专题1.1.3 集合的基本运算重难点题型讲义（3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题1.1.3 集合的基本运算重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 并集的概念及运算 题型四 根据并集结果求集合或参数 题型五 补集的概念及运算 题型六 根据补集运算确定集合或参数 题型七 交并补混合运算 题型八 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型九 容斥原理的应用 题型十 利用Venn图求集合 拓展训练一 交并补的概念及运算 拓展训练二 交并补的参数求解 知识点一：交集 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； 注 (1)交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞，要求满足(其中，)，那身高的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加. (2) 当集合和集合无公共元素时，不能说集合没有交集，而是． 【即时训练】 1．（24-25高二下·甘肃·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的概念，找出同时满足集合和集合条件的的取值范围即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据交集情况得出参数范围. 【详解】因为中只有两个元素，所以，则最小可以等于2，但要小于3，故的取值范围为． 故答案为：． 知识点二：并集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． 注 生活中讲的“或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友说：你选她或我，表达的是“选其一不可兼得”. 并列中的“或”有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个，要求满足(其中，)，那身高的贵哥由于长得帅当然能参加了，若刘德华想参加当然也可以(满足身高以上，又帅).并列中的“或”是可以两者兼得的. 【即时训练】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由并集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知集合，，则 . 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出集合，再根据并集的定义求出. 【详解】对于集合，要使根式有意义，即. 解不等式，可得，所以集合. 已知集合，集合. 根据并集的定义,所以. 故答案为：. 知识点三：补集 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ； ，； ； ； 注 求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同． 【即时训练】 1．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知全集，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由题意，若集合，则. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】因为，所以，则，解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 【经典例题一 交集的概念及运算】 【例1】（24-25高三上·广东深圳·开学考试）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出集合，，由交集的定义求解即可 【详解】由题可得：，，所以， 故选：C 【例2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）将含有3n个正整数的集合分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合其中，若中的元素满足条件：，则称为“完并集合”． (1)若为“完并集合”，求的值； (2)对于“完并集合”，在所有符合条件的集合中，求元素乘积最小的集合C． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意讨论各种情况计算得到答案. （2）计算得到，，满足条件，计算比较得到答案. 【详解】（1）根据题意知：当，，时，满足条件； 当，，时，满足条件； 当，，时，满足条件； 故. （2）当，时，满足条件，元素乘积为； 当，时，满足条件，元素乘积为； 当，时，满足条件，元素乘积为； 所以乘积最小集合为. 1．（2025·四川成都·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义运算即得. 【详解】根据题意，集合A为正奇数集，，则. 故选：B. 2．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）已知，，，.则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】确定，根据，得到，对比选项得到答案. 【详解】，，故， ，，故，即，满足条件. 故选：AC 3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】解不等式求出集合，由交集定义即可求解. 【详解】由，得，解得或， 由，得，由此解得， 所以，又，故． 故答案为： 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出，再由交集的定义即可得出答案； （2）由可得，由子集的定义列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】（1），当时，， 所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以，解得：， 所以实数m的取值范围为. 【经典例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题可得c范围，即可得答案. 【详解】根据，，若， 可得，故的最大值为2， 故选：D. 【例2】（24-25高一上·广东佛山·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求集合，再求交集； （2）分集合和两种情况，列式求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又因为或，所以； （2）若， 当，即时，，满足； 当，即时，， 要满足，只需， 解得，又因为，所以. 综上可知，实数的取值范围为. 1．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再依据已知条件和即可得解. 【详解】解得或，故， 又，， 所以. 故选：A. 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知，，若，则实数可能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，对集合A进行分类讨论，结合二次方程根的判别式和韦达定理计算. 【详解】当时，，解得； 当时，即或时，此时方程的两个根需满足小于等于， 则，，得，， 综上，. 故选：ACD. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，只有一个元素，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得方程在上只有1个解，据此可得答案. 【详解】因只有一个元素，则在上只有1个解. . 若判别式等于0，则或. 当时，易得方程解为，不满足题意； 当时，方程解为，满足题意. 若判别式大于0，得或. 由韦达定理，两根之积为2，两根之和为，要使方程在上只有1个解， 则满足题意，且. 综上实数m的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由子集定义得，解该不等式组即可得解. （2）先由题意得，分和两种情况分析计算即可得解. 【详解】（1）因为，所以，故. （2）若，则. 当即时，，符合题意. 当时，要使，则，无解. 综上，若，则实数的取值范围为. 【经典例题三 并集的概念及运算】 【例1】（24-25高二下·北京延庆·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集概念计算即可. 【详解】集合，，则. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合； (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集运算即可得解； （2）先由条件得到，再对与分两种情况讨论得解. 【详解】（1）当时，，， 所以. （2）因为, 所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 1．（2022·河北沧州·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出集合，再利用并集的定义即可求解. 【详解】由题意可知，又， 所以． 故选：D． 2．（23-24高一上·江西九江·阶段练习）对于集合 ，定义=，=(M-N)(N-M)，设=，，=，则等于（    ） A．，0] B．[，0) C．(，[0， D．(，][0， 【答案】C 【分析】先化简集合,然后根据定义求出和,最后求并集可得. 【详解】因为函数,所以, 由函数有意义得,所以, ,, 所以. 故选. 【点睛】本题考查了集合并集运算,属于基础题. 3．（2025高三·全国·专题练习）设集合，则 . 【答案】 【分析】根据集合间的并集运算求解即可. 【详解】，. 故答案为：. 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，. (2)存在，，或，，，，或，. 【分析】（1）根据交集及并集得出集合； （2）（ⅰ）先由得出，再分类讨论求解；（ⅱ）先由，得出和一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合. 【详解】（1）因为，解得，又，所以， 所以，. （2）（ⅰ）因为， 若，则，不满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 综上，. （ⅱ）假设存在“2阶积差四元集”M，N， 因为，其必要条件是存在，所以和一定是同奇数或同偶数，则 ①若，，则M，N均不合题意； ②若，，其中m，n，p，q是奇数， 则，即. 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，， 且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； ③若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即，此时m，n无解； ④若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，，且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得（舍），或（舍）； 所以此时，或，， 同理，或，，也满足题意. 综上，存在，，或， ，，或，. 【经典例题四 根据并集结果求集合或参数】 【例1】（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解方程求得集合A，根据并集结果从而求得. 【详解】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即. 故选：D 【例2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知或． (1)若，求a的取值范围； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据可得两集合端点的大小关系，解不等式即可； （2）先讨论的情况，再研究时，利用两集合端点值的关系进行求解． 【详解】（1）因为，所以， 解得 （2）因为， 当时，， 当时，或， 解得或， 综上或 1．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意得分析得，再对集合中参数与的关系作分类讨论，根据子集关系确定出的范围. 【详解】因为，则， 当时，不成立，所以，所以满足， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 综上可知：. 故选：A. 2．（多选题）（22-23高一上·甘肃白银·阶段练习）（多选），，且，则的可能值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【分析】根据，，得到，分类讨论解决即可. 【详解】由题知 由，解得或 所以， 因为，所以 当时，，满足题意， 当时，，，即，或，即； 故选：BCD 3．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据并集的运算进行求解即可. 【详解】由或， 则，解得， 故答案为：. 4．（2023高一·全国·竞赛）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）因为，所以，将代入，求出即可得出答案； （2）利用得到，分和四种情况讨论即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以将代入，整理得， 解得：或， 当时，，所以； 当时，，所以； 经检验，或都满足条件． （2）因为由可得： 当时，，解得或； 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个不相等的根， 所以，所以，所以无解． 综上：或． 【经典例题五 补集的概念及运算】 【例1】（24-25高一下·云南临沧·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意解不等式，推导出x的取值范围，确定全集U，再根据给定集合进行补集运算求解. 【详解】根据题给条件：可知，所以 即. 集合 则，元素个数为4. 故选：B. 【例2】（22-23高一上·山东枣庄·期中）已知，.若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题中条件，考虑和两种情况，列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，若， 当时，满足题意，此时，解得； 当时，则或，解得； 综上所述：的取值范围为. 1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式后，根据补集运算求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：D 2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到集合的关系，作出集合的图，由图对各个选项进行判断. 【详解】因为，所以，如图： 对于选项A，由题意知是的真子集，故，故A不正确； 对于选项B，由是的真子集且都不是空集知，，，故B正确； 对于选项C，由是的真子集知，，故C不正确． 对于选项D，由是的真子集，故，故D不正确． 故选：B 3．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知全集或，集合，则 ． 【答案】或或 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】由全集或，集合， 则或或， 故答案为：或或. 4．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）化简集合，根据补集、交集的运算求解； （2）分类讨论，根据交集为空集列出不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，， 所以， 所以. （2）由（1）知， 当时，，解得，此时满足； 当时，由可得：或， 解得或, 综上，实数的取值范围为或. 【经典例题六 根据补集运算确定集合或参数】 【例1】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，由集合相等的定义即可列出方程求出的值，但要注意集合元素具有互异性，所以求出的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异. 【详解】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：. 故选：A. 【例2】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）设集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值集合. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由补集的定义结合集合的性质得出满足意义的方程组进而解出a的值即可； （2）由集合的包含关系，得出，，分别解方程求得a，验证后可得答案. 【详解】（1）由得：，解得：； （2）①若，解得：或， 当时，，满足题意， 当时，，满足题意， ②若，解得：或， 当时，，，满足题意， 当时，，，满足题意， 综上所述，实数的取值集合为：. 【点睛】本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系求参数，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 1．（23-24高一·全国·课后作业）设全集，，则的值为(　　) A．2 B．8 C．2或8 D．－2或8 【答案】C 【分析】根据补集的性质 A∪（CUA）=U，再根据集合相等的概念列方程，从而可得结论． 【详解】全集，，则， 故选C 【点睛】本题的考点是集合关系中的参数取值问题，主要考查集合的基本运算，补集的性质，集合相等的概念．是基础题． 2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若∁UM＝{－1,1}，则实数p的值为(　　) A．－6 B．－4 C．4 D．6 【答案】D 【详解】∵集合，且 ∴ ∵ ∴ 故选D 3．（22-23高三上·贵州黔西·阶段练习）集合（，、），定义为的长度.已知数集，，若，则的长度的最大值是 . 【答案】 【分析】由，结合题意可求出，即可求出的长度的最大值. 【详解】因为数集，， 所以，解得：， ，所以，所以. 则的长度为:， 所以的长度的最大值是：. 故答案为： 4．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）化简得到和，代入计算得到答案. （2）根据题意得到，计算得到或，再验证互异性得到答案. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为，所以中有两个元素，即，所以， 解得或，由元素的互异性排除可得. 【点睛】本题考查了根据元素与集合的关系，集合的运算结果求参数，意在考查学生对于集合性质的综合应用. 【经典例题七 交并补混合运算】 【例1】（2025·天津武清·模拟预测）全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则， 所以， 故选：C 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）求出时的集合，再根据补集、交集和并集的定义计算即可； （2）由知，讨论当和时的情形，分别求出对应的的取值范围. 【详解】（1）或，则， ，当时，， 所以； 又或，所以或. （2）若，则. 当时，，即； 当时，则或，解得或. 综上，的取值范围为或. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合均为的子集，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出Venn图，结合图形判断即可. 【详解】作出Venn图如下： 因为. 故选：C 2．（多选题）（2024高三上·全国·竞赛）设全集为，设是两个集合，定义集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，逐项判断. 【详解】解：对而言，，所以； 因为，且，所以 因为，且，所以 . 故选：ABD 3．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设全集，，，则集合 ． 【答案】 【分析】由集合的交并补混合运算关系得到即可； 【详解】因为，， 所以集合中没有0,1,8,9， 又，所以集合中有2,4，同时 ，说明集合中没有5,7,10， 综上，集合， 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·周测）设全集为，集合或，. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）由题意可知，阴影部分表示的集合是，通过集合运算解决即可； （2）选择（1）（2）（3），均可得，这里注意集合为空集这种情况，再通过子集之间的包含关系求解即可. 【详解】（1）全集为，集合或， 当时，， 或， 图中阴影部分表示的集合或. （2）选择（1）（2）（3）均得到， 当时，，解得； 当时，或 解得或， 综上，实数的取值范围是. 【经典例题八 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例1】（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）设全集，集合，已知集合有7个真子集，且集合中所有元素之和为10，求集合． 【答案】 【分析】根据全集和集合，可得所以，必然有，由集合中所有元素之和为10得中除了1和4以外剩余元素之和为5．根据集合有7个真子集判断集合中有3个元素，得. 【详解】解：因为全集，集合， 所以，所以有， 因为集合中所有元素之和为10，所以集合中除了1和4以外剩余元素之和为5．所以集合中最多有4个元素. 若中有3个元素，则，集合的真子集为，共7个，符合题意. 若中有4个元素，则, 此时集合的真子集有15个，不符合题意. 故． 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】利用条件，得到，从而求出，进而求出集合，得到，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以， 故选：C. 2．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据及已知即可求结果. 【详解】由. 故选：A 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 4．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】先假设，求出对应实数a的取值范围，再对a的范围去补集即可. 【详解】∵. 假设，则 ①，有，解得； ②，有，a无实数解； ③，有，解得； ④，有，a无实数解. ∴时，， 即满足的实数a的取值范围是 【经典例题九 容斥原理的应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（    ） A．365 B．256 C．484 D．516 【答案】C 【分析】根据题意分析，结合容斥原理求解即可. 【详解】设敲钟持续的时间为秒， 则甲乙丙钟敲响次数分别为，，， 由于甲乙敲响周期的最小公倍数为20，则甲乙同时敲响次数为， 由于甲丙敲响周期的最小公倍数为12，则甲丙同时敲响次数为， 由于乙丙敲响周期的最小公倍数为30，则乙丙同时敲响次数为， 由于甲乙丙敲响周期的最小公倍数为60，则甲乙丙同时敲响次数为， 由容斥原理易知， 解得，则． 故选：C． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 1．（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 3．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 4．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）某班对两条新制定的班规A，B进行表决，结果A以的得票率顺利通过，而B却因得票率为，未过半数被否决;并且知道，对A，B都投赞成票的学生人数是对A，B都投否决票的学生人数的6倍，已知全班共50人，并且不能弃权，问单投A赞成票和同时投A，B赞成票的学生各多少人? 【答案】27；18. 【分析】对、都投赞成票的学生则表示为，设为人，对、都投否决票的学生则表示为，依意为，从而列出关于的方程，解得，最后利用求得单投A赞成票的人. 【详解】设集合为对投赞成票的学生，集合为对投赞成票的学生， 依题意有45人，有20人， 对、都投赞成票的学生则表示为，设为人，对、都投否决票的学生则表示为，依意为， 根据集合运算公式：， ，则，解得：， 所以同时投A，B赞成票的学生18人. 单投A赞成票的人可表示为人. 【点睛】本题考查利用集合的运算求集合元素个数，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 【经典例题十 利用Venn图求集合】 【例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义，画出韦恩图即可求解. 【详解】由题意指图（1）中阴影部分构成的集合， 同样指图（2）中阴影部分构成的集合， ， 故选：A. 【例2】（24-25高一·上海·课后作业）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 【答案】对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生分别有21人、8人. 【分析】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用图列方程求解x即可. 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M，赞成事件B的学生全体为集合N， 设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的人数为，赞成A而不赞成B的人数为，赞成B而不赞成A的人数为，作出图如下所示，    依题意可得，解得， 所以对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人. 【点睛】本题考查集合的应用、利用图进行集合的运算，属于中档题. 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，得到集合中的元素，根据阴影部分表示的含义求解. 【详解】对于方程， 当时，，解得， 当时，，即，恒成立， 当时，，解得， ∴. 由题意得，，. 图中阴影部分表示在集合B中不在集合A中的元素构成的集合，为. 故选：D. 2．（多选题）（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知全集U，集合A，B如图所示，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据韦恩图及集合的交并补运算，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】    选项A，，则，故A正确； 选项B，，则，故B错误； 选项C，，则，故C正确； 选项D，，则，故D错误. 故选：AC 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .    【答案】 【分析】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分，用集合的交、并、补关系表示出来即可. 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分， 所以可以表示为. 故答案为：. 4．（23-24高一·陕西安康·课后作业）已知全集且，，，求集合和. 【答案】. 【分析】依据题意，作出韦恩图，即可求解集合和. 【详解】 依题意作出韦恩图，如上图所示， 则①+②+③+④=,,，,所以， 所以②+③=，③+④=. 【拓展训练一 交并补的概念及运算】 【例1】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合关系，求出，由此可求. 【详解】因为， 又，，所以， 又， 所以， 故选：D. 【例2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 1．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（    ） A．8 B．6 C．7 D．4 【答案】A 【分析】根据可得，可得，再根据可得，分和两种情况来讨论即可得解. 【详解】由得，所以， ，所以， （1）若，由，所以， 所以，， 所以，即， 从而， 所以，所以， 即或，与矛盾； （2）若， 则，从而， 所以，即， 从而， 所以，， 所以或，又， 所以，， 又， 所以， 由代入可得： ，所以或（舍）， 所以， 故选：A 2．（多选题）（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图.下列四个图为偶图的是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】ABD 【分析】由图形结构特点及新定义逐个判断即可. 【详解】    对于选项A，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，A正确. 对于选项B，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，B正确. 对于选项C，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点在一个子集内，这显然不符合偶图的定义，C错误. 对于选项D，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，D正确. 故选：ABD 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件 “若，则”且，给出下列命题: ①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有； ②对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有； ③存在符合题设条件的集合M，P，使得； ④存在符合题设条件的集合M，P，使得. 其中所有正确命题的序号是 . 【答案】 【分析】由题意知，中元素为不大于中所有值的数的集合，由于四个命题对任意符合条件的集合都满足，故均可用特殊集合来验证即可. 【详解】因为对于非空实数集合，记， 设非空实数集合满足条件 “若，则”且， 则中元素为不大于中所有值的数，即不大于中最小元素的集合， 对于，当集合，则，而，故错误； 对于，由于，假设中最小值为，中最小值为， 则， 因此表示不大于的所有数的集合，表示所以不大于的数的集合， 则，故②正确； 对于③，令，则，所以，故③正确； 对于④，令，，则， 所以，故④正确. 故答案为：. 4．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【答案】(1)，是“好的” (2)证明见解析 (3)除、、外的正整数 【分析】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断； （2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论； （3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论. 【详解】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”. （2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0. 所以，此时，合乎题意； 时，取，， 的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0. 所以，则，满足条件. 故是“好的”，是“好的”. （3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*） 事实上，若正整数是“好的”， 设，，，此时集合、满足时条件. 时，考虑，， 则也满足条件，（*）得证. ②再证：为奇数是“好的”.（**） 事实上，取，，则满足条件，（**）得证. 由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”. ③再证：不是“好的”. 对集合，记为中元素个数，由条件，. 若，则，矛盾. 若或，则，则，矛盾. 于是不是“好的”. 同理易知，2不是“好的”. 所以，所求为除1，2，4外的正整数. 【拓展训练二 交并补的参数求解】 【例1】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知集合，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到 ，即可求解. 【详解】， 由，可得， 当，满足，， 当，或，由可得： 故， 综上所述：. 故选：C 【例2】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知集合，集合，． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）2；（2），或． 【分析】（1）结合交集的定义和分析可得，求解即可； （2）由题可知，或，再由可知，由此得出满足题意的不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，所以，所以； （2），或，由已知可得，所以或，所以或， 故实数m的取值范围为，或． 【点睛】本题考查集合之间的基本关系，考查集合的基本运算，考查逻辑思维能力和计算能力，考查分析能力，属于常考题. 1．（2025高二·浙江·专题练习）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出中不等式的解集确定出,求出集合对应的一元二次方程的根,表示出B集合,由的范围判断出两整数解为和,从而得到关于的不等式. 【详解】， 令， 由题意， ， 又，所以， 设， 又. 所以要使中恰好有两个整数解， 则只能是和， 所以应满足, 解得. 故选A 【点睛】本题考查利用集合间的交运算求参数的范围;判断出中的两个整数解为4和5和结合一元二次函数图象得出关于a的不等式是求解本题的关键;属于难度大型试题. 2．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）已知M={（x，y）|=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a= A．﹣6或﹣2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2 【答案】A 【详解】试题分析集合M表示y﹣3=3（x﹣2）上除去（2，3）的点集，集合N表示恒过（﹣1，0）的直线方程，根据两集合的交集为空集，求出a的值即可． 解：集合M表示y﹣3=3（x﹣2），除去（2，3）的直线上的点集； 集合N中的方程变形得：a（x+1）+2y=0，表示恒过（﹣1，0）的直线方程， ∵M∩N=∅， ∴若两直线不平行，则有直线ax+2y+a=0过（2，3）， 将x=2，y=3代入直线方程得：2a+6+a=0，即a=﹣2； 若两直线平行，则有﹣=3，即a=﹣6， 综上，a=﹣6或﹣2． 故选A． 考点：交集及其运算． 3．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，，，，.若且，，中各元素的和为256，则 ，集合 . 【答案】 1 【分析】先由条件，且五个自然数的大小关系，得出，求出的值，再由，求出的值，进而确定出或，再分两种情况考虑即可. 【详解】由，且， 得到只可能，即或0，当时，，而，则，故舍去， 则，又， ，且， 或， ①若时，，不合题意； ②若时，此时，， 因，从而， 又，则，当时，无整数解， 当时，， 所以 综上，. 故答案为：1；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分析出，从而得到，继而有或，最后分类讨论即可. 4．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合，作集合；；若已知，求实数的值. 【答案】 【分析】根据描述法的定义，分别化简集合 ，先根据，可得，再由，所以，进而可得结果. 【详解】 ，因此且， 所以，即； 又， 因此 即，，所以； 又， 因此 即，，所以. 【点睛】集合的基本运算的关注点： （1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决； （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图． 1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的运算判断A，根据并集的运算举反例判断B，根据补集和交集的运算判断C，根据补集和并集的运算判断D. 【详解】对于A选项，因为，，所以，故A不正确； 对于B选项，因为，但，得，故B不正确； 对于C选项，由，，则或， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得， 又，所以，故D不正确. 故选：C. 2．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，若，则的值是（    ） A．0 B．3 C． D．3，0 【答案】D 【分析】根据，可得，分类讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，此时，，符合题意； 当时，解得或， 当时，，符合题意； 当时，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意， 综上：或， 故选：D. 3．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的补集和并集的运算法则进行求解即可. 【详解】，，， ，. 故选：C. 4．（2025·天津和平·三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】由，可得，，故， 故选：B 5．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（   ）人 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，画出集合表示的韦恩图，结合韦恩图，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为， 只参加球类的人数为，画出韦恩图，如图所示： 结合韦恩图，可得，解得， 所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人． 故选：C. 6．（多选题）（22-23高一上·浙江杭州·期中）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ） A．设，则为的二划分 B．设，则为的二划分 C．存在一个的二划分，使得对于；对于 D．存在一个的二划分，使得对于，则；，则 【答案】BCD 【分析】举反例结合“二划分”的定义判断A；利用“二划分”的定义判断B；找出两集合符合二划分定义判断C，D. 【详解】对于A，由于，故，不是的二划分，A错误； 对于B，， ， 显然，由于任意一个正整数M，都可写成形式， 其中为素数，，则M必为形式，其中k为正奇数，， 故可得，故B正确； 对于C，存在满足， 对于；对于，C正确； 对于D，选项B中集合， 使得对于，则； ，比如取3，5，则，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解二划分的含义，并按照其定义去判断每个选项. 7．（多选题）（24-25高三上·全国·阶段练习）已知为全集，集合满足：为的非空子集，且．对所有满足上述条件的情形，下列说法一定错误的有（    ） A． B． C． D．不包含于 【答案】AD 【分析】由集合交、并、补的运算，逐项判断即可. 【详解】由，知错误； 当，有时，，满足条件，且，所以B不一定错误； 当时，，又，所以此时，所以C不一定错误； 因为，所以，所以，D错误． 故选:AD． 8．（多选题）（24-25高一上·广东梅州·开学考试）设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】ABD 【分析】利用集合间的基本关系及交并补的概念与运算计算即可. 【详解】对于A，若，则成立，即A正确； 对于B，若，则成立，即B正确； 对于C，不妨设，有，但不成立，即C错误； 对于D，若，则集合A、集合B中均没有元素，即D正确. 故选：ABD 9．（多选题）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知全集，集合，，则（    ） A．. B． C．. D． 【答案】AB 【分析】根据条件，先解不等式求出集合及其补集，再利用集合的运算，对各个选项分析判断，即可求解. 【详解】因为全集，集合，， 所以或，， ，， 所以，，， ，故选项AB正确，CD错误. 故选：AB 10．（多选题）（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法正确的是（    ） A．赞成A的不赞成B的有9人 B．赞成B的不赞成A的有11人 C．对A，B都赞成的有21人 D．对A，B都不赞成的有8人 【答案】ACD 【分析】记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合．设对事件，都赞成的学生人数为，列出方程能求出结果． 【详解】成的人数为，赞成的人数为． 记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合． 如图所示，    设对事件，都赞成的学生人数为， 则对，都不赞成的学生人数为．赞成而不赞成的人数为， 赞成而不赞成的人数为． 依题意，解得． 所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人. 故选：ACD 11．（2023·湖南·高考真题）对于E={，，…， }的子集X={，,…, }，定义X的“特征数列”为，，…，，其中=1.其余项均为0，例如子集{，}的“特征数列”为0，1，1，0，0，，0 ，则子集{，， }的“特征数列”的前三项和等于 ；若E的子集P的“特征数列”，，…，满足， 1≤i≤99；E 的子集Q的“特征数列”，，…，满足 =1， ，1≤j≤98，则的元素个数为 . 【答案】 2 17 【分析】依据题给定义写出子集{，， }的“特征数列”，即可求得其前三项和；分别列出集合中的元素，即可得到的元素个数. 【详解】（1）子集{，， }的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，，0，故前3项和为2； （2）依题意，E的子集P的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，，1，0； E 的子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，0，0，，0，1； 则， 集合Q中有（个）元素，其中下标为奇数的有17个. 故中共有17个元素. 故答案为：2；17 12．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 【答案】12 【分析】正面求解复杂，先求集合的子集的个数即可 【详解】按题意，集合是的子集，且与的交集不为空集 集合的子集有个 其中与的交集为空集的子集，即的子集，有个 故满足题意的集合的个数为 故答案为：12 13．（22-23高一上·上海徐汇·开学考试）已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝ ． 【答案】8 【分析】先通过，判断得，分类讨论与的情况，得到，，，再求的元素，进而得到，解得，故得答案． 【详解】由得，所以， 又因为，即，所以， （1）若， 因为，所以，此时，，， 即，故，从而， 所以，则，即或1，与矛盾； （2）若， 则，，即，所以， 从而，显然，即或1， 而与矛盾，故，， 又，故， 将，，代入，得到，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：8． 14．（24-25高一上·北京·单元测试）已知全集,则的值为 【答案】2 【分析】要求a的值，需正确理解原集和补集的含义，由于参数a为未知数，此题应该进行分类讨论 【详解】由补集概念及集合中元素互异性知a应满足 分两种情况进行讨论： 在A中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去． 在B中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意． 答案为：2 【点睛】本题重点考查了集合的互异性，对于存在参数无法确定的元素，应根据分类讨论思想，按照集合中元素一一对应的关系来进行求解，在解出参数时，需将参数还原到集合中进行检验，排除不合理的答案 15．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）设整数集，，且，若，满足，的所有元素之和为，求= ； 【答案】 【分析】根据可得，结合已知条件可得，然后分情况讨论，和时，利用集合元素的互异性和确定性即可求解. 【详解】由可得，所以， 因为，所以， 若，因为，所以， 所以，，，故 所以， 若则，可得或 与矛盾，所以此时不成立， 若，则，所以， 所以，所以即 显然，可得或， 因为与矛盾，所以，， 此时，，所以， 由题意知：，即，解得或（舍） 综上所述：，，所以， 故答案为：. 16．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）定义集合运算. (1)若集合，，且，求； (2)对于有限集，，，其中表示集合中元素的个数.若，证明：为偶数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合，根据二次函数的性质求出集合，进而求出，结合新定义求出集合，再求出即可； （2）易证集合和集合必有相同的元素，且设其相同的元素个数为，则，即证. 【详解】（1）由得或，则， 由，得， 所以 所以，即， 得， 所以； （2）假设集合和集合没有相同的元素， 则，不符合题意， 所以集合和集合必有相同的元素，设其相同的元素个数为， 则， 即，解得， 故为偶数. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 17．（2024高三·全国·专题练习）已知集合为集合U的n个非空子集，这n个集合满足： ①从中任取m个集合都有成立； ②从中任取个集合都有成立． (1)若，，，写出满足题意的一组集合； (2)若，，写出满足题意的一组集合以及集合； (3)若，，求集合中的元素个数的最小值． 【答案】(1)，，，，，； (2)，5，，，3，，，3，，，2，， ，2，3，4，5，； (3)120. 【分析】(1)由，2，，，，能求出满足题意的一组集合，，． (2)由，，能出满足题意的一组集合，，，和集合． (3)由，，得集合中的元素个数的最小值为120个．先证明若，，，，，则，，，则，，，的3个集合的并集共计有个．把集合中120个元素与，，，的3个集合的并集建立一一对应关系，从而集合中元素个数大于等于120． 【详解】（1）集合，，，为集合的个非空子集， 这个集合满足：①从中任取个集合都有成立， ②从中任取个集合都有成立． ，2，，，， 满足题意的一组集合，，，，，． （2），， 满足题意的一组集合，5，，，3，， ，3，，，2，， 集合，2，3，4，5，． （3），，集合中的元素个数的最小值为120个． 下面先证明若，，，，，则，，， 反证法：假设，设，，， 由假设，设，设， 则是，，中都没有的元素，， ，，，四个子集的并集为， 与矛盾，假设不正确， 若，，，，，且，，成立， 则，，，的3个集合的并集共计有个． 把集合中120个元素与，，，的3个集合的并集建立一一对应关系， 集合中元素个数大于等于120， 下面我们构造一个有120个元素的集合 把与，2，，对应的元素放在异于，的集合中， 对于任意一个3个集合的并集，它们都不含与对应的元素，， 同时，对于任意的4个集合设为的并集， 则由上面的原则与，，对应的元素在集合中， 即对于任意的4个集合的并集为全集． 18．（23-24高一上·全国·课前预习）已知全集，集合． (1)若集合中只有1个元素，记此时所有的值组成的集合为，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）当集合中只有一个元素，则只有一个根或有两个相等的实数根，分和两种情况讨论，得出，结合全集求出. （2）由得，代入方程得，解出，求出，结合得出，从而求出. 【详解】（1）因为集合中只有一个元素， 则方程只有一个根或有两个相等的实数根， 当时，，不满足，不符合题意. 当时，，即，解得或， 若，则，不满足，舍去. 若，则，满足，符合题意. 所以，故， 所以． （2）由得， 代入方程得，解得． 当时，，则， 故． 19．（24-25高一上·北京·期中）对于非空有限数集，记或表示中所有元素的个数. (1)若，用列举法直接写出； (2)给定且，设，对于且，记，求的最小值（用表示）； (3)设非空有限数集满足以下条件：①；②；③.求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用定义可求解； （2）分，，结合的奇偶讨论可求解； （3）由已知有，，结合条件得，进而可得与间元素存在一一对应关系，可得结论. 【详解】（1）； （2）当时：， 若为偶数，，当且仅当时取等号， 若为奇数，，当且仅当时取等号， 当时：， 若为偶数，，当且仅当时取等号， 若为奇数，，当且仅当时取等号， 综上，当为奇数时，的最小值为， 当为偶数时，的最小值为； （3）对于，记且且， 则有：， ， 故：， ， 由于， 则均为非空集合， ， 进而有：， 任取，由于，则， 因为，所以， 而，则，故， 若，则，则， 与矛盾，故有， 同理，任取，有， 即：与间元素存在一一对应关系， 所以，故. 【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，进而结合条件分类讨论，即可求解. 20．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)1349 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，能证明； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1），， 集合，集合. （2），，且， T中也只包含4个元素，即， 剩下的元素满足， ； （3）设集合满足题意，其中， 则 ， ， ，由容斥原理，， 的最小元素为0，最大元素为，， 解得 实际上时满足题意，证明如下： 设， 则， 题意有，即， m的最小值为675，当m= 675时，集合A中元素最多， 即时满足题意 综上，的最大值为1349. 【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1.3 集合的基本运算重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 并集的概念及运算 题型四 根据并集结果求集合或参数 题型五 补集的概念及运算 题型六 根据补集运算确定集合或参数 题型七 交并补混合运算 题型八 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型九 容斥原理的应用 题型十 利用Venn图求集合 拓展训练一 交并补的概念及运算 拓展训练二 交并补的参数求解 知识点一：交集 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； 注 (1)交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞，要求满足(其中，)，那身高的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加. (2) 当集合和集合无公共元素时，不能说集合没有交集，而是． 【即时训练】 1．（24-25高二下·甘肃·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，，若，则的取值范围是 ． 知识点二：并集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． 注 生活中讲的“或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友说：你选她或我，表达的是“选其一不可兼得”. 并列中的“或”有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个，要求满足(其中，)，那身高的贵哥由于长得帅当然能参加了，若刘德华想参加当然也可以(满足身高以上，又帅).并列中的“或”是可以两者兼得的. 【即时训练】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知集合，，则 . 知识点三：补集 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ； ，； ； ； 注 求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同． 【即时训练】 1．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知全集，若集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 【经典例题一 交集的概念及运算】 【例1】（24-25高三上·广东深圳·开学考试）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）将含有3n个正整数的集合分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合其中，若中的元素满足条件：，则称为“完并集合”． (1)若为“完并集合”，求的值； (2)对于“完并集合”，在所有符合条件的集合中，求元素乘积最小的集合C． 1．（2025·四川成都·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）已知，，，.则可以是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则 ． 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题二 根据交集结果求集合或参数】 【例1】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（24-25高一上·广东佛山·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 1．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知，，若，则实数可能取的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，只有一个元素，则实数m的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【经典例题三 并集的概念及运算】 【例1】（24-25高二下·北京延庆·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合； (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 1．（2022·河北沧州·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西九江·阶段练习）对于集合 ，定义=，=(M-N)(N-M)，设=，，=，则等于（    ） A．，0] B．[，0) C．(，[0， D．(，][0， 3．（2025高三·全国·专题练习）设集合，则 . 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 【经典例题四 根据并集结果求集合或参数】 【例1】（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【例2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知或． (1)若，求a的取值范围； (2)若，求a的取值范围． 1．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（多选题）（22-23高一上·甘肃白银·阶段练习）（多选），，且，则的可能值为（    ） A． B． C．0 D． 3．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ． 4．（2023高一·全国·竞赛）已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题五 补集的概念及运算】 【例1】（24-25高一下·云南临沧·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（22-23高一上·山东枣庄·期中）已知，.若，求实数的取值范围. 1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知全集或，集合，则 ． 4．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【经典例题六 根据补集运算确定集合或参数】 【例1】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）设集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值集合. 1．（23-24高一·全国·课后作业）设全集，，则的值为(　　) A．2 B．8 C．2或8 D．－2或8 2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若∁UM＝{－1,1}，则实数p的值为(　　) A．－6 B．－4 C．4 D．6 3．（22-23高三上·贵州黔西·阶段练习）集合（，、），定义为的长度.已知数集，，若，则的长度的最大值是 . 4．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【经典例题七 交并补混合运算】 【例1】（2025·天津武清·模拟预测）全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合均为的子集，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2024高三上·全国·竞赛）设全集为，设是两个集合，定义集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设全集，，，则集合 ． 4．（24-25高一上·全国·周测）设全集为，集合或，. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【经典例题八 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例1】（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）设全集，集合，已知集合有7个真子集，且集合中所有元素之和为10，求集合． 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 2．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 4．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 【经典例题九 容斥原理的应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（    ） A．365 B．256 C．484 D．516 【例2】（2025高三·全国·专题练习）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 1．（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 2．（多选题）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 3．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 4．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）某班对两条新制定的班规A，B进行表决，结果A以的得票率顺利通过，而B却因得票率为，未过半数被否决;并且知道，对A，B都投赞成票的学生人数是对A，B都投否决票的学生人数的6倍，已知全班共50人，并且不能弃权，问单投A赞成票和同时投A，B赞成票的学生各多少人? 【经典例题十 利用Venn图求集合】 【例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一·上海·课后作业）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知全集U，集合A，B如图所示，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .    4．（23-24高一·陕西安康·课后作业）已知全集且，，，求集合和. 【拓展训练一 交并补的概念及运算】 【例1】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 1．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（    ） A．8 B．6 C．7 D．4 2．（多选题）（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图.下列四个图为偶图的是（    ） A． B．   C．   D．   3．（24-25高三上·北京·阶段练习）对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件 “若，则”且，给出下列命题: ①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有； ②对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有； ③存在符合题设条件的集合M，P，使得； ④存在符合题设条件的集合M，P，使得. 其中所有正确命题的序号是 . 4．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【拓展训练二 交并补的参数求解】 【例1】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知集合，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知集合，集合，． （1）若，求实数m的值； （2）若，求实数m的取值范围． 1．（2025高二·浙江·专题练习）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）已知M={（x，y）|=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a= A．﹣6或﹣2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2 3．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知，，，，.若且，，中各元素的和为256，则 ，集合 . 4．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合，作集合；；若已知，求实数的值. 1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，若，则的值是（    ） A．0 B．3 C． D．3，0 3．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津和平·三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（   ）人 A．5 B．4 C．3 D．2 6．（多选题）（22-23高一上·浙江杭州·期中）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（    ） A．设，则为的二划分 B．设，则为的二划分 C．存在一个的二划分，使得对于；对于 D．存在一个的二划分，使得对于，则；，则 7．（多选题）（24-25高三上·全国·阶段练习）已知为全集，集合满足：为的非空子集，且．对所有满足上述条件的情形，下列说法一定错误的有（    ） A． B． C． D．不包含于 8．（多选题）（24-25高一上·广东梅州·开学考试）设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 9．（多选题）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知全集，集合，，则（    ） A．. B． C．. D． 10．（多选题）（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法正确的是（    ） A．赞成A的不赞成B的有9人 B．赞成B的不赞成A的有11人 C．对A，B都赞成的有21人 D．对A，B都不赞成的有8人 11．（2023·湖南·高考真题）对于E={，，…， }的子集X={，,…, }，定义X的“特征数列”为，，…，，其中=1.其余项均为0，例如子集{，}的“特征数列”为0，1，1，0，0，，0 ，则子集{，， }的“特征数列”的前三项和等于 ；若E的子集P的“特征数列”，，…，满足， 1≤i≤99；E 的子集Q的“特征数列”，，…，满足 =1， ，1≤j≤98，则的元素个数为 . 12．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 13．（22-23高一上·上海徐汇·开学考试）已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝ ． 14．（24-25高一上·北京·单元测试）已知全集,则的值为 15．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）设整数集，，且，若，满足，的所有元素之和为，求= ； 16．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）定义集合运算. (1)若集合，，且，求； (2)对于有限集，，，其中表示集合中元素的个数.若，证明：为偶数. 17．（2024高三·全国·专题练习）已知集合为集合U的n个非空子集，这n个集合满足： ①从中任取m个集合都有成立； ②从中任取个集合都有成立． (1)若，，，写出满足题意的一组集合； (2)若，，写出满足题意的一组集合以及集合； (3)若，，求集合中的元素个数的最小值． 18．（23-24高一上·全国·课前预习）已知全集，集合． (1)若集合中只有1个元素，记此时所有的值组成的集合为，求； (2)若，求． 19．（24-25高一上·北京·期中）对于非空有限数集，记或表示中所有元素的个数. (1)若，用列举法直接写出； (2)给定且，设，对于且，记，求的最小值（用表示）； (3)设非空有限数集满足以下条件：①；②；③.求证：. 20．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$