专题1.3.2 基本不等式重难点题型讲义（1个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题1.3.2 基本不等式重难点题型专训 （1个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 由基本不等式比较大小 题型二 由基本不等式证明不等关系 题型三 基本不等式求积的最大值 题型四 基本不等式求和的最小值 题型五 二次与二次(或次)的商式的最值 题型六 条件等式求最值 题型七 基本不等式的恒成立问题 题型八 对勾函数求最值 题型九 基本(均值)不等式的应用 拓展训练一 求最值问题 拓展训练二 基本不等式的相关应用 知识点一：基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 【即时训练】 1．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二下·河北·期末）已知函数，则的最小值为 ． 【经典例题一 由基本不等式比较大小】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？ 1．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 2．（多选题）（2024·贵州贵阳·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 4．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明. 【经典例题二 由基本不等式证明不等关系】 【例1】（2022·上海宝山·一模）设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25高一上·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 1．（24-25高一上·江苏南通·期中）存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（   ） A．的最大值是2 B．的最小值是2 C．的最大值是 D．的最小值是 2．（多选题）（24-25高一上·福建泉州·期末）设，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设a、，，有下列不等式：①；②；③；④．其中恒成立的个数是 个． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【经典例题三 基本不等式求积的最大值】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【例2】（23-24高一上·甘肃白银·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 1．（24-25高一上·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知实数、、满足，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北张家口·一模）已知函数，，则的取值范围是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）定义为实数x，y中较小的数．已知，其中a，b均为正实数，求h的最大值． 【经典例题四 基本不等式求和的最小值】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求取得最大值时x的值； （2）已知正数a、b满足.求的最小值. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建·开学考试）若实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 3．（2025高一·全国·专题练习）已知正实数，满足，则的最小值是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）若且，求的最小值． 【经典例题五 二次与二次(或次)的商式的最值】 【例1】（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【例2】（24-25高一上·安徽芜湖·阶段练习）求解下列各题： （1）求的最大值； （2）求的最小值. 1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知正实数、、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）求的最值． 【经典例题六 条件等式求最值】 【例1】（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）设，且 (1)若，求的最大值； (2)若，求的最小值 1．（24-25高二下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的取值范围是 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知实数，，满足，求的最小值. 【经典例题七 基本不等式的恒成立问题】 【例1】（24-25高一上·福建福州·期中）当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 【例2】（23-24高一·全国·课后作业），恒成立，求的取值范围. 1．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（多选题）（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，，，且恒成立，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【经典例题八 对勾函数求最值】 【例1】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）（1）若，求的最小值； （2）若，，，比较、的大小. 1．（2024高三·全国·专题练习）已知两正数、满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）设实数满足，则函数的最大值是 4．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【经典例题九 基本(均值)不等式的应用】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，且，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，则求这个矩形菜园的面积最大值． 1．（2025高三·全国·专题练习）某学校后勤部采购一台设备原值（购买价格）为元，且设备每年折旧率相同，设备维修及动力消耗每年以元增加，且设备经过使用后的残值（剩余值）为零，则这台设备最佳更新年限为（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 2．（多选题）（24-25高二下·辽宁·期末）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则k的最小值为 3．（2025高三·全国·专题练习）若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）已知、、、为正实数，利用基本不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【拓展训练一 求最值问题】 【例1】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知正数，满足，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·吉林白城·阶段练习）下列命题中真命题有（    ） A．若，则的最大值为2 B．当，时， C．若，则的最大值为 D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立 3．（2023高三·全国·专题练习）函数取得的最小值时，的值为 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）回答下面两题 (1)已知，求的最大值． (2)设，求的最大值． 【拓展训练二 基本不等式的相关应用】 【例1】（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由? 1．（24-25高一·全国·课后作业）若且，则下列不等式中恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·广东广州·期中）设a，b为正实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南通·期末）若，，，则下列不等式： ；；；， 其中成立的是 写出所有正确命题的序号 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设． (1)求证：的周长为4； (2)试用表示的长，并求的取值范围； (3)当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值． 1．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 4．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 6．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知a，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 8．(多选题)（24-25高一上·江苏·阶段练习）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）下列不等式正确的是（    ） A．已知为正实数，，则的最小值为 B．有最小值2 C．已知正数满足，则的最大值是1 D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 10．（多选题）（24-25高三下·河北保定·开学考试）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·河南濮阳·阶段练习）已知，，给出下列四个不等式： ①；②；③；④.其中正确的不等式有 .（填上所有正确的序号） 12．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，的最小值为 . 13．（23-24高一上·全国·单元测试）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为 ．    14．（23-24高一上·甘肃·期末）函数的最小值是，则当时，a的值为 ，当时，a的值为 15．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 16．（2025高一·全国·专题练习）（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 18．（24-25高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 19．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足， 求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 20．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3.2 基本不等式重难点题型专训 （1个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 由基本不等式比较大小 题型二 由基本不等式证明不等关系 题型三 基本不等式求积的最大值 题型四 基本不等式求和的最小值 题型五 二次与二次(或次)的商式的最值 题型六 条件等式求最值 题型七 基本不等式的恒成立问题 题型八 对勾函数求最值 题型九 基本(均值)不等式的应用 拓展训练一 求最值问题 拓展训练二 基本不等式的相关应用 知识点一：基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 【即时训练】 1．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用的关系式以及均值不等式即可求出答案. 【详解】 因为， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为. 故选：B. 2．（24-25高二下·河北·期末）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将整理为，再根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 【经典例题一 由基本不等式比较大小】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？ 【答案】(a-c)≥4 【分析】由a-c=(a-b)+(b-c)得(a-c)＝[(a-b)+(b-c)]，利用基本不等式求得最小值即可判断． 【详解】(a-c)≥4，理由如下： 因为a-c=(a-b)+(b-c)， 所以[(a-b)+(b-c)] =2++， 又a>b>c，所以+≥2， 故(a-c)≥4， 当且仅当=时，取等号. 1．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 【答案】C 【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项. 【详解】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为， C选项中，两次提价后的水价为， D选项中，两次提价后的水价为， 因为，则，则， 所以，，则， 即， 由基本不等式可得， 所以，. 故选：C. 2．（多选题）（2024·贵州贵阳·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项. 【详解】A.，当时，等号成立，故A正确； B.，当时，等号成立，故B正确； C.，故C正确； D.，当时等号成立，故D正确 . 故选：ABCD 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可比较, 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 4．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明. 【答案】，证明见解析 【分析】利用基本不等式可得出、、的大小关系. 【详解】解：，证明如下： 因为、均为正数，由基本不等式可得， 则，则，所以， 由上可知，则，即， 所以，， 综上所述，，当且仅当时，两个等号都成立. 【经典例题二 由基本不等式证明不等关系】 【例1】（2022·上海宝山·一模）设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由运算“Δ”和“”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确. 【详解】由运算“△”和“▽”知，表示数、比较小的数， 表示数、比较大的数． 当，时，，故选项A、C错误； 当时，，故选项B错误． ∵，且，∴， ∵，，∴，故选项D正确． 故选：D 【例2】（24-25高一上·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 1．（24-25高一上·江苏南通·期中）存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（   ） A．的最大值是2 B．的最小值是2 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】B 【分析】首先分析出的正负，再根据条件，利用基本不等式转化为关于的不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，中有2个负数，1个正数，其中是负数，， 则， 所以，则，且， 所以，即，所以的最小值为2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据基本不等式转化为，并建立关于的不等式. 2．（多选题）（24-25高一上·福建泉州·期末）设，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题中条件，由基本不等式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A，因为，， 所以，当且仅当且， 即时取等号，故A正确， B，因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误， C，因为，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时取等号，所以，即，故C正确， D，因为，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ACD. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设a、，，有下列不等式：①；②；③；④．其中恒成立的个数是 个． 【答案】2 【分析】由基本不等式判断，可举反例说明不恒成立． 【详解】a、，恒成立，所以，①恒成立； ，所以，②恒成立； 时，，，③④不恒成立． 故答案为：2． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 【经典例题三 基本不等式求积的最大值】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 【例2】（23-24高一上·甘肃白银·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式可求得结果；（2）利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为10. 1．（24-25高一上·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式求解积的最值. 【详解】根据基本不等式，解得 当且仅当时等号成立， 故选：A. 2．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知实数、、满足，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，，再利用基本不等式求即可. 【详解】解：因为，， 所以，， 所以， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立. 因此，的最大值为. 故选：C. 3．（2025·河北张家口·一模）已知函数，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 由于，故，当且仅当时等号成立， 又， 当且仅当等号成立， 因此， 当且仅当等号成立，由于，故等号取不到， 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）定义为实数x，y中较小的数．已知，其中a，b均为正实数，求h的最大值． 【答案】． 【分析】利用基本不等式结合不等式的性质可求h的最大值． 【详解】因为，故且， 由题设有，故，故， 故，故，当且仅当且时，即时等号均成立， 故h的最大值是． 【经典例题四 基本不等式求和的最小值】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 故选：D. 【例2】（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求取得最大值时x的值； （2）已知正数a、b满足.求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由基本不等式可得； （2）变形后由基本不等式可得. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. （2）因为且a、b为正数，所以，，所以，， 则， 当且仅当、时等号成立，故的最小值为16. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简，由基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 则， 等号成立时，，即， 所以函数的最小值为. 故选：B. 2．（24-25高三上·福建·开学考试）若实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】由基本不等式，结合条件即可求解. 【详解】实数满足，由基本不等式得：,当且仅当,即时取等号，则的最小值是4； 故选：C 3．（2025高一·全国·专题练习）已知正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】3 【分析】由，所以利用 ，即可求解. 【详解】因为，，当且仅当，时取等号， 所以， 当且仅当，时原不等式取等号. 故答案为：3. 4．（2025高三·全国·专题练习）若且，求的最小值． 【答案】 【分析】，利用均值不等式求和的最小值. 【详解】，， 由，知， 所以， 当且仅当即时， 此时， 所以，所以时等号成立， 故的最小值为． 【经典例题五 二次与二次(或次)的商式的最值】 【例1】（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 【例2】（24-25高一上·安徽芜湖·阶段练习）求解下列各题： （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）；（2）8. 【分析】（1）因为，所以利用均值不等式即可求解； （2）因为，所以利用均值不等式即可求解. 【详解】解：（1）因为，又， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 故y的最大值为； （2）由题意，， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故y的最小值为8. 1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 2．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知正实数、、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得出，利用不等式的性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】，，， 由于、、均为正数，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题. 3．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高一·全国·课后作业）求的最值． 【答案】当时，的最小值为7，无最大值；当时，的最大值为3，无最小值. 【分析】将变形为，然后分和两种情况利用基本不等式求出的最值即可求得结果. 【详解】. ①当时，. ， 当且仅当时取等号. ②当时，，则. ， 当且仅当时取等号. 所以当时，的最小值为7，无最大值； 当时，的最大值为3，无最小值. 【点睛】本题考查基本不等式的应用和分类讨论的思想，运用基本不等式求最值时要注意验证是否满足“一正二定三相等”的条件，属中档题. 【经典例题六 条件等式求最值】 【例1】（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 【例2】（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）设，且 (1)若，求的最大值； (2)若，求的最小值 【答案】(1)81； (2)4. 【分析】（1）（2）根据已知得到等量条件，结合基本不等式求目标式的最值，注意取值条件即可. 【详解】（1）由题设知，而，当且仅当时取等号， 所以最大值为. （2）由题设知，即，而， 所以，当且仅当取等号，故最小值是4. 1．（24-25高二下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解. 【详解】由可得：. 因为， 所以，， 则，当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 2．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】根据条件等式有且，再应用基本不等式求最值. 【详解】由题设且，则， 所以 当且仅当即时取等号. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据，得到，由完全平方公式得到，从而得到的取值范围. 【详解】， 当且仅当（同号）时取等号； 又， 于是，当时取等号（例如符合题意）． 因此所求的取值范围是． 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知实数，，满足，求的最小值. 【答案】 【分析】由题设得，再讨论符号求其范围，最后由求最小值. 【详解】由，得， 所以， 即或， 解得或， 所以. 综上，当时，取得最小值. 【经典例题七 基本不等式的恒成立问题】 【例1】（24-25高一上·福建福州·期中）当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 【答案】A 【分析】分析可得，利用基本不等式运算求解最值即可. 【详解】因为当，时，，可得， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为9. 故选：A. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业），恒成立，求的取值范围. 【答案】 【解析】，再借助基本不等式即可求出答案． 【详解】解：，， ， 当且仅当即时，等号成立， ∴， ∴实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题，属于中档题． 1．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 2．（多选题）（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将恒成立，转化为恒成立，再利用基本不等式得到，转化为恒成立，逐项判断. 【详解】解：因为正实数，且为自然数， 所以， 则恒成立，即恒成立， 两边同乘，则， 而， ， 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则恒成立， A.当时，，不成立； B.当时，，成立； C.当时，，成立； D.当时，，不成立， 故选：BC 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，，，且恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】借助基本不等式计算可得，即可得解. 【详解】由，，， 故， 当且仅当、，即，时，等号成立， 故，即，则的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值； （2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围. 【详解】（1）∵， ∴，，， ∴， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为25. （2）∵，∴， ∴， ∵且，∴， ∴，当且仅当，即时取“=”， ∴， ∴恒成立，即，解得 ， 所以实数的取值范围为 【经典例题八 对勾函数求最值】 【例1】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质即可求解. 【详解】根据题意可知， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 【例2】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）（1）若，求的最小值； （2）若，，，比较、的大小. 【答案】（1）最小值为12；（2）. 【解析】（1）设，，然后利用基本不等式可求出答案； （2）利用作差法比较出的大小即可. 【详解】（1）设，则， 所以， 当，即时取等号， 所以的最小值为12. （2）因为， 所以 所以，由题意可知，，所以 1．（2024高三·全国·专题练习）已知两正数、满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】转化条件为，换元后由对勾函数的性质即可得解. 【详解】由题意，， 令，则，当且仅当时，等号成立， 又函数在上单调递减， 所以当时，函数取最小值， 所以的最小值为. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为，再结合对勾函数的性质即可得解. 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】本题目考察基本不等式的应用，需要注意三个点，一是为正，二是乘积为定值时可以求和的最小值，三是当且仅当时取等，三个条件缺一不可 【详解】选项A中，时，，，，所以最小值不是2，错误 选项B中，当时，，当且仅当时取等；当时，，当且仅当时取等；所以，最小值为2，正确 选项C中，，当且仅当时取等，此时无解，所以取不到最小值2，错误 选项D中，，当且仅当时取等，所以最小值为2，正确 故选：BD 3．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）设实数满足，则函数的最大值是 【答案】/ 【分析】根据基本不等式凑乘积为定值，即可得所求函数的最大值. 【详解】因为，所以中，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为； 【经典例题九 基本(均值)不等式的应用】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，且，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知得，然后结合基本不等式可求出的最大值. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为3． 故选：C 【例2】（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，则求这个矩形菜园的面积最大值． 【答案】81 m2 【分析】先设矩形菜园的长和宽，再根据，应用基本不等式得出面积的最大值即可. 【详解】设矩形菜园的长和宽分别为，则， 由题意有，所以，所以矩形菜园的面积， 当且仅当时取等号，所以当矩形菜园的长和宽都为9 m时，矩形菜园的面积最大为81 m2． 1．（2025高三·全国·专题练习）某学校后勤部采购一台设备原值（购买价格）为元，且设备每年折旧率相同，设备维修及动力消耗每年以元增加，且设备经过使用后的残值（剩余值）为零，则这台设备最佳更新年限为（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】设这台设备使用年后更新，即最佳更新年限为年均设备费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小，表示出设备总费用，结合基本不等式即可求解． 【详解】设这台设备使用年后更新，即最佳更新年限为年均设备费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小， 由题意可得，年消耗平均费用为元， 年折旧平均费用为元，则平均年总费用， 最佳更新年限为设备总费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以这台设备最佳更新年限为， 故选：C． 2．（多选题）（24-25高二下·辽宁·期末）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则k的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用基本不等式可得，再解不等式即可；对于B，根据基本不等式，易知等号不成立；由代入式子中，再运用基本不等式处理即可；对于D，由即可解得. 【详解】，当时取等号， ， 解得，当时取等号，故A正确； ， 当时取等，又，所以等号不成立，故B错误； ， 当时取等，又，所以即时取等，故C正确； ，当时取等号， 所以，即，故D正确； 故选：ACD. 3．（2025高三·全国·专题练习）若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用换元法将表达式替换为，再利用基本不等式的推广应用计算即可求得结果. 【详解】令，，由可得， 则，所以． 由（舍去）或. 由 ； 当且仅当时，即时，等号成立； 又，所以． 故答案为： 4．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）已知、、、为正实数，利用基本不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)当矩形菜园平行于墙的一边的长为15m，与之相邻的边的长为m时，菜园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）两次利用基本不等式得到，再利用基本不等式即可得证； （2）令，结合（1）的结论，即可证明； （3）设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，菜园的面积为，求出的范围，再由及基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为、、、为正实数， 所以，，当且仅当，时等号成立， 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. （3）设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，菜园的面积为， 则，，其中，即， 由基本不等式得 ， 当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是. 因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为15m，与之相邻的边的长为m时，菜园的面积最大，最大面积是 【拓展训练一 求最值问题】 【例1】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知正数，满足，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】（1）4，    （2）6， 【分析】（1）根据基本不等式求解即可； （2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因，则有， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为4；      （2）当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立， ，解得，即，故A不正确； 对于B：由，得，当且仅当时，等号成立， 即，解得，或（舍去），故B错误； 对于C：， 令，，即，故C正确； 对于D，，令，，即，故D不正确， 故选：C． 2．（多选题）（24-25高一上·吉林白城·阶段练习）下列命题中真命题有（    ） A．若，则的最大值为2 B．当，时， C．若，则的最大值为 D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立 【答案】ABC 【分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A正确. B选项，，当且仅当时等号成立，B正确. C选项，则， ，当且仅当时等号成立，C正确. D选项，当均为负数时，也成立，所以D选项错误. 故选：ABC 3．（2023高三·全国·专题练习）函数取得的最小值时，的值为 ． 【答案】4 【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式可求出答案. 【详解】.当且仅当，即时， 等号成立.故的最小值为6. 故答案为：4 4．（24-25高一上·全国·课后作业）回答下面两题 (1)已知，求的最大值． (2)设，求的最大值． 【答案】(1)最大值1 (2)最大值． 【分析】（1）将所求式子转化为，再利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式求最值. 【详解】（1），，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 当时，取得最大值1． （2），， ， 当且仅当，即时，等号成立． 当时，取得最大值． 【拓展训练二 基本不等式的相关应用】 【例1】（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式得到、，进而求的范围，注意等号成立条件. 【详解】由，即，又， 所以，可得，当且仅当时等号成立，A对，B错； 由，即， 所以，当且仅当时等号成立，C、D错. 故选：A 【例2】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由? 【答案】存在，时，取最大面积 【分析】先用边长通过几何关系表示出所求面积，再用基本不等式即可求解，注意检验等号是否能取得 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 设，则 设，则，，而为直角三角形， ， 当且仅当，即时取等，此时，满足， 故时，取最大面积 1．（24-25高一·全国·课后作业）若且，则下列不等式中恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式判断，错误的不等式可举反例． 【详解】当时，，A错； 时，满足，但，B错； 时，满足，，C错． ，则，，当且仅当时等号成立．D正确． 故选：D． 2．（多选题）（23-24高一上·广东广州·期中）设a，b为正实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式以及其变形与不等式性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，因为，为正实数，，故， 故，即，故A正确； 对于B，由于，当且仅当即时取等号， ，当且仅当即时取等号， 故，故B正确； 对于C，，为正实数，则，故， 即，故，故C错误； 对于D，因为，为正实数，则， 当且仅当时，等号成立， 故，即，故D正确. 故选：ABD. 3．（23-24高一下·江苏南通·期末）若，，，则下列不等式： ；；；， 其中成立的是 写出所有正确命题的序号 【答案】①③④ 【详解】①正确； = = ②错误； ③正确； ④正确. 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设． (1)求证：的周长为4； (2)试用表示的长，并求的取值范围； (3)当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值． 【答案】(1)证明见详解； (2)， (3)当时，的面积取得最大值，为. 【分析】（1）通过证明,即可得到,,从而求出的周长； （2）在利用勾股定理并结合（1）即可建立和的关系，根据题意即实际意义可求出的范围； （3）将的面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由题意可知, 所以,所以, 所以（定值）. 所以的周长为定值4. （2）由折叠可知, 所以，即, 由（1）知,即，所以， 在直角△中，由勾股定理可得， 即，化简得， 因为,，所以且，即， 所以， （3）在Rt中,, 所以, 当且仅当，即时等号成立，所以当时，的面积取得最大值，为. 1．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 2．（2023·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C. 【详解】因为，，且， 由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确； 由基本不等式知，则， 即（当且仅当时取等号），B正确； 由题得， 由已知，故，所以， 故，C正确； 由基本不等式可得， 即（当且仅当时取等号），D错误. 故选：D. 3．（24-25高二下·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可得，再次利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ，当且仅当时，取等号， ，当且仅当时，原式取得最小值， 故选：D. 4．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 5．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 6．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知a，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用基本不等式判断的符号、求的范围，即可得答案. 【详解】对于A，B：由题知，， 所以，当且仅当时取等号， 因为，则，即，故， A错误， B正确； 对于C，D：因为，所以， 当且仅当即时取等号，所以，C正确，D错误． 故选：BC 7．（多选题）（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断. 【详解】正数x、y，满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 8．(多选题)（24-25高一上·江苏·阶段练习）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式分析各个选项的最小值即可得出正确答案. 【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 9．（多选题）（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）下列不等式正确的是（    ） A．已知为正实数，，则的最小值为 B．有最小值2 C．已知正数满足，则的最大值是1 D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断A，B，C；对于D，由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可判断. 【详解】解：对于A， 当且仅当时，等号成立，∴A正确； 对于B． 当且仅当，即时，不合题意，不能取等号，∴B错误； 对于C．，当且仅当时，等号成立，∴C正确； 对于D．恒成立，即恒成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立，，D正确. 故选：ACD. 10．（多选题）（24-25高三下·河北保定·开学考试）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用基本不等式逐项判断可确定选项. 【详解】A.， 故，当且仅当时取等号，A错误； B.， 故，当且仅当时取等号，B正确； C.由，得， 故，C错误； D.由，得， 则，故，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD. 11．（24-25高一上·河南濮阳·阶段练习）已知，，给出下列四个不等式： ①；②；③；④.其中正确的不等式有 .（填上所有正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】利用基本不等式比较各项不等式左右两边的大小关系，注意等号成立的条件. 【详解】∵a>0，b>0， ∴①a+b+≥2≥2=2，当且仅当a=b=时取等号，正确； ②(a+b)()≥4·=4，当且仅当a=b时取等号，正确； ③∵≥，而a2+b2≥=(a+b)·≥(a+b)， ∴≥a+b，当且仅当a=b时取等号，正确； ④a+=(a+4)+-4≥2-4=-2，当且仅当a+4=，即(a+4)2=1时等号成立，而a>0，则(a+4)2≠1， ∴不能取等号，显然存在a=，有a+<a+，不正确. 故答案为：①②③ 12．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，的最小值为 . 【答案】 【分析】将所求代数式变形为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，则， 当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值． 故答案为： 13．（23-24高一上·全国·单元测试）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为 ．    【答案】 【分析】设的长为，总造价为元，根据面积关系得阴影部分面积为，草坪面积为，花坛面积，进而得到，利用基本不等式求最值，得到答案. 【详解】设的长为，总造价为元，因为四个小矩形，，，与小正方形面积之和为， 且，小正方形的面积为， 其中矩形的面积为，则， 因为所以，阴影部分面积为， 因为，，， 所以草坪面积是面积的（倍） 所以草坪面积为， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为240000元． 故答案为：. 14．（23-24高一上·甘肃·期末）函数的最小值是，则当时，a的值为 ，当时，a的值为 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的值域，然后分a>0与a<0两种情况讨论用a表示的最小值，令最小值等于即可求出对应a的值. 【详解】当时， 当时：，当且仅当即时等号； 此时. 当时，， 当且仅当即时等号；此时. 综上： 若，则，由题，所以. 若，则，由题，所以. 故答案为：1；−1. 15．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 16．（2025高一·全国·专题练习）（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由对称性知，当时两式相等，借助基本不等式的变形可得. （2）由对称性知，当时等号成立，借助基本不等式的变形可证. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 同理，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当时等号成立. （2）因为，，均为正实数，所以有： （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 将三式相加得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)3 【分析】（1）两次利用基本不等式证明即可； （2）令，结合（1）的结论，即可证明； （3）结合（1），（2）利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． （2），当且仅当时等号成立． 推导如下： 由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. （3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3． 18．（24-25高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． (3)． 【分析】（1）先由题意得，，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. （3）法一：利用基本不等式1的代换可求得的最小值.法二：利用基本不等式求得，进而可得的最小值. 【详解】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）依题意，得． 方法一， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二，，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 19．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足， 求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析；； (3). 【分析】（1）根据不等式的性质即可证明； （2）展开，利用基本不等式即可证明； （3）由题意可得恒成立，展开即可证明. 【详解】（1）因为且， 所以，且， 所以且. （2）由，可得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 则. 因为对任意的恒成立， 即为恒成立， 而，所以. 又为自然数，所以或. （3）不等式对任意恒成立， 即为恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 所以当自然数满足时，不等式 对任意恒成立． 20．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出图形，计算出、的长，结合题意可计算出此人从海岛到达地的时间； （2）求出、的长，根据题意可得出，可得，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】（1）解：如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为. （2）解：如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $