形全等的综合题主要是利用全等三角形的性质与判定以及其它知识的综合，有时需要添加辅助线构造全等三角形． 【典例1】如图所示，BD、CE是△ABC高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB． （1）判断：∠1 　 ∠2（用“＞”、“＜”、“＝”填空）； （2）探究：PA与AQ之间的关系； （3）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，试探究PA与AQ之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 【变式1】 已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【变式2】如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知， ． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可能是（      ） A． B． C． D． 2．如图， 在中，，点D在上， 则在中，边上的高是 （     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．、和是一个三角形的三个内角．如果，那么这个三角形一定是（    ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 4．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　） A．12 B．7 C．2 D．14 6．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接AO，并延长到点C，使OC＝OA，连接图1BO，并延长到点D，使OD＝OB；③连接DC，测量DC的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF＝OB，OE＝OA；③连接EF，测量EF的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 7．如图， 在中， 已知点D， E分别为的中点，， 且的面积为16，则的面积为 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，，平分，交于点B，点E在上，平分，交的延长线于点D，且，下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．为的中线，为的高，的面积为，，，则的长为 ． 11．如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 12．如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？ 13．如图，已知，C为上一点，为上一点，为两平行线间一点，连接，． (1)求证：； (2)若平分，交延长线于点，且，求的度数． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 14．“8字”的性质及应用： (1)如图1，相交于点O，得到一个“8字”，求证：． (2)如（1）中方式，图2中共有“8字”、“8字”_____和“8字”______． (3)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明：． 15．如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 16．如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． (1)求证：； (2)与有何位置关系？请说明理由． 17．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 18．在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的有关概念 能准确描述三角形各部分名称，明确三角 形的定义. 基础必考点，常出现在小题 三角形的分类 能根据角或边的特征，正确对三角形进行 分类. 基础考点，易因混淆分类标准而出错，常在选择题中出现. 三角形的内角和定理 理解并能灵活运用三角形内角和为180°，以及直角三角形两锐角互余等推论进行角度的计算或证明. 核心考点，贯穿三角形角度相关题目，在计算、 证明题中出现频率较高. 三角形三边关系 掌握三角形的三边关系，并运用此类关系 判断三条线段能否组成三角形，求线段的 取值范围.. 重要考点，一般以选择填空题的形式考查，是 解决三角形相关问题的基础. 全等三角形的性质与判定 熟练运用全等三角形的判定和性质，解决计算或证明问题. 期中必考点，选择填空和中等难度题型均可 能出现. 利用全等三角形测距离 利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系. 基础考点，选择填空和解答题都可能会考查，题目通常会给出一些已知条件，如角度、边长等，要求考生通过构造全等三角形来求解未知距离. 知识点01 三角形的有关概念 ★1、三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. ★2、三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. ★3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形. 如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC， 读作“三角形ABC”. 知识点02 三角形的内角和定理 ★1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . ★2、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 知识点03 三角形的分类 ★三角形可以按内角的大小进行 知识点04 直角三角形 ★1、直角所对的边称为直角三角形的斜边；夹直角的两条边称为直角边. 常用符号“Rt△ABC”来表示“直角三角形ABC ”. ★2、直角三角形的两个锐角互余. 知识点05三角形的三边关系 ★三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 知识点06 三角形的高、中线与角平分线 ★一、三角形的高 ◆1、三角形的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． ◆2、三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. ◆3、三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点， 在三角形外. ★二、三角形的中线 ◆1、三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. ◆2、三角形的重心： 三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如右图中的点O)，重心在三角形内部. ★三、三角形的角平分线 ◆1、三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. ◆2、三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 知识点07 全等图形 全等图形的概念： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【注意】全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关，因此平移、翻折、旋转前后的图形全等． 知识点08 全等三角形 1、全等形的有关概念和表示方法： （1）全等三角形： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示． 全等的表示方法：△ABC≌△FDE 【注意】在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （3）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． （4）寻找对应元素的规律 ①有公共边的，公共边一般是对应边； ②有公共角的，公共角一般是对应角； ③有对顶角的，对顶角一般是对应角； ④两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； ⑤两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角. 2、三种常见的全等类型： （1）平移型；（2）翻折型；（3）旋转型. 全等变化：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等． 知识点09 全等三角形的性质 性质1：全等三角形的对应边相等． 性质2：全等三角形的对应角相等． 拓展：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等． ②全等三角形的周长相等，面积相等． 【注意】 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点10 全等三角形的判定方法 ★★利用“SSS”判定两个三角形全等 文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). ★★利用“SAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). 3、方法： （1）已知两边，可以找“夹角”； （2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边. 【注意】1. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 2. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. 3. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. ★★利用“ASA”判定两个三角形全等 1、文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 2、几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (ASA). ★★利用“AAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (AAS). 3、“ASA”与“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边. 把夹边相等写在两角相等的中间. 由三角形内角和定理可知，“ASA”与“AAS”可以互相转化. AAS “S”是两角的夹边. 把两角相等写在一起，边相等放在最后. 知识点11 利用三角形全等测距离 ★1、当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离;当两点之间不能直接到达时，可以构造全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量． ★2、通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法： （1）构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形； （2）构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形； （3）构造三边对应相等的两个全等三角形． ★3、总结：利用三角形全等来设计测量方案:首先根据已有的条件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法;然后，在测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏地 测量到位”． 题型一 三角形的有关概念 解｜题｜技｜巧 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【典例1】下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1】下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形及与三角形有关的概念，掌握这些概念是解题的关键；根据三角形及其相关概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误； ②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确； 故正确的只有④， 故选：D． 【变式2】如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查三角形的个数问题，三角形的边、角，根据三角形的有关概念逐项求解即可． 【详解】解：图中有8个三角形，分别为：，，； 其中以为边的三角形有：； 以为内角的三角形有：； 在中，的对角是：；的对边是：； 故答案为：8；；；；． 题型二 三角形的内角和定理 解｜题｜技｜巧 根据“三角形三个内角的和等于180° ”来求三角形中求角的问题，有时要用到方程的思想来解决. 【典例1】如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的概念，先由，得，再运用，代数进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ 故选：D． 【变式1】如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，先求出，再利用翻折变换的性质求出，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 沿向内折叠得到， ，，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 【变式2】如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理． 先根据可知，再由三角形外角的性质求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ，                   ， ， ，     ， ． 题型三 三角形的分类 解｜题｜技｜巧 三角形按三个内角的大小，可将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 【典例1】 是一个三角形的三个内角，且，那么这个三角形一定是（    ）三角形． A．钝角 B．直角 C．锐角 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形的分类．解题的关键是利用三角形内角和为，结合已知角的关系求出最大角的度数，进而判断三角形类型． 根据三角形内角和定理可知；结合已知，通过等量代换求出，从而确定三角形为直角三角形． 【详解】解：∵三角形三个内角的和为， ∴． 又∵， ∴，即． 解得． ∴这个三角形一定是直角三角形， 故选：B． 【变式1】下列命题不正确的是（   ） A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 B．三角形中至少有两个内角是锐角 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形中至少有一个角小于等于 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类及定义，关键是确定锐角的个数及特殊角． 根据三角形的分类及定义，三角形分为锐角．直角和钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角其余两角是锐角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角其余两角是锐角的三角形是钝角三角形． 【详解】对于A，锐角三角形中，任意两个内角之和都大于，选项说法正确，不符合题意； 对于B，三角形中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意； 对于C，由定义三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故C说法错误，符合题意； 对于D，三角形中至少有一个角小于等于，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 题型四 直角三角形的性质 解｜题｜技｜巧 直角三角形的两个锐角互余，有时要与三角形的内角和定理相结合，反过来两个锐角互余的三角形是直角三角形.. 【典例1】将直角三角板（含）和直尺按如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余以及平行线的性质是解题的关键． 先由直角三角形两锐角互余得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式1】如图，在中，于点C，是的平分线，若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线定义和直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余得，由角平分线定义得，根据直角三角形两锐角互余得． 【详解】解：在中，即，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝50°，则∠2的度数为 °． 【答案】110 【分析】根据三角形外角和内角的关系，先求出∠3的度数，再利用平行线的性质，求出∠2． 【详解】解：如图所示，∵∠1＝∠ADE＝50°， ∠3＝∠A+∠ADE ＝50°+60° ＝110°． ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝110°． 故答案为：110°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理和平行线的性质，准确计算是解题的关键． 题型五 三角形的三边关系 解｜题｜技｜巧 1.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 2.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，容易忽略． 【典例1】如图，为了估计池塘两岸A、B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A、B间的距离不可能是（    ） A．7米 B．8.8米 C．15.5米 D．26米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边.连接，在中，，可得的范围，然后对照选项即可. 【详解】解：∵米，米 ∴由三角形三边关系定理得： ∴ ∴选项D的距离是不可能的. 故选D. 【变式1】如果三角形的两边长分别为3和5，那么周长l的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形边之间的关系是解题的关键． 先根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，然后再求其周长的取值范围即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系得：第三边大于，且小于． 则周长的取值范围是，即． 故选：C． 【变式2】已知的三边长分别为a，b，c，其中． (1)求边长c的取值范围． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ∵， ∴， ∴． （2）由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∴ ． 题六 与三角形中线有关的计算 解｜题｜技｜巧 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形． 【典例1】如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了利用三角形的中线求线段，熟练掌握三角形的中线等分线段是解题的关键． 根据三角形的中线等分线段得到，，，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，是的中线，，的周长比的周长大，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的概念，熟记三角形的中线与一边的交点平分这条边是解题的关键；借助三角形周长公式以及中线的概念(三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线)得到线段与之间的关系即，从而问题得以解决. 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，，， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】是边上的中线，E，F是上的点，的面积是9，阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质． 利用三角形中线的性质确定三角形面积的数量关系即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 题型七 与三角形高有关的计算 解｜题｜技｜巧 与三角形的高有关的计算有时结合三角形的内角和求角度，有时与三角形的面积建立关系，用到面积法． 【典例1】在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高，根据三角形高的定义即可求解．熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 【详解】解：过点作（或延长线）的垂线段，垂足为，则垂线段为的边上的高，由图可知，选项符合，其他选项不符合． 故选：． 【变式1】如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，熟练掌握三角形的中线平分面积是解题的关键．根据三角形的中线平分面积得到，利用三角形的面积公式，列出等式进行计算即可． 【详解】解：∵在中，为中线， ∴， ∵和分别为和的高， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4． 【变式2】如图，是的边上的高，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题利用了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质求解． 由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故． 【详解】解：∵中，， ∴． ∵平分， ∴． ∵是边上的高， ∴． ∴． ∴． ∴． 题型八 与三角形的角平分线有关的计算 解｜题｜技｜巧 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 【典例1】如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平 分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（    ） ①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高以及角的相关性质与运算，同时还考查了等积法． 解题的关键在于对三角形相关知识的熟练掌握与灵活应用． 【详解】① 是的中线， ， 的周长， 的周长， 的周长的周长， 故①说法正确； ②在中，， ， ， ， 又 ，，，是角平分线， ， ， 故②说法不正确； ③ ，是的高， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 故③说法正确； ④ ，是的高， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 故④说法正确； ⑤ ，，，，是的高， ， ， ， 故⑤说法错误． ①③④说法正确． 故选：D． 【变式2】如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形的三线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积即可得出结果； （2）高线得到，三角形的内角和定理求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12， 故答案为：； （2）解：∵是的高， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 题型九 利用全等三角形的性质求角度 解｜题｜技｜巧 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中角的对应关系，再由这种关系实现已知角和未知角之间的转换，从而求出所要求的角的读数等． 【典例1】如图，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，再根据角的和差即可求出的度数． 【详解】解：， ， ∵， ． 故选：A． 【变式1】如图，与交于点O，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，即可得出结果，找准对应角是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 【变式2】如图，△ABC≌△ADE，AC与DE相交于点F，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）若AD平分∠BAC，求∠BAD的度数； （2）若AC⊥DE，求∠DAC的度数． 【分析】（1）由三角形的内角和定理可求∠BAC＝70°，由角平分线的性质可求解； （2）全等三角形的性质可得∠B＝∠D＝50°，由三角形内角和定理可求∠DAC的度数． 【详解】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝35°； （2）∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠D＝50°， ∵AC⊥DE， ∴∠DFC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣50°＝40°． 题型十 利用全等三角形的性质求线段长 解｜题｜技｜巧 先利用全等三角形的性质确定两个三角形中边的对应关系，再由这种关系实现已知线段和未知线段之间的转换，从而求出所要求的线段的长等． 【典例1】如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出，，结合计算即可得解． 【详解】解：∵点在上，点在上，， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式1】如图，，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，准确计算是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等可得到，然后根据线段关系求出，即可求出． 【详解】解： 由图可知， 即，解得： 故选：B． 【变式2】如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十一 利用全等三角形的性质证明 解｜题｜技｜巧 利用全等三角形的性质证明线段、角的数量关系的方法是先根据全等三角形的性质，得到线段、对应角相等，然后根据等量关系将已知线段、角进行等量代换，再结合图形利用线段、角的和、差、倍、分关系进行计算、证明，此外，要注意挖掘图形中隐含的条件. 【典例1】如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质、线段的和差、平行线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差计算即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再由平行线的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，已知△ABF≌△CDE． （1）若∠B＝35°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数； （2）求证：AE＝CF． 【分析】（1）由全等三角形的性质可得∠B＝∠D＝35°，再结合三角形的外角的性质可得答案； （2）由全等三角形的性质证明∠B＝∠D，AB＝CD，BF＝DE，可得BE＝DF，再证明△ABE≌△CDF，从而可得结论． 【详解】解：（1）∵△ABF≌△CDE，∠B＝35°， ∴∠B＝∠D＝35°， ∵∠DCF＝40°， ∴∠EFC＝∠D+∠DCF＝35°+40°＝75°； （2）∵△ABF≌△CDE， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，BF＝DE， ∴BF﹣EF＝DE﹣EF， ∴BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF． 【变式2】如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且． (1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角． (2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，对应边：与与与；对应角：与与与 (2)垂直，见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键： （1）根据全等三角形的定义，以及全等三角形的性质，进行作答即可； （2）延长交于点，根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：； ∵绕着点B旋转（顺时针）到， ∴， ∴对应边为：与与与； 对应角为：与与与； （2）直线与相互垂直，理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相互垂直． 题型十二 利用SSS证明全等 解｜题｜技｜巧 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 【典例1】如图，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 【变式1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式2】如图，已知在和中，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定（SSS）与性质，解题的关键是通过线段和差得到全等所需的边，再利用全等性质推导角相等． （1）通过推导出，结合三组对边相等，用“”证三角形全等． （2）利用全等三角形对应角相等，得出． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中，， ∴（） （2）证明：∵， 题型十三 利用SAS证明全等 解｜题｜技｜巧 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. （1）已知两边，可以找“夹角”； （2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边． 【典例1】如图，点A，F，C，D在同一直线上，BC∥EF，AF＝DC，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF． 【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，结合题意利用SAS证明△ABC≌△DEF即可． 【详解】证明：∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵AF＝CD， ∴AF+FC＝DF+FC， 即AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式1】如图，已知点是线段上一点，，，是上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ． 【变式2】如图，已知，． 求证：(1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线的性质得，从而利用判定； （2）根据全等三角形的性质得，由等角的补角相等可得，再由平行线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ． 题型十四 利用ASA证明全等 解｜题｜技｜巧 有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 【典例1】已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC⊥CD，DE⊥AC于点E，AB＝CE，求证：△ABC≌△CED． 【分析】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论． 【详解】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°， ∴∠DEC＝∠B＝90°， ∵BC⊥CD， ∴CD∥AB， ∴∠A＝∠DCE， 在△CED和△ABC中， ， ∴△CED≌△ABC（ASA）． 【变式1】已知：如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．求证：△AEC≌△BED． 【分析】由∠1＝∠2，得到∠AEC＝∠BED，又∠A＝∠B，AE＝BE，由ASA即可证明△AEC≌△BED． 【详解】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． 【变式2】如图，点C是线段AB的中点，∠B＝∠ACD，AD∥CE．求证：△ACD≌△CBE． 【分析】由已知条件得到AC＝CB，∠A＝∠BCE，根据三角形全等的判定定理ASA可证得△ACD≌△CBE． 【详解】证明：∵点C是AB的中点， ∴AC＝CB， ∵AD∥CE， ∴∠A＝∠BCE， 在△ACD和△CBE中， ∴△ACD≌△CBE（ASA）． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）． 题型十五 利用AAS证明 解｜题｜技｜巧 两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 【典例1】已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 【变式1】如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点B作， 与的垂线交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 由题意得，，利用等量代换得，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用判定三角形全等是解题的关键． （1）由得出，再根据可知，即，再运用定理可得出，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据（1）中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 题型十六 添加条件使三角形全等 解｜题｜技｜巧 添加条件使三角形全等，注意两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备 SSA 时一般是不能判定三角形全等的． 【典例1】如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，已知，，满足一边一角相等，根据全等三角形判定定理逐项判断即可． 【详解】解：和中，，， A．添加，依据不能判定，符合题意； B．添加，依据能判定，不合题意； C．添加，依据能判定，不合题意； D．添加，依据能判定，不合题意； 故选A． 【变式1】如图，，有如下条件：①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)②或③或④，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：选择②或③或④ ∵， ∴， ∴， 选择②， ∵，， ∴； 选择③， ∵，， ∴； 选择④， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：②或③或④； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． 【变式2】如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请 从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选①，理由见解析 【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等；分别添加三个条件中的1个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：选①，理由如下： ， ， 即． 在和中， ， ； 选②不能得到结论， 选③：理由如下： 在和中， ， . 题型十七 全等三角形的性质与判定的综合 解｜题｜技｜巧 三角形的全等判定与性质的综合应用主要是用来探究线段、角之间的数量，因此可利用全等三角形的性质解决问题． 【典例1】如图，已知CA＝CB，AD＝BD，M、N分别是CA、CB的中点，求证：DM＝DN． 【分析】连接CD．由△ACD≌△BCD，推出∠ACD＝∠BCD，再证明△CDM≌△CDN即可． 【详解】证明：连接CD． 在△ACD和△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵CMAC，CNCB，CA＝CB， ∴CM＝CN， 在△CDM和△CDN中， ， ∴△CDM≌△CDN， ∴DM＝DN． 【变式1】已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分． 【分析】先证△ABE≌△DFC得∠B＝∠D，再证△ABO≌△COD，根据全等三角形的性质即可证明AC与BD互相平分． 【详解】证明：∵BF＝DE， ∴BF﹣EF＝DE﹣EF 即BE＝DF， 在△ABE和△DFC中， ∴△ABE≌△DFC（SSS）， ∴∠B＝∠D． 在△ABO和△CDO中， ∴△ABO≌△CDO（AAS）， ∴AO＝CO，BO＝DO， 即AC与BD互相平分． 【变式1】 如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，    ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2）解：如图：在上截取，连接．   平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 题型十八 利用全等测量距离 解｜题｜技｜巧 全等三角形在实际问题中的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【典例1】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置CD垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A．15cm B．30cm C．40cm D．45cm 【答案】D． 【分析】过点O作OG⊥地面于点G，则OG＝60cm，证明△ABO≌△FEO（AAS），得出AB＝EF＝15cm，即可推出结果． 【详解】解：如图，过点O作OG⊥地面于点G，则OG＝60cm， 由题意可知，∠ABO＝∠FEO，∠AOB＝∠FOC，AO＝FO， ∴△ABO≌△FEO（AAS）， ∴AB＝EF＝15cm， ∴嘉离地面的高度是OG﹣EF＝60﹣15＝45（cm）， 故选：D． 【变式1】如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可在河的一侧取AB的垂线BM上两点C，D，使BC＝CD，再画出BM的垂线DE，使E在AC的延长线上，若BD＝10m，DE＝12m，CE＝13m，则A，B两点的距离是（　　） A．5m B．10m C．12m D．13m 【答案】C． 【分析】直接利用已知结合得出△ABC≌△EDC（ASA），进而得出A，B两点的距离． 【详解】解：∵BD＝DC，BD＝10m， ∴DC＝BC＝5m， ∵AB⊥BC，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝DE＝12m． 故选：C． 【变式2】某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出BC的长度，如果不能，请你说明理由． 【分析】根据中点定义求出OA＝OB，OC＝OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】解：∵O是AB、CD的中点， ∴OA＝OB，OC＝OD， 在△AOD和△BOC中，， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴CB＝AD， ∵AD＝30cm， ∴CB＝30cm． 题型十九 三角形全等的综合题 解｜题｜技｜巧 三角形全等的综合题主要是利用全等三角形的性质与判定以及其它知识的综合，有时需要添加辅助线构造全等三角形． 【典例1】如图所示，BD、CE是△ABC高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB． （1）判断：∠1 　 ∠2（用“＞”、“＜”、“＝”填空）； （2）探究：PA与AQ之间的关系； （3）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，试探究PA与AQ之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 【分析】（1）根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到答案； （2）由条件可得出∠1＝∠2，可证得△APB≌△QAC，可得结论； （3）根据题意画出图形，结合（1）可证得△APB≌△QAC，可得结论． 【详解】解：（1）设CE、BD交于F， ∵BD、CE是△ABC高， ∴∠BEF＝∠CDF＝90°， ∵∠BFE＝∠CFD， ∴∠1＝180°﹣∠BEF﹣∠BFE＝90°﹣∠BFE，∠2＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝90°﹣∠CDF， ∴∠1＝∠2； 故答案为：＝； （2）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ， 证明：∵BD、CE是△ABC的高， ∴BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△QAC和△APB中， ， ∴△QAC≌△APB（SAS）， ∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P， 而∠DAP+∠P＝90°， ∴∠DAP+∠QAC＝90°， 即∠QAP＝90°， ∴AQ⊥AP； 即AP＝AQ，AP⊥AQ； （3）上述结论成立，理由如下： 如图所示： ∵BD、CE是△ABC的高， ∴BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°， ∵∠CAE＝∠DAB， ∴∠1＝∠2， 在△QAC和△APB中， ， ∴△QAC≌△APB（SAS）， ∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P， ∵∠PDA＝90°， ∴∠P+∠PAD＝90°， ∴∠QAC+∠PAD＝90°， ∴∠QAP＝90°， ∴AQ⊥AP， 即AP＝AQ，AP⊥AQ． 【变式1】 已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 【变式2】如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知， ． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．一个三角形的两边长分别是和，则第三边长可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边长的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，第三边长， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 2．如图， 在中，，点D在上， 则在中，边上的高是 （     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高线的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线）进行判断即可，正确理解三角形高线的定义是解决问题的关键． 【详解】解：在中，边上的高是线段， 故选：． 3．、和是一个三角形的三个内角．如果，那么这个三角形一定是（    ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形的分类．解题的关键是利用三角形内角和为，结合已知角的关系求出最大角的度数，进而判断三角形类型． 根据三角形内角和定理可知；结合已知，通过等量代换求出，从而确定三角形为直角三角形． 【详解】解：∵三角形三个内角的和为， ∴． 又∵， ∴将替换为，得，即． 解得． 有一个角是直角的三角形是直角三角形． A、锐角三角形三个角都小于，此选项不符合题意； B、直角三角形有一个角是，此选项符合题意； C、钝角三角形有一个角大于，此选项不符合题意； D、可确定为直角三角形，此选项不符合题意． 故选：B． 4．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A、和分别是和的对边，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 故选：A． 5．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　） A．12 B．7 C．2 D．14 【答案】A． 【分析】由全等三角形的性质得到AC＝DC＝7，CB＝CE＝5，再根据BD＝DC+CB即可得解． 【详解】解：∵△ABC≌△DEC， ∴AC＝DC，CB＝CE， ∵CE＝5，AC＝7， ∴CB＝5，DC＝7， ∴BD＝DC+CB＝7+5＝12． 故选：A． 6．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接AO，并延长到点C，使OC＝OA，连接图1BO，并延长到点D，使OD＝OB；③连接DC，测量DC的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF＝OB，OE＝OA；③连接EF，测量EF的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：方案Ⅰ：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB＝CD； 方案Ⅱ：在△AOB与△EOF中， ， ∴△AOB≌△EOF（SAS）， ∴AB＝EF， 故选：D． 7．如图， 在中， 已知点D， E分别为的中点，， 且的面积为16，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质．掌握中线能够把三角形的面积等分是解题的关键． 由点D是的中点，可得，由E是的中点，得出，，得，再利用，即可求出． 【详解】∵点D是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 9．如图，，平分，交于点B，点E在上，平分，交的延长线于点D，且，下列结论：①平分；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理，由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可得，再由等角的余角相等即可得出，即可判断①；证明即可判断②；由三角形内角和定理即可判断③；不一定为，即不一定成立，即可判断④；连接、，由平行线的性质即可判断⑤；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ∵，，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵不一定为， ∴不一定成立，故④错误； 连接、， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②③⑤，共个， 故选：C． 10．为的中线，为的高，的面积为，，，则的长为 ． 【答案】4或8/8或4 【分析】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．利用面积法求出，即可求得，再分在内部和外部，求出即可． 【详解】解：为的高，的面积为12，， ， ∴， ∵为的中线， ∴， 当在内部时，如图所示： ∵， ∴； 当在外部时，如图所示： ∵， ∴； 综上分析可知：的长为4或8． 故答案为：4或8． 11．如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握三角形的角平分线和中线的定义． （1）由直角三角形的性质求出，由角平分线的定义得到，由三角形的外角性质得到； （2）由三角形的中线定义得到，因此与的周长之差． 【详解】（1）解：是的高， ， ∴， 是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ， ∴ ， 与的周长之差为． 12．如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？ 【答案】(1)见解析 (2)为直角 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，再结合，即可得证； （2）由平行线的性质结合全等三角形的性质可得，再结合平角的定义求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即当满足为直角时，． 13．如图，已知，C为上一点，为上一点，为两平行线间一点，连接，． (1)求证：； (2)若平分，交延长线于点，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质得出，结合可得出，然后根据平行线的判定即可得证； （2）过A作，根据平行线的传递性可得，然后根据平行线的性质以及角的和差关系可得出，设，根据角平分线的定义可求出，然后在中，根据三角形的内角和定理构造关于x的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过A作， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， 设，则， 由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 14．“8字”的性质及应用： (1)如图1，相交于点O，得到一个“8字”，求证：． (2)如（1）中方式，图2中共有“8字”、“8字”_____和“8字”______． (3)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义． （1）利用三角形的内角和定理解决问题即可； （2）根据“8字”的定义即可解决问题； （3）利用（1）中结论解决问题即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． （2）如（1）中方式，图2中共有“8字”、“8字”和“8字”． 故答案为． （3）证明：∵，， ∵和的平分线相交于点E， ， ∴， ∴． 15．如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴ , ， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 16．如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． (1)求证：； (2)与有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键． （1）根据证明即可； （2）利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 如图，交于点O，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若是高，，求的度数； (3)若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差为：，再根据中线定义得，以及，即可得出答案； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】（1）解：的周长为：， 的周长为：， 与的周长差为：， 是的中线， ， 又，， ， 即与的周长差为：1． 故答案为：1． （2）解：是的平分线，， ， 是的高， ， ； （3）解：在中，， ， 是的平分线，是平分线， ，， ， ． 18．在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见详解 【分析】（1）通过构造辅助线的方式证明和全等，得到，，从而推导，再证明和全等得到，最终通过已知条件转化线段关系得到； （2）通过构造辅助线的方式先得出，再证明和全等，得到，，随后证明和全等，得到，最终根据条件转化可得到． 【详解】（1）解：延长到点G，使，连接， ∵, ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． （2）解：仍然成立． 理由：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $