专题3.1 指数幂重难点题型讲义（1个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题3.1 指数幂重难点题型专训 （1个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 根式的化简求值 题型二 分数指数幂与根式的互化 题型三 指数幂的运算 题型四 指数幂的化简、求值 拓展训练一 指数幂的拓展及运算性质 知识点一：指数运算 (1) 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， (2) 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) ② 正数的负分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【即时训练】 1．（24-25高一上·上海宝山·开学考试）如果为实数，且，那么一定有（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南·开学考试）若，，用含的代数式表示，则 ． 【经典例题一 根式的化简求值】 【例1】（2025高一上·浙江杭州·专题练习）设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【例2】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1)； (2). 1．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·广东广州·期中）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 3．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 4．（2022高一·全国·专题练习）阅读材料，解决问题： 化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，． 令，，令，得； ∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，； 当时，原式；当时，原式=5；当时，原式． (1)求和的零点值； (2)化简：． (3)求方程：的整数解． 【经典例题二 分数指数幂与根式的互化】 【例1】（2023高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一·全国·课堂例题）化简（式中各字母均为正数）： (1)； (2)； (3)． 1．（23-24高一·全国·假期作业）已知，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 2．（多选题）（23-24高一上·江西新余·期中）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知化简 4．（23-24高一·全国·课后作业）化简求值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 【经典例题三 指数幂的运算】 【例1】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·广西玉林·期中）（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 1．（2022·安徽淮南·二模）1947年，生物学家MaxKleiber发表了一篇题为《bodysizeandmetabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重.若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（  ）（参考数据：） A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍 2．（多选题）（2023高一·全国·专题练习）（多选）若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为（　　） A． B．﹣ C． D． 3．（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知，，则的值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）对于正整数和非零实数，若，，求的值． 【经典例题四 指数幂的化简、求值】 【例1】（24-25高三上·吉林延边·开学考试）若，则（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 1．（24-25高二下·广西·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西南昌·期中）（1） . （2）已知，那么等于 . 4．（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）计算； （2）已知，求式子的值． 【拓展训练一 指数幂的拓展及运算性质】 【例1】（24-25高一上·湖南·开学考试）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【例2】（24-25高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 2．（多选题）（23-24高一上·甘肃白银·期末）下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）方程的解为 ． 4．（24-25高一上·云南曲靖·期中）（1）计算 （2）化简：. 1．（23-24高一·全国·课后作业）化简 (a，b＞0)的结果是(　　) A． B．ab C． D．a2b 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是 A．和 B．和 C．和 D．和 3．（23-24高一·全国·课后作业） (　　) A． B．1－ C．3－3 D．3－3 4．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏苏州·期末）满足，的有序实数组可以是（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高一·江苏·单元测试）在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．(x)0.5=- (x≠0) B．= C．= (xy>0) D．= 7．（多选题）（23-24高一上·全国·单元测试）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）（多选），下列运算（化简）中正确的有（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（22-23高一上·湖北恩施·阶段练习）高中数学教材第110页第10题告诉我们，当n越来越大时，也越来越大，并趋向于常数e，则下列说法正确的是（    ） A．当n越来越大时，趋向于常数e B．当n越来越大时，趋向于常数e C．当x越来越大时，趋向于常数e D．当x越来越大时，趋向于常数 10．（多选题）（22-23高一上·全国·期中）已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 11．（2023高一上·全国·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 12．（23-24高一上·黑龙江伊春·阶段练习） ． 13．（2025高三·全国·专题练习）设函数满足：对任意的正数，，，且，则 ， ． 14．（24-25高一上·江苏无锡·期中）若，则 15．（23-24高一下·云南·期中）已知（且），则 ．（结果用表示） 16．（22-23高一上·广东广州·期中）计算或化简： (1)； (2). 17．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）计算： （1）； （2）已知 ，求 的值． 18．（24-25高一上·全国·课前预习）用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 19．（23-24高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 20．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）化简求值： (1)计算； (2)计算（式中字母均是正数） (3)已知，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 指数幂重难点题型专训 （1个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 根式的化简求值 题型二 分数指数幂与根式的互化 题型三 指数幂的运算 题型四 指数幂的化简、求值 拓展训练一 指数幂的拓展及运算性质 知识点一：指数运算 (1) 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， (2) 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) ② 正数的负分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【即时训练】 1．（24-25高一上·上海宝山·开学考试）如果为实数，且，那么一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助指数运算法则计算可得，即得D符合；通过举反例排除A,B,C项可得. 【详解】由，可得， 则，即， 即，故，故D符合题意； 对于A，若取，，则，故A不合题意； 对于B，若取，，则，故B不合题意； 对于C，若取，，则，故C不合题意. 故选：D. 2．（23-24高一上·湖南·开学考试）若，，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】由可得，结合可得结论. 【详解】因为，所以， 所以 所以， 故答案为：． 【经典例题一 根式的化简求值】 【例1】（2025高一上·浙江杭州·专题练习）设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】由题可知，，然后可得即可求解. 【详解】，，， 即，又均为不等于1的正数， 所以. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分数开方等于分子分母分别开方； （2）由得出各项结果后再合并即可得到结果. 【详解】（1） （2） 1．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算求解. 【详解】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 2．（多选题）（23-24高一上·广东广州·期中）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用根式的定义即可求解. 【详解】 对于A，16的4次方根有两个，为，故A正确； 对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，是非负数，所以，故D正确． 故选：AD. 3．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 4．（2022高一·全国·专题练习）阅读材料，解决问题： 化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，． 令，，令，得； ∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，； 当时，原式；当时，原式=5；当时，原式． (1)求和的零点值； (2)化简：． (3)求方程：的整数解． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3)，，，，，， 【分析】（1）令，，求出的值即可． （2）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得． （3）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得． 【详解】（1）解：可令和， 解得和，∴，分别为和的零点值． （2）解： 当时， ， 原式 当时， ， 原式 当时， ，， 原式 （3）解：当时， ∴， ∴方程左边； 当时，∴， ∴方程左边； 当时，∴，， ∴方程左边， ∴， ∴整数解为：，，，，，，． 【经典例题二 分数指数幂与根式的互化】 【例1】（2023高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误； 对于B选项：由，所以B错误； 对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确； 对于D选项：当时，， 当时，， 显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误. 故选：C. 【例2】（22-23高一·全国·课堂例题）化简（式中各字母均为正数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用指数幂运算法则进行运算即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）方法一（从里向外化） ． 方法二（从外向里化） ． 1．（23-24高一·全国·假期作业）已知，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】因为,则,可得,即可计算的值. 【详解】 . 故选:D. 【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的转化与化简,属于基础题. 2．（多选题）（23-24高一上·江西新余·期中）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数幂的运算法则依次计算即可. 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：BC 3．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知化简 【答案】1 【分析】先开根号，再根据x范围去绝对值，即得结果. 【详解】 【点睛】本题考查根式运算，考查基本化简求解能力. 4．（23-24高一·全国·课后作业）化简求值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 【答案】（1）100；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）将小数指数转化为分数指数，小数底数转化为分数底数，根据分数指数幂的运算性质计算； （2）将题目中的小数转化为分数 ，根据分数指数幂的运算性质计算； （3）根据负整数指数幂的运算性质计算； （4）利用根式与分数指数幂的运算性质计算. 【详解】(1)原式＝； (2)原式＝； (3)原式＝； （4）原式 【点睛】本题考查了指数幂的运算，在计算过程中通常将题目中的小数转化为分数，并将根式转化为分数指数幂的形式，应用指数幂的运算性质计算. 【经典例题三 指数幂的运算】 【例1】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由指数幂的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：C 【例2】（24-25高一上·广西玉林·期中）（1）化简求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）194 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果； （2）结合完全平方公式对条件多次平方即可求解. 【详解】（1） . （2）由，得，即， 则，即. 1．（2022·安徽淮南·二模）1947年，生物学家MaxKleiber发表了一篇题为《bodysizeandmetabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重.若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（  ）（参考数据：） A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍 【答案】C 【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决. 【详解】设该哺乳动物原体重为、基础代谢率为，则，经过一段时间生长，其体重为，基础代谢率为，则，则. 故选：C. 2．（多选题）（2023高一·全国·专题练习）（多选）若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为（　　） A． B．﹣ C． D． 【答案】ACD 【分析】由式，通过配方可得，已知，进而分别用a，b表示c，根据实数的性质即可得出c的范围． 【详解】由式，可得， ，则，， 所以，， 又，则， ， ，， 则c的值可能为． 故选：ACD． 3．（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】两边平方得，进而求得，，代入即可求得的值. 【详解】因为，两边平方得，所以， 因为，所以，，所以， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）对于正整数和非零实数，若，，求的值． 【答案】，， 【分析】利用指数幂的运算，由已知可得，可得，结合已知可求的值. 【详解】. 同理可得， 所以， 又， 所以， 又为正整数，且 均不为1， 又因为， 所以. 【经典例题四 指数幂的化简、求值】 【例1】（24-25高三上·吉林延边·开学考试）若，则（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 【答案】D 【分析】利用换元法结合指数幂的运算可得. 【详解】设，则， 所以，则， 所以， 所以. 故选：D. 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）由及计算可得； （2）由及计算可得. 【详解】（1）由题意可知， ， ， ． （2）， ， . 1．（24-25高二下·广西·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． 【答案】A 【分析】根据指数运算律计算求解. 【详解】因为，则. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 3．（24-25高一上·江西南昌·期中）（1） . （2）已知，那么等于 . 【答案】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质，即可求解； （2）根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）由， 因为，则，所以， 得到， 故答案为：，. 4．（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）计算； （2）已知，求式子的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即可得出所求代数式的值； （2）在等式两边平方，可求出， 再求的值，再利用立方和公式化简可得出所求代数式的值. 【详解】（1）原式； （2）因为，等式两边平方可得，可得， 所以，， 因为，故， 因此，. 【拓展训练一 指数幂的拓展及运算性质】 【例1】（24-25高一上·湖南·开学考试）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】化简，将代入即可. 【详解】因为， 且， 所以. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由根式与指数关系及有理数指数幂的运算性质化简求值； （2）将目标式化为，再代入求值； （3）由已知及指数幂运算得、，代入目标式求值. 【详解】（1）原式； （2）由，， 则； （3）由于，则， 所以，， 所以. 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可. 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B错误； C中，（），故C正确； D中，（），故D错误． 故选：C． 2．（多选题）（23-24高一上·甘肃白银·期末）下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用根式的化简方法直接求解即可. 【详解】 A项错误； B项正确； C项正确； D项正确． 故选：BCD 3．（23-24高一上·全国·课后作业）方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的化简计算即可. 【详解】 ． 故答案为：. 4．（24-25高一上·云南曲靖·期中）（1）计算 （2）化简：. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）化根式为分数指数幂，运用指数的云算法化简求值. 【详解】（1） ； （2）原式. 【点睛】本题主要考查了根式化分数指数幂，指数的运算法则，属于中档题. 1．（23-24高一·全国·课后作业）化简 (a，b＞0)的结果是(　　) A． B．ab C． D．a2b 【答案】C 【分析】由题意结合分数指数幂的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由分数指数幂的运算法则可得： 原式. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查分数指数幂的运算法则，属于基础题. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】由题意结合分数指数幂的定义考查所给的选项是否符合题意即可. 【详解】分数指数幂的定义中要求底数为正数， 选项A中， 和 均不符合分数指数幂的定义，故A不满足题意； 选项B中，的负指数幂没有意义，故B不满足题意； 选项D中， 和 值不相等，故D不满足题意； 选项C中，，满足题意． 故选C. 【点睛】本题主要考查分数指数幂的定义与运算法则，属于中等题. 3．（23-24高一·全国·课后作业） (　　) A． B．1－ C．3－3 D．3－3 【答案】A 【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由于， ，， 故原式. 本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查分数指数幂的运算法则，属于基础题. 4．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算，判断B；取特值进行排除，一般地利用指数幂的运算可以证明A正确. 【详解】， 所以，故B错误； ，， 所以，，故CD错误； ， 所以，A正确. 故选：A 5．（24-25高二下·江苏苏州·期末）满足，的有序实数组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数运算化简得，逐个选项分析即可判断. 【详解】记，则， 因为，所以，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 6．（多选题）（23-24高一·江苏·单元测试）在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．(x)0.5=- (x≠0) B．= C．= (xy>0) D．= 【答案】BC 【分析】根据分数指数幂的定义变形判断． 【详解】对于A，(x)0.5和必有一个无意义，错误; 对于B，，正确; 对于C，因为xy>0，则，正确; 对于D，，错误． 故选：BC． 【点睛】本题考查根据的概念，根式与分数指数幂的互化，属于基础题． 7．（多选题）（23-24高一上·全国·单元测试）设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据指数幂运算法则即可判断． 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，方法一（由内向外化）． 方法二（由外向内化）．故D正确. 故选:AD. 8．（多选题）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）（多选），下列运算（化简）中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分数指数幂的运算法则，对四个选项分别计算、求值，从而得解． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：ABD． 9．（多选题）（22-23高一上·湖北恩施·阶段练习）高中数学教材第110页第10题告诉我们，当n越来越大时，也越来越大，并趋向于常数e，则下列说法正确的是（    ） A．当n越来越大时，趋向于常数e B．当n越来越大时，趋向于常数e C．当x越来越大时，趋向于常数e D．当x越来越大时，趋向于常数 【答案】BD 【分析】由题可知当n越来越大时，趋向于常数e可判断AB，当x越来越大时，，趋向于常数e，可判断CD. 【详解】因为当n越来越大时，趋向于常数e， 所以当越来越大时，趋向于常数e，趋向于常数，故A错误，B正确； 当越来越大时， 趋向于常数e，趋向于常数，故C错误； 当越来越大时，趋向于常数e，趋向于常数，D正确. 故选：BD. 10．（多选题）（22-23高一上·全国·期中）已知实数a，b满足等式，则下列可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先由等式，得出；对于选项A和B，分析的情形即可；对于选项C，分析的情形即可；对于选项D，分析的情形即可. 【详解】因为，所以． 对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确； 对于选项C，当时，，只能，选项C正确； 对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确； 故选：BCD． 11．（2023高一上·全国·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由成立，即可得出，解得即可. 【详解】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 故答案为：. 12．（23-24高一上·黑龙江伊春·阶段练习） ． 【答案】100 【详解】原式 ． 13．（2025高三·全国·专题练习）设函数满足：对任意的正数，，，且，则 ， ． 【答案】 2 10240 【分析】应用赋值法计算求解得出，再根据已知性质得出，再应用叠加法计算求解即可. 【详解】令，得，所以． 令，，得，所以． 令，，得，即． 所以． 所以． 故答案为：2；10240. 14．（24-25高一上·江苏无锡·期中）若，则 【答案】 【分析】对条件反复平方即可得到答案. 【详解】由于，故. 这就意味着，从而. 故答案为： 15．（23-24高一下·云南·期中）已知（且），则 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质即可得，进而，代入可求解. 【详解】由且知，于是，即， 从而， 由于，因此． 故答案为：. 16．（22-23高一上·广东广州·期中）计算或化简： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)-7 【分析】（1）根据n次根式的性质化简即可； （2）根据实数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 17．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）计算： （1）； （2）已知 ，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的互化公式以及指数幂的运算性质即可算出； （2）根据所求式子与条件等式的关联性，即可求出． 【详解】（1）原式＝； （2）因为，将其平方得，，即有， 又 ，， 而，， 故． 【点睛】本题主要考查根式与分数指数幂的互化公式、指数幂的运算性质的应用，以及整体思想和完全平方公式的应用． 18．（24-25高一上·全国·课前预习）用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用指数幂运算律计算求解； 【详解】（1） （2）因为，， 所以 ． （3）因为，， 所以 ． 19．（23-24高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行求解； （2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解. 【详解】（1）因为 ，所以   即 ，. . 因为 ，所以 ，则 . （2）. 已知，所以. 20．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）化简求值： (1)计算； (2)计算（式中字母均是正数） (3)已知，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，逐个化简、计算，即可求解. （2）根据指数幂的运算性质，逐个化简、计算，即可. （3）根据之间的关系，结合因式分解运算求解. 【详解】（1） （2） （3）因为，则，可得， 则，可得， 且， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $