专题02 指数幂的运算性质重难点题型专训（2大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题02 指数幂的运算性质重难点题型专训（2大题型+20道拓展培优） 题型一 指数幂的运算 题型二 指数幂的化简、求值 知识点1　指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质: 运算性质的成立需此约束条件的限制 (1)aα·aβ=aα+β; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα. 知识点2　指数幂的化简,求值 对于指数幂的化简与求值要注意以下两点: (1)对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式. (2)对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 【经典例题一 指数幂的运算】 【例1】（2024·北京大兴·三模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·北京丰台·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京丰台·期中）计算 3．（21-22高一上·北京·期中）计算： . 【经典例题二 指数幂的化简、求值】 【例2】（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·北京·期中）将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）计算：的值是 ．化简得 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）计算： (1) (2)（其中，结果化为幂的形式） . 1．（21-22高一上·湖北·阶段练习）已知函数，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·山东淄博·阶段练习）设a>0，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法，求解元一次方程组大约需要对实系数进行（为给定常数）次计算.1949年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”（该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖），利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于（    ） A．机时 B．机时 C．机时 D．机时 4．（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）的值是（    ） A．105 B．33 C． D． 5．（2020高一·上海·专题练习）计算的结果是（    ） A．32 B．16 C．64 D．128 6．（20-21高一上·北京·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·四川宜宾·开学考试）下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 9．（22-23高一上·全国·期中）已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知，则 ． 12．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）计算： . 13．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则 ． 14．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数满足：，则 . 15．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的值为 ． 16．（24-25高一上·河南信阳·开学考试）计算： (1) (2) 17．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）（1）化简： （2）已知，分别求的值. . 18．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 19．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 20．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 指数幂的运算性质重难点题型专训（2大题型+20道拓展培优） 题型一 指数幂的运算 题型二 指数幂的化简、求值 知识点1　指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质: 运算性质的成立需此约束条件的限制 (1)aα·aβ=aα+β; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα. 知识点2　指数幂的化简,求值 对于指数幂的化简与求值要注意以下两点: (1)对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式. (2)对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数. 【经典例题一 指数幂的运算】 【例1】（2024·北京大兴·三模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将集合化简，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】, 又 所以 故选：C 1．（22-23高一上·北京丰台·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的性质计算可得. 【详解】解：对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D 2．（23-24高一上·北京丰台·期中）计算 【答案】4 【分析】根据指数幂的运算解题即可. 【详解】. 故答案为：4 3．（21-22高一上·北京·期中）计算： 【答案】-5 【分析】利用指数幂的运算求解. 【详解】, , . 【经典例题二 指数幂的化简、求值】 【例2】（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，当时成立，故D错误； 故选：C. 1．（22-23高一上·北京·期中）将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可. 【详解】. 故选：A 2．（23-24高一上·北京·期中）计算：的值是 ．化简得 【答案】 / / 【分析】利用指数幂和根式运算化简. 【详解】; . 故答案为： 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）计算： (1) (2)（其中，结果化为幂的形式） 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据指数幂运算性质化简即可； （2）由根式与分指数幂的关系化简. 【详解】（1）原式； （2）原式. 1．（21-22高一上·湖北·阶段练习）已知函数，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明函数没有奇偶性，即得解. 【详解】函数的定义域为R， ， ， 所以没有奇偶性.由于选项ABD都是偶函数. 故选：C 2．（21-22高一下·山东淄博·阶段练习）设a>0，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】 , ,故B，C错误，D正确， 由于 ，所以 ，故A 错误， 故选：D 3．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法，求解元一次方程组大约需要对实系数进行（为给定常数）次计算.1949年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”（该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖），利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于（    ） A．机时 B．机时 C．机时 D．机时 【答案】C 【分析】设1机时能进行a次计算，由题意得,设所需机时为t，得出,两式相比,可得,化间计算可得答案. 【详解】设1机时能进行a次计算，则由题意得， 原始模型包含500个未知数，如果不进行化简，设所需机时为t， 则,故 , 故结果最接近于机时, 故选:C 4．（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）的值是（    ） A．105 B．33 C． D． 【答案】B 【分析】由指数幂的运算性质化简即可得出答案. 【详解】由题意得： . 故选：B. 5．（2020高一·上海·专题练习）计算的结果是（    ） A．32 B．16 C．64 D．128 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】， 故选：A 6．（20-21高一上·北京·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】结合指数幂的运算性质，对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 7．（24-25高一上·四川宜宾·开学考试）下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】借助指数幂的运算逐项计算即可得. 【详解】对A：和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：ABD. 8．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】BD 【分析】结合指数运算法则及其性质逐项判断即可得. 【详解】对A：当为偶数时，，故不一定成立，故A错误； 对B：，故，故B正确； 对C：显然不成立，如当时，左边为，右边为，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：BD. 9．（22-23高一上·全国·期中）已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先由等式，得出；对于选项A和B，分析的情形即可；对于选项C，分析的情形即可；对于选项D，分析的情形即可. 【详解】因为，所以． 对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确； 对于选项C，当时，，只能，选项C正确； 对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确； 故选：BCD． 10．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立，，，以及之间的内在联系即可求得. 【详解】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 11．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知，则 ． 【答案】0 【分析】由解析式直接代入求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为：0. 12．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）计算： . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】; 故答案为： 13．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算即可得，进而根据完全平方公式求解. 【详解】由可得，故， 故， 故答案为： 14．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数满足：，则 . 【答案】 【分析】由立方和公式以及完全平方公式即可求解. 【详解】. 故答案为：18 15．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】给先平方再开方计算即可. 【详解】，所以． 故答案为:． 16．（24-25高一上·河南信阳·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用根式计算即可得出结果； （2）利用分数指数幂以及绝对值和三角函数值计算可得结果. 【详解】（1）易知， 所以 （2）显然， 所以. 17．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）（1）化简： （2）已知，分别求的值. 【答案】（1）；（2）3，47 【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得； （2）由完全平方公式，结合指数幂性质计算即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以，由，可得； 将两边平方，即，即，则. 18．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】结合根式化指数幂和指数的基本运算化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 19．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)4608 (2)1 (3) 【分析】（1）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简； （2）利用分数指数幂的运算化简； （3）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简； 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 20．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2)8 【分析】根据有理数幂的运算性质计算即可. 【详解】（1）. （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$