1.7 等边三角形（知识解读）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦等边三角形的性质与判定核心知识点，作为等腰三角形的特殊延伸，构建“概念-性质-判定”学习支架，具体涵盖三边相等的概念，内角均为60°、轴对称等性质，以及定义法、三角相等、含60°等腰三角形的判定方法。 资料亮点在于题型分层且情境多样，包含求长度、角度、证明、折叠与动点问题等，通过例题与变式题结合，培养几何直观与推理能力。如折叠问题提升空间观念，动点问题发展创新意识，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固，弥补知识盲点。

1.7 等边三角形（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型1 根据等边三角形的性质求长度】 1 【题型 2·根据等边三角形的性质求角度】 2 【题型 3·根据等边三角形的性质证明】 3 【题型 5·与等边三角形有关的折叠问题】 6 【题型 6·等边三角形中的动点问题】 7 【随堂检测】 10 知识点1 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点2 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【题型1·根据等边三角形的性质求长度】 【例1】如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________． 【变式1-1】已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 【变式1-2】如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为_______． 【变式1-3】为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形作垂线，垂足分别为．其中，已知长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（　　） A．2 B． C．3 D． 【题型 2·根据等边三角形的性质求角度】 【例2】如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，已知是等边三角形，是中线，在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型 3·根据等边三角形的性质证明】 【例3】如图，是等边三角形，，，．求证：． 【变式3-1】如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 【变式3-2】如图，和都是等边三角形，点D在边上． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 【变式3-3】如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：． 【题型 4·证明是等边三角形】 【例4】如图，在中，，D为的中点，，垂足分别为E，F，且．求证：是等边三角形． 【变式4-1】如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【变式4-2】如图，在中，，，，垂足为，且，连接．，分别是边，上的点，连接、，且．求证：    (1)是等边三角形； (2)． 【变式4-3】】如图，在中，，点，分别在，的延长线上，且，； (1)求证：； (2)求证：是等边三角形 【题型 5·与等边三角形有关的折叠问题】 【例5】如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【变式5-2】如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，已知等边，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是___________． 【题型 6·等边三角形中的动点问题】 【例6】（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【变式6-1】在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． (1)如图①，当动点E在边上时，连接、，求证：； (2)如图②，当动点E是边的中点时，判断的形状，并说明理由； (3)如图③，当动点E在边上时，求证：； (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【变式6-2】如图1，在中，，若，则有，利用以上结论解决问题： 如图2，等边的边长为，动点P从B出发，以每秒的速度向终点A运动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向终点C运动，两动点同时出发，当动点P到达终点A时，动点Q也随之停止运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)填空：＝________度；t的取值范围是________； (2)当时，t为多少秒时，是等边三角形； (3)当时，t为多少秒时，是直角三角形． 【变式6-3】如图，和都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点． (1)如果点E从点D出发，以的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中的大小是否会发生变化?如果不变，请求出其大小?如果改变，请说明理由． (2)如果点E从点D出发，以的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时? 【题型 7··等边三角形中的多结论问题】 【例7】如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交于点，交于点，连接，下面结论：①；②；③为等边三角形；④，其中结论正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式7-1】如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-2】如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第2秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【随堂检测】 1．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 5．如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为______． 6．如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 _____． 7．如图，在中，分别以为边向外作等边与等边，连接．求证：． 8．如图，在等边中，点为边的中点，以为边作等边，连接．求的度数． 9．如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且． (1)求的度数； (2)若，求等边的周长． 10．如图，已知等边，点在边上，将绕点A逆时针旋转到，连． (1)在图中画出线段，； (2)求证：． 11．如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E． (1)是判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.7 等边三角形（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型1 根据等边三角形的性质求长度 1 【题型 2·根据等边三角形的性质求角度】 4 【题型 3·根据等边三角形的性质证明】 7 【题型 5·与等边三角形有关的折叠问题】 13 【题型 6·等边三角形中的动点问题】 17 【随堂检测】 30 知识点1 等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点2 等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【题型1·根据等边三角形的性质求长度】 【例1】如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________． 【答案】1 【分析】根据等边三角形三边相等得出的长，再利用等腰三角形顶角平分线也是底边中线的性质得出结果． 【详解】解：是等边三角形，是的角平分线，， ，， ． 【变式1-1】已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 【答案】3 【分析】由等边三角形的性质得出，，即可得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴，， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的直角边为斜边的一半． 首先求出，，然后得到，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】∵为等边三角形，的周长是24， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 故答案为：4． 【变式1-3】为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形作垂线，垂足分别为．其中，已知长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】连接，当点P是的三边的垂直平分线的交点时，则，由三线合一定理和等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 当点P是的三边的垂直平分线的交点时，则， 又∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【题型 2·根据等边三角形的性质求角度】 【例2】如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出，结合求出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴， ， （两直线平行，同位角相等）． 【变式2-1】如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式2-2】如图，已知是等边三角形，是中线，在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 先根据是等边三角形，为中线可得出，再由可知，根据三角形内角和定理即可求出的度数，故可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，为中线， 故选：D． 【变式2-3】如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出，再借助平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【题型 3·根据等边三角形的性质证明】 【例3】如图，是等边三角形，，，．求证：． 【答案】证明：，， ． 是等边三角形， ，． ． 在和中， ． ． 【分析】先根据、的垂直条件，得到．结合等边三角形的性质，得到，．推导与的大小关系，判断二者是否相等．因为已知，可通过判定和全等．依据全等三角形对应边相等的性质，即可求证． 【详解】略 【变式3-1】如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合“”进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在 中   ， ∴； （2）解：是等边三角形， ， 又由（）得， ． 【变式3-2】如图，和都是等边三角形，点D在边上． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据和都是等边三角形， 得出，，，证明，即可证出 ； （2）根据是等边三角形，得出，，在中，， 即可得出，再根据是等边三角形，得出． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：是等边三角形， ，， ∵， 在中，， ∴， 又是等边三角形， ． 【变式3-3】如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：． 【答案】 证明：在等边中， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】根据等边三角形的性质得到，进而得到，利用判定定理证明，从而得出结论． 【详解】略 【题型 4·证明是等边三角形】 【例4】如图，在中，，D为的中点，，垂足分别为E，F，且．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，掌握相关判定与性质是解题的关键． 先证明，推出，进而推出，即可证明是等边三角形． 【详解】证明：， ， 为的中点，， ． 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形． 【变式4-1】如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转性质及等边三角形判定与性质是解决问题的关键． （1）由旋转性质得到，，即可由等边三角形的判定定理得到为等边三角形； （2）先由旋转性质得到，再等量代换有，最后结合等边三角形性质即可得证． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形； （2）证明：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 在等边中，， ． 【变式4-2】如图，在中，，，，垂足为，且，连接．，分别是边，上的点，连接、，且．求证：    (1)是等边三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形； （2）证明：是等边三角形， ，， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ． 【变式4-3】】如图，在中，，点，分别在，的延长线上，且，； (1)求证：； (2)求证：是等边三角形 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定． 利用证明即可； 根据全等三角形的性质可证，根据等角对等边可证，从而可证结论成立． 【详解】（1）证明：在和中，， ； （2）证明：由可知， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【题型 5·与等边三角形有关的折叠问题】 【例5】如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 根据等边三角形的性质可得，再根据折叠的性质，即可得，从而得到阴影部分图形的周长为：，即可求解． 【详解】解：∵等边三角形的边长为， ∴， ∵将沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ． 故选：A 【变式5-1】如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质．先根据等边三角形性质得，因此当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，由折叠的性质可得出的度数；②当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：    则， 由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示：    则， ， 由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或． 故选：A． 【变式5-2】如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点和等边三角形的性质得到，，再求出，根据直角三角形斜边中线的性质和三线合一求出，从而可得结果． 【详解】解：如图，∵F分别为中点，是等边三角形， ∴，， ∵D为边中点， ∴，， ∵E为中点， ∴D，E关于对称， ∴垂直平分， ， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线，三角形面积，解题的关键是掌握基本定理，用边的关系找出面积的关系． 【变式5-3】如图，已知等边，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是___________． 【答案】/15度 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，先得出，再求出，由折叠得出，，求出，再得出，求出，进而得出答案． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型 6·等边三角形中的动点问题】 【例6】（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式6-1】在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． (1)如图①，当动点E在边上时，连接、，求证：； (2)如图②，当动点E是边的中点时，判断的形状，并说明理由； (3)如图③，当动点E在边上时，求证：； (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，见解析 (3)见解析 (4)或 【分析】本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形性质及应用；解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理． （1）由是等边三角形，得，，而，知是等边三角形，有，，可得，，再由边角边的证明方法证明即可； （2）由E为的中点，是等边三角形，得，，又，故，有知，是等腰三角形： （3）过点E作，证明是等边三角形，可得，，即可证，得，从而； （4）分两种情况：当时，由（1）可知，，可得；当时，由（3）可知，，可得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵E为的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （3）证明：过点E作，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴， ∴； （4）解：当时，如图， ∴是的中线， ∴， 由（1）知，， ∴； 当时，如图， ∴ ∴， ∴， 由（3）知，， ∴； 综上，的长为或． 【变式6-2】如图1，在中，，若，则有，利用以上结论解决问题： 如图2，等边的边长为，动点P从B出发，以每秒的速度向终点A运动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向终点C运动，两动点同时出发，当动点P到达终点A时，动点Q也随之停止运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)填空：＝________度；t的取值范围是________； (2)当时，t为多少秒时，是等边三角形； (3)当时，t为多少秒时，是直角三角形． 【答案】(1)60； (2) (3)t为4或10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的判定， （1）根据等边三角形的性质解答； （2）根据等边三角形的性质列出方程，解方程即可； （3）分或两种情况，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵动点P从点B出发，以每秒的速度向终点A运动，两动点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， ∴， 故答案为：60；； （2）解：当时，，则， ∵是等边三角形，则， ∴， 解得，， ∴当t运动10秒时，是等边三角形； （3）解：当时，，则， 由结论可知，当或时，是直角三角形， ①时，， 解得，， ②时，， 解得，， ∴当t为4或10时，是直角三角形． 【变式6-3】如图，和都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点． (1)如果点E从点D出发，以的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中的大小是否会发生变化?如果不变，请求出其大小?如果改变，请说明理由． (2)如果点E从点D出发，以的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时? 【答案】(1)60° (2)当点E运动2秒或6秒时，∠EBF=60°． 【分析】（1）利用SAS定理证明△BDE≌△BCF，从而利用全等三角形的性质分析推理； （2）利用ASA定理证明△BDE≌△BCF，然后利用全等三角形的性质，并结合分类讨论思想列方程求解． 【详解】（1）解：运动过程中∠EBF的大小不会发生变化，为定值60°，理由如下： 由题意可得，BD=BC=AD=CD=6，∠BDA=∠C=∠CBD=60°，DE=DF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）， ∴∠DBE=∠CBF， ∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠DBF+∠CBE=∠CBD=60°； （2）解：当∠EBF=60°时，∠EBF=∠CBD=60°， ∴∠DBE+∠DBF=∠DBF+∠CBE， ∴∠DBE=∠CBF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（ASA）， ∴DE=CF， 设点E的运动时间为t秒，则DE=t，DF=2t，CF=6-2t， 当0≤t≤3时，t=6-2t，解得t=2， 当3＜t≤6时，t=2t-6，解得t=6， 综上，当点E运动2秒或6秒时，∠EBF=60°． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握三角形全等的判定，利用分类讨论思想解题是关键． 【题型 7··等边三角形中的多结论问题】 【例7】如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交于点，交于点，连接，下面结论：①；②；③为等边三角形；④，其中结论正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据证明即可；根据全等三角形的性质得出，再求出即可；证明， 得出，再根据，得出为等边三角形即可；根据题目中的已知条件，无法说明． 【详解】解：∵、为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ，故①正确； ， ∵， ，故②正确； 在和中， ∴， ， ∵， 为等边三角形，故③正确； ∴， ∵， ∴只有当平分时，，才能证明，才能说明， ∵无法说明平分， ∴无法证明，故④错误； 综上，正确的有3个． 【变式7-1】如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，由等腰三角形的性质即可判断①；根据D为中点，得到垂直平分，即可得到，结合，即可得到，从而得到，，即可判断②，结合内外角关系即可判断③，作P关于的对称点，证明即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； 连接，延长交于， ∵D为中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，故②正确， 由②得，， ∵， ∴为等边三角形，故③正确， 作P关于的对称点，连接，如图所示 ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵P关于的对称点是， ∴，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【变式7-2】如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第2秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，由为等边三角形，得到三边相等，且内角为，根据题意得到，利用得到，则可得，可判定①正确；由全等三角形的性质得，从而可证明，可判定②正确；分与为直角两种情况求出t的值，即可判定③；当时，求得 ，从而可证明是等边三角形，，继而证得 ，即可判定④． 【详解】解：设点P、Q运动时间为t秒， 根据题意得：， ∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 若，由，得到， ∴，即， 解得：； 若，由，得到， ∴，即， 解得：， 综上，当第秒或第秒时，为直角三角形，故③错误； 当时，则， ∵ ∴P、Q是边的中点，即是的中线， ∴ ∵为等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④共， 故选：D． 【随堂检测】 1．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用等边三角形三边相等的性质，直接计算周长即可得到结果. 【详解】解：∵等边三角形的三条边长度相等，该等边三角形的边长为， ∴周长为：． 2．将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等边三角形平行线间的顶点处作m和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换得到，再计算即可． 【详解】解：如图，设等边三角形为，过点作， ∵， ∴， ∴，， 在等边三角形中，， ∴， ∴． 3．如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】证明，结合，，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 4．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形． 5．如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据三边相等得出等边三角形的周长，即可作答． 【详解】解：∵等边三角形的边长为3， ∴， ∴等边三角形的周长为， 故答案为：9 6．如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 _____． 【答案】2 【分析】本题考查的是的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 过D点作于M，证明为等边三角形，再证明，结合全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵等边， ∴，， 过D点作于M， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴，    ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴． ∴． 故答案为：2． 7．如图，在中，分别以为边向外作等边与等边，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】要证明，可通过证明包含这两条线段的三角形全等实现．观察图形，考虑与，利用等边三角形的性质获取对应边相等、对应角相等的条件，再依据全等三角形判定定理（）证明两三角形全等，进而由全等三角形对应边相等得出结论． 【详解】证明：和是等边三角形， ． 又， ， 在和中， , 【点睛】本题核心考查等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质．解题关键在于利用等边三角形提供的边相等、角相等条件，构造出全等三角形所需的“边角边”关系，再通过全等三角形对应边相等完成线段相等的证明．这种“利用全等证明线段相等”的思路是几何中证明线段或角相等的常用方法． 8．如图，在等边中，点为边的中点，以为边作等边，连接．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 由三线合一可得，，进而可得，利用可证得，然后由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵在等边中，点为边的中点， ∴，，，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 9．如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且． (1)求的度数； (2)若，求等边的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及折叠性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得，.因为，得，根据折叠性质以及平角的概念，列式计算，即可作答． （2）先运用勾股定理，得，因为折叠，得，结合周长公式列式代入数值，即可作答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴. 由折叠的性质可知，. （2）解：在中，，，， ∴， ∴. 由折叠的性质可知，， ∴， ∴等边的周长. 10．如图，已知等边，点在边上，将绕点A逆时针旋转到，连． (1)在图中画出线段，； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的对应边相等得到是解答的关键． （1）根据题干描述，先根据旋转性质画线段，连接即可； （2）根据旋转的性质得，，再根据等边三角形性质得到，，则有，证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：如图，线段，即为所求作： （2）证明：由旋转性质得，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，又， ∴． 11．如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E． (1)是判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 【答案】(1)为等边三角形；见解析 (2)27 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线性质及三角形周长等知识，熟记等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等边三角形的判定与性质，再结合平行线的性质即可得到答案； （2）由角平分线定义、平行线性质得到，由等腰三角形性质可得，同理，再由的周长，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：为等边三角形．理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：∵，为等边三角形， ∴的周长为， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵为等边三角形， ∴的周长为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $