专题3.2 指数函数重难点题型讲义（2个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题3.2 指数函数重难点题型专训 （2个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 指数函数的判定与求值 题型二 根据指数型函数图象判断参数的范围 题型三 指数函数图像应用 题型四 求指数(型)函数的定义域 题型五 求指数型复合函数的定义域 题型六 求指数函数在区间内的值域 题型七 求指数型复合函数的值域 题型八 根据指数函数的值域或最值求参数(定义域) 题型九 比较指数幂的大小 题型十 求已知指数型函数的最值 题型十一 根据指数函数的最值求参数 题型十二 指数函数最值与不等式的综合问题 题型十三 指数函数模型的应用(1) 拓展训练一 指数函数图像相关问题 拓展训练二 求指数函数的定义域与值域 拓展训练三 指数函数最值的相关求解 知识点一：指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 注 （1）指数函数且中系数为，底数是不为的正实数的常数，指数是变量.注意与幂函数的区别，如是指数函数，是幂函数. （2）指数函数中为什么要限制且呢？ ① 若，则对于的某些值无意义，如，此时取等没意义；其函数图象没明显特点； ② 若或时，函数没研究价值. 【即时训练】 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·课后作业）下列函数中，属于指数函数的是 ．（填序号） ①；②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥；⑦． 知识点二：指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【即时训练】 1．（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北·阶段练习）若函数且的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 【经典例题一 指数函数的判定与求值】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数（且）． (1)求证：若，则； (2)求的值． 1．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）若函数是指数函数，则的值为（ ） A． B．2 C． D． 2．（多选题）（2024高三上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南漯河·阶段练习）已知函数，若，则的取值范围为 . 4．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数（且）的图象经过点． (1)求的值； (2)若是定义在上的偶函数，且时，，求的解析式． 【经典例题二 根据指数型函数图象判断参数的范围】 【例1】（24-25高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）设a，b为实数，，.已知函数的图象如图所示，求a，b的取值范围.    1．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数且的图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）（1）已知是奇函数，求的值； （2）画出函数的图象，并利用图象回答：为何值时，方程无解？有一解？有两解. 【经典例题三 指数函数图像应用】 【例1】（2025高三下·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数与的图象. x 0 1 2 3 1．（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知正实数，，满足，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·江苏苏州·期中）若函数的图象上存在不同的两点到直线的距离均为，则的解析式可以是（     ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则下列正确的有 . ① ② ③ ④ 4．（23-24高一上·贵州安顺·阶段练习）已知函数（且）的图象经过点. (1)求实数的值； (2)作出此函数的图象. 【经典例题四 求指数(型)函数的定义域】 【例1】（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023高一上·上海·专题练习）求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 1．（2022高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的定义域为 ． 4．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知. （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）证明. 【经典例题五 求指数型复合函数的定义域】 【例1】（23-24高一上·安徽·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25高一上·云南·阶段练习）函数的最大值和最小值之和为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高三上·河北邯郸·期中）设函数f(x)＝，则下列结论正确的是（    ） A．|f(x)|是偶函数 B．-f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的定义域为 ． 4．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知定义在上的偶函数和奇函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)设函数，当时，方程有解且所有解均在区间内，求实数，的取值范围． 【经典例题六 求指数函数在区间内的值域】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，（且）. (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若. ①求实数的值； ②设，，当时，试比较，的大小. 1．（23-24高二上·广西贵港·期中）已知函数，函数，对时，总使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 2．（多选题）（23-24高一上·广西玉林·期中）已知函数，则（    ） A．的图象关于原点对称 B．是偶函数 C．的值域为 D．，，且，恒成立 3．（2025·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则 ． 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【经典例题七 求指数型复合函数的值域】 【例1】（24-25高三上·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数. (1)求函数的值域； (2)判断并证明的奇偶性. 1．（24-25高三上·江苏扬州·期中）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·吉林长春·期中）若函数（且）为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．为减函数 C．的值域为 D．的值域为 3．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）函数的值域是 . 4．（24-25高一上·河北·阶段练习）已知函数. (1)求的解析式； (2)求的值域. 【经典例题八 根据指数函数的值域或最值求参数(定义域)】 【例1】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知是集合A到集合B的函数，若对于实数，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·四川雅安·期末）已知函数， (1)当时，求函数在的值域 (2)若关于x的方程有解，求a的取值范围． 1．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选题）（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）函数且，当时，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为，求k的值. 【经典例题九 比较指数幂的大小】 【例1】（24-25高二下·河南商丘·期末）若，则（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）已知，比较，的大小； （2）比较与的大小． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知实数、满足等式，则下列关系式中可能成立的是（　 ） A． B． C． D． 3．（2023高三·全国·专题练习）已知，， ，则、、的大小关系为 4．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 【经典例题十 求已知指数型函数的最值】 【例1】（2024高二下·云南·学业考试）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数： (1)作出其图像； (2)由图像指出当取何值时，函数有最小值，最小值为多少？ 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海金山·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（    ） ①；②；③函数有最小值. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 4．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上有意义，求的取值范围. 【经典例题十一 根据指数函数的最值求参数】 【例1】（23-24高一上·江西宜春·期末）设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【例2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知在上的最大值与最小值之和为20． (1)求a的值． (2)若，求证为定值． 1．（2025高三·全国·专题练习）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）已知函数，（且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值可以为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2024高一·全国·专题练习）若函数有最大值3，则 . 4．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知函数且. (1)若，求的值； (2)若在上的最大值比最小值多，求的值. 【经典例题十二 指数函数最值与不等式的综合问题】 【例1】（23-24高一·吉林·阶段练习）定义，如，且当时，有解，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2022高一上·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数．在时，． (1)试求的表达式； (2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广西北海·期末）已知函数，R的图象与轴无公共点，求实数的取值范围是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）设，如果当时有意义，求的取值范围． 【经典例题十三 指数函数模型的应用(1)】 【例1】（2024高一·全国·专题练习）某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（    ） A．0.015克 B．克 C．0.925克 D．克 【例2】（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·湖南张家界·期末）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位：天)的规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加倍需要的时间，判断错误的有（    ）（参考数据：ln2≈0.69） A．约1.8天 B．约2.6天 C．约3.5天 D．约6.9天 3．（22-23高一上·浙江杭州·期中）如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，t min后剩余的水符合指数衰减曲线，那么桶2中的水就是．假设过5min后，桶1和桶2的水量相等，则再过m min后桶1中的水只有升，则m的值为 ． 4．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知函数. (1)求与，与的值； (2)由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想； (3)求的值. 【拓展训练一 指数函数图像相关问题】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数（，且）的图象不经过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知且，，当时，均有，求实数的取值范围． 1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 3．（2024·上海·高考真题）已知常数，函数的图像经过点、，若，则 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． （1）作出函数的图象； （2）若，且，求证：． 【拓展训练二 求指数函数的定义域与值域】 【例1】（2023·广西·模拟预测）若函数的最小值为m，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知. (1)当时，根据定义证明函数在区间上单调递增； (2)若，设，判断函数的奇偶性. 1．（23-24高一上·辽宁·期末）设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（ ） A． B． C． D． 2．(多选题)（23-24高一上·江西景德镇·期末）函数的定义域为M，值域为N=[1，2]，下列结论一定正确的是（    ） A．-1M B．1M C．M D．M 3．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 4．（22-23高一上·浙江嘉兴·期中）函数 (1)求的定义域和值域； (2)求的单调区间. 【拓展训练三 指数函数最值的相关求解】 【例1】（23-24高三上·江西赣州·期中）函数在上的最大值与最小值的和为，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． (1)求的表达式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 1．（23-24高二下·重庆沙坪坝·期中）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高一上·全国·单元测试）函数的定义域为，值域，则下列结论中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川·期中）已知，若对，，，总有，，为某个三角形的三边边长，则实数的取值范围是 ． 4．（22-23高一上·天津南开·阶段练习）已知函数. (1)若时，求满足的实数的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·河南商丘·阶段练习）若函数（，且），则（    ） A．1010 B．1011 C．2022 D．2023 3．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 6．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）设函数（，且），若，则（    ） A． B． C． D．E． 7．（多选题）（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知函数，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数有下界，为其一个下界；类似的，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数有上界，为其一个上界.若函数既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.以下四个选项中正确的是（    ） A．“函数有下界”是“函数有最小值”的必要不充分条件 B．若定义在上的奇函数有上界，则该函数是有界函数 C．若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数 D．若函数在区间上为有界函数，且一个上界为2，则 8．（多选题）（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 9．（多选题）（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，、为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（    ） A． B．储存温度越高保鲜时间越长 C．在10℃的保鲜时间是60小时 D．在30℃的保鲜时间是15小时 10．（多选题）（23-24高一上·河南南阳·期中）若函数的图象上存在不同的两点到直线的距离均为1，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是 . 12．（2025高三下·全国·专题练习）若曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·甘肃·期末）已知，求函数的值域为 ． 14．（22-23高三上·上海·开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 15．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数的图象经过点，其中且．则 ；函数的值域为 ． 16．（23-24高一上·吉林长春·开学考试）已知函数 （1）求； （2）求的值； （3）求的值 17．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数满足. (1)求实数的值； (2)求函数的值域. 18．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知函数且. （1）求函数的值域； （2）若时，函数的最小值为，求的值和函数的最大值． 19．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数. （1）当，时，求函数的最大值与最小值； （2）若函数在上恒有，求实数a的取值范围. 20．（23-24高一·全国·单元测试）一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 指数函数重难点题型专训 （2个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 指数函数的判定与求值 题型二 根据指数型函数图象判断参数的范围 题型三 指数函数图像应用 题型四 求指数(型)函数的定义域 题型五 求指数型复合函数的定义域 题型六 求指数函数在区间内的值域 题型七 求指数型复合函数的值域 题型八 根据指数函数的值域或最值求参数(定义域) 题型九 比较指数幂的大小 题型十 求已知指数型函数的最值 题型十一 根据指数函数的最值求参数 题型十二 指数函数最值与不等式的综合问题 题型十三 指数函数模型的应用(1) 拓展训练一 指数函数图像相关问题 拓展训练二 求指数函数的定义域与值域 拓展训练三 指数函数最值的相关求解 知识点一：指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 注 （1）指数函数且中系数为，底数是不为的正实数的常数，指数是变量.注意与幂函数的区别，如是指数函数，是幂函数. （2）指数函数中为什么要限制且呢？ ① 若，则对于的某些值无意义，如，此时取等没意义；其函数图象没明显特点； ② 若或时，函数没研究价值. 【即时训练】 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算后与比较可得． 【详解】，则，即， 故选：A． 2．（22-23高一·全国·课后作业）下列函数中，属于指数函数的是 ．（填序号） ①；②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥；⑦． 【答案】③④ 【分析】根据指数函数的定义，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数； 对②：其指数为，不是，故不是指数函数； 对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数； 对⑤：是幂函数，不是指数函数； 对⑥：指数式的系数为，不是1，故不是指数函数； 对⑦：指数的底数为，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是； 综上，是指数函数的只有③④. 故答案为：③④. 知识点二：指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【即时训练】 1．（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】做直线，数形结合，可得的大小关系. 【详解】如图： 做直线，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为，，，由图可知：. 故选：A 2．（24-25高一上·河北·阶段练习）若函数且的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】要使函数的图象经过第一、二、三象限，则且，解不等式即可得答案. 【详解】根据指数函数的图象可知，要使函数的图象经过第一、二、三象限， 则且，即且， 解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 【经典例题一 指数函数的判定与求值】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 【例2】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数（且）． (1)求证：若，则； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直接根据函数的定义、的关系代入运算即可求解； （2）利用（1）中结论配对运算即可求解. 【详解】（1）由， 得， 则 ． （2）原式 ． 1．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）若函数是指数函数，则的值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义：形如或a>1）的函数叫指数函数，显然系数为1，故而能求出a的值，即，所以，求出. 【详解】因为函数是指数函数，所以，即，所以，那么. 故选：B 【点睛】明确指数函数的定义，类似的还有对数函数，幂函数. 2．（多选题）（2024高三上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意可得，根据题意不等关系逐一验证即可得出正确答案. 【详解】因为当时，，则， 又因为，则有： ； ； ； ； ； ； ； ； ； 结合选项可知：，，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 3．（24-25高二下·河南漯河·阶段练习）已知函数，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由求得，再由，的解的情况得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以可设，即， 因为，所以， 所以，所以，， 当时，，令得，且， 此时，不符合题意，所以， 当时，，， 要满足，则有解，且其解不是和， 所以判别式，解得或，因为，所以或， 所以即的取值范围为， 故答案为：. 4．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数（且）的图象经过点． (1)求的值； (2)若是定义在上的偶函数，且时，，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入函数求出参数的值. (2)根据求出，求出的表达式，根据偶函数求出时的表达式. 【详解】（1）（且）的图象经过点， ∴，又且 ∴； （2）当时，， 设，则， 则， 因是定义在R上的偶函数，所以， 所以，函数的解析式为． 【经典例题二 根据指数型函数图象判断参数的范围】 【例1】（24-25高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据判断的范围，根据图象趋势判断的范围即可. 【详解】由图象可知：，， 又由函数为减函数，可得． 故选：C． 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）设a，b为实数，，.已知函数的图象如图所示，求a，b的取值范围.    【答案】a，b的取值范围分别为 【分析】从图象获取关键信息即可求解. 【详解】由题图可知函数单调递增，即， 所以的取值范围为； 由图可知当时，有，解得， 所以的取值范围为. 1．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质即可判断得出结论. 【详解】由可得， 由图知函数单调递减，故，排除A，B项； 由图知，当时，， 因时，函数为减函数，故得. 故选：D. 2．（多选题）（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数且的图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据指数函数的图像和函数图像变换结论判断. 【详解】当时，函数的图像由函数的图像向下平移个单位得到， 如图，若，，函数的图像经过第一，二，三象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第一，三，四象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第一，二，四象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第二，三，四象限，符合条件， 故选：AD. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据和分类讨论，作出函数的图象与直线，由它们有两个交点得出的范围． 【详解】时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意； 时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 若与函数的图象有两个交点，则，解得． 综上所述，. 故答案为：. 4．（23-24高一·全国·课后作业）（1）已知是奇函数，求的值； （2）画出函数的图象，并利用图象回答：为何值时，方程无解？有一解？有两解. 【答案】（1）；（2）时，无解；时，有两个解；或时，有一个解. 【分析】（1）由奇函数的定义，，代入即可得出结果. （2）画出函数图象，结合函数图象可得出结果. 【详解】（1）为奇函数， ， 所以 （2）   函数图象如图，可知时，无解；时，有两个解；或时，有一个解 【点睛】本题考查了奇函数的定义，考查了运算求解能力和画图能力，数形结合思想，属于基础题目. 【经典例题三 指数函数图像应用】 【例1】（2025高三下·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数与的图象. x 0 1 2 3 【答案】答案见解析 【分析】利用瞄点法列表，描点，连线即可画出图像. 【详解】（1）列表 x 0 1 2 3 1 2 4 8    8 4 2 1 （2）描点并连线得到和的图象如图所示． 1．（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知正实数，，满足，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为与，，在上交点的横坐标，数形结合，即可判断. 【详解】由可把看作函数与函数在上交点的横坐标， 同理，，可看作函数与，在上交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中，作出，，，的图象，由图象可知. 故选：A    2．（多选题）（23-24高一上·江苏苏州·期中）若函数的图象上存在不同的两点到直线的距离均为，则的解析式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】在同一坐标系中，作出，，，，的图象，逐项分析判断. 【详解】解：如图所示：    函数的图象上的点到直线的距离都大于，故A错误； 当时，函数的图象上的点到直线的距离都小于， 当时，函数的图象上存在一个点到直线的距离等于，故B错误； 当时，函数的图象上存在一个点到直线的距离等于， 当时，函数的图象上存在一个点到直线的距离等于，故C正确； 点到直线的距离，则点两边各存在一点到直线的距离等于e，故D正确； 故选：CD 3．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则下列正确的有 . ① ② ③ ④ 【答案】②③④ 【分析】根据指数函数的增长速度和一元一次不等式解的特征可判断，再根据解集可用表示，从而可判断②③④的正误. 【详解】因为指数函数比增长的快， 若，则不等式的解集对应的区间的长度不为有限长度，故舍； 若，则不等式的解集对应的区间的长度不为有限长度，故舍； 故，故选项①不正确. 因为和是方程的两根，所以，， 所以 ，所以选项②③正确； ，故选项④正确. 故答案为：②③④. 4．（23-24高一上·贵州安顺·阶段练习）已知函数（且）的图象经过点. (1)求实数的值； (2)作出此函数的图象. 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】（1）将点代入函数解析式，结合的范围，即可求解； （2）根据函数的平移变换画函数图象即可. 【详解】（1）将点代入，得，即，所以； （2）由（1）知， 将函数的图象向右平移1个单位长度即可得到函数的图象，如图： 即为函数的图象. 【经典例题四 求指数(型)函数的定义域】 【例1】（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即，. 即. 故选：C 【例2】（2023高一上·上海·专题练习）求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)R (2) (3) (4)答案见解析 【分析】根据函数有意义的条件来可求（1）（2）（3）（4）的定义域. 【详解】（1）函数在R上有意义，故函数的定义域为R. （2）函数有意义的条件是，即， 故函数的定义域为． （3）函数有意义的条件是， 又是R上增函数，于是，即， 故函数的定义域为． （4）函数有意义的条件是，即， 当时，是R上减函数， 于是，即； 当时，是R上增函数， 于是，即. 综上所述，当时，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为. 1．（2022高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 2．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，解得且. 故答案为： 4．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知. （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）证明. 【答案】（1）；（2）为偶函数，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）根据分母不为可求得函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义可证得函数为偶函数； （3）验证当时，，再结合偶函数的性质可得出结论. 【详解】（1）由，得，即. 函数的定义域是； （2）函数的定义域关于原点对称，， ， 所以，函数为偶函数； （3）当时，，，则； 由于函数为偶函数，当时，，则. 综上所述，. 【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了函数奇偶性的证明，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 【经典例题五 求指数型复合函数的定义域】 【例1】（23-24高一上·安徽·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用函数有意义列出不等式，结合指数函数单调求解即得. 【详解】（1）函数有意义，则， 所以的定义域为. （2）函数有意义，则，解得， 所以的定义域为. （3）函数有意义，则，即，解得， 所以的定义域为. （4）函数有意义，则，即，解得， 所以的定义域为. 1．（24-25高一上·云南·阶段练习）函数的最大值和最小值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用定义判断其为奇函数，再由奇函数的对称性可得. 【详解】由题意，令， 可知函数的定义域为，且， 故函数为奇函数， 根据奇函数的性质可知，函数的最大值与最小值之和为， 即， 故． 故选：B． 2．（多选题）（22-23高三上·河北邯郸·期中）设函数f(x)＝，则下列结论正确的是（    ） A．|f(x)|是偶函数 B．-f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 【答案】ABC 【分析】首先判断函数的奇偶性，再此基础依次判断选项. 【详解】函数f(x)=定义域为R，则f(-x)＝＝-f(x)，∴f(x)是奇函数， ，所以函数是偶函数，故A正确； ，所以函数是奇函数，故B正确； 是奇函数，是偶函数，所以是奇函数，故C正确； ∵f(|-x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数，故D不正确． 故选：ABC 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用分母不为0即可求解. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为： 4．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知定义在上的偶函数和奇函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)设函数，当时，方程有解且所有解均在区间内，求实数，的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）由题设及函数的奇偶性有，解方程组求解析式. （2）由题设可得，再由m的范围求对应的自变量范围，结合题意即可求，的取值范围． 【详解】（1）由，可得， 又是偶函数和是奇函数，故， 由，解得，， （2）由（1）得， 由，得， ∴， 由，即，化简得，即，解得， ∴，． 【经典例题六 求指数函数在区间内的值域】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 【例2】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，（且）. (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若. ①求实数的值； ②设，，当时，试比较，的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可； （2）根据两个函数在上的值域来比较较，的大小即可. 【详解】（1）函数，对称轴， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 若函数在上单调递减，则，， 故实数的取值范围为. （2）①，即，解得； ②当时， ， ， 所以，即. 1．（23-24高二上·广西贵港·期中）已知函数，函数，对时，总使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】求出的值域和的值域，由可得结论、 【详解】由已知得：函数，在上的值域为，所以，解得. 故选：D． 【点睛】结论点睛：本题考查方程有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，值域为，，值域为． （1）若，，使得成立，故； （2）若，，使得成立，故； 2．（多选题）（23-24高一上·广西玉林·期中）已知函数，则（    ） A．的图象关于原点对称 B．是偶函数 C．的值域为 D．，，且，恒成立 【答案】ACD 【分析】对于A：利用奇函数的定义判断；对于B：利用偶函数的定义判断；对于C：由，得到判断；对于D：由判断. 【详解】因为 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为，所以，， 所以，所以，故C正确； 对于D： 若，则；若，则；而，，都有，，， 所以恒成立，故D正确． 故选：ACD． 3．（2025·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则 ． 【答案】5 【分析】利用给定函数所过点建立方程组，结合已知等式求出. 【详解】依题意，，整理得，则， 而，因此，又，则，而， 所以. 故答案为：5 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 【经典例题七 求指数型复合函数的值域】 【例1】（24-25高三上·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数单调性得到值域. 【详解】，又在R上单调递减， 故，又，故值域为. 故选：A 【例2】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数. (1)求函数的值域； (2)判断并证明的奇偶性. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，将函数化简可得，即可得到其值域； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义即可证明. 【详解】（1）函数的定义域为R， ， ，，， 函数的值域为； （2）为奇函数，证明如下： 定义域为R，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 1．（24-25高三上·江苏扬州·期中）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是指数复合函数，先判断函数单调递增，通过求出和趋于时的值来确定值域. 【详解】由复合，两个都是增函数，则原函数为增函数. 当时，. 当趋于时，也趋于.因为指数函数（），当趋于时，趋于，所以趋于，所以. 故原函数值域为. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高一上·吉林长春·期中）若函数（且）为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．为减函数 C．的值域为 D．的值域为 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义求解A，再根据指数函数的单调性求解B，根据指数函数的性质求解选项C，D. 【详解】因为，所以恒成立，所以函数的定义域为， 又因为函数为奇函数，所以，解得， 此时， ， 则函数为奇函数，所以，A正确； 因为， 是增函数，则为减函数，且 则为增函数，则是增函数，B错误； 因为， 所以，则， 则，则， 所以的值域为，C错误，D正确； 故选：AD. 3．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【分析】函数可化为，根据题意，结合二次函数的单调性，求出函数y的最小值与最大值，即可得出函数的值域. 【详解】由题意可得：， 因为时，则， 根据二次函数的单调性知， 时，y取得最小值为；时，y取得最大值为； 所以函数y的值域是 故答案为： 4．（24-25高一上·河北·阶段练习）已知函数. (1)求的解析式； (2)求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，利用换元法可得答案； （2）令，转化为求值域，利用换元法可得答案. 【详解】（1）由得， 令，则， 所以， 所以； （2）由（1）， 令，则， 可得， 其图象为开口向下，对称轴为在上的抛物线的部分图象， 所以当时，有最大值， 当时， 所以， 即的值域为. 【经典例题八 根据指数函数的值域或最值求参数(定义域)】 【例1】（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知是集合A到集合B的函数，若对于实数，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的值域，再根据函数的定义，即可得答案； 【详解】， 根据函数的定义可得. 故选：A. 【例2】（23-24高二下·四川雅安·期末）已知函数， (1)当时，求函数在的值域 (2)若关于x的方程有解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，令，则，最后根据二次函数的性质计算可得； （2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得； 【详解】（1）解：∵，， 令，∵，∴， ∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时， ∴的值域是. （2）解：方程有解， 即有解， 即有解， ∴有解， 令，则， ∴. 1．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可. 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 2．（多选题）（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）函数且，当时，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【分析】分类讨论且是增函数还是减函数，将对应值带入计算即可. 【详解】当时，函数单调递减，，解得 当时，函数单调递增，，解得． 故选：BC． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围），从而得解. 【详解】依题意，令，解得；令，解得； 当时，，则， 由指数函数的性质作出的大致图象，如图，    因为的值域为，所以，， 则，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值. 【详解】（1）当时，，. 令，因为，则， 所以，其中，根据二次函数性质可知： 当时，；时，，即， 所以的值域为. （2）令，因为，则， 则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时，解得； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得，不合题意舍去； 当时，在上递减，所以， 可得，不合题意； 综上，. 【经典例题九 比较指数幂的大小】 【例1】（24-25高二下·河南商丘·期末）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质比较大小. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以． 故选：D． 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）已知，比较，的大小； （2）比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先确定函数的单调性，由，利用函数的单调性，即可得到，的大小关系； （2）先利用函数的单调性，得到与1的大小关系，再利用函数的单调性，得到与1的大小关系，即可得解. 【详解】（1），函数在上是减函数， 又，； （2），函数在上是减函数． 又，； 又，函数在上是增函数． 又，． 综上可知，． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 函数是减函数， 所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知实数、满足等式，则下列关系式中可能成立的是（　 ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分、、三种情况讨论，数形结合可得结果. 【详解】如下图所示： 当时，则； 当时，则； 当时，. 故选：ACD. 3．（2023高三·全国·专题练习）已知，， ，则、、的大小关系为 【答案】 【分析】根据指数幂的运算，先比较的大小关系，然后再比较的大小关系，即可得到结果. 【详解】由题意可知， ，故； 又，， 因为，故， 综合可得. 故答案为: 4．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）函数在定义域R上单调递减,比较大小； （2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图象，取点比较大小； （3）分别构造函数与，借助中间值比较大小. 【详解】（1），函数在定义域R上单调递减， 又，. （2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图象，如图所示， 当时，观察图象易得. （3）分别构造函数与， ，，与在R上分别为增函数和减函数. ，， ，，. 【经典例题十 求已知指数型函数的最值】 【例1】（2024高二下·云南·学业考试）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意结合指数函数单调性分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 且在上单调递增，可得， 所以函数的最小值为1. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数： (1)作出其图像； (2)由图像指出当取何值时，函数有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)作图见解析 (2)取最小值，最小值为1． 【分析】（1）化简函数为，结合指数函数的图象，得出函数的图象； （2）由（1）中的图象，进而求得函数的最小值，得到答案. 【详解】（1）解：由函数，该函数的图象，如图所示， （2）解：由（1）中的图像可知，当时，函数取最小值1． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，去绝对值，结合偶函数性质可解. 【详解】因为，是增函数，所以， 显然函数为偶函数，则,因此函数的值域为. 故选：D. 2．（2025·上海金山·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（    ） ①；②；③函数有最小值. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】通过赋值法判断①②，举反例判断③. 【详解】由任意，都有， 令，可得，因为，解得，故①正确； 令，，可得， 整理得，又，得，故②正确； 对于③举反例，如， 满足条件（1），又，， 则，满足条件（2）， 而没有最小值，故③错误. 所以正确的有2个. 故选：C. 3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】确定的定义域为，得到，解得答案. 【详解】函数的定义域为，故的定义域为， 的定义域满足，解得，即定义域为， 故答案为：. 4．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上有意义，求的取值范围. 【答案】. 【分析】将问题转化为不等式在区间上恒成立，然后参变分离，利用单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间上有意义， 所以，不等式在区间上恒成立， ∵，∴，∴. 记， ∵与是上的减函数， ∴函数在上的单调递增. ∴时，恒成立. ∴，即的取值范围是. 【经典例题十一 根据指数函数的最值求参数】 【例1】（23-24高一上·江西宜春·期末）设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【答案】C 【分析】首先换元令，则函数等价于，根据题意能取到，分 和两种情况讨论即可. 【详解】设，则函数等价于， 因为函数函数在区间上的最小值为－8， 所以能取到， 当时，， 所以，可得， 当时，， 所以，可得， 故选：C 【例2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知在上的最大值与最小值之和为20． (1)求a的值． (2)若，求证为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据指数函数的单调性进行求解即可； （2）根据指数的运算性质进行求解证明即可. 【详解】（1）∵为单调增函数 ∴， 解得：，或，而， 所以； （2）由（1）知：， ∴， ∴. 1．（2025高三·全国·专题练习）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解． 【详解】∵函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或． 故选：A． 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）已知函数，（且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值可以为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】AC 【分析】分、讨论，利用的单调性求出最大值、最小值再做差可得答案. 【详解】当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得或（舍去）； 当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得或（舍去）． 故选：AC． 3．（2024高一·全国·专题练习）若函数有最大值3，则 . 【答案】1 【分析】利用指数型复合函数单调性可知应有最小值，再由二次函数性质可得. 【详解】令，则， 因为有最大值3，所以应有最小值； 由此可得解得. 故答案为：1 4．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知函数且. (1)若，求的值； (2)若在上的最大值比最小值多，求的值. 【答案】(1)2 (2)或 【分析】（1）利用求解即可； （2）分类讨论和两种情况，利用单调性求出最大最小值求. 【详解】（1），解得. （2）当时，在上单调递减， ，， 则， 因为，所以； 当时，在上单调递增， ，， 则， 因为，所以. 综上，的值为或. 【经典例题十二 指数函数最值与不等式的综合问题】 【例1】（23-24高一·吉林·阶段练习）定义，如，且当时，有解，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得，求出在上的最大值即可求解. 【详解】由题意可得， 设，， 所以，， 令，则，， 所以， 若有解，则， 所以实数k的取值范围是. 故选：A 【点睛】思路点睛：（1）若在上恒成立，只需. （2）若在上有解，只需. 【例2】（2022高一上·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数．在时，． (1)试求的表达式； (2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算可得； （2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解； 【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，， 因为在时，， 设，则， 则， 故 . （2）解：由题意，可化为 化简可得， 令，， 因为在定义域上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， ， 故． 1．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，分三种情况当时，当时，当时，求得函数的值域，问题转化为，对任意，，，恒成立求解． 【详解】解：因为，，为某一个三角形的三条边长， 所以，对任意，，，恒成立， 函数， 当时，，满足，符合题意； 当时，在上递减， 所以函数的值域为， 所以且， 所以，又，所以， 当时，在上递增， 函数的值域为， 所以且， 所以，解得，所以， 综上的取值范围是． 故选：D． 2．（多选题）（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先根据不等式与方程的关系可知，再用表示，再根据选项，即可判断. 【详解】由题意可知，，得，， 因为，所以，故A正确； ，即，，故B正确， ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 3．（23-24高一上·广西北海·期末）已知函数，R的图象与轴无公共点，求实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令＝t＞0，则g(t)＝>0对t＞0恒成立，即对t＞0恒成立，再由基本不等式求出的最大值即可. 【详解】，R， 令＝t＞0，则f(x)＝g(t)＝， 由题可知g(t)在t＞0时与横轴无公共点， 则对t＞0恒成立， 即对t＞0恒成立， ∵，当且仅当，即时，等号成立， ∴， ∴. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）设，如果当时有意义，求的取值范围． 【答案】 【分析】利用真数大于，将问题转化为，根据的单调性求其上界，从而求得的取值范围． 【详解】因为， 所以． 令， 因为， 所以函数在单调递减， 所以在单调递增， 所以当时，， 所以． 即的取值范围为 【经典例题十三 指数函数模型的应用(1)】 【例1】（2024高一·全国·专题练习）某种放射性元素，每年在前一年的基础上按相同比例衰减，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（    ） A．0.015克 B．克 C．0.925克 D．克 【答案】D 【分析】设每年减少的比例为x，由题意得出指数关系，求出x，再计算三年后剩余量即可. 【详解】设每年减少的比例为x，因此1克这种放射性元素，经过100年后剩余克， 依题意得，所以， 3年后剩余为，将x的值代入，得结果为， 故选：D. 【例2】（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，设出增长率，列出指数方程，求解即可； （2）根据（1）中所求，设出植树造林的年限，列出指数方程，求解即可. 【详解】（1）设森林面积的年增长率为，根据题意可得：， 即，则，故. 故森林面积的年增长率为. （2）设该地已经植树造林年，根据题意可得：， 即，则，解得. 故该地已经植树造林年. 1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 2．（多选题）（23-24高一上·湖南张家界·期末）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位：天)的规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加倍需要的时间，判断错误的有（    ）（参考数据：ln2≈0.69） A．约1.8天 B．约2.6天 C．约3.5天 D．约6.9天 【答案】BCD 【解析】根据所给模型求得，设感染病例数增加倍需要的时间为，则，然后解出即可． 【详解】把，代入， 可得，可得， ， 设感染病例数增加倍需要的时间为， 因为感染病例数增加倍，感染病例数变为原来的二倍， 所以，则， 两边取对数得，解得． 即在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加倍需要的时间约1.8天， 所以判断错误的有BCD. 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 3．（22-23高一上·浙江杭州·期中）如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，t min后剩余的水符合指数衰减曲线，那么桶2中的水就是．假设过5min后，桶1和桶2的水量相等，则再过m min后桶1中的水只有升，则m的值为 ． 【答案】10 【分析】代入数据得到，根据题意得到，解得答案. 【详解】当时，，即， ，即，故，故. 故答案为：10 4．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知函数. (1)求与，与的值； (2)由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想； (3)求的值. 【答案】(1)），，， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意代入0，2，-1，3求值即可； （2）根据（1）的结果猜想，计算的值即可证明； （3）根据（2）的结果可得，根据规律计算即可求解. 【详解】（1）解：因为，故，，，. （2）解：猜想：， 证明：∵对于任意的，都有 ∴. 故. （3）解：由（2）得， 故，，， 所以 . 【拓展训练一 指数函数图像相关问题】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数（，且）的图象不经过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质分别说明，时函数图象的特点确定的范围，即可得结论. 【详解】当时，的图象必定经过第二象限，不符合题意； 当时，在中，令，得，因为函数是增函数， 所以只需要即可使的图象不经过第二象限，此时，即的取值范围为． 故选：B. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知且，，当时，均有，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题意可知，当时，恒成立，即在上恒成立，令，，结合函数图象，分情况列出不等式，解不等式，求出实数的取值范围. 【详解】由题意，知当时，． 令，，作出和的图象如图所示， 由于， 则当时，，即，所以； 当时，，即，所以． 综上，实数的取值范围是. 【点睛】该题考查的是有关根据不等式在相应区间上恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有数形结合和分类讨论的思想，属于中档题目. 1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数图象，结合图象判断AB，再由讨论去掉绝对值号化简可判断CD． 【详解】由图示可知，的符号不确定，，故A、B错； ， 如上图，满足，故C不一定成立， 当时，由得，则，所以，故D正确． 故选：D 2．（多选题）（23-24高一上·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案． 【详解】 则的图象如图所示：    ∵， ∴若，则，这与已知矛盾． 同理，也不成立，∴只有或这两种情况． ∴，故B一定不成立，A成立； 又，即， ∴，故D一定成立，C一定不成立． 故选：BC． 3．（2024·上海·高考真题）已知常数，函数的图像经过点、，若，则 【答案】 【分析】将点代入函数并相加可得，化简后可得，从而可求解. 【详解】根据题意，，即， 去分母化简得，所以，因为，所以. 故答案位：. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． （1）作出函数的图象； （2）若，且，求证：． 【答案】（1）图象见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先根据绝对值定义化函数为分段函数形式，再作图； （2）先根据函数单调性确定，再根据与1大小分类证明不等式. 【详解】（1），其图象如图所示． （2）由图知， 在上是减函数，在上是增函数， 故结合条件知必有． 若，则，，所以； 若，则由，得， 即，所以． 综上知，总有． 【点睛】本题考查函数图象、证明不等式，考查综合分析论证能力，属中档题. 【拓展训练二 求指数函数的定义域与值域】 【例1】（2023·广西·模拟预测）若函数的最小值为m，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，再根据函数的最小值为m，即可得解. 【详解】若，则， 因为， 所以， 因为函数的最小值为m，所以函数的最小值也为m， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明. 【例2】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知. (1)当时，根据定义证明函数在区间上单调递增； (2)若，设，判断函数的奇偶性. 【答案】(1)证明见解析； (2)为奇函数. 【分析】（1）根据函数解析式，直接利用定义法证明单调性. （2）由求出，并求得和，再利用函数奇偶性定义判断的奇偶性. 【详解】（1）当时，函数 ，设， 则 ， 由，则，，，所以，即， 所以函数在区间上单调递增. （2）由及，得，解得， 因此，则，函数的定义域为R， ，所以为奇函数. 1．（23-24高一上·辽宁·期末）设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件先判断函数f（x）的奇偶性和求值范围，然后讨论和的取值范围，结合的定义进行求解即可． 【详解】因为，所以，则是奇函数， ， 因为，所以，则，则，即的值域为， ①若，由，则， 所以 ②若，由，则， 所以 ③若，则，所以. 综上所述，函数的值域为. 故选：B. 2．(多选题)（23-24高一上·江西景德镇·期末）函数的定义域为M，值域为N=[1，2]，下列结论一定正确的是（    ） A．-1M B．1M C．M D．M 【答案】ABCD 【分析】先根据函数的值域求出定义域，进而作出判断. 【详解】因为函数值域为，所以，即，即，即，所以，函数定义域为，ABCD均正确. 故选：ABCD 3．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 【答案】 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数在上的值域是. 故答案为： 4．（22-23高一上·浙江嘉兴·期中）函数 (1)求的定义域和值域； (2)求的单调区间. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2)递增区间是，递减区间是. 【分析】（1）利用函数有意义列出不等式求出定义域，结合二次函数、指数函数求出值域. （2）利用二次函数、指数函数单调性，结合复合函数单调性求出单调区间. 【详解】（1）函数有意义，则，即，解得， 所以的定义域为； ，当且仅当时取等号，即， 因此，， 所以的值域为. （2）函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在R上单调递增，因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 【拓展训练三 指数函数最值的相关求解】 【例1】（23-24高三上·江西赣州·期中）函数在上的最大值与最小值的和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对底数分和两种情况讨论，分析函数的单调性，得出函数在区间上的最大值和最小值，利用最大值和最小值之和为求出实数的值. 【详解】①当时，函数在上单调递减， 由题意得，解得，不合题意； ②当时，函数在上单调递增， 由题意得，解得，符合题意. 综上可得，故选A. 【点睛】本题考查指数函数的最值，当底数的范围不确定时，一般要分和两种情况讨论，分析指数函数的单调性，根据单调性得出指数函数的最值，考查分类讨论思想，属于中等题. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． (1)求的表达式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数经过两点，列出方程组，求解即可. （2）利用函数的单调性求解函数的最小值，然后求解不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数的图象经过点, 则，解得， 所以函数. （2）不等式在上恒成立， 则， 令， 因为函数在上是减函数， 所以， 所以. 即实数的取值范围为. 1．（23-24高二下·重庆沙坪坝·期中）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义证明函数的单调性，再由函数不等式恒能成立的性质得出，从而得出实数的取值范围. 【详解】任取， ， 即函数在上单调递减， 若，使得，则 即 故选：A 【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下： (1)，，使得成立等价于 (2)，，不等式恒成立等价于 (3)，，使得成立等价于 (4)，，使得成立等价于 2．（多选题）（22-23高一上·全国·单元测试）函数的定义域为，值域，则下列结论中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】使用换元法，将原函数转化为二次函数，由二次函数的性质对各选项依次进行辨析即可. 【详解】∵， ∴令（），则， 由已知，， ∵，∴由二次函数的性质可知， 当且仅当，即时，；当且仅当，即时，， ∴，，故选项A错误，选项C正确，选项D正确； 设集合， 由二次函数的性质，若当时，值域为， 则，∴由指数函数的单调性知，，故选项B正确. 故选：BCD. 3．（23-24高一上·四川·期中）已知，若对，，，总有，，为某个三角形的三边边长，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】由题意可得，对，，，总有恒成立，转化为，根据单调性求函数最值即可. 【详解】由题意可得：对，，，总有恒成立，只需 ， ①当时，，满足题意； ②当时，在上单调递减，，故需，即； ③当时，在上单调递增，，故只需，即， 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：原问题对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，转化为对，，，总有恒成立，是解题的关键. 4．（22-23高一上·天津南开·阶段练习）已知函数. (1)若时，求满足的实数的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，结合，解方程得出实数的值； （2）将问题转化为存在，使得，只需求出函数的最小值即可，再利用换元法求的最小值. 【详解】（1）当时，，令，则， 解得或（舍），由，得 （2）由已知，存在，使成立可转化为存在，使得， 只需求出函数的最小值即可， 令，∴.则，易知在上单调递增，所以 ，∴，∴. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】原式． 故选：D 2．（22-23高三上·河南商丘·阶段练习）若函数（，且），则（    ） A．1010 B．1011 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】由函数式计算出，因此对所求和采取倒序相加法求解． 【详解】由，得， 设， 则. 两式相加，得，所以. 故选：B 3．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式可知，或，结合图象，分析可得的取值范围. 【详解】当时，，得，，不能满足都有解； 当时，，得或， 如图，当或时，只需满足或，满足条件. 所以，时，满足条件. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查根据不等式成立，求参数的取值范围，本题的关键是利用数形结合理解，分析，. 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法令，的值域等价于求的值域，根据二次函数性质即可得解. 【详解】令， 的值域等价于求的值域， 单调递减，单调递增， ，， 所以. 故选：D 5．（23-24高一上·浙江宁波·期末）某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过周，该植物的长度大约是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为. 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：C. 6．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）设函数（，且），若，则（    ） A． B． C． D．E． 【答案】AE 【解析】计算得到，故，计算函数值比较大小得到答案. 【详解】由得，即， 故，，，，所以AE正确. 故选： 【点睛】本题考查了指数函数的解析式，比较函数值大小，意在考查学生对于指数函数性质的理解. 7．（多选题）（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知函数，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数有下界，为其一个下界；类似的，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称函数有上界，为其一个上界.若函数既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.以下四个选项中正确的是（    ） A．“函数有下界”是“函数有最小值”的必要不充分条件 B．若定义在上的奇函数有上界，则该函数是有界函数 C．若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数 D．若函数在区间上为有界函数，且一个上界为2，则 【答案】ABD 【分析】根据题意，由有界函数的定义，结合特殊函数、指数函数，以及函数的奇偶性的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，设函数，则恒成立，即函数有下界， 但函数在上没有最小值，即充分不成立； 反正：若函数有最小值，设最小值为，则成立，即必要性成立， 所以函数有下界是函数有最小值”的必要不充分条件，所以A正确. 对于B中，若定义在上的奇函数上上界，设函数的上界为，则， 根据题意，可得，恒成立， 若时，成立，则当时，，可得， 因为函数为奇函数，可得，所以成立； 若时，成立，则当时，，可得， 因为函数为奇函数，可得，所以成立； 当时，由奇函数的性质，可得，显然满足， 所以，成立，所以为有界函数， 即定义在上的奇函数有上界，则该函数是有界函数，所以B正确； 对于C中，令函数，则函数只有下界，没有上界， 所以该函数不是有界函数，所以C错误； 对于D中，由函数， 当时，函数的图象如图（1）所示， 要使得函数在区间上为有界函数，且一个上界为， 则，解得，即； 当时，函数的图象如图（2）所示，当时，， 此时函数在区间不是有界函数，（舍去）. 综上可得，实数的取值范围为，所以D正确. 故选：ABD.    8．（多选题）（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据函数的解析式可判断A；求出的值域再利用指数函数的单调性可判断B；根据复合函数的单调性可判断CD. 【详解】对于A，函数的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，所以， 故函数的值域为，故B正确； 对于CD，因为在R上是减函数， 在上是减函数，在上是增函数， 所以函数在上单调递减，C错误，D正确. 故选：ABD. 9．（多选题）（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，、为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（    ） A． B．储存温度越高保鲜时间越长 C．在10℃的保鲜时间是60小时 D．在30℃的保鲜时间是15小时 【答案】ACD 【分析】由题意可知，，求得，进而可得，可判断A；利用单调性可判断B；计算可判断C；计算可判断D. 【详解】对于A，由题可知，，则，故， 所以，则，A正确； 对于B，由A可知，在上是减函数，且在上是增函数， 所以在上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B错误； 对于C，由A可知，小时，C正确； 对于D，由A可知，小时，D正确. 故选：ACD. 10．（多选题）（23-24高一上·河南南阳·期中）若函数的图象上存在不同的两点到直线的距离均为1，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分别作出指数函数，以及选项中的函数图象，逐项分析，即可求解. 【详解】分别作出指数函数和，，和相应的图象，如图所示： 对于A中，函数的图象上存在两点与到直线的距离均为1，所以A正确； 对于B中，函数的图象在直线上方的部分仅存在一点到直线的距离为1， 在直线下方的部分满足，到直线的距离均小于1， 故不存在符合条件的两点，所以B错误； 对于C中，因为，故其图象上所有点到直线的距离均大于1，所以C错误； 对于D中，由点作直线的垂线，垂足为， 在等腰直角中，可得点直线的距离为， 由指数函数的图象知，在点的两边各存在一点到直线的距离为1，所以D正确． 故选：AD.    11．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数图象性质可知至少向下平移个单位长度才能满足题意，即可求得. 【详解】由已知可知在上单调递增， 已知函数的图象如下图所示： 故若要符合题意需满足，可得 故答案为：. 12．（2025高三下·全国·专题练习）若曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出曲线与直线的图象，由条件结合图象求的范围. 【详解】画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线有两个公共点， 则的取值范围是． 故答案为：. 13．（24-25高一上·甘肃·期末）已知，求函数的值域为 ． 【答案】 【分析】借助换元法可得，再结合的范围运用二次函数性质计算即可得. 【详解】令，由，则， 则 ， 由，则， 又当时，， 当时，， 有， 故，故函数的值域为. 故答案为：. 14．（22-23高三上·上海·开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由指数函数性质求解 【详解】令，由题意得的值域为， 又的值域为，所以解得 所以的取值范围为． 故答案为： 15．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数的图象经过点，其中且．则 ；函数的值域为 ． 【答案】 【解析】【答题空1】 将点代入函数解析式即可. 【答题空2】 根据函数的定义域和指数函数的性质求函数的值域. 【详解】由题意：点代入中得； ，因为， 所以，则，故函数 的值域为. 故答案为： ,. 【点睛】易错点睛：容易忽略而致误. 16．（23-24高一上·吉林长春·开学考试）已知函数 （1）求； （2）求的值； （3）求的值 【答案】（1）；（2）1；（3） 【分析】（1）（2）求值时只需将相应的自变量值代入化简即可；（3）中式子项数较多，求解时借助于（2）中的结论，对所求式子重新分组可较快的求得其值. 【详解】（1） （2） （3）由（2）知 . 17．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数满足. (1)求实数的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出后代入方程即可求解； （2）先求出，令，利用二次函数性质即可求解值域. 【详解】（1），由题意有， 化简得，解得（舍去）或，故； （2）由（1）可知，所以， 令（当且仅当时取等号）， 所以所求函数为， 由函数在上单调递增，所以， 即函数的值域为. 18．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知函数且. （1）求函数的值域； （2）若时，函数的最小值为，求的值和函数的最大值． 【答案】（1）；（2）或，当时，的最大值为；当时，的最大值为． 【分析】（1）通过换元转化为二次函数求值域，再利用单调性可而得到函数值域； （2）通过换元转化为二次函数的最值，讨论和，利用二次函数的单调性可求出结果. 【详解】（1）设， 在上是减函数 , 所以值域为. 所以函数的值域为. （2）当时，， 所以在上是减函数， ，即，解得或（不合题意舍去）， 当时，有最大值， 即， 当时，， 所以在上是减函数， ，或（不合题意舍去） 或（舍去）， 当时，有最大值，即. 综上，或，当时，的最大值为； 当时，的最大值为. 19．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数. （1）当，时，求函数的最大值与最小值； （2）若函数在上恒有，求实数a的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）. 【解析】（1）化简得到，令，则，计算得到答案. （2）变换得到在上恒成立， 设，，根据函数单调性得到答案. 【详解】（1）. 令，则. 由，得， 当时，y取得最大值，；当时，y取得最小值，. 即函数的最大值为，最小值为. （2）, ,, ， 在上恒成立， 设，由，得. 设，， 在上单调递减，在上单调递增， ，， ，即实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查了函数的最值，函数的恒成立问题，构造函数是解题的关键. 20．（23-24高一·全国·单元测试）一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 【答案】（1）；（2）5；（3）15． 【分析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，由指数函数的性质列式求解； （2）由求解可得； （3）由求解可得． 【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则， ，，； （3）设今后最多还能砍伐年， 则， ，，． 答：（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年． 【点睛】思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，设百分比为，那么年后，剩余量为．抓住这个模型，通过解指数方程、指数不等式可得． 学科网（北京）股份有限公司 $