专题1.1.2 集合的基本关系重难点题型讲义（3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题1.1.2 集合的基本关系重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断集合的子集(真子集)的个数 题型二 求集合的子集(真子集) 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 判断两个集合是否相等 题型六 根据两个集合相等求参数 题型七 空集的概念以及判断 题型八 空集的性质及应用 题型九 根据集合相等关系进行计算 拓展训练一 集合间关系的求参问题 拓展训练二 子集（真子集）与空集的性质及应用 知识点一：子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  【即时训练】 1．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【答案】D 【分析】列举出满足条件的元素a，b并求出其和，据互异性，即可得出新集合的元素个数，进一步求出其子集个数. 【详解】因为，且， 所以， 可知集合中共有5个元素， 所以集合的所有子集的个数为. 故选：D. 2．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 【答案】，，， 【分析】先求出集合，再列出它的子集即可. 【详解】∵， 所以集合的子集有：，，，. 故答案为：，，， 知识点二：真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等； Eg：是对的，而是错的，若，则也成立； 对比下，是对的，但是错的，若，则也成立. 【即时训练】 1．（24-25高三上·江西宜春·期末）集合的真子集的个数是（    ） A．15 B．8 C．7 D．63 【答案】C 【分析】根据条件求解的范围，结合，得到集合为，写出其真子集即得解. 【详解】由于， ，又， ， ，即集合， 该集合的所有真子集为， 该集合的真子集个数为， 故选：C. 2．（22-23高一上·浙江·阶段练习）集合的非空真子集有个 ． 【答案】30 【分析】首先用列举法表示集合，即可得到其元素的个数，再根据含有个元素的集合的非空真子集有个计算可得. 【详解】解：因为，所以集合含有个元素， 则其非空真子集有个； 故答案为： 知识点三：集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即 且. 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【即时训练】 1．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】C 【分析】根据是的倍数，，即可求解. 【详解】由于是与的公倍数,， 故是的倍数,， ,故， 故选：C 2．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据建立方程，求解出参数，得到答案即可. 【详解】因为集合， 所以，解得，从而 故答案为： 【经典例题一 判断集合的子集(真子集)的个数】 【例1】（2025·广东深圳·二模）已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（    ） A．55 B．70 C．89 D．630 【答案】A 【分析】用列举法找出满足条件的子集即可. 【详解】最小元素是2的有，共10个； 最小元素是3的有，共6个； 最小元素是4的有，共3个； 最小元素是5的有，共1个，所以. 故选：A 【例2】（23-24高三上·江苏泰州·开学考试）设集合，集合，满足，且. (1)若，求满足条件的集合的个数； (2)对任意的满足条件的及，求集合的个数. 【答案】(1)16个； (2). 【分析】（1）时，可得出，根据条件，可分别求出时，集合的个数，再求和即可； （2）当时，分别求出时，集合的个数，再求和即可. 【详解】（1）解：当时，；∵，∴或， 当时，和可分别为2和4,3和5,4和6；此时对应的分别有1个，2个和3个； 当时，和可分别为2和3,3和4,4和5,5和 6；此时对应的分别有1个，2个，3个和4个； ∴集合的个数个； （2）解：当时，若时，则和可分别为2和4,3和5,…，和， 此时对应的分别有1个，2个，…，个，共有个； 同理，时，则和可分别为2和3,3和4,…，和， 此时对应的分别有1个，2个，3个，…，个，共有个； ∴集合的个数为： . 故集合的个数为. 1．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【详解】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 B．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 C．若m，，则 D．若m，，则 【答案】AC 【分析】对于A由即可判断，对于B由于即可判断，对于C存在，，，使得，，计算是否满足集合即可判断，对于D验证是否满足集合即可判断. 【详解】对于A：因为对任意的，均有，显然，，故的所有项构成的集合是A的子集，故A正确； 对于B：数列的首项，，a，，故B错误； 对于C：若m，，则存在，，，使得，，则，故，故C正确； 对于D：由C项知， 但不一定是整数，故不一定有，故D错误． 故选：AC. 3．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合P个数是 . 【答案】1012 【分析】根据题中条件先用表示出，得到，再由，求出范围，即可得出结果. 【详解】因为，所以， 即，整理得，所以， 故或（舍去），则， 所以， 令，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1012. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据，用表示出，再由集合满足的条件，求解即可. 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）若集合，集合，其中，则称集合是集合的一个“元子集”.若“元子集”中的元素满足对任意，恒有，则称为的一个“个性独立子集”.已知集合，集合是的一个“个性独立子集”. (1)求所有满足条件的集合的个数； (2)若且互不相等，证明：为定值. 【答案】(1)1024 (2)证明见解析 【分析】（1）将集合分成10个2元子集，再从中各取1个元素，进而求得集合的元素，得到其子集的个数； （2）方法一、设，由（1）可知，与的关系为或，得到或，从而证得等式两边加上相同项，即可得证； 方法二、根据题意得到，结合，即可得证. 【详解】（1）将集合分成10个2元子集，，， 其中每个集合中两元素之和均为21，故从中各取1个元素， 作为集合的元素，则符合题意，所以集合的个数为. （2）方法一、 设， 是的两个不同的“个性独立子集”，且， 由（1）可知，通过排序可使得， 同理， 故当，且时，与的关系为或， 因为，可得或， 设去掉集合中相同的项重新组成的集合分别为，， 又因为，故， 则 ， 所以， 等式两边加上相同项，即为定值. 方法二、 由题意得， 即， 故， 因为，可得， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解. 【经典例题二 求集合的子集(真子集)】 【例1】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ） A．12 B．32 C．80 D．192 【答案】B 【分析】求出集合的所有非空子集，再利用交替和的定义求解即得. 【详解】集合的所有非空子集为 ， 所以交替和的总和为 . 故选：B 【例2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）写出集合P的所有子集，其中. 【答案】， ， ， 【分析】依次写出集合P中的所有元素，，即可写出其所有子集. 【详解】由题可解得， 所有子集分为： 没有元素：； 一个元素：； 两个元素： ； 三个元素： ； 四个元素：. 所以，所有子集为： ， ， ， 【点睛】此题考查求集合中的元素和写出集合的子集，其中要求根据题目条件准确写出集合中的元素，根据集合中元素个数分别写出子集，做到不重不漏. 1．（24-25高一·全国·课后作业）满足条件∅⫋ M⫋{a，b，c}的集合M共有（　　） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】利用真子集定义、列举法能求出满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M的个数. 【详解】解：满足条件∅⫋ M ⫋{a，b，c}的集合M有： {a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.共6个， ∴满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M共有6个. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高一上·辽宁·阶段练习）我们将数集的任意一个非空子集中的各元素之和称为的一个子集和（若的子集只有一个元素，则该元素为的一个子集和）.若有限数集中的元素均为正整数，且的任何两个子集和均不相等，则称为异和型集，下列结论正确的是（   ） A．集合的一个子集和可能为5 B．存在含有4个元素的异和型集，其元素均小于9 C．集合为异和型集 D．任意一个含有个元素的异和型集，其元素之和不小于 【答案】ABD 【分析】根据本题集合的新定义，逐个判断即可. 【详解】A选项：，且，故A选项正确； B选项：的子集和为, 满足任何两个子集和均不相等且元素均小于9，故B选项正确； C选项：的子集与的子集和相等，故不满足异和型集，故C选项不正确； D选项：当集合含有n个元素的异和型集时，设 设为数列的前项和，则，∴ 要想最小，则，，此时，故D选项正确； 故选：ABD 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）记为集合中所有元素之和，对于集合，，则所有之和等于 . 【答案】 【分析】列举出所有满足条件的集合，即可得出所有之和. 【详解】因为集合，，分别列举出满足条件的集合 （1）若集合只有一个元素，则集合为：、、、、； （2）若集合有两个元素，则集合为：、、、、 、、、、、， 在这些集合中，、、、、每个数都出现次； （3）若集合有个元素，则集合为：、、、 、、、、、、， 在这些集合中，、、、、每个数都出现次； （4）若集合有个元素，则集合为：、、、 、， 在这些集合中，、、、、每个数都出现次； （5）若集合有个元素，则. 综上所述，所有之和为. 故答案为：. 4．（24-25高三上·山东·期中）已知集合，集合，记的元素个数为.若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”. (1)若，分别判断集合，是否为“理想集”（不需要说明理由）； (2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举； (3)若，证明：集合必为“理想集”. 【答案】(1)不是“理想集”，是“理想集”. (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，分别取集合中的三个数，利用列举法，可得答案； （2）利用分类讨论的思想，根据集合的元素个数，结合元素的大小关系，可得答案； （3）利用反证法，任意取三个元素，假设不等式成立，结合元素之间的大小关系，可得答案. 【详解】（1）不是“理想集”，是“理想集”. 由题意，令，则； 令，则；令，则； 令，则；所以不是“理想集”. 令，则，所以是“理想集”. （2）共16个“理想集”. 若，有. 当时，若，则，由可知，故或； 若，则，由可知，则，故. 故含有三个元素的“理想集”，或，共3个. 当时，，，，，，，或，共7个. 当时，，，，，，共5个. 当时，，共1个. 综上所述，所有“理想集”的个数为16个分别为：，，，，，，，，，，，，，，，. （3）若，记且. 利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有， 则，，，…，. 记，于是，则. 因此，矛盾. 故集合必为“理想集”. 【经典例题三 判断两个集合的包含关系】 【例1】（24-25高二上·云南保山·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合中表达式化为，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定的包含关系． 【详解】根据已知得，，所以， 故选:． 【例2】（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 【答案】(1)，，理由见解析 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）由，即可证明； （3）根据，同奇同偶及，可得中所有偶数的形式. 【详解】（1）∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ （2）∵集合，恒有 ∴，∴ （3）集合，成立， 同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 一奇一偶时，，均为奇数，为奇数. 因为，故， 所以，集合中的所有偶数为，. 1．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）设，，，那么集合M，P，Q的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先要理解集合的定义以及元素之间的关系.对于这三个集合，需要通过对集合中元素表达式的变形来分析它们之间的包含关系.我们将分别对三个集合中的表达式进行分析和转化，然后比较它们的关系. 【详解】先化简集合、、的表达式： 对于集合，已知，将其通分可得. 对于集合，已知，通分得到. 对于集合，已知，通分得到. 再分析集合和的关系：对于集合中的表达式， 我们可以进行变形：，这里. 这意味着对于任意的，表示的数和（）表示的数是一样的形式，都是的某个整数倍加. 所以集合和中的元素是相同的，即. 最后分析集合与（）的关系：对于集合中的表达式，. 这表明表示的是的偶数倍加，而集合（）中的素是的整数倍加. 所以集合中的元素都是集合（）中的元素，但集合（）中存在元素不属于集合， 综上，. 故选：. 2．（多选题）（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B，然后利用集合关系即可判断. 【详解】对于选项A，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项A正确； 对于选项B，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，所以选项B错误； 对于选项C，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项C正确； 对于选项D，因为，所以是方程的解， 所以方程变形为， 因为，所以方程无解， 所以方程有唯一解， 所以，满足，所以选项D正确； 故选：ACD. 3．（24-25高一·全国·课后作业）若集合，，则与的关系是 ． 【答案】 【分析】化简集合，再根据集合间的关系，即可求解. 【详解】由题意，集合， 又因为，所以. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答中正确化简集合，以及熟记集合的包含关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 4．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)判断10，11，12是否属于集合A； (2)若集合，证明：； (3)写出所有满足集合A的偶数构成的集合，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)证明见详解 (3)，理由见详解 【分析】（1）先由平方差公式因数分解，再利用方程组思想确定是否有整数解，从而得出判断； （2）根据题意结合子集关系分析证明即可； （3）利用平方差因数分解，利用奇偶数思想分析，即可得到满足集合中的偶数一定是4的倍数，再证明4的倍数一定是集合中的元素，从而可得集合中的偶数一定是. 【详解】（1）假设， 则，且， 由于，所以或，显然均无整数解， 所以； 由于，满足集合A中元素特征，所以； 由于，满足集合A中元素特征，所以. （2）对任意，均有， 可知，所以. （3）集合，而， ①当和同为奇数和偶数时，均为偶数，所以为4的倍数， 反之当，则不妨令， 可解得，满足集合A中元素特征， 所以满足集合A的偶数为； ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数，不满足题意； 综上所述：所有满足集合A的偶数构成的集合为. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是分类讨论和同为奇数和偶数与和一奇一偶两种情况，结合因式分解即可得解. 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或或， 当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，满足，符合题意. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知或.若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【分析】根据集合的包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得.    综上所述，的取值范围为或. （2）即的范围小于的范围. 要使，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图2得或， 解得.又因为，所以.    综上所述，的取值范围为. 1．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高三上·辽宁·期末）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB 【分析】由，列出等式或，求得，再逐个进行验证即可； 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围为 . 【答案】或 【分析】分为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得解. 【详解】集合中含有参数，所以先考虑是否为空集. 因为， 所以，若为空集，则，解得； 若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； 若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得 综上所述，的取值范围为或. 故答案为：或. 4．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 【答案】 【分析】由题意，所以，这里可以分三种情况，集合是空集、集合中只含有集合中的一个元素，集合中含有集合中的两个元素；对于是的真子集这种情况，较为简单，直接对比即可得解. 【详解】一方面：因为，又，所以； 又因为，且， 所以当,即时，集合，此时有是的真子集，所以满足题意， 当时，，此时集合不是集合的真子集，结合以上两种情况有. 另一方面：因为，所以,分以下三种情况： 情形一：集合是空集，即是空集， 所以方程无解，即， 解得; 情形二：集合中只含有集合中的一个元素，又因为， 所以或，说明方程有重根1或2， 即或， 由完全平方展开得以上情况不可能成立； 情形三：集合中含有集合中的两个元素，又因为， 所以，说明方程有两个不同的实数根或， 即，将展开得， 对比即得. 结合以上三种情形有：. 综上所述：，. 【经典例题五 判断两个集合是否相等】 【例1】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）集合，，试证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据集合相等的定义“若且，则”证明即可. 【详解】一方面，对N中任一元素u，有， 从而. 另一方面，对M中任一元素u，有， 从而. 故． 1．（22-23高一上·福建厦门·阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合元素的性质可判断ACD的正误，算出B中后可判断B的正误. 【详解】对于A，是数的集合，而是点的集合，故不是同一集合，故A错误； 对于B，，，故不是同一集合，故B错误； 对于C，不是同一个点，故不是同一集合，故C错误； 对于D，由集合元素的无序性可得，故D正确； 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对参数进行分类讨论求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 所以，故A正确. 故选：A 3．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合其中函数 （1）若，求集合； （2）若是单元素集，则、之间的关系如何？ （3）一般情况下，猜想与之间的关系，并给予证明. 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析. 【分析】（1）首先根据题意得到，为方程的根，从而得到，，再根据，得到，解方程即可得到集合. （2）首先根据是单元素集，设，得到，再根据得到方程，根为，从而得到，即. （3）首先设为方程的根，即，，又因为，得到，即可得到. 【详解】（1）因为，所以. 若，则，为方程的根， 所以，解得，即. 又因为，即. ， 整理得， ， ， ， ，解得，，故. （2）若是单元素集，设， 则为方程的唯一根，所以， 即. 对集合，则， 所以， 即， 因为，， 所以方程的解为， 即，故. （3）设为方程的根，即，. 则，所以为方程的根，故， 所以 【点睛】本题主要考查集合间的关系，同时考查了二次方程的根系关系，属于难题. 【经典例题六 根据两个集合相等求参数】 【例1】（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）设，若集合，求的值. 【答案】. 【解析】由集合，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，集合，可得，， 由两个集合相等定义可知，若，得，经验证，符合题意； 若，由于，则方程组无解， 综上可知，，，故. 【点睛】本题主要考查了根据集合相等求参数，其中解答中熟记集合相等的概念，结合元素的互异性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 1．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令或分类讨论即可． 【分析】因为集合，， 若，由集合的互异性知，则或． 当时，， ，有，得， 所以； 当时，集合，，有， 又，所以，得，不满足题意． 综上． 故选：C． 2．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案. 【详解】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则． 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 4．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知集合，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由题，集合最多两个元素，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，即可求解； （2）分类讨论：为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可. 【详解】（1）由题集合最多两个元素，，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，，即，由根与系数的关系，，解得：； （2）由题，中最多两个元素，对于方程 当集合时： ，即时，方程无解，，符合题意； 当集合中只有一个元素时： ，即时，方程的解为，，符合题意； 当中有两个元素时： ，即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素， 此时则，所以集合中的方程两根为，由根与系数的关系，，解得：； 综上所述：或. 【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合中元素个数为分类标准方可做到不重不漏. 【经典例题七 空集的概念以及判断】 【例1】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）满足下面两个条件的整数的所有取值之和为（    ） ①关于的不等式组的解集为； ②关于，的二元一次方程组有正整数解（，均为正整数）． A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】由不等式组无解，确定出满足题意的范围，解出二元一次方程组的解，由为整数且方程组的解为正整数确定出的值，即可得到答案. 【详解】由，解得， 由题意可知，解得， 由，解得， 由为正整数可知，0，2，6，经验证可知当，6时，为正整数， 所以，6， 则整数的所有取值之和为8. 故选：B． 【例2】（24-25高一上·河北·阶段练习）已知集合，， （1）若A为空集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)根据给定条件，利用空集的意义列式作答； (2)利用集合的包含关系列出不等式组求解即得. 【详解】（1）因是空集，则，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）且B是A的真子集，则，解得， 显然，a-1=0与2a+1=1不同时成立，于是得， 所以实数a的取值范围. 1．（2024·全国·一模）下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出. 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，，方程无解，. 选:D. 2．（多选题）（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）下列集合是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据方程有解的条件逐项判断即可． 【详解】解：， 无解，为空集，A符合题意； ，， ∴ 方程解为空集，B符合题意； 由得，故C不符合题意； 由得 ，即， 故D不符合题意． 故选：AB． 3．（2024高一上·江苏·专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合建的包含关系得到不等式（组）求解. 【详解】解：分两种情况考虑： ①若B不为空集，可得：， 解得：， ， 且， 解得：，所以, ②若B为空集，符合题意，可得：， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 4．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用非空集合思想来得到参数的不等式求解即可； （2）根据子集思想，讨论空集和非空集合两种情形，再进行端点值比较，得到不等式求解即可. 【详解】（1）由，则， 因为集合，所以， 解得：，故实数的取值范围是； （2）由，则， 当为空集时满足题意，此时有，即； 当，且，或．则, 而且还满足或，解得：或， 由于，所以此时只有， 综上可得：实数的取值范围是. 【经典例题八 空集的性质及应用】 【例1】（24-25高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空集的定义，可得答案. 【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）集合，，若集合中至少有一个非空集合，求实数的取值范围. 【答案】{或，且} 【分析】先求出都是空集时，再从补集角度求出两个集合至少有一个集合不为空集或，且. 【详解】对于，由，解得； 对于B，由，解得. 当集合都是空集时，则， 当两个集合至少有一个集合不为空集， 所以的取值范围是{或，且} 【点睛】关于“至少”“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是都是空集，由此能求出的取值范围.对于难于从正面入手的数学问题，在解题时，可从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这样能起到化难为易、化隐为显的作用，从而将问题解决. 1．（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的性质判断即可. 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知集合，且，则实数的取值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】先判断时， 符合题意，再由时化简集合B，即得或，解得结果即可. 【详解】依题意， 当时， ，满足题意； 当时，，要使，则有或，解得. 综上，或或. 故选：ABC. 3．（24-25高一上·广西玉林·期中）设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是 (写成集合形式). 【答案】 【分析】由知，集合B为A的非空子集或空集，列出满足的包含关系，求得k的范围. 【详解】由知，集合B为A的非空子集或空集， 即或， 解得或 故答案为： 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在a＝2，b＝3或满足要求． 【解析】先解出集合A，由且，可得B集合中只有一个元素1，即可求出a的值；由C⊆A，可得或{1}或{2}或{1，2}，分别检验C集合的取值，即可得答案. 【详解】A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， ∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}， ∴. 又，∴a－1＝1，即a＝2. ∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A， ∴或{1}或{2}或{1，2}． 当C＝{1，2}时，b＝3； 当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去； 当时，Δ＝b2－8<0，即， 综上可知，存在a＝2，b＝3或满足要求． 【点睛】本题考查集合的包含关系，易错点为：当C⊆A，且C集合带参数，需讨论C集合是否为空集，考查分析计算的能力，分类讨论的思想，属中档题. 【经典例题九 根据集合相等关系进行计算】 【例1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断. 【例2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，求的值. 【答案】或. 【解析】利用两个集合相等它们的元素分别对应相等,得到关于的方程,再利用集合中元素的互异性进行取舍即可. 【详解】由题意知，当时，，此时符合题意； 当时，，此时不符合集合中元素的互异性，（舍去）； 当时，，此时，符合题意； 综上可知，或. 【点睛】本题考查两个集合相等和集合中元素的互异性;属于中档题、常考题型. 1．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知、，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D．或 【答案】C 【分析】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解. 【详解】由 且，则， ∴，于是，解得或, 根据集合中元素的互异性可知应舍去， 因此，, 故． 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知集合，集合，若 ，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由两集合相等可得结合中元素，结合集合中元素的无序性，分两种情况进行讨论，从而可选出正确答案. 【详解】解：因为，所以中元素为,当时，此时， 当时，此时, 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若集合，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由，根据一元二次方程的性质，得到是方程的两根，结合韦达定理，即可求解. 【详解】由题意，集合， 因为，根据一元二次方程的性质，可得是方程的两根， 由韦达定理，可得，解得， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据集合相等求参数，以及一元二次方程的性质的应用，其中解答中熟记集合相等的概念，结合一元二次方程的韦达定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．（23-24高一上·上海·期中）已知实数R的子集均满足规律：，已知数集具有性质P：对任意的，与 两数中至少有一个属于A（如与中至少有一个属于A）. (1)求证：集合不可能为单元素集； (2)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (3)数集A中的_____集合（选填“”或“”），请写出一个自然数：________，使其不可能属于集合； (4)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)A不具有，B具有，理由见解析 (3)∉，2 (4)证明见解析 【分析】(1)假设为单元素集，则，化简后可得不存在，所以即可证明； (2)根据定理罗列出与值 ，看是否属于数集与数集，即可判断； (3) 已知数集具有性质P，则，所以只有，再根据已知条件可求得，假设，代入可发现矛盾，所以可判断； (4)根据数集具有性质P，可判定且，则可以证得结论. 【详解】（1）根据题意设为单元素集，即，且， 代入可得，可以算出无解，所以， 故不可能为单元素集； （2）由于均不属于数集，所以数集不具有性质P， 由于都属于数集， 所以数集具有性质P； （3）已知数集具有性质P，则， 所以只有，又因， 则可得，若，则有，与矛盾， 所以； 若，设，均满足规律：， 则，根据集合元素互异性，所以. 故答案为：；2. （4）由(3)知，所以 由于数集具有性质P， 故，所以， ，所以， 则， 所以 【点睛】思路点睛：对于新定义题关键在于对定义的理解，通常通过类比、举例分析等方法加深对新概念的理解，然后围绕所给定义进行求解. 【拓展训练一 集合间关系的求参问题】 【例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得. 【详解】由题意得， 即是的奇数倍构成的集合， ， 即是的整数倍构成的集合， 所以. 故选：. 【例2】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可． （2）先化简集合，，再由，能求得的值． 【详解】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 1．（24-25高一上·重庆北碚·期中）已知集合其中，，其中则与的关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先任取，分同为奇数或同为偶数和一奇一偶两种情况向集合B进行变形，得到形式，说明同理任取，变形为说明得到. 【详解】任取 当同为奇数或同为偶数时， 当一奇一偶时， 因为所以， 所以 所以 任取， ， 所以 所以 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的包含关系的判断和应用，还考查了转化化归分类的思想，属于难题. 2．（多选题）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】AC 【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征. 【详解】对于A，，则恒有， 即，则，故A选项正确； 对于B，，若，则存在使得， 即，又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除， 所以不能得到，故B选项错误； 如果，可设， 对于C，， 可得，故C选项正确； 对于D，， 不一定成立，不能得到，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛： 按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立. 3．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 【答案】16 【分析】先根据中的数除以的余数将集合进行分组，然后根据整除的知识求得正确答案. 【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组： ，则， ，则， ，则， ，则， ，则， A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个， ∴最多的取法是取和中的一个元素，，故n的最大值为16. 故答案为： 【点睛】两数之和能被整除，则两数分别除以的余数之和能被整除.本题的分析方法是先求得中所有数除以的余数，从而进行分组，分组之后根据和能被整除的知识来求得正确答案. 4．（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中的元素即得； （2）根据条件分析集合中的元素性质即得； （3）根据题意可得出不存在这样的集合，利用反证法证明即可. 【详解】（1）因，， 则都是中的元素， 故； （2）取，此时，符合； （3）当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合. 【点睛】思路点睛：本题主要考查集合新定义的应用问题，属于难题. 解题应从集合新定义的规定入手，吃透其内涵，经常遵循从特殊到一般的思维方式，有时需要从反面角度考虑，运用反证法予以证明. 【拓展训练二 子集(真子集)与空集的性质及应用】 【例1】（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 【答案】A 【分析】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得. 【详解】，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数. 所以集合. 所以真子集个数：个. 故选：A 【例2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，求证：，并直接写出集合； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析，； (2)证明见解析； (3)集合A中元素的个数的最大值为1348. 【分析】(1)根据题目的定义，直接计算集合S、T即可； (2)根据相等集合的概念即可得出结果； (3)通过假设集合()，求出对应的集合S、T，通过建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）根据题意，由集合，计算集合，，所以； （2）由于，，且， 所以T中也只包含4个元素，即， 剩下的元素满足，即； （3）设满足题意，其中， 则， 所以，，所以， 因为，由容斥原理，， 最小的元素为0，最大的元素为，所以， 所以，解得， 实际上当时满足题意，证明如下： 设， 则，， 依题意，有，即，所以m的最小值为674，于是当时， 集合A中的元素最多，即时满足题意. 综上所述，集合A中元素的个数的最大值为1348. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 1．（2024高三上·河北衡水·专题练习）对于任意两个正整数 ，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合的真子集的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当 都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ； 若 都是正奇数，则由 ，可得 ，此时符合条件的数对为（ 满足条件的共8个； 若不全为正奇数时， ，由 ，可得 ，则符合条件的数对分别为 共5个； 故集合 中的元素个数是13， 所以集合的真子集的个数是 故选C． 【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举， 2．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可． 【详解】解：，，所以，A不是空集． ，，所以,B不是空集． ，，，；即C是空集． ，，，即，所以；D不是空集． 故选：C． 3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，满足这样条件的一个集合A与对应的一个集合B称为一组合，则不同的组合共有 种． 【答案】129 【分析】讨论A中最大的数，分别求出A和B的非空子集，从而求得正确答案. 【详解】当A中最大的数为1时，B可以是的非空子集， 有（种）选择方法； 当A中最大的数为2时，A可以是或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为3时，A可以是，，或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为时，A可以是，，，，， ，，或，B可以是的非空子集， 有（种）选择方法. 当中最大的数为时，可以是：，， ， ，， 是，有（种）选择方法. 所以满足条件的集合共有（种）不同的选择方法. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解题的突破口在于“中最小的数大于中最大的数”，解题的思想方法是分类讨论的数学思想方法，根据集合中最大的数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 4．（24-25高二下·浙江宁波·期中）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】(1)12； (2)672； (3). 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和； （3）将集合的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和，再加上单元素集的“交替和”即可. 【详解】（1）集合的非空子集有， 根据题意，集合的交替和分别为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况， 相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次. 同理，每个元素出现的次数为次， 所以，集合所有非空子集的元素和的总和为. （3）集合，其非空子集有个， 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3； 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个； 第三类，不含元素3的非空集合，有个， 将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合与集合的“交替和”的和始终为3， 如取，则，集合与集合的“交替和”的和为， 这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为. 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【解析】求出集合A、B，根据集合的包含关系可知集合M中一定包含元素0、1，直接列举出满足条件的集合M. 【详解】，， ，则集合M中一定包含元素0、1， 满足条件的集合M有： ，共15个. 故选：C 【点睛】本题考查集合的包含关系，属于中档题. 2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故 故选：B. 3．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由可得①或②，解出，再由集合的互异性检验即可得出答案. 【详解】因为， 所以①或②， 由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意， 由②得，符合题意，两种情况代入，答案相同. 故选：B. 5．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先解出，由可知，进而解出即可. 【详解】中最多只有2个元素， 又因为，所以，所以. 故选：C. 6．（多选题）（22-23高一上·四川宜宾·阶段练习）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】集合恰有4个子集，则集合有2个元素，问题转化为有两个不相等的实数解即可. 【详解】因为集合恰有4个子集，所以集合有2个元素，则有两个不相等的实数解，则，解得. 故选：ABC. 7．（多选题）（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件得到，从而得到选项A正确，再由元素与集合，集合与集合间的关系，对B，C和D逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】易知方程无解，所以，所以选项A正确， 因为，所以选项B错误， 因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确， 又空集是任何集合的子集，所以选项D正确， 故选：ACD. 8．（多选题）（23-24高一下·全国·课后作业）已知，则的值可以为（    ） A．1 B．6 C．8 D．10 【答案】AC 【分析】由，当分别等于时，求出对应的值，然后计算即可. 【详解】当时，由得，满足，所以； 当时，由得，满足，所以； 当时，由得，不满足； 综上，则或. 故选：AC. 9．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 10．（多选题）（23-24高二下·重庆·期末）下列说法中正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 【答案】BC 【分析】根据集合的性质依次判断即可. 【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误； 对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确； 对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确； 对D，因为， 当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误. 故选：BC. 11．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 .（用数字作答） 【答案】96 【分析】求出每个元素出现的总次数，然后根据题意求解即可. 【详解】因为元素1，2，3，4，5，6在集合S的所有非空子集中分别出现次数是一样的， 它们每一个出现的次数都相当于另外5个元素组成的集合的子集个数，故其出现次数均为次， 则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作， 则这些和的总和是 . 故答案为：96. 12．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据包含关系分，，三种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，所以．当，即时，有相同元素，不符合； 当，即时，，，符合； 当，即时，有相同元素，不符合． 综上所述：. 故答案为：. 13．（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）设是有理数，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相等的集合的序号是 【答案】①②④． 【分析】本题主要考查集合相等的证明方法：双包含，由此对各序号依次分析判断. 【详解】设①②③④对应的集合分别为A，B，C，D，则 对于①：∀x∈X，设，则，而，从而x∈A，故X⊆A，反过来，∈X，故A⊆X，从而A＝X； 对于②：∀x∈X，设，令    ，则可得，从而am+2bn＝2，an+bm＝0，解得，，且m，n∈Q，从而x∈B，故X⊆B，反过来，，故B⊆X，从而B＝X； 对于③：取，则x1+x2＝0∉X，从而C不是X的子集，故C≠X； 对于④：∀x∈X，设，则，取，则x∈D，即X⊆D，反过来x1，x2∈X时，x1x2∈X，故D⊆X，故D＝X． 综上，①②④正确， 故答案为①②④． 【点睛】本题考查集合的运算，尤其是集合相等，需要将两个集合中的元素相互转化为彼此的形式结构，借助双包含来证明或举反例，可借助待定系数法． 14．（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据集合，分和两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】由题意，集合， 若时，集合，满足题意； 若时，要使得集合， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正确理解集合的表示方法，结合一元二次方程的性质求解是解答的关键，属于基础题. 15．（23-24高二下·湖南常德·阶段练习）若集合，且下列四个关系：（1）；（2）；（3）；（4）有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是 . 【答案】6 【分析】利用集合的相等关系，结合（1）；（2）；（3）；（4）有且只有一个是正确的,通过分析推理即可得出结论. 【详解】若（1）正确，则（2）也正确不合题意; 若（2）正确，则（1）（3）（4）不正确，即， 则满足条件的有序组为: ；或; 若（3）正确，则（1）（2）（4）不正确,即, 则满足条件的有序组为: ; 若（4）正确，则（1）（2）（3）不正确,即, 则满足条件的有序组为: 或或, 所以符合条件的有序数组的个数是6个. 故答案为6 【点睛】本题考查集合的相等关系,考查分类讨论思想,正确分类是关键,属于中档题. 16．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 【答案】(1) (2)或或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可； （3），，根据作差法得出，结合，即可证明． 【详解】（1）由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． （3）证明：，， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 17．（24-25高一上·北京东城·期末）已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． (1)若集合，直接写出所有满足条件的集合； (2)已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 【答案】(1)，，，； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）由条件证明，设设，由条件列方程求，由此可得结论； （2）（ⅰ）由条件先证明，再证明， （ⅱ）先证明中至少有两个正整数，设正整数，由此证明，同理证明出大于等于的正整数属于，结合（ⅰ）证明小于的正整数属于，由此完成证明. 【详解】（1）因为，又，且，总有， 所以，即， 设，由，且，总有， 可得， 所以或或， 但， 所以满足条件的集合有，，，； （2）（ⅰ）又，，，， 由①知，，， 由②知，， （ⅱ）因为中至少有个元素，， 不妨设，其中，互不相等的整数， 则，且， 所以中至少存在两个正整数， 不妨设，，，又， 由①知，，，， 由②知，，， 故由，，，，可推出， 同理由可推出，， 由，可推出， ， 所以对于大于等于的正整数，都属于， 因为， 由（ⅰ），，，， 所以任意的正整数都属于， 所以. 【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 18．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意得方程有实数解，再根据一元二次方程有解的条件即可求出；（2）先求出集合N，分类讨论成立时的情况，最后把满足题意的值并起来即可． 【详解】（1）由题意得方程有实数解， ，得， 实数的取值范围是. （2），且， 当，，得； 当时， 当时，，此时，满足，符合题意. 当时，，中有两个元素， 若，则，从而，无解. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】本题主要考查一元二次方程有解的条件以及解法，子集的定义应用，意在考查学生的分类讨论意识． 19．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知为实数数组，定义集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数组． (1)判断是否为连续生成数组？是否为连续生成数组？说明理由； (2)若为连续生成数组，求的值，并说明理由； (3)数组是否为连续生成数组？说明理由． 【答案】(1)是连续生成数组，不是连续生成数组，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)数组不是连续生成数组，理由见解析 【分析】（1）根据连续生成数组的定义，结合子集的概念求解； （2）根据题意，得出中元素的可能取值，结合子集的概念求解； （3）根据题意，从而，集合中元素求和可得，进而可得出答案. 【详解】（1），， ∵，∴是连续生成数组， ∵不是的子集，∴不是连续生成数组. （2），中元素可能取值为， 若为连续生成数组，即， 则. （3）若为连续生成数组，则， 又中最多有10个元素， 则，从而， ∴， 即， ∵，∴为偶数， 而55为奇数，不能成立， ∴数组不是连续生成数组. 20．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知集合，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值. (1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）； (2)若集合具有性质，求证：和； (3)若集合具有性质，求证：. 【答案】(1)具有，不具有 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据性质的定义直接判断即可； （2）根据性质的定义可得，结合与是集合中的最大值可得，再根据裂项方法证明即可； （3）先假设，再根据分别推导的最小正整数值，进而推出矛盾即可. 【详解】（1）对集合，因为，，，故 具有性质. 对集合，，故不具有； （2）因为集合具有性质，所以对于、有； 因为，所以， 因为是集合中的最大值， 则 ； （3）假设集合的元素个数大于，即 因为集合具有性质，所以，因为，所以， 所以，所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 以此类推，得，，，，，，， ，所以， 所以，与矛盾， 所以假设不成立，故. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1.2 集合的基本关系重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断集合的子集(真子集)的个数 题型二 求集合的子集(真子集) 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 判断两个集合是否相等 题型六 根据两个集合相等求参数 题型七 空集的概念以及判断 题型八 空集的性质及应用 题型九 根据集合相等关系进行计算 拓展训练一 集合间关系的求参问题 拓展训练二 子集（真子集）与空集的性质及应用 知识点一：子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  【即时训练】 1．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 2．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 知识点二：真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等； Eg：是对的，而是错的，若，则也成立； 对比下，是对的，但是错的，若，则也成立. 【即时训练】 1．（24-25高三上·江西宜春·期末）集合的真子集的个数是（    ） A．15 B．8 C．7 D．63 2．（22-23高一上·浙江·阶段练习）集合的非空真子集有个 ． 知识点三：集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即 且. 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【即时训练】 1．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 2．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知集合，若，则 . 【经典例题一 判断集合的子集(真子集)的个数】 【例1】（2025·广东深圳·二模）已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（    ） A．55 B．70 C．89 D．630 【例2】（23-24高三上·江苏泰州·开学考试）设集合，集合，满足，且. (1)若，求满足条件的集合的个数； (2)对任意的满足条件的及，求集合的个数. 1．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 B．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集 C．若m，，则 D．若m，，则 3．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合P个数是 . 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）若集合，集合，其中，则称集合是集合的一个“元子集”.若“元子集”中的元素满足对任意，恒有，则称为的一个“个性独立子集”.已知集合，集合是的一个“个性独立子集”. (1)求所有满足条件的集合的个数； (2)若且互不相等，证明：为定值. 【经典例题二 求集合的子集(真子集)】 【例1】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ） A．12 B．32 C．80 D．192 【例2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）写出集合P的所有子集，其中. 1．（24-25高一·全国·课后作业）满足条件∅⫋ M⫋{a，b，c}的集合M共有（　　） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（多选题）（24-25高一上·辽宁·阶段练习）我们将数集的任意一个非空子集中的各元素之和称为的一个子集和（若的子集只有一个元素，则该元素为的一个子集和）.若有限数集中的元素均为正整数，且的任何两个子集和均不相等，则称为异和型集，下列结论正确的是（   ） A．集合的一个子集和可能为5 B．存在含有4个元素的异和型集，其元素均小于9 C．集合为异和型集 D．任意一个含有个元素的异和型集，其元素之和不小于 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）记为集合中所有元素之和，对于集合，，则所有之和等于 . 4．（24-25高三上·山东·期中）已知集合，集合，记的元素个数为.若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”. (1)若，分别判断集合，是否为“理想集”（不需要说明理由）； (2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举； (3)若，证明：集合必为“理想集”. 【经典例题三 判断两个集合的包含关系】 【例1】（24-25高二上·云南保山·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 1．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）设，，，那么集合M，P，Q的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 3．（24-25高一·全国·课后作业）若集合，，则与的关系是 ． 4．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)判断10，11，12是否属于集合A； (2)若集合，证明：； (3)写出所有满足集合A的偶数构成的集合，并说明理由． 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知或.若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 1．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高三上·辽宁·期末）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围为 . 4．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 【经典例题五 判断两个集合是否相等】 【例1】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（2025高三·全国·专题练习）集合，，试证：． 1．（22-23高一上·福建厦门·阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合其中函数 （1）若，求集合； （2）若是单元素集，则、之间的关系如何？ （3）一般情况下，猜想与之间的关系，并给予证明. 【经典例题六 根据两个集合相等求参数】 【例1】（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【例2】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）设，若集合，求的值. 1．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 4．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知集合，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【经典例题七 空集的概念以及判断】 【例1】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）满足下面两个条件的整数的所有取值之和为（    ） ①关于的不等式组的解集为； ②关于，的二元一次方程组有正整数解（，均为正整数）． A．9 B．8 C．7 D．6 【例2】（24-25高一上·河北·阶段练习）已知集合，， （1）若A为空集，求实数a的取值范围； （2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围. 1．（2024·全国·一模）下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）下列集合是空集的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·江苏·专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是 . 4．（22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题八 空集的性质及应用】 【例1】（24-25高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）集合，，若集合中至少有一个非空集合，求实数的取值范围. 1．（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（多选题）（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知集合，且，则实数的取值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一上·广西玉林·期中）设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是 (写成集合形式). 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 根据集合相等关系进行计算】 【例1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【例2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若，求的值. 1．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知、，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D．或 2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知集合，集合，若 ，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若集合，且，则的值为 ． 4．（23-24高一上·上海·期中）已知实数R的子集均满足规律：，已知数集具有性质P：对任意的，与 两数中至少有一个属于A（如与中至少有一个属于A）. (1)求证：集合不可能为单元素集； (2)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (3)数集A中的_____集合（选填“”或“”），请写出一个自然数：________，使其不可能属于集合； (4)证明：. 【拓展训练一 集合间关系的求参问题】 【例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 1．（24-25高一上·重庆北碚·期中）已知集合其中，，其中则与的关系为 A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 4．（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【拓展训练二 子集（真子集）与空集的性质及应用】 【例1】（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 【例2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，求证：，并直接写出集合； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 1．（2024高三上·河北衡水·专题练习）对于任意两个正整数 ，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合的真子集的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，满足这样条件的一个集合A与对应的一个集合B称为一组合，则不同的组合共有 种． 4．（24-25高二下·浙江宁波·期中）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．（多选题）（22-23高一上·四川宜宾·阶段练习）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 7．（多选题）（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（23-24高一下·全国·课后作业）已知，则的值可以为（    ） A．1 B．6 C．8 D．10 9．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 10．（多选题）（23-24高二下·重庆·期末）下列说法中正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 11．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 .（用数字作答） 12．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，若，则 ． 13．（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）设是有理数，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相等的集合的序号是 14．（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）若集合，则实数的取值范围是 . 15．（23-24高二下·湖南常德·阶段练习）若集合，且下列四个关系：（1）；（2）；（3）；（4）有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是 . 16．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 17．（24-25高一上·北京东城·期末）已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． (1)若集合，直接写出所有满足条件的集合； (2)已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 18．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若且，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知为实数数组，定义集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数组． (1)判断是否为连续生成数组？是否为连续生成数组？说明理由； (2)若为连续生成数组，求的值，并说明理由； (3)数组是否为连续生成数组？说明理由． 20．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知集合，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值. (1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）； (2)若集合具有性质，求证：和； (3)若集合具有性质，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$