1.5等腰三角形课后培优提升训练　2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

1.5等腰三角形课后培优提升训练苏科版2025一2026学年八年级数学上册 一、选择题 1.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为() A.7 B.9 C.9或12 D.12 2.下列命题中，是真命题的是() A.等腰三角形两腰上的高相等 B.到角两边距离相等的点在角的平分线上 C.等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D.有一个角等于60°的三角形是等边三角形 3.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D在BC上，AC⊥AD,AD=3,则BC 的长为() A.3 B.6 C.9 D.12 4.如图，在等腰ABC中，AB=AC,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作 DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,若ADE的周长为18，则AB的长是() A.8 B.9 C.10 D.12 5.如图，在ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是BC边上的高，若P,Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是() A.2.4 B.4.8 C.7.2 D.9.6 第3题图 第4题图 第5题图 6.如图，在ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则 CE的长为() A.7 B.8 C.10 D.12 7.如图，在等边ABC中，D是CB边上一点，以AD为边向右侧构造等边ADE,连结 CE,则∠BCE的度数是() A.120° B.130 C.140 D.150° 第6题图 第7题图 第8题图 8.如图，AD,CF分别是ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G,AE平分∠CAD交 BC于E,交CF于M,连接BM交AD于H,且BM⊥AE,有下列结论：①∠CMA=120°； ②ABC是等边三角形：@BC=BI+2MH:国Sm+Sm+Scw=Sa其中，正 确的结论的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 9.如图，在ABC中，AB=AC,D为BC上的一点，∠BAD=25°，在AD的右侧作 ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE、DE,DE交AC于点O,若 CE∥AB,则∠DOC的度数为 10.如图，在ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作MN∥BC,MN分 别与AB、AC相交于点M、N.若ABC的周长为18，△AMN的周长为12，则 BC= I1.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE, AE与CD交于点R,AG1CD于点G,则PC AF B 第9题图 第10题图 第11题图 12.如图，在ABC中，D为AB的中点，点E在AC边上，BE交CD于点F,若 ∠ADC=60°，CE=EF,△BFC的面积为√5，则AB的长为 D 三、解答题 13.己知在ABC中，∠ABC=90°，BA=BC,点D是AC边的中点，点E、F分别在射线 AB、BC上，且DE⊥DF. )试说明8D-4C的理由： (2)如图1，当点E在AB上、点F在BC上时，试说明DE=DF的理由； (3)如图2，当点E在AB的延长线上、点F在BC的延长线上时，试问△BEF、ADEF与 ABC三者面积间有怎样的数量关系，并说明理由. 图 图2 14.如图，在ABC中，己知∠ACB=90°，AC=BC,D是边AB上的动点，连接CD,点B 关于直线CD的对称点为E,射线AE与射线CD交于点F. (I)连接CE,求证：∠CAE=∠CEA. (2)当BD<AD时，求∠AFC的度数. (3)若AD=AC,求证：AE=CD. 15.在ABC中，∠C=90°，在△BAP中，∠BAP=90°，BP平分∠ABC交AC于点O, (1)如图(1)，求证：AP=A0. (2)如图(2)，若E为AC上一点，且AE=OC,求证：PE⊥A0. B A B 图1) 图(2) 16.如图，在四边形ABCD中，已知∠A=50°，AD∥BC,BE平分∠ABC. (I)求∠ABE的大小； (2)若AB=3,AD=5,求ED的长. E B 17.如图，在ABC中，AB=AC,点E在CA的延长线上，EP⊥BC,垂足为P,EP交 AB于点F. (I)求证：△AEF是等腰三角形： (2)若F是AB的中点，PF=3,求EF的长. I8.如图，点B在线段AC上，分别以线段AB,BC为边作△ABE和△BCD,AB=BE, BC=BD,∠ABE=LDBC. (1)如图①，若∠A=60°，写出一个未知角的度数： (2)如图②，连接AD,CE交于点F,求证：△ABD≌△EBC; (3)在(2)的条件下，连接BF,求证：线段FB为∠AFC的平分线. 图① 图② 参考答案 一、选择题 1.D 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.A 二、填空题 9.95° 10.6 12.4 三、解答题 13.【解】(1)解：：在ABC中，BA=BC,∠ABC=90°， ∠A=LC=45°， :BA=BC,点D是AC边的中点， :BD1AC,∠ABD=∠CBD=}∠ABC=45° :ZABD ZCBD=ZA=ZC, AD=8D=CD,即D-4C: (2)DE⊥DF,BD⊥AC, ∠FDB+∠CDF=90°，∠BDE+LBDF=90°， ∠BDE=∠CDF, ∠BDE=∠CDF 在△EDB和△FDC中， DB=DC, ∠DBE=∠C AEDB≌△FDC(ASA, .DE=DF; 1 （3)S.er=2S.c+S.e,理由如下： :∠DBE+∠ABD=180°，∠DCF+∠ACB=I80°，∠ABD=∠ACB, .∠DBE=∠DCF, 同(2)可得LBDE=∠CDF, 在△EDB和△FDC中， ∠BDE=∠CDF DB=DC ∠DBE=∠DCF aEDB≌△FDC(ASA, S.DBE=S.DCF SDEr=S西边形DBEr-SDBE=S,DBC+S,DCF十S,BEF-SDBE=S,DBc+S,BEr DCDB.wC-DB.DC-AC :S,=2 1 .5.owe-78.ve 1 .DFF-7.c+.F 14.【解】(1)证明：连接BE交CF于点G, :点B关于直线CD的对称点为E, .CD垂直平分BE, .ZCGB=ZCGE,GB=GE, 在△CGB和aCGE中， CG=CG ∠CGB=∠CGE GB=GE aCGB≌aCGE(SAS), BC=EC,∠BCD=∠ECD, 又：AC=BC, .AC=EC, :ZCAE ZCEA; (2)设∠BCD=a,由(I)知LBCD=∠ECD=a, :∠ACB=90°， .∠ACE=90°-2a, :∠C4E=∠CEA=180°-(90°-2a-450+a, 2 .LECD+∠AFC=LCEA=45°+a, LAFC=∠CEA-∠ECD=45°： (3)连接BF, .AC=AD,AC=BC, :AD=BC, CD垂直平分BE, .FE=FB .∠AFD=∠BFD, 由(2)得∠CAE=∠CAB+∠DAF=45°+a,∠CAB=45°， .∠BCD=LFAD=a, 在△ADF和CBF中， ∠AFD=∠BFD ∠BCD=∠FAD= AD=BC △ADF≌aCBF(AAS), :AF=CF,DF BF=EF, :AF-EF=CF-DF 即AE=CD. 15.【解】(1)证明：：∠C=90°， .∠CB0+∠C0B=90°， :∠BAP=90°， .∠PBA+LP=90°， :BP平分∠ABC, .∠PBA=∠CB0, .ZP=ZCOB, :LCOB=∠A0P, .∠P=LAOP, .AP=A0. (2)证明：过点O作0D⊥BA于点D, :∠C=90°， .0C⊥BC, :BP平分∠ABC, .0C=0D, .AE=0C, :AE =OD, D OD⊥BA, 图(2) .∠A0D+∠0AD=90°， .BAP=90°， .LPAE+∠0AD=90°， .ZPAE ZAOD, AP=A0,AE=OD, △PAE≌△AOD(SAS), .∠AEP=∠AD0=90°， .PE⊥AO. 16.【解】(1)解：：AD‖BC, .∠A+∠ABC=180°. :∠A=50°， .∠ABC=180°-∠A=180°-50°=130°. ·BE平分∠ABC, :∠ABE=}∠ABC=x130°=650. 1 (2)解：AD川BC, ·∠AEB=∠EBC. :∠ABE=∠EBC, ∴∠AEB=∠ABE. .AE AB. AB=3, .AE=3. AD=5, .ED=AD-AE=5-3=2 17.【解】(I)证明：如图，过点A作AG⊥BC于点G,则AG∥EP, .∠EFA=∠BAG,∠CAG=∠E, AB=AC, .∠BAG=∠CAG, .∠EFA=∠E, .AF=AE, △AEF是等腰三角形； (2)解：如图，过点A作AH⊥EF于点H, 由(1)知，AE=AF, :EF =2EH =2FH, :F是AB的中点， :AF =BF, 又：∠AFH=∠BFP,∠AHF=∠BPF=90°， △AHF≌aBPF(AAS), .HF=PF=3, .EF=2HF=6. 18.【解】(1)解：：AB=BE,∠A=60°， △ABE是等边三角形， .LE=∠ABE=60°， 故答案为：∠E=60°（答案不唯一）； (2)证明：：∠ABE=∠DBC, .∠ABE+∠EBD=∠DBC+∠EBD, 即∠ABD=∠EBC, 在△ABD和△EBC中， AB=EB ∠ABD=∠EBC, BD=BC △ABD≌△EBC(SAS); (3)证明：如图，过点B作BG⊥AD于G,作BH⊥EC于H, 由(2)知：△ABD≌△EBC(SAS), .S△MBD=S△EBC,AD=CE, ÷号4D-8G-CE8H, 、) .BG=BH, :BG⊥AD,BH⊥EC, .线段FB为∠AFC的平分线.