专题1.3.1 不等式性质重难点题型讲义（1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题1.3.1 不等式性质重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型二 由不等式的性质比较数(式)大小 题型三 作差法比较代数式的大小 题型四 作商法比较代数式的大小 题型五 由不等式的性质证明不等式 题型六 利用不等式求值或取值范围 拓展训练一 不等式性质的判定与理解 拓展训练二 不等式性质的应用 知识点一：不等式关系与不等式 ① 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：. ② 比较大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) 【即时训练】 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【经典例题一 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24高一上·浙江·课后作业）对于实数，判断下列命题的真假． （1）若，则． （2）若，则． （3）若，则． （4）若，则． （5）若，则． （6）若，，则． 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是 4．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列各命题的真假.． （1）若，则 （2）若，则 （3）若，，则 （4）若，，则 （5）若，，则 （6）若，，则 【经典例题二 由不等式的性质比较数(式)大小】 【例1】（2025·福建福州·模拟预测）设集合，若，，且，，则（   ） A． B．， C． D．， 【例2】（2024高三·全国·专题练习）设表示中较大的数，表示中较小的数．例如．现在，关于四个不同的实数有下面关系：．试比较的大小． 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课前预习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖南张家界·期末）记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 . 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）求证：； （2）设均为正实数，求证：. 【经典例题三 作差法比较代数式的大小】 【例1】（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在、、、四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下的两个容器给乙，已知容器、的底面积均为，高分别为，，容器，底面积均为，高分别为，（其中）． (1)写出，，，四个长方体容器的体积、、、； (2)列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果（先取再取与先取再取视为相同的取法）； (3)在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器一定可以获胜），并说明此方案必胜的理由． 1．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高三上·辽宁·阶段练习）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 3．（24-25高一上·北京·期中）小明和小强做一个数学游戏，规则如下：首先由小明和小强各出一个实数和，满足，然后由裁判对和分别进行两种数学运算： （1）乘法运算：； （2）“*”运算：． 若，则判定小强获胜；若，则判定小明获胜． 现有下面三个结论： ①若小明和小强都出正数，则小明不可能获胜； ②若小明和小强都出负数，则小强有可能获胜： ③若小明出负数，则小强总能出一个正数使自己获胜； 其中正确结论的序号为 ． 4．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）（1）设，试比较与的大小. （2）已知、、、且，，求证：. 【经典例题四 作商法比较代数式的大小】 【例1】（2024高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 1．（2024·湖南益阳·一模）已知：，则3，，的大小关系是 A． B． C． D． 2．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 4．（23-24高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？ 【经典例题五 由不等式的性质证明不等式】 【例1】（23-24高三·北京·强基计划）设函数，其中x，y，z均为正实数，则（    ） A．既有最大值也有最小值 B．有最大值但没有最小值 C．没有最大值但有最小值 D．前三个答案都不对 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 1．（23-24高二下·贵州铜仁·期中）已知三个不等式：①；②③则以其中两个命题为条件，剩下的一个命题为结论，能得到几个正确的命题（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（多选题）（22-23高一上·河南商丘·期中）若a，b，c，，那么下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 3．（24-25高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 4．（24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【经典例题六 利用不等式求值或取值范围】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）设，（，2，3，4，5），，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·安徽芜湖·自主招生）已知n，k均是正整数，且满足不等式，若对于某一给定的正整数n，存在唯一的正整数k，使该不等式成立．求所有符合条件的正整数n的最大值与最小值． 1．（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 3．（2025高一·全国·专题练习）设，，为实数，且，，则的最大值为 ． 4．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知实数满足： (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 【拓展训练一 不等式性质的判定与理解】 【例1】（24-25高二下·上海黄浦·阶段练习）若且、 都不为0，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列命题的真假，并简述理由： （1）若，则. （2）若，则. （3）若，则. （4）若，则. 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选题）（24-25高一上·贵州贵阳·期末）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．（22-23高三·全国·中职高考）已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是 ． ①若，则；         ②若，则； ③若，则；     ④若，则； ⑤若，则；         ⑥若，则； 4．（23-24高一·全国·课后作业）某蛋糕师制作，两种蛋糕，原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个种蛋糕需要面粉，黄油，牛奶；制作一个种蛋糕需要面粉，黄油，牛奶.现有面粉，黄油，牛奶，若分别制作个种蛋糕，个种蛋糕.试列出,满足的不等式组. 【拓展训练二 不等式性质的应用】 【例1】（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（24-25高一上·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数，则、、与1的大小关系为（    ） A．没有一个小于1 B．至多有一个不小于1 C．都不小于1 D．至少有一个不小于1 2．（多选题）（23-24高二下·山东临沂·期末）已知（，，），且，则（    ） A． B． C．存在，使得 D． 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 4．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）对于四个正数m、n、p、q，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； (2)设a、b、c、d均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系； (3)设正整数n满足条件：对集合内的每个m，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n的最小值． 1．（24-25高一上·四川眉山·期末）若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）若且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 4．（2024·浙江·模拟预测）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）（23-24高二下·湖南长沙·期末）设为正实数，下列命题正确的有（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 10．（多选题）（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知实数a，b满足，，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是6，最小值是2 B．的最大值是2，最小值是 C．的最大值是28，最小值是4 D．的最大值是，最小值是 11．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）给出以下4个说法：①已知，是正实数，若，则；②若，则；③若，，则；④若，则． 其中正确的说法是（填序号） ． 12．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）实数满足下列三个条件：①，②，③，则按照从小到大的次序排列为 ． 13．（23-24高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 14．（23-24高一·全国·课后作业）已知三个不等式：（其中均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是 ． 15．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知实数，满足，，则范围是 16．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 17．（22-23高一上·上海闵行·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 18．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由； （3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 19．（2023高三·全国·专题练习）已知实系数多项式有三个正根，且求证： 20．（24-25高一上·上海闵行·期中）符号表示不大于x的最大整数,例如，， （1）已知方程的解集为M，不等式的解集为N，求M、N； （2）设方程的解集为A，求A； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3.1 不等式性质重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型二 由不等式的性质比较数(式)大小 题型三 作差法比较代数式的大小 题型四 作商法比较代数式的大小 题型五 由不等式的性质证明不等式 题型六 利用不等式求值或取值范围 拓展训练一 不等式性质的判定与理解 拓展训练二 不等式性质的应用 知识点一：不等式关系与不等式 ① 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则：； (3) 乘法法则：； (4) 倒数法则：； (5) 乘方法则：. ② 比较大小 (1) 作差法(与的比较) (2) 作商法(与比较) 【即时训练】 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用作差法，结合不等式性质判断各项的正误. 【详解】A：，则，则，错； B：，又， 所以的符号无法确定，故和大小不确定，错； C：，则，对； D：，则，则，错. 故选：C 2．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 【经典例题一 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例1】（24-25高一上·上海·阶段练习）若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①②③：根据不等式的性质分析判断即可；对于④：由③可知，结合不等式性质分析判断. 【详解】对于①：因为，则，所以，故①正确； 对于②：因为，则，所以，故②错误； 对于③：因为，则， 所以，故③正确； 对于④：因为，则，可得， 即，所以，故④正确； 综上所述：成立的有3个. 故选：C. 【例2】（23-24高一上·浙江·课后作业）对于实数，判断下列命题的真假． （1）若，则． （2）若，则． （3）若，则． （4）若，则． （5）若，则． （6）若，，则． 【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题；（5）真命题；（6）真命题. 【分析】利用不等式的性质即可判断这6个小题的真假. 【详解】（1）由于c的符号未知，因而不能判断与的大小，故该命题是假命题． （2），，，，故该命题为真命题． （3）．又， 故该命题为真命题． （4）， 又，故该命题为真命题． （5），， ，，故该命题为真命题． （6）由已知条件，得， ，．又，，故该命题为真命题． 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和两种情况讨论，当时，，当时，；由此可以直接判断AB选项，取特殊值排除C选项，对D选项，由得，再分和两种情况证明. 【详解】A选项，当时，，此时即， 当时，，此时即，所以A错误； B选项，当时，，成立， 当时，，，所以B错误； C选项，当时，取，此时，不满足， 当时，取，此时，不满足，故C错误； D选项，等价于， 当时，，，此时， 当时，，，此时，D正确； 故选：D. 2．（多选题）（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 3．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是 【答案】①②④ 【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：①②④. 4．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列各命题的真假.． （1）若，则 （2）若，则 （3）若，，则 （4）若，，则 （5）若，，则 （6）若，，则 【答案】（1）真；（2）假；（3）假；（4）假；（5）真；（6）假. 【解析】（1）利用不等式的性质可判断原命题的真假； （2）取特殊值可判断原命题的真假； （3）取特殊值可判断原命题的真假； （4）取特殊值可判断原命题的真假； （5）利用不等式的基本性质可判断原命题的真假； （6）取特殊值可判断原命题的真假. 【详解】（1），，则，原命题为真命题； （2）取，，则，原命题为假命题； （3）取，，则，，则，原命题为假命题； （4）取，，则，原命题为假命题； （5），，，，，原命题为真命题； （6）取，，，则，原命题为假命题. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质与特殊值法来判断，考查推理能力，属于基础题. 【经典例题二 由不等式的性质比较数(式)大小】 【例1】（2025·福建福州·模拟预测）设集合，若，，且，，则（   ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查集合的性质，利用不等式作差比较大小可判断A选项，从而判定C选项，B选项取特值即可，D选项对当为奇数，为奇数和，为整数，且其中至少有一个为偶数进行分类讨论，导出矛盾. 【详解】由，，则，， 则 又实数，，所以，即，A选项错误； 当，，此时，B选项错误； 由A选项知，，故当时，，C选项错误； D选项：1.当为奇数，为奇数时，为偶数．又，因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 2.当，为整数，且其中至少有一个为偶数，则必为偶数．又，且为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．故，不可能都为整数，即，，选项D正确． 故选：D. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）设表示中较大的数，表示中较小的数．例如．现在，关于四个不同的实数有下面关系：．试比较的大小． 【答案】 【分析】根据新定义即可得解. 【详解】依题意， 设，， 则． 另外，因为，所以， 因而， 从而． 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，则，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：C 2．（23-24高一上·全国·课前预习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及不等式的性质判断大小关系即可. 【详解】因为，所以，则． 故选：C 3．（23-24高二下·湖南张家界·期末）记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】假设最小值为t然后得到2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，三式相加，得出t≤，最后判断即可. 【详解】设t=min{y-x,z-y,1-z}, 则t≤y-x, 即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z, 三式累加可得：4t≤1+(y-2x) ≤1,所以t≤. 取显然满足且,此时t= 所以 故答案为： 4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（1）求证：； （2）设均为正实数，求证：. 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析 【分析】(1)本题可通过对不等式两边同时平方并化简即可得出结果； (2)本题首先可通过基本不等式得出(当且仅当时取等号)以及(当且仅当时取等号)，然后两者联立，即可证得不等式成立． 【详解】(1)因为，， 所以要证，即证， 即证，即证， 因为成立，所以成立． (2)根据基本不等式，首先有，当且仅当时取等号， 再有，当且仅当时取等号， 综上所述，，当且仅当时取等号，故不等式成立． 【点睛】本题考查不等式的相关性质，主要考查基本不等式的应用，如果一个不等式的证明涉及到多处基本不等式的运用，那么每一处基本不等式的运用中取等号成立的条件一定要相同，考查推理能力，是中档题． 【经典例题三 作差法比较代数式的大小】 【例1】（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 【例2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在、、、四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下的两个容器给乙，已知容器、的底面积均为，高分别为，，容器，底面积均为，高分别为，（其中）． (1)写出，，，四个长方体容器的体积、、、； (2)列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果（先取再取与先取再取视为相同的取法）； (3)在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器一定可以获胜），并说明此方案必胜的理由． 【答案】(1)，，， (2)，，，，， (3)甲必胜的方案：甲选AD，理由见解析 【分析】（1）直接利用长方体体积公式求解即可； （2）直接写出各种可能情况即可； （3）按照，的大小关系，分情况结合不等式的性质以及作差法分析判断，比较大小即可． 【详解】（1），，，的体积分别为，，，， 因为容器、的底面积均为，高分别为，，容器，底面积均为， 则，，，． （2）甲从，，，中任选2个，有，，，，，，共6种可能． （3）当时，则，即． 则，，即甲取，均不能够稳操胜券； 当时，则， 即， 则，， 即甲取，均不能稳操胜券； 若甲先取，则：， 即， 即甲先取能够稳操胜券，选不能够稳操胜券， 综上所述：甲必胜的方案：甲选AD． 1．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果. 【详解】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A 2．（多选题）（24-25高三上·辽宁·阶段练习）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 【答案】AD 【分析】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即，结合作差法逐项判断即可. 【详解】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即， 按采光标准，窗户面积与地板面积的比值，且当越大时，住宅的采光条件越好． 对于AB选项，当时，， 故，所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好，A对B错； 对于C选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 若，则，此时住宅的采光条件不变，C错； 对于D选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 所以若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差，D对. 故选：AD. 3．（24-25高一上·北京·期中）小明和小强做一个数学游戏，规则如下：首先由小明和小强各出一个实数和，满足，然后由裁判对和分别进行两种数学运算： （1）乘法运算：； （2）“*”运算：． 若，则判定小强获胜；若，则判定小明获胜． 现有下面三个结论： ①若小明和小强都出正数，则小明不可能获胜； ②若小明和小强都出负数，则小强有可能获胜： ③若小明出负数，则小强总能出一个正数使自己获胜； 其中正确结论的序号为 ． 【答案】②③ 【分析】举反例即可求解①②，根据一元二次的根，即可判断③. 【详解】对于①,若，则，此时，故小明获胜，故①错误, 对于②，若取，则，此时，故小强获胜，故②正确, 对于③，由以及可得，故，故，故，则，由于，取，因此对任意的，总能找到，使得，故③正确, 故答案为：②③ 4．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）（1）设，试比较与的大小. （2）已知、、、且，，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法，即可比较两式的大小； （2）利用作差法，即可证明． 【详解】（1） ； 因为，所以，， 所以， 所以； （2）证明：， 因为且，， 所以； 又因为，所以，则， 又， 所以，即． 【经典例题四 作商法比较代数式的大小】 【例1】（2024高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 【例2】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 1．（2024·湖南益阳·一模）已知：，则3，，的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项. 【详解】，， ∴； 又 ，∴.故选D. 【点睛】本题考查指数式化与对数式关系以及对数函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 4．（23-24高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？ 【答案】乙先到教室 【分析】设出从寝室到教室的路程，甲、乙两人的步行速度和跑步速度，分别表示出甲、乙两人到达教室所用时间，利用作商与1比较大小，即可判断谁先到教室． 【详解】设从寝室到教室的路程为s，甲、乙两人的步行速度为，跑步的速度为，且 甲所用的时间， 乙所用的时间满足： 则 所以 因为 所以，即乙先到教室 【点睛】本题考查了不等式比较大小在实际问题中的应用，注意选择好最后判断的依据，属于中档题． 【经典例题五 由不等式的性质证明不等式】 【例1】（23-24高三·北京·强基计划）设函数，其中x，y，z均为正实数，则（    ） A．既有最大值也有最小值 B．有最大值但没有最小值 C．没有最大值但有最小值 D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】先由糖水不等式可得，再根据极限可判断既无最大值也无最小值． 【详解】解：注意到，一方面由糖水不等式可得 ， 且， 另一方面，把x当作主元，令， 当时，，明显当时，满足， 当时，，明显当 时，满足， 故既无最大值也无最小值． 故选：D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 【答案】糖水不等式，；证明见解析 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可得糖水不等式；根据糖水不等式，结合三角形三边关系可得，，，将以上不等式左、右两边分别相加即可证明. 【详解】根据糖在糖水中所占的比例变大，则糖水变甜，得到不等式，. 证明：因为为三角形的三边长，则有，，， 由糖水不等式可得，，， 将以上不等式左、右两边分别相加，得， 即. 1．（23-24高二下·贵州铜仁·期中）已知三个不等式：①；②③则以其中两个命题为条件，剩下的一个命题为结论，能得到几个正确的命题（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据不等式的性质和实数乘除的法则，可知由任意两个作为条件，都可以得到第三个结论是正确的． 【详解】解：由于，在两边同除以，得，故①③②成立； 由于，在的两边同乘以，得，故①②③成立； 由，移项通分得，结合，得分母，故②③①成立． 综上所述，以其中两个作条件，余下的一个作结论，可组成3个真命题． 故选：D． 2．（多选题）（22-23高一上·河南商丘·期中）若a，b，c，，那么下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用不等式的三个基本性质以及取特值，逐个选项进行判断即可得到答案. 【详解】对于A， ，，故A正确； 对于B，取，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，取，则，故D错误. 故选：AC 3．（24-25高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】根据不等式的性质判断（1）（4），根据的单调性证明，取特殊值判断（3）. 【详解】（1），故（1）恒成立 （2）由于函数在单调递减，在单调递增 当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即， 当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即 当a＝1， 故（2）恒成立； （3）若a﹣b＝﹣1，则该不等式不成立，故（3）不恒成立； （4）由于．故C恒成立． 故答案为 ：（1）（2）（4） 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，属于中档题. 4．（24-25高一上·山东·阶段练习）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）方法一：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法二：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法三：由，利用，即可证明；方法四：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法五：构造一次函数， 证明对于，都有即可； （2）方法一：由，利用，即可证明； 方法二：由，利用，即可证明； 方法三：几何法，构造符合题意的几何图形； 方法四：构造一次函数，，证明对，都有即可. 【详解】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． 方法四：几何法 如图，做边长为的正方形，分别在边上分别取点， 使得， 过做交于，交于， 过做交于，交于， 直线与交于点， 则长方形的面积， 长方形的面积， 正方形的面积， 由图可知， 所以． 方法五：设． 将看做内的常数，则函数为一次函数， 又， ． 对于，都有， 即． ． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 方法三：几何法 做边长为的正方体．分别在棱上取点，使得， 过做平面，过做平面，过做平面，交点见图． 长方体的体积， 长方体的体积． 长方体的体积． 正方体的体积． ． 方法四：设． 将看做内的常数，对于一次函数， 有， ． ∴对于，都有， 即． ． 【经典例题六 利用不等式求值或取值范围】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）设，（，2，3，4，5），，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质可求最小值，注意检验等号成立的条件. 【详解】设，则, 上述六式相加得， 当，时等号成立． 故选：B． 【例2】（24-25高一上·安徽芜湖·自主招生）已知n，k均是正整数，且满足不等式，若对于某一给定的正整数n，存在唯一的正整数k，使该不等式成立．求所有符合条件的正整数n的最大值与最小值． 【答案】最大值18，最小值10. 【分析】由条件得到，进而得到，即，由，知，逐个判断即可. 【详解】根据得，所以 于是， 因对于某一给定的正整数n，只有唯一的一个正整数k，使该不等式成立， 所以，解得， 又因为n为正整数，当时，，满足条件的正整数，有两个，不符合题意，应舍去； 当时，，满足条件的正整数，有两个，不符合题意，应舍去； 当时，，满足条件的正整数，只有一个，符合题意， 所以正整数n的最大值是18． 对于， 当时，由，得无解， 当时，易得，对于无解， 当时，由，，满足条件的正整数，只有一个，符合题意， 所以正整数n的最小值是10． 1．（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【详解】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以 故选：B 2．（多选题）（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断. 【详解】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：ACD. 3．（2025高一·全国·专题练习）设，，为实数，且，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，代入不等式，将三个变量退到一个变量即可求解. 【详解】由对称性，不妨假设，则，， 所以， 令，则， 当时，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，此时，， 故答案为： 【点睛】本题涉及，，三个变量的等式与不等式，将其退到一元关系是解题的关键． 4．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知实数满足： (1)，求的取值范围； (2)，求的取值范围； (3)，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同向不等式的可加性即可求解； （2）根据同向不等式的可乘性即可求解范围； （3）利用整体法，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）因为所以又因为，所以； （2）因为所以，又因为，所以; （3）令， 则，解得， 又因为，所以， 所以. 【拓展训练一 不等式性质的判定与理解】 【例1】（24-25高二下·上海黄浦·阶段练习）若且、 都不为0，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例即可判断ABC；分、和时三种情况分析即可求解判断D. 【详解】对于A，当满足且、 都不为0，但，故A错误； 对于B，当满足且、 都不为0， 但，故B错误； 对于C，当满足且、 都不为0， 但，故C错误； 对于D，当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 故恒成立. 故选：D 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列命题的真假，并简述理由： （1）若，则. （2）若，则. （3）若，则. （4）若，则. 【答案】（1）是假命题（2）是假命题（3）是真命题（4）是假命题,理由见解析 【分析】根据：判断命题为真需证明，而判断命题为假只需举一反例说明，可对四个命题进行判断 【详解】（1）取， 则有.因此，（1）是假命题. （2）取，此时， 因此，（2）是假命题. （3）∵，∴.又∵， ∴.因此，（3）是真命题. （4）取，当n为偶数时不成立.因此，（4）是假命题. 【点睛】判断命题为真需证明，而判断命题为假只需举一反例说明，判断关于不等式的命题时，需要结合不等式的基本性质 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据条件得，①正确；根据条件得，②正确；根据条件得，，③正确. 【详解】由得，所以，故，①正确. 由得，所以，②正确. 由得，，所以，③正确. 所以正确的个数是3. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高一上·贵州贵阳·期末）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】由已知结合不等式性质检验各选项即可判断． 【详解】解：当，时，A显然错误； 当时，，则，B正确； 若，则， 所以， 所以，C正确； 若，，则， 所以，D错误． 故选：BC 3．（22-23高三·全国·中职高考）已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是 ． ①若，则；         ②若，则； ③若，则；     ④若，则； ⑤若，则；         ⑥若，则； 【答案】②④ 【分析】利用特殊值法和不等式的基本性质一一判断即可. 【详解】对①，当时，，故①不成立； 对②，若，则，即，则，故②成立； 对③，若，则，则，故③不成立. 对④，若，则且，故，故④成立； 对⑤，若，则，故，即，故⑤不成立， 对⑥，，故⑥不成立， 故②④为真命题. 故答案为：②④. 4．（23-24高一·全国·课后作业）某蛋糕师制作，两种蛋糕，原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个种蛋糕需要面粉，黄油，牛奶；制作一个种蛋糕需要面粉，黄油，牛奶.现有面粉，黄油，牛奶，若分别制作个种蛋糕，个种蛋糕.试列出,满足的不等式组. 【答案】 【分析】根据题意，列全所以有的不等关系式，得出相应的不等式组，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，制作个种蛋糕，个种蛋糕，则满足： ①制作两种蛋糕需要的面粉不超过，用不等式表示为； ②制作，两种蛋糕需要的黄油不超过，用不等式表示为； ③制作，两种蛋糕需要的牛奶不超过，用不等式表示为； ④，两种蛋糕的制作量都应不少于0，且为整数个，故，. 所以，满足的不等式组为 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及不等式关系的表示，其中解答中认真审题，根据题意列全所有的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 【拓展训练二 不等式性质的应用】 【例1】（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】举反例令可得A错误；由不等式的性质可得B错误；作差法可得C正确；举反例可得D错误. 【详解】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C 【例2】（24-25高一上·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ii）． 【分析】（1）应用不等式的性质及已知求目标式的范围； （2）（i）联立已知不等式即可求范围；（ii）法一：首先求得，再由不等式性质求范围；法二：应用换元法及法一的过程求范围. 【详解】（1）因为，所以，又，所以． 因为，所以． （2）（i），，两式相加得，解得， 所以的取值范围为． （ii）法一：令，所以， 所以则所以． 因为，，所以，， 所以． 法二：令则且 所以． 由得，， 所以，即. 1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数，则、、与1的大小关系为（    ） A．没有一个小于1 B．至多有一个不小于1 C．都不小于1 D．至少有一个不小于1 【答案】D 【分析】通过反例可排除；采用反证法，利用和，结合不等式的性质可证得，由此知正确. 【详解】当，时，，则，，，可知错误； 当时，，则，，，可知错误； 假设，，， 由得：，即…①， 由得：，即…②， 由①得：…③，由②③得：，， 由③得：…④，由②④得：，， ， ，与矛盾，可知至少有一个不小于，正确. 故选：. 【点睛】本题考查利用不等式的性质判断大小关系的问题；解决此类问题比较快捷的方法是采用排除法得到正确结果；解题关键是能够熟练应用绝对值不等式的解法和不等式的性质，采用反证法的方式确定正确结论. 2．（多选题）（23-24高二下·山东临沂·期末）已知（，，），且，则（    ） A． B． C．存在，使得 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，据已知条件即可证明；对于B，使用基本不等式即可证明；对于C，据已知条件即可否定；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，，所以，可得，同理可得， 又因，所以，故，，故B正确； 对于C，，，由B知，，又，存在，使得可知，代入可得与已知相矛盾，故C错误； 对于D，将条件变形为，，由A知，由B知，所以，即，故D正确. 故选：ABD 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，讨论求解即可. 【详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 可知的最小值为， 故答案为： 4．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）对于四个正数m、n、p、q，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； (2)设a、b、c、d均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系； (3)设正整数n满足条件：对集合内的每个m，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）直接根据“下位序列”的定义判断即可； （2）由条件可得，然后利用作差比较大小即可； （3）根据“下位序列”的定义列不等式组，利用不等式组求出的范围，然后将恒成立问题转化最值问题，即可求出正整数的最小值. 【详解】（1）， 是的"下位序列"； （2）是的“下位序列”， ， ，，，均为正数， 故， 即， ， 同理， 综上所述：； （3）由已知得， 因为为整数， 故， ， ， 该式对集合内的每一个 的每个正整数都成立， ， 所以正整数的最小值为. 1．（24-25高一上·四川眉山·期末）若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得，利用不等式的基本性质逐项判断可得结果. 【详解】∵，∴，， ∴，故，选项C错误. A.由得，选项A正确. B.由得，故，选项B正确. D.由得，选项D正确. 故选：C. 2．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）若且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得选项A错误；举反例可说明选项B，D错误；利用幂函数的单调性可得选项C正确. 【详解】对于A，当时，，故A错误. 对于B，取，则，，故B错误. 对于C，因为幂函数在上为增函数，且，所以，故C正确. 对于D，取，则，故D错误． 故选：C． 3．（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 【答案】A 【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为， 所以，所以， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小： 因为， 因为，所以，即， 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A. 4．（2024·浙江·模拟预测）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先化简得，即得解. 【详解】由得， 所以. 反之，也成立. 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 【点睛】方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 5．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 6．（多选题）（24-25高一上·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用不等式性质及所给条件依次判断各项的正误. 【详解】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 故选：ABD 7．（多选题）（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用作差法比较各式大小，即可确定选项A、D正确，选项B、C错误. 【详解】由可得，. 对于A选项，，故A选项正确； 对于B选项，，当时，，故B选项不正确； 对于C选项，，当时，，故C选项不正确； 对于D选项，，故D选项正确. 故选：AD. 8．（多选题）（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：取，，，，则，，故A错误； 对B：由，，则，则有，故B正确； 对C：由，，则，且等价于， 等价于，等价于，即C正确； 对D：由，，则， ，即等价于， 由，即等价于，等价于，即，故D正确. 故选：BCD. 9．（多选题）（23-24高二下·湖南长沙·期末）设为正实数，下列命题正确的有（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】AD 【解析】将，分解变形为，即可证明，即； 可通过举反例的方法证明其错误性； 若，去掉绝对值，将分解变形为，即可证明，同理当时也可证明，从而命题④正确． 【详解】若，则，即， ，，即，该选项正确； 若，可取，，则，该选项错误； 若，则可取，，而，该选项错误； 由， 若，则，即，即， ，，即 若，则，即，即， ，，即 该选项正确； 故选：AD 【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.要根据已知灵活选择. 10．（多选题）（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知实数a，b满足，，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是6，最小值是2 B．的最大值是2，最小值是 C．的最大值是28，最小值是4 D．的最大值是，最小值是 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用不等式性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，由，解得，当且仅当时取得最小值2， 当且仅当时取得最大值6，A正确； 对于B，由，解得，当且仅当时取得最小值， 当且仅当时取得最大值2，B正确； 对于C，，而，则，C错误； 对于D，由选项B知，的最大值为2，此时；的最小值为，此时， 观察图形知，当取最大值2时，的最大值是，当取最小值时，的最小值是，D正确. 故选：ABD 11．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）给出以下4个说法：①已知，是正实数，若，则；②若，则；③若，，则；④若，则． 其中正确的说法是（填序号） ． 【答案】①② 【分析】根据不等式的性质判断各个命题． 【详解】，因为，所以，从而，即， ，所以，①正确； 若，则，②正确； 若，，例如，但，不成立，③错； ，只有时，才有，④错． 故答案为：①② 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．在基本不等式中，如果，此不等式仍然成立，只是等号取不到． 12．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）实数满足下列三个条件：①，②，③，则按照从小到大的次序排列为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即，于是有， 所以， 因为，，所以， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可. 【详解】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元， 则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为， 所以，即， 所以乙种购物策略比较经济. 故答案为：乙. 14．（23-24高一·全国·课后作业）已知三个不等式：（其中均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是 ． 【答案】3 【分析】由题意结合不等式的性质分别以其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，然后考查其真假即可得到正确命题的个数. 【详解】若成立，不等式两边同除以可得, 即； 若成立，不等式两边同乘，可得, 即； 若，成立，则，又，则， 即，. 综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个. 故答案为3． 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，由不等式的性质判定命题真假的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知实数，满足，，则范围是 【答案】. 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 16．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 【答案】(1)不满足性质1，不满足性质1. (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）分别举反例证明和时性质1不成立； （2）先分别就，讨论证明若，且，则，再利用这个结论可得证； （3）结合（2）的结论可得解. 【详解】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. （2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，， 当时，不妨设，则，又，所以. 所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得， 若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 【点睛】思路点睛：此题考查等式和不等式的新定义问题，属于难题. （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，分别举反例证明和时性质1不成立； （3）分别就，分类讨论证明若，且，则，再利用这个结论证明当时，对任意，总存在，使得；再证明当时，对任意，总存在，使得，注意完备性. 17．（22-23高一上·上海闵行·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 【答案】(1)“上位点”为，“下位点”为； (2)是，证明见解析 (3) 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标. （2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”. （3）借助（2）的结论证明点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值. 【详解】（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个“下位点”坐标分别为和； （2）点是点的“下位点”， 证明：点是点的“上位点”，      又均大于，     ，       ，即， 所以点是点的“下位点”. （3）可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”， 证明：点是点的“上位点”， 均大于，     ，       ， 即，所以点是点的“上位点”， 同理可得，即， 所以点是点的“下位点”， 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”． 根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对时恒成立， 根据上述的结论可知，当，时，满足条件. 故： 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 18．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由； （3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 【答案】（1）“上位点”，“下位点”；（2）是，证明见解析；（3）. 【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论； （3）结合（2）中的结论，可得，，满足条件，再说明当时，不成立，可得出的最小值为. 【详解】（1）对于平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. 点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）点是点的“上位点”，，. ， 点是点的“下位点”， ， 点是点的“上位点”； （3）若正整数满足条件：在时恒成立. 由（2）中的结论可知，，时满足条件. 若，由于，当时，不存在符合题意； 因此，的最小值为. 【点睛】本题考查的知识点是新定义“上位点”和“下位点”，同时也考查了利用作差法比较两数的大小关系，解题的关键就是对题中新定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 19．（2023高三·全国·专题练习）已知实系数多项式有三个正根，且求证： 【答案】证明见解析. 【分析】设实系数多项式的三个正根为、、，可得出，将所证不等式转化为证明，利用作差法结合不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】证明：设实系数多项式的三个正根为、、， 则， 所以， 由可得， 因为，所以 要证明，即要证明 即证明 即证明 即证明 因为 所以即证明 即证明（*） 因为所以 即 同理三个不等式相加得证（*）成立． 所以 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的证明，证题的关键在于根据根与系数的关系，将所证不等式转化为与零点相关的不等式，结合作差法来进行证明. 20．（24-25高一上·上海闵行·期中）符号表示不大于x的最大整数,例如，， （1）已知方程的解集为M，不等式的解集为N，求M、N； （2）设方程的解集为A，求A； 【答案】(1) ,；(2) 【分析】(1)将表示为，结合的取值范围，，通过解不等式即可求解； (2)利用，得到，分类讨论的值，去掉绝对值，即可求出解集. 【详解】(1)记符号表示x的小数部分，且 即 ，故集合 由于，则 ，故集合 (2) 由于，则 故 当时， 即 当时，，不满足题意； 当时， 即 综上所述，集合 【点睛】本题主要考查了取整方程以及取整不等式的解法，关键是利用进行转换，从而解决不等式或方程，属于中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $$