专题02 实数的初步认识 18个题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题02 实数的初步认识 题型1 无理数（常考点） 题型11 实数的简单运算（常考点） 题型2 求一个数的算术平方根（常考点） 题型12 （算术）平方根与立方根的综合（重点） 题型3 求一个数的平方根 题型13 算术平方根的规律（重点） 题型4 求一个数的立方根 题型14 立方根的规律 题型5 算术平方根的非负性（常考点） 题型15 实数的规律 题型6 实数的大小比较 题型16 整数与小数部分（难点） 题型7 实数与数轴之间的化简（难点） 题型17 实数的新定义（难点） 题型8 程序流程图（重点） 题型18 华罗庚猜数 题型9 实数的分类（重点） 题型10利用平方根、立方根解方程（常考点） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 无理数（常考点） 1．在六个实数中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是明确无理数是无限不循环小数，能准确区分有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）与无理数的本质特征． 先回忆无理数的定义（无限不循环小数）和有理数的范畴（整数、分数及可化为分数的有限小数、无限循环小数）；再逐一分析六个实数，判断每个数是否为无限不循环小数，统计无理数的个数，最后匹配选项． 【详解】解：先明确有理数与无理数的区别：有理数是整数、分数及有限小数、无限循环小数，无理数是无限不循环小数． 是无限不循环小数，故是无理数；0是整数，属于有理数；是无限不循环小数，故是无理数；是有限小数，可化为分数，属于有理数；，是无限不循环小数，故是无理数；是有限小数，属于有理数． 综上，无理数共 3 个． 故选：C． 2．在下列实数中，无理数是（   ） A．0.151515… B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数解答即可. 【详解】解：0.151515…、、是有理数，是无理数； 故选：B. 3．如图，数轴上的无理数被挡住了，则数可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，根据a的位置估算选项中的无理数的大小，即可求解．数轴上的无理数的取值范围为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴1，23， ∵数轴上的无理数的取值范围为， ∴a， 故选：A． 题型二 求一个数的算术平方根（常考点） 4．9的算术平方根是（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：因为, ∴9的算术平方根3， 故选：A． 5．的算术平方根是（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，先化简，再求出4的算术平方根是2，即可作答． 【详解】解：， ∴4的算术平方根是2， 故选：C． 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 题型三 求一个数的平方根 7．9的平方根是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的平方根．一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么x就叫作a的平方根．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 故选：B 8．下列说法中正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．4的平方根是2 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解本题的关键．根据平方根的定义即可判断． 【详解】解：A、负数没有平方根，故错误，不符合题意； B、没有平方根，故错误，不符合题意； C、0的平方根是0，故正确，符合题意； D、4的平方根是，故错误，不符合题意． 故选：C． 9．因为 ，所以的平方根是 ，算术平方根是 ，即 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根是解题的关键．根据平方根的定义和算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 的平方根是，算术平方根是，即． 故答案为：；；；． 题型四 求一个数的立方根 10．的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值，对照选项即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：D． 11．的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解： 那么的立方根是：， 故选：B． 12．1的立方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握立方根的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：1的立方根是，的立方根是， 故答案为：1，． 题型五 算术平方根的非负性（常考点） 13．若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的应用，算术平方根，根据偶次幂，算术平方根均为非负数，它们的和为0时，由此解出a和b的值，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 14．若，则以a，b，c为边长的是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，绝对值，偶次方的非负性和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．先根据题意得出，，，求出a，b，c的值，再求出，最后根据勾股定理的逆定理求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得：，，， ∵，， ∴， ∴以a，b，c为边长的是直角三角形． 故选：B． 15．若，为实数且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根，掌握这两个知识点的应用是解题关键． 根据非负数的性质得到，，计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， 解得，， ， 故答案为：． 题型六 实数的大小比较 16．下列各数中，比小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：A．，，，，，故不符合题意； B．，，，，故符合题意； C．，，，，故不符合题意； D．, ，，，故不符合题意； 故选：B． 17．下列实数中，绝对值最大的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值和实数的大小比较，能正确求出每个数的绝对值是解此题的关键． 先求出每个数的绝对值，再比较即可． 【详解】解：∵，，，， ∵， ∴绝对值最大的数是． 故选：D． 18．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数是解题的关键．先求出，，根据，得出即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 题型七 实数与数轴之间的化简（难点） 19．实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此计算算术平方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴， 故选：A． 20．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可判断出的符号，据此计算算术平方根和合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：A． 21．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可推出，据此计算求解即可． 【详解】解：观察数轴可知：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型八 程序流程图（重点） 22．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 23．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据平方根，算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，当输入x的值为16时， ， ， 把4再次输入数值转换器， ， ， 把2再次输入数值转换器， ． 故选：C． 24．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是81，则输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与实数运算，算术平方根的计算，无理数的判断，读懂程序计算的过程是解题的关键． 读懂程序计算过程，把代入程序中计算，判断结果是否是无理数，不是则继续输入，直至得到算术平方根为无理数，再输出． 【详解】解：由所示的程序可得：的算术平方根是，是有理数， 继续输入，则9的算术平方根为，3是有理数， 继续输入，则3的算术平方根为，是无理数，则输出， 故答案为：． 题型九 实数的分类（重点） 25．把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，，． 正整数集合{ …}； 非负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 有理数集合{ …}． 【答案】见解析 【分析】根据正整数的定义，整数，非负数定义，有理数分类解答即可． 本题考查了有理数的分类，熟练掌握分类标准，准确分类是解题的关键． 【详解】解：正整数集合{15，171…}； 非负数集合{15，，，171，0，，…}； 整数集合{15，，，171，0…}； 有理数集合{ 15，，，，，，，171，0，，…}． 26．把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，． 有理数集合：{                    } 无理数集合：{                    } 整数集合：{                    } 分数集合：{                    } 【答案】，，，；，，；；，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，先计算绝对值和算术平方根，再根据有理数，无理数，整数和分数的定义求解即可． 【详解】解：，， 是无理数， 是无理数， 是有理数，是整数， 是无理数， 是有理数，是分数， 是有理数，是分数， 是有理数，是分数， ∴有理数集合：{，，，}， 无理数集合：{，，}， 整数集合：{}， 分数集合：{，，}． 27．把下列各实数填入相应的大括号内：，，0，，，，2025，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）． 负数集合：{                  }； 整数集合：{                  }； 无理数集合：{                  }． 【答案】；；（每相邻两个2之间0的个数逐次加1） 【分析】本题考查了实数的分类：正负数的定义，无理数的定义，理解题意，依次判断填写即可． 【详解】解：， 负数集合：； 整数集合：； 无理数集合：{（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）}． 题型十 利用平方根、立方根解方程（常考点） 28．求下列各式中的x的值∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 29．解下列方程． (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 30．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，掌握这些是解题的关键。 （1）先移项，再把系数化为1，运用平方根的知识求解即可； （2）先移项，运用立方根的知识求出，从而求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型十一 实数的简单运算（常考点） 31．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值、零次幂、算术平方根的计算，依次计算即可得到答案． 【详解】解：原式． 32．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了求算术平方根、化简绝对值、求立方根，先计算算术平方根、化简绝对值、立方根，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 33．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根的意义，绝对值的意义，算术平方根，有理数的乘方进行运算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 题型十二 （算术）平方根与立方根的综合（重点） 34．已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是明确立方根、平方根、算术平方根的定义，根据的一个平方根是，可以得到的值，根据的立方根是，可以得到的值，从而可以求得的算术平方根． 【详解】解：∵的一个平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的算术平方根为， 即的算术平方根为． 35．已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及平方根等知识，掌握这些概念是解题的关键；由题意得，进而求得a与b的值，即可求得的值，从而求得其平方根． 【详解】解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 36．已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； （2）∵，， ∴ ∴的平方根为． 题型十三 算术平方根的规律（重点） 37．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ； … 解决下列问题： (1)请在横线上写出等号右边的数； (2)请写出符合上述规律的第4个等式； (3)请写出符合上述规律的第n(n为正整数)个等式，并说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，多项式乘法及完全平方公式分解因式的应用，找到规律是关键； （1）直接计算即可； （2）根据前3个式子找到规律，即可写出第4个等式； （3）根据规律写出第n个等式，利用多项式乘法展开，再用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：5； （2）解：第4个等式：； （3）解：． 理由如下： ∵， ∴． 38．规律探究，观察，即，即． (1)猜想等于什么？并通过计算验证你的猜想； (2)写出符合这一规律的一般等式（用含有n的式子表示出来）． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，类比题目中所给的运算方法进行计算是解决问题的关键. （1）类比题目中的计算方法解答即可 （2）根据算式规律写出一般等式，即可求解． 【详解】（1）解：， 验证：. （2）解： ∵左边右边 ∴ 39．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 【答案】(1) (2) (3)规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位 【分析】本题考查了算术平方根、规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根是解决本题的关键． （1）根据规律即可得出答案； （2）根据规律即可得出答案； （3）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位． 题型十四 立方根的规律 40．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 41．计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 42．观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、、和四种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴由上述规律得：，． ①当时，，则此时； ②当时，； ③当时，，则此时； ④当时，； 综上，当或时，；当时，；当时，． 题型十五 实数的规律 43．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 44．观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 【答案】(1) (2)a (3)； (4) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及与实数有关的规律问题，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）根据题干数据规律即可求解； （2）根据题干数据规律即可求解； （3）由（1）的结论计算即可； （4）由（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：；， 故答案为：；； （4）解：∵ ∴． 45．先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键． （1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可； （2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可； （3）根据（2）中规律化简即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③ 根据以上规律可得第④个等式是：． （2）解：根据以上规律可得第n个等式是：． （3）解： ． 题型十六 整数与小数部分（难点） 46．阅读与理解 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分是2，小数部分是 根据以上内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． （1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，，其中x是整数，且，可求得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是5， 的小数部分为， 故答案为：； （2）解：，即， 而a是的小数部分 ，∴． 又，即， 而b是的整数部分， ， ∴； （3）解：，其中x是整数，且， ，， 的相反数． 47．【阅读理解】 如何判断无理数的大小范围呢？我们可这样做： 因为： 所以： 即： 因此：是介于5到6的一个数． 由此我们也可以得到这样的结论：的整数部分是5，小数部分是． 【问题解决】 (1)下列无理数中，大小在3与4之间的是（   ） A．　B．　C．　D． (2)的整数部分是_______，小数部分是_______． (3)的整数部分为，小数部分为，则_______． 【答案】(1)C (2)3； (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小．熟练掌握利用算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键． （1）分别估算出各选项中无理数大小，即可得出答案； （2）根据得到，即可求解； （3）根据，得到，即可求出a、b值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：A、∵，∴，∴是介于2到3的一个数，故此选项不符合题意； B、∵，∴，即，∴是介于2到3的一个数，故此选项不符合题意； C、∵，∴，∴是介于3到4的一个数，故此选项符合题意； D、∵，∴，∴是介于4到4的一个数，故此选项不符合题意； 故选：C． （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是． 故答案为：3；． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：． 48．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将减去其整数部分，差就是的小数部分，请解答下列问题： （）的整数部分是______，小数部分是______； （）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． （）问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 【答案】（），；（）；（）或 【分析】（）由 得，即得的整数部分，然后把减去它的整数部分得到的小数部分； （）同理（）求出的值，然后把、的值代入计算即可； （）仿照小慧的做法解答即可； 本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：（）， ， 的整数部分为，小数部分为； 故答案为：，； （）， ， 的整数部分为，小数部分为，即； ， ， 的整数部分为，即， ； （）， ， ，是有理数，为无理数， 且， 解得，， 当时，； 当时，， 综上所述，的值为或． 题型十七 实数的新定义（难点） 49．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：60，66，63中，“差异数”为_____； ②计算：_____； (2)如果一个“差异数”的十位数字是，个位数字是，且，求这个“差异数”的十位数字． 【答案】(1)①63；②9 (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算、一元一次方程的应用等知识点，用新定义的含义建立方程求解是解题的关键． （1）①根据新定义知63为“差异数”；②根据的计算方法求解即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：①两位数60，66，63中，“差异数”为63． 故答案为：63． ②． 故答案为：9． （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴，解得：． 50．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算： ① ② ③ (1)填空： ________， _______（为正整数） (2)填空：①________； ②________． (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题： 已知 ，（，为实数），求，的值． (4)试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式． (5)解方程：． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) (5) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，实数的运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键 （1）把代入求出即可； （2）①先根据平方差公式进行计算，再把代入求出即可； ②先根据完全平方公式进行计算，再把代入求出即可； （3）根据两个复数相等的定义得出方程组，求出方程组的解即可； （4）根据分子和分母都乘以，再进行计算即可； （5）原式化为，利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：①； ②； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （4）解：； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 51．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为 ． (2) ，   ， ．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2，4，3 (3)见详解 (4)1 【分析】本题考查整式的混合运算、同底数幂相乘，同底数幂相除，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意可以把指数式写成对数式； （2）运用对数的定义进行解答便可； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式以及的逆运用求解即可得到答案； 【详解】（1）解：依题意，将指数式转化为对数式为， 故答案为： （2）解：∵ ∴，，， 故答案为：2，4，3； （3）解：依题意，设，， ∴， ∴， ∴由对数的定义得， ∵，， ∴ ∴． （4）解：由（3）得 以及题干得 得． 题型十八 华罗庚猜数 52．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解：，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 53．观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 【答案】(1)2，27 (2)①；② 【分析】本题考查了数的立方根的估算，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键 （1）观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可； （2）根据（2）中的方法先进行猜想，然后进行验证即可 【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， ∴19683的立方根是27； 故答案为2，27； （2）解：①∵的个位数是，而，末位数为 ， ∴猜想的立方根的个位数为． 又， ，且 ． ∴猜想的立方根的十位数为7， 验证： ． ∴ ． ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，； 54．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 $专题02 实数的初步认识 题型1 无理数（常考点） 题型11 实数的简单运算（常考点） 题型2 求一个数的算术平方根（常考点） 题型12 （算术）平方根与立方根的综合（重点） 题型3 求一个数的平方根 题型13 算术平方根的规律（重点） 题型4 求一个数的立方根 题型14 立方根的规律 题型5 算术平方根的非负性（常考点） 题型15 实数的规律 题型6 实数的大小比较 题型16 整数与小数部分（难点） 题型7 实数与数轴之间的化简（难点） 题型17 实数的新定义（难点） 题型8 程序流程图（重点） 题型18 华罗庚猜数 题型9 实数的分类（重点） 题型10利用平方根、立方根解方程（常考点） 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 无理数（常考点） 1．在六个实数中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在下列实数中，无理数是（   ） A．0.151515… B． C． D． 3．如图，数轴上的无理数被挡住了，则数可能是(   ) A． B． C． D． 题型二 求一个数的算术平方根（常考点） 4．9的算术平方根是（   ）． A．3 B． C． D． 5．的算术平方根是（    ） A． B． C．2 D．8 6．已知，则 ． 题型三 求一个数的平方根 7．9的平方根是（　　） A．3 B． C． D． 8．下列说法中正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．4的平方根是2 9．因为 ，所以的平方根是 ，算术平方根是 ，即 ． 题型四 求一个数的立方根 10．的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 11．的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 12．1的立方根是 ；的立方根是 ． 题型五 算术平方根的非负性（常考点） 13．若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 14．若，则以a，b，c为边长的是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 15．若，为实数且满足，则 ． 题型六 实数的大小比较 16．下列各数中，比小的数是（　　） A． B． C． D． 17．下列实数中，绝对值最大的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 18．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 题型七 实数与数轴之间的化简（难点） 19．实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 20．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 21．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 ． 题型八 程序流程图（重点） 22．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 23．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 24．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是81，则输出的值是 ． 题型九 实数的分类（重点） 25．把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，，． 正整数集合{ …}； 非负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 有理数集合{ …}． 26．把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，． 有理数集合：{                    } 无理数集合：{                    } 整数集合：{                    } 分数集合：{                    } 27．把下列各实数填入相应的大括号内：，，0，，，，2025，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）． 负数集合：{                  }； 整数集合：{                  }； 无理数集合：{                  }． 题型十 利用平方根、立方根解方程（常考点） 28．求下列各式中的x的值∶ (1)； (2)． 29．解下列方程． (1)； (2) 30．解方程： (1)； (2)． 题型十一 实数的简单运算（常考点） 31．计算：． 32．计算：． 33．计算：． 题型十二 （算术）平方根与立方根的综合（重点） 34．已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 35．已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 36．已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 题型十三 算术平方根的规律（重点） 37．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ； … 解决下列问题： (1)请在横线上写出等号右边的数； (2)请写出符合上述规律的第4个等式； (3)请写出符合上述规律的第n(n为正整数)个等式，并说明理由． 38．规律探究，观察，即，即． (1)猜想等于什么？并通过计算验证你的猜想； (2)写出符合这一规律的一般等式（用含有n的式子表示出来）． 39．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 题型十四 立方根的规律 40．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 41．计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   42．观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 题型十五 实数的规律 43．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 44．观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 45．先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 题型十六 整数与小数部分（难点） 46．阅读与理解 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分是2，小数部分是 根据以上内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的相反数． 47．【阅读理解】 如何判断无理数的大小范围呢？我们可这样做： 因为： 所以： 即： 因此：是介于5到6的一个数． 由此我们也可以得到这样的结论：的整数部分是5，小数部分是． 【问题解决】 (1)下列无理数中，大小在3与4之间的是（   ） A．　B．　C．　D． (2)的整数部分是_______，小数部分是_______． (3)的整数部分为，小数部分为，则_______． 48．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将减去其整数部分，差就是的小数部分，请解答下列问题： （）的整数部分是______，小数部分是______； （）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． （）问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 题型十七 实数的新定义（难点） 49．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：60，66，63中，“差异数”为_____； ②计算：_____； (2)如果一个“差异数”的十位数字是，个位数字是，且，求这个“差异数”的十位数字． 50．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算： ① ② ③ (1)填空： ________， _______（为正整数） (2)填空：①________； ②________． (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题： 已知 ，（，为实数），求，的值． (4)试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式． (5)解方程：． 51．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为 ． (2) ，   ， ．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： ．（直接写出结果） 题型十八 华罗庚猜数 52．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 53．观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 54．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． $