专题3.5 指数运算与指数函数60道计算题专项训练（6大题型）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题3.5 指数运算与指数函数 60道计算题专项训练（6大题型） 题型一 根式的化简求值 题型二 指数幂的运算 题型三 指数幂的化简、求值 题型四 求指数型复合函数的值域 题型五 根据指数函数的值域或最值求参数定义域 题型六 求已知指数型函数的最值 【经典计算题一 根式的化简求值】 1．（2024高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）对分奇数和偶数两种情况讨论，结合根式的运算化简可得结果； （2）利用根式的性质化简可得结果. 【详解】（1）解：因为，当为奇数且时，， 当为偶数且时，. 综上所述，； （2）解：，则，故. 2．（23-24高一·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1)-2 (2) (3) (4) 【分析】根据根式与分数指数幂的转化化简求值即可. 【详解】（1） （2） （3） （4）原式， 当时，原式； 当时，原式． 因此，原式 3．（2024高一·上海·专题练习）化简下列式子： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】由平方差公式、完全平方式，利用根式的化简即可求解. 【详解】(1)原式 (2) ∴由平方根的定义得： (3)， . 4．（2024高一·上海·专题练习）计算：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解； （2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式. 【详解】（1） =+- = =||+||-|| =+-（） =2 （2） = = = 5．（23-24高一·全国·课后作业）根据已知条件求下列值： （1）已知x＝，y＝，求－的值； （2）已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）对所求式式进行分母有理化，然后代入求值即可； （2）根据一元二次方程的根与系数关系，结合正数的平方的算术平方根是该正数本身的性质进行求解即可. 【详解】解（1） 将x＝，y＝代入上式得：原式＝＝＝＝； （2）∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，∴， ∵a>b>0，∴， ＝＝＝＝， ∴＝＝. 【点睛】本题考查了二次根式的有关计算，考查数学运算能力. 6．（23-24高一·全国·课后作业）化简(1) (x＜π，n∈N*)； (2). 【答案】（1）答案见解析（2）. 【分析】（1）对分类讨论即可； （2）根据根式的运算法则及性质计算即可. 【详解】(1)∵x＜π，∴x－π＜0. 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上可知， (2)∵a≤， ∴1－2a≥0， ∴＝＝＝. 【点睛】本题主要考查了根式的意义及其运算性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 7．（23-24高一·上海·课后作业）化简：（1）；          （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由于，所以直接开方可得结果； （2）由于，所以直接开方化简即可 【详解】（1）原式 ． （2）原式=， ∵， ∴， 所以，原式＝． 【点睛】此题考查了二次根式的化简，属于中档题. 8．（2024高一·上海·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围. 【答案】[-3，3] 【分析】由成立，即可得出，解得即可． 【详解】， 要使|成立， 需解得a∈[-3，3]． 【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．（23-24高一·全国·课后作业）已知是方程的两根，且求的值． 【答案】 【分析】由已知中a，b是方程x2﹣6x+4=0的两根，且a＞b＞0，结合韦达定理可得a+b=6，ab=4，a﹣b=2，进而将分母有理化可得答案． 【详解】∵a，b是方程x2﹣6x+4=0的两根，且a＞b＞0， ∴a+b=6，ab=4， ∴a﹣b==2， ∴==== 【点睛】本题考查了根式的化简问题，考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题. 10．（2024高一·安徽黄山·学业考试）（1）已知，求的值． （2）已知是方程的一个根，试求的值. 【答案】(1);(2). 【分析】（1）先判断出的符号，对所求表达式分母有理化后进行通分，代入已知条件求得化简结果.（2）根据是方程的根得到关于的方程，化简后代入所要求值的表达式，进而求得表达式的值. 【详解】（1）、同号 又, = = = = （2）是方程的一个根， 既， =+= 【经典计算题二 指数幂的运算 】 11．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）计算 (1); (2) (3) (4) 【答案】(1)27 (2)4 (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） . 12．（2023高一上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)； 【答案】(1)12 (2) (3) (4)100 【分析】（1）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果； （2）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果； （3）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果； （4）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） （2） （3）原式 （4）原式== 13．（22-23高一·全国·随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】结合有理指数幂的运算法则和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】（1）根据指数幂的运算法则，可得： . （2）根据指数幂的运算法则，可得. 14．（22-23高一·全国·随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据有理指数幂的运算法则和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】（1）解：根据指数幂的运算法则，可得. （2）解：根据指数幂的运算法则，可得. （3）解：根据指数幂的运算法则，可得. （4）解：根据指数幂的运算法则，可得. （5）解：根据指数幂的运算法则，可得. （6）解：根据指数幂的运算法则，可得. （7）解：根据指数幂的运算法则，可得. （8）解：根据指数幂的运算法则，可得. 15．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数． （1）计算；；的值； （2）结合（1）的结果，试从中归纳出函数的一般结论，并证明这个结论； （3）求的值． 【答案】（1）1；1；1；（2）对任意实数都有，证明见解析；（3）1010. 【分析】（1）直接根据解析式计算即可；（2）观察（1）中式子得出一般规律，再代入计算即可验证；（3）通过观察结论式，对所求式首尾配凑即可. 【详解】（1）； ； ． （2）对任意实数都有． 证明：由得：． （3）由（2）知，，倒序相加得： ． 16．（23-24高一上·江苏无锡·期中）（1）求值: （2）已知. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由指数幂的运算法则直接计算即可； （2）由可求出，再利用即可求出. 【详解】（1）原式 ； （2）， ， 又，， . 【点睛】本题考查指数幂的运算，考查完全平方公式和立方和公式的应用，属于基础题. 17．（24-25高一上·贵州·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）由平方可求出，再平方即可求出，利用可求出，再由即得结果. 【详解】（1）原式 （2）由，得 ∴， ∴ 即， . 【点睛】本题考查指数的相关计算，属于基础题. 18．（23-24高一上·浙江·阶段练习）（1） （2）已知，计算f（1）+ f（2）+ f（3）+ f（4）+ f（）+ f（）+ f（）的值 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用指数幂运算化简即可； （2）先发现，再计算结果即可. 【详解】（1） (2) 因为，所以，故，， 故f（1）+ f（2）+ f（3）+ f（4）+ f（）+ f（）+ f（）= f（1）+ f（2）+ f（）+ f（3）+ f（）+ f（4）+ f（）=+1+1+1= 【点睛】本题考查了指数幂运算的化简和函数求值问题，属于基础题. 19．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）设函数，则: （1）证明：； （2）计算：. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接化简，即可得到答案，化简过程一定要细心，避免出现计算错误；（2）利用（1）中的结论，结合倒序相加法可求得的值. 【详解】（1）证明：， . （2）设， 则， 两式相加得，则 . 20．（23-24高一·吉林·阶段练习）已知 （1）求的值 （2）求 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)利用分数指数幂的性质可得，，进而求解； (2)整理变形，据此可得. 【详解】（1） 因为，所以， ， 所以； （2）因为， 所以， 所以 【经典计算题三 指数幂的化简、求值】 21．（24-25高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用完全平方公式进行求值 （3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）． （2）由，所以． （3）因为，所以， 则， 所以． 22．（22-23高一上·湖南长沙·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） 1；（2） 【分析】根据指数幂的运算法则，进行化简计算即可； 【详解】（1） . （2）因为， 所以， 所以， 所以． 23．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由得，进而根据分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）由，得， 则． （2）因为，则， 则． 24．（24-25高一上·安徽·期中）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】根据题意，由指数幂的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）由题意可知，所以， ， 因为，所以，所以， 所以. 25．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①；     ② 【答案】（1）；（2）①；②. 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）①②根据给定条件，利用指数幂的运算性质计算即得. 【详解】（1） . （2）①由，两边平方得，则， 而，则， 所以； ②由①知，，， 所以. 26．（24-25高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 【答案】(1)19 (2)6 【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）利用根式的性质和分数指数幂的运算性质化简式子，再代值计算即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，，所以原式. 27．（2024高一·全国·专题练习）化简并求值． (1)若，，求的值； (2)设，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数的幂的运算可得答案； （2）由，构造出，再由幂的运算法则可得答案. 【详解】（1）原式 ． 当，时， 原式； （2）因为，所以， 所以． 所以． 28．（23-24高一上·浙江·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接由分数指数幂与根式互换运算，结合0次幂、二次根式的化简即可求解. （2）首先利用公式法因式分解，然后代入运算即可求解. 【详解】（1）. （2）， 又， 所以 . 29．（24-25高一·全国·课后作业）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）110；（2）a . 【分析】结合已知条件利用指数幂的运算法则即可求解. 【详解】（1）原式 ． (2)原式 ． 30．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）将带分数化为假分数，小数化为分数，利用根式的运算性质化简计算即可； （2）分和两种情况讨论，利用根式的运算性质化简计算即可； （3）将二次根式中被开方数化为完全平方的形式，利用根式的性质化简计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式. 当时，原式； 当时，原式. 因此，原式； （3）原式 【点睛】本题考查根式的化简计算，熟练利用根式的性质是关键，考查计算能力，属于中等题. 【经典计算题四 求指数型复合函数的值域】 31．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数（且）的图象经过点． (1)求的值； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入即可求出值； （2）求出，再根据指数函数值域即可得到答案. 【详解】（1）因为的图象经过点， 则，又且，所以． （2）当时，，则， 因为，所以在上单调递增， 则，即， 所以的值域为． 32．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)（，且）． 【答案】(1) (2) (3) (4)答案见解析 【分析】利用具体定义域的求法，结合指数函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 故的定义域为. （2）因为， 所以， 故的定义域为. （3）因为， 所以， 故的定义域为. （4）因为， 所以，即， 当时，得，则的定义域为； 当时，得，则的定义域为； 综上：当时，的定义域为； 当时，的定义域为. 33．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)； (4) (5) (6) 【答案】(1)定义域为R，值域为 (2)定义域为R，值域为 (3)定义域为R，值域为 (4)定义域为，值域为 (5)定义域为，值域为 (6)定义域为，值域为 【分析】根据指数函数的图象及性质，得到定义域和值域. 【详解】（1）的定义域为R，值域为； （2）的定义域为R，值域为； （3）的定义域为R，值域为； （4）中分母不等于0，故的定义域为， 由于，故，又，故值域为； （5）中分母不等于0，故， 的定义域为， 由于，故，又， 的值域为 （6）中中分母不等式0，故， 的定义域为， 由于，故，又， 故的值域为. 34．（22-23高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知函数是指数函数. (1)求实数的值； (2)已知，，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）令，，求出函数在上的最大值和最小值，即可得出函数的值域. 【详解】（1）解：由题意可得，解得. （2）解：由（1）可得，因为，令，， 令，则，， 因此，函数的值域为. 35．（22-23高一上·四川成都·期中）（1）求的定义域； （2）求的值域. 【答案】（1）或或；（2） 【分析】（1）先根据题意列出关于x的不等式组，解之即可求得的定义域； （2）利用换元法及指数函数的单调性即可求得的值域. 【详解】（1）要使函数有意义，必须 ，解之得或或 则的定义域为或或； （2）的定义域为R 令，则， 令，则在上单调递增， 则，故的值域为. 36．（22-23高一上·浙江温州·期中）已知函数，． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析； (2). 【分析】（1）根据单调性的定义，结合函数解析式，即可证明函数单调性； （2）令，先求内层函数的值域，再求外层函数的值域即可. 【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下： 证明：，且， 有， 由，得，所以， 又由，得， 于是，即， 所以，函数在区间上单调递增． （2）因为， 令，则 ， 又在区间上是单调递增函数， 故函数的值域为， 即函数的值域为． 37．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)证明：函数是奇函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出在上的值域，再利用换元法结合二次函数的性质即可得解； （2）证明即可. 【详解】（1）当时，，则， 令， 则， 所以当时，的值域为； （2），定义域为， 因为 ， 所以， 所以函数是奇函数． 38．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知定义在上的函数． (1)已知当时，函数在上的最大值为8，求实数的值； (2)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）运用换元法，结合指数函数的单调性、二次函数最值性质进行求解即可； （2）运用题中定义，结合常变最分离法、指数幂的运算性质、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）令，则：， 设， 由题意，在上的最大值为8， 因为，二次函数开口向上， 因此有，或， 由不成立， 由； （2）根据局部对称函数的定义可知，， 即， ， ， 令， 则， 因为，当且仅当，时等号成立， 函数在区间上单调递增，所以， 所以，所以的取值范围是． 【点睛】关键点睛：本题的关键是运用常变量分离法、运用指数幂的运算性质、利用基本不等式进行求解. 39．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的性质即可得解； （2）利用二次函数的性质与指数函数的性质，结合复合函数的单调性即可得解. 【详解】（1）由于，则， 故的值域为. （2）当时，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， 则，又为减函数， 所以的值域为，即. 40．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）已知函数. (1)当时，利用单调性定义证明在上单调递增； (2)若存在，使，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取，则，，，，，得到证明. （2）考虑，，三种情况，得到，，解得答案. 【详解】（1）取，则， ，故，，故，，， 故，即，函数单调递增. （2），故，即， 当时，，不成立； 当时，不成立； 当时，，，故，故，解得， 综上所述： 【经典计算题五 根据指数函数的值域或最值求参数定义域】 41．（23-24高一·江西宜春·期中）已知函数f（x）=﹣+3（﹣1≤x≤2）． （1）若λ=时，求函数f（x）的值域； （2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值． 【答案】（1）;（2）． 【详解】试题分析：（1）首先根据指数运算法则，将，，然后将原式进行换元，设，得g（t）=t2﹣3 t+3（），转化为二次函数求值域问题；（2）根据上一问，，讨论对称轴和定义域的关系，分，，和三种情况讨论最小值，求． 试题解析：解答：（1）（﹣1≤x≤2） 设，得g（t）=t2﹣2λt+3（） 当时，（）． 所以，． 所以，， 故函数f（x）的值域为[，]． （2）由（1）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（） ①当时，， 令，得，不符合舍去； ②当时，， 令﹣λ2+3=1，得，或，不符合舍去； ③当λ＞2时，g（t）min=g（2）=﹣4λ+7， 令﹣4λ+7=1，得，不符合舍去． 综上所述，实数λ的值为． 考点：二次函数求最值 42．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的值域为可计算出的值； （2）根据二次函数的对称轴以及开口方向，分类讨论时函数的最小值，由此可求结果. 【详解】（1）因为的值域为，所以的值域为， 由条件可知，. （2）图象的对称轴为且开口向上， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，在上单调递增，所以， 所以. 43．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数在上的值域为． (1)求a，b的值； (2)写出函数，的单调性（不需要证明），并解不等式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）（ⅰ）分和 ，利用指数函数的单调性求解； （2）由（1）知，在（1，2）上单调递增，利用单调性定义求解. 【详解】（1）解：（ⅰ）当时，在上单调递增， 则有，得， 得，； （ⅱ）当时，在上单调递减， 则，得，无解， 所以，； （2）由（1）知， 函数在（1，2）上单调递增；由， 因为在（1，2）上单调递增， 则，解得． 所以不等式解为． 44．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数（且），其中a，b均为实数. (1)若函数的图象经过点，，求函数的解析式； (2)如果函数的定义域和值域都是，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知点代入函数即可求出； （2）讨论和根据函数单调性列出方程即可求解. 【详解】（1）因为函数的图象经过点，， ∴，∴ ∴函数. （2）如果函数的定义域和值域都是， 若，则函数为增函数， ∴，无解. 若，则函数为减函数， ∴，解得， ∴. 45．（24-25高一·全国·课后作业）已知函数． (1)若f（x）的最大值为3，求a的值； (2)若f（x）的值域是（0，+∞），求a的值． 【答案】(1)1 (2)0 【分析】（1）指数型函数（，且）的单调性由两点决定，一是底数还是；二是g（x）的单调性． （2）求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成，，通过f（u）和g（x）的单调性，求出的单调性． 【详解】（1）令，则， 由于f（x）的最大值为3，所以g（x）的最小值为-1， 当时，，无最大值， 当时，有，解得， 所以当f（x）的最大值为3，a的值为1． （2）由指数函数的性质，知要使的值域为（0，+∞）． （2）应使的值域为R， 当时，，值域为R，符合题意． 当时，g（x）为二次函数，其值域不为R，不符合题意． 故f（x）的值域是（0，+∞）时，a的值为0． 46．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数（，且）在上的最大值与最小值之和为20，记． (1)求a的值； (2)求证：为定值； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)1010 【分析】（1）函数在上单调，得到，排除，得到答案. （2），代入数据计算得到，得到证明. （3）根据，两两组合计算得到答案. 【详解】（1）因为函数（且）在上的最大值与最小值之和为20， 函数（且）在上单调， 所以当和时，函数（且）在上取得最值，即，解得或（舍去），所以． （2），所以， 故． （3），，，…，， 所以 . 47．（24-25高一上·贵州安顺·期中）已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若函数，，的最小值为0，求实数的值． 【答案】（1）；（2）-1. 【分析】（1）利用偶函数的定义，即可求出k； （2）化简得到，利用换元，转化为研究二次函数，讨论单调性，利用最小值为0，求出m. 【详解】（1）∵函数是偶函数， ∴，即恒成立， ∴, 解得：. （2）由题意得：，， 令， ①当时，即，有； ②当时，即，有（舍去）； ③当时，即，有（舍去）； 综上所述： 【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用或;②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或； （2）复合函数问题一般用换元法，转化为基本初等函数来研究. 48．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数. （1）若，求的值； （2）若方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）讨论，，令，即可求出的值； （2）将原条件转化为在上有解，之后求函数在在上的值域即为实数的取值范围. 【详解】解（1）当时，，不合题意； 当时，.由条件可知， 即，解得. ，， ∴. （2）当时，方程 即为，即. 因为，所以. 又因为，所以， 故的取值范围是. 【点睛】求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 49．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数. （1）当=3时，求函数f(x)的值域； （2）若函数的最小值是1，求实数a的值. 【答案】（1）；（2）1. 【解析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可； （2）结合（1），利用二次函数的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意得，() 设，因为，所以， 则有 当=3时，. ∴，，即， 故函数的值域为. （2）由（1）知，. ①当，即时，，令，得=1；. ②当，即时，， 令，得=0，不合题意，舍去；. ③当，即>16时，， 令，得=8，不合题意，舍去. 综上所述，实数a的值为1. 【点睛】关键点睛：本题的关键是换元法的应用，对于二次函数定区间动轴问题要进行分类讨论. 50．（2024·上海黄浦·二模）已知函数，其中. (1)证明：函数在上为增函数. (2)证明：不存在负实数使得. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）用增函数的定义证明； （2）用反证法，假设有负实根，方程变形为，由求出的取值范围，再在定义域内求出的取值范围，两者无交集，说明假设错误． 【详解】（1）任取， ． 因为，，所以，，，， 于是，，得，即． 因此，函数在上为增函数 （2）（反证法）若存在负实数（），使得， 即方程有负实数根． 对于，当且时，因为，所以， 而． 因此，不存在负实数使得，得证． 【点睛】本题考查函数的单调性，考查方程根的分布．解题时单调性是用定义证明，方程根的分布是用反证法证明． 【经典计算题六 求已知指数型函数的最值】 51．（2024高一·上海·专题练习）已知，求函数的最值． 【答案】， 【分析】令，将所求的函数转化为关于的二次函数，再利用二次函数的性质即可求最值. 【详解】令， ，对称轴为，开口向上的抛物线， 所以在单调递减，在单调递增， 所以当时，， 当时，， 所以， 【点睛】方法点睛：对于指数型复合函数多采用换元法转化为二次函数求最值，但要注意新元的取值范围. 52．（2024高一·全国·专题练习）求下列函数的定义域和值域： （1）y＝； （2）y＝； （3）y＝4x＋2x＋1＋2. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）根据指数函数成立的条件以及根式的性质进行求解即可； （2）配方求出x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4﹣4，然后根据指数函数的单调性即可得出该函数的值域； （3）利用配方法以及换元法进行转化为二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）要使指数函数有意义，则1﹣3x≥0，得3x≤1，得x≤0，即函数的定义域为， 当x≤0时，得0＜3x≤1，则0≤1﹣3x＜1，0≤＜1，即函数的值域为. （2）定义域为R，∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴； ∴函数y＝的值域为. （3）y＝4x+2x+1+2＝（2x）2+2•2x+2＝（2x+1）2+1，则函数的定义域为R， 设t＝2x，则，则函数y＝（t+1）2+1在上单调递增，∴y＞1+1＝2， ∴函数的值域为. 【点睛】本题考查函数定义域、值域的概念及求法，以及根据指数，二次函数的单调性求函数的值域，属于基础题． 53．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知． （1）设，求t的取值范围； （2）求的最小值． 【答案】（1）；（2）3. 【分析】（1）由函数在上是增函数即可求得结果；（2）由 根据二次函数的性质即可求出最小值. 【详解】（1）设，∵ ，函数在上是增函数，故有； （2）由 可得此二次函数的对称轴为 ，且， 故当 时，函数 有最小值为3. 【点睛】本题考查指数型的二次函数求最值问题，要求掌握换元法的技巧和转化的思想运用，注意给定区间与对称轴的位置关系，属中档题. 54．（23-24高一上·安徽六安·课后作业）已知是定义在上的奇函数, 当时,. （1）求在上的解析式; （2）求的值域. 【答案】（1）；（2）． 【详解】试题分析：（1）当时,,根据函数为奇函数，则即可求解函数的解析式；（2）由 在上递减，从而由奇函数的对称性知在上递减，即可求解函数的值域. 试题解析：（1）根据题意，是定义在上的奇函数，则， 设，则， 则， 又由为奇函数，则， 故； （2）当时，， 设，则， 又由，则，， 则有，即函数在上为减函数， 则有，即， 又由为奇函数，则在区间上，有， 又由， 故函数在上的值域为. 考点：函数的解析式；函数的性质的应用. 55．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据函数解析式代入求解即可； （2）换元法转化为二次函数求值域即可得解. 【详解】（1）因为， 若，则， 令，则方程为， 解得或（舍去）， 所以，解得. （2）因为， 令，则， 所以当时，取得最小值， 故的值域. 56．（23-24高一·全国·单元测试）已知函数的定义域为，其表达式为，且同时满足以下两个条件：（1）对任意的，总有成立；（2）当，且时，总有成立．求实数b的值组成的集合． 【答案】 【分析】由题意可知即在时恒成立，． 转化为求最值即可 【详解】因为对任意的，总有， 即在时恒成立，从而． 令，可得 ． 当，且时，，所以． 综上所述，实数b的值组成的集合为． 57．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数f（x）＝b•ax（a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，2），B（3，8）. （1）求a，b的值； （2）设函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）﹣（x≤﹣2），求函数g（x）的值域. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）把点A、B的坐标代入函数f（x）的解析式中，求得a、b； （2）可得g（x）＝f（x）+f（﹣x）﹣＝，设2x＝t，则2﹣x＝，则 M（t）＝t+﹣，根据函数的单调性即可求出值域. 【详解】（1）点A（1，2），B（3，8）代入函数f（x）的解析式中， 得，两式相比得a2＝4， ∵a＞0， ∴a＝2，b＝1， （2）由（1）可知f（x）＝2x， ∴g（x）＝f（x）+f（﹣x）﹣＝2x+2﹣x﹣， 设2x＝t，则2﹣x＝， ∵x≤﹣2， ∴0＜t≤， 则M（t）＝t+﹣， ， 在任取且， 所以 因为，所以， ，所以， 在减函数， ∴M（t）≥， ∴即函数g（x）的值域为[4，+∞）. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与指数函数. 58．（24-25高一上·四川自贡·期末）若，求函数的最大值和最小值． 【答案】, 【解析】将看作一个整体,对函数进行化简,运用二次函数的思想求解最大值和最小值. 【详解】已知,化简得: ,当时,即时取得最小值, 故, 当时,, 当时, . 综上,函数最大值为,最小值为. 【点睛】本题考查了求函数得最值问题,解答题目时运用二次函数的方法求出结果.求最值得方法有很多:如运用函数单调性求出最值;运用二次函数得模型在对称轴上取得最值等. 59．（2024高一·浙江·专题练习）求值（Ⅰ） （Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）， 【分析】（Ⅰ）直接利用有理指数幂的运算性质化简求值． （Ⅱ）令，将函数转化为关于的二次函数，根据的取值范围求出的取值范围，即可求出函数的值域与最值. 【详解】解：（Ⅰ） （Ⅱ） 令， ， 故， 【点睛】本题考查分数指数幂的运算，二次型复合函数的最值问题，属于中档题. 60．（23-24高一上·江苏南通·期中）设函数，． （1）求的值； （2）求函数，的最大值． 【答案】（1）（2） 【分析】(1)直接代入即可算得. (2)注意到,故可用换元进行求解运算. 【详解】（1）因为,, 所以, 所以,所以, 因为,所以． （2）, 记, 则, 当时,, 当时,2, 综上所述： 【点睛】本题主要考查换元法与常用化简： 学科网（北京）股份有限公司 $专题3.5指数运算与指数函数 60道计算题专项训练(6大题型) 题型预览 题型一根式的化简求值 题型二指数幂的运算 题型三指数幂的化简、求值 题型四求指数型复合函数的值域 题型五根据指数函数的值域或最值求参数定义域 题型六求己知指数型函数的最值 只计算专项训练 【经典计算题一根式的化简求值】 1.(2024高一全国专题练习)化简： (1)x-π)"(x<π，neN,n22; 2n4o-4a+a≤ 2.(23-24高一，全国课后作业)求下列各式的值： )-2； 2)-32: 3)3-π： (4)Vx2-2x+1-Vx2+6x+9,x∈(-3,3) 3.（2024高一·上海专题练习)化简下列式子： (1) 3+V5 2-2-万 (2)√4V2+2√6； (3)Vx2+2x+1+x3-3x2+3x-1 4.(2024高一上海专题练习)计算：(1)√5+2√6+V7-45-V6-4√2； 1,1 (2)2+i*2- 5.(23-24高一·全国课后作业)根据已知条件求下列值： 2 (1)已知=)，y= 到阳个-x个八+x入‘ x-y x+y 2)已知a,6是方程-6十4=0的两根，且心b0,求N后-6的值 √a+vb 6.(23-24高一·全国课后作业)化简(1)W(x-π)”c<π，n∈V: 回aw-4a+as》 7.(23-24高一·上海课后作业)化简：(1)V9-4√5； (2) 1 V+20<x<. 8.(2024高一上海专题练习)求使等式Va-3(a2-9=(3-a)Va+3成立的实数a的取值范围 9.(23.24高一全国课后作业)已知4b是方程-6r+4=0的两根，且a>h>0,求a-6的值。 Va+√b ②024高一安徽黄山学业考试)①)已知a+b=-5,b=1,求号+伦的情 (2)已知a是方程x2-2011x+1=0的一个根，试求a2-2010a 2011的值 a2+1 2 【经典计算题二指数幂的运算】 11.(23-24高一上·河南南阳·阶段练习)计算 (1)182÷229 ②4x16 a[-4]+[-3 12.(2023高一上全国.专题练习)计算： 00252+8-(合， ci. a0 0+0r+9-+0 13.(22-23高一全国随堂练习)化简（式中的字母均为正实数)： 01-a22a2 1+a2a-1 一十一 14.(22-23高一全国·随堂练习)化简（式中的字母均为正实数）： (1)a4.a3y (2)2ab2(-3ab): 3)-15abc 1； 25abe2 o2y月 oc. a+2-v 52324尚下江西颤州阶段练已知函数八4专 (1)计算f(0)+f(1；f(-1)+f（2)；f(-2)+f(3)的值； (2)结合(1)的结果，试从中归纳出函数f(x的一般结论，并证明这个结论； 3》i(i+0) 的值. 16.(23-24高一上江苏无锡期中)(1)求值：()-10(5-2+20×5-V5°-(8) 5001 （2)已知x+x=4,+x 1.2425奇-上费州阶假练习)1)计第：006+(-2+025， (2)已知x+x1=3,求x4-x4的值. 18.2324商-上浙江阶段练习)1)0.0r+8+(-43°-（3)-25 (2)己知f(x)= =计第f)+f2)+f3)+f4)+f兮)+学+f宝)的位 x 19(2324高一上)西玉林阶段练习)设函数小42则 (1)证明：f(x)+f(1-)=1; 2计第：0s品)+-0}0) 20.(23-24高一·吉林阶段练习)已知x+x1=5 (1)求x2+x2的值 x2+x2+3 (2)求x2-x2 【经典计算题三指数幂的化简、求值】 2引.2425魔上全单元试)1》计第：可-传+064石广， (2)已知a+a=6,求a-a: (3)已知。+a-2,求+a+2的值. a+a1-1 2(223有-上湖育长沙期中)计算：（生°-0s+6()月 2)已知+a-3求+a+3的值. 11 a+a1-2 23.(24-25高一上全国课后作业)(1)已知2”=4，求-V0)÷a的值： （2)已知d+a-1=0,求a+a-(a的值 Va8-2 24245商-上安微期p)1)计第：2-(+32， 2 2)计第25-2+8母5 (3)已知0<x<1,且x+x方-V6,求2-x2的值. x+x 25.(24-25高一上辽宁沈阳期中)(1)计算：（←2+83+165+(1+V2°+3-π： (2)已知x-x1=2V3(x>0),求下列各式的值： ①x2-x2 x2+x29 x+x-l ②1口 x2+x2 26.（24-25高一上·天津南开·期中)计算： √0.01 (2)若a=27,b=16,求 (-2Vab)x(-8Vab 的值 a2b7×4a2b 27.(2024高一·全国专题练习)化简并求值. 0若a=2,b=4,求a+00-6+ab上11的值： a-b 6 ②设a-2023,2023(neN求(+a-a的值. 2 28.(23-24高一上浙江阶段练习)(1)计算：、 --a （2)已知a-3+5,b-1-5,求a-46-2a+1的值. 2 4 29.(2425高一全国课后作业)(1)计算： g8ar- (2)化简： 6,261-2治6. a3-8ab 30.(24-25高一上，全国·课后作业)求下列各式的值： (2)V2-2y+y2+y-x)'; (3)V5+2+V7-4W5-V6-4W2-1-2)