专题01 三角形9考点（期中真题汇编，云南专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题01 三角形 9大高频考点概览 考点01 三角形的三边关系 考点02 三角形的有关概念 考点03 三角形的高 考点04 三角形的中线有关计算 考点05 三角形的角平分线 考点06 三角形的稳定性 考点07 三角形内角和定理及应用 考点08 与角平分线有关的内角和问题 考点09 三角形外角定义及性质 地 城 考点01 三角形的三边关系 1．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)以下列长度的三条线段为边，不能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)等腰三角形的两边，满足，那么这个三角形的周长是（   ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 3．(24-25八上·云南昆明五华区云南民族大学附属中学·期中)若三角形两边长分别是3、5，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．3 C．10 D．11 4．(24-25八上·云南昭通昭阳区·期中)已知等腰三角形两边的长分别为和，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D．不能确定 5．(24-25八上·云南昭通昭阳区·期中)现用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长分别是和，那么第三根的长可能是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)已知一等腰三角形的周长为30，若其中一边长为8，则这个等腰三角形的腰长为（   ） A．8或11 B．8或10 C．8 D．14 7．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（   ） A．3，6，9 B．9，8，15 C．6，6，12 D．5，6，13 8．(24-25八上·云南文山文山第二学区·期中)已知一等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的底边长为（    ） A．3或 6 B．3 C．6 D．9 9．(24-25八上·云南昭通威信县·期中)一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D． 10．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)下列各组数分别表示3条线段的长，其中能组成一个三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 12．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)小昆有四根木棒，长度分别为2，3，5，7（单位：cm），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列能围成三角形的是（    ） A．2，3，5 B．2，3，7 C．2，5，7 D．3，5，7 13．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)以，为边长的等腰三角形的底边长为 ． 14．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 15． (24-25八上·云南文山砚山县·期中)若，，分别为三边，化简：． 16．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线作法． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围． 方法一：延长到E使，连接； 方法二：过点C作的平行线交的延长线于E． 请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2) 如图2，在中，点在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 17．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，在中，，平分，点为的中点，与相交于点． (1)若，，求的度数； (2)如图甲，若，求线段的取值范围； (3)如图乙，过点作交延长线于点，若比长，试求的最大值． 地 城 考点02 三角形的有关概念 1．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)已知在中，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．以上都有可能 2．(24-25八上·云南富源县多校·期中)如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．(24-25八上·云南富源县多校·期中)观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．(23-24八上·云南曲靖师宗县葵山中学·期中)下列条件，不能判断是直角三角形的是（　　） A． B．， C． D． 地 城 考点03 三角形的高 1．(24-25八上·云南昆明云南师范大学实验中学·期中)如图，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为（   ） A．5 B．3 C．4 D．6 2．(24-25八上·云南曲靖麒麟区第四中学·月考)如图，的边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 地 城 考点04 三角形中线有关计算 1．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，在中，点E是边的中点，，若，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 2．(24-25八上·云南昭通昭阳区·期中)如图，在中，点D，E，F分别为边，，的中点，且，则（   ） A． B． C． D．1 3．(24-25上·云南玉溪第四中学教育集团·期中)如图，是的中线，是的中线，若，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，已知中，点，分别是边的中点．若的面积等于，则的面积等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)如图，，都是的中线，连接，若的面积是，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)如图，在中，，，的高与中线相交于点，则以下结论正确的是（   ） ；；； ． A． B． C． D． 7．(24-25八上·云南迪庆藏族香格里拉迪庆藏族民族中学·期中)如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 8．(24-25八上·云南昭通昭阳区·期中)如图所示，是的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 9．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上． (1)在图甲中画直线，将分成面积相等的两个三角形，与的边交于点； (2)在图乙中画，使得与全等（只画一个）． 10．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图所示，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为36，，则点到边的距离是多少？ 地 城 考点05 三角形的角平分线 1．(24-25八上·云南昭通昭阳区·期中)如图中，，和的平分线分别为和，和相交于点P，连接，则有以下结论： ①； ②； ③． 其中正确的结论为（   ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 2．(24-25八上·云南昭通永善县两校联考·期中)如图，在中，，，是的中线，是的平分线，交的延长线于点，则的长是（    ）    A． B． C． D． 3．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，在四边形中，平分，，，垂足分别为，，为上一点，连接，．求证： (1)； (2)． 地 城 考点06 三角形的稳定性 1．(24-25八上·云南昭通绥江县·期中)数学来源于生活，又服务于生活，如图，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 2．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)生活中“自行车的三角形车架”是依据（   ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的内角和等于 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 30．(24-25八上·云南迪庆藏族香格里拉迪庆藏族民族中学·期中)如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．长方形的四个角都是直角 D．长方形的对称性 3．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止椅子摇晃，其所运用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 4．(23-24八上·云南昭通巧家县大寨中学·期中)下列图形中具有稳定性的是（    ） A．圆形 B．平行四边形 C．梯形 D．三角形 5．(24-25八上·云南昭通永善县·期中)伸缩铁门能自由伸缩，主要是应用了四边形的 ． 6．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 地 城 考点07 三角形内角和定理及应用 1．(24-25八上·云南昭通绥江县·期中)若三个角的大小满足条件，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·云南迪庆藏族香格里拉迪庆藏族民族中学·期中)如图，在中，，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图，在等边中，，点在线段上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·云南文山文山第二学区·期中)在中，，的垂直平分线交 于点，交 于点．若，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，在中，于点D，，则长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 6．(24-25八上·云南昭通巧家县·期中)如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 10．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)在中，若，，则的度数为 ． 12．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，将一个三角形剪去一个角后，，则的度数为 ． 13．(24-25八上·云南昭通永善县两校联考·期中)如图，将沿折叠，使点落在边上的点处，折痕为，再将沿折叠，恰好与重合．若，则的度数为 ． 14．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，中，，的垂直平分线分别交于点E、F，连接，则的度数为 ． 15．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)【数学概念】 差倍角三角形：如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个角的“差倍角三角形”．     例如：在中，，，，满足，所以是关于的“差倍角三角形”． 根据上述定义，完成下面两问： (1)若在中，，，，则是关于 的“差倍角三角形”； (2)如图，在中，，和的角平分线相交于点，若是关于的“差倍角三角形”，求的度数． （求解过程如下，请将过程补充完整．） 解：∵， ∴在中， ； ∵平分，平分， ∴ ， ， ∴ ， ∴在中， ；   ∵ 是关于的“差倍角三角形” ， ∴ ，  即： ； 又∵ ， ∴ ； ∴ ． 16．(24-25八上·云南昭通巧家县·期中)如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，求的度数． 17．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)如图1，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，，，的周长为．的周长为，求的长． 18．(24-25八上·云南昭通永善县·期中)如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 19．(24-25八上·云南昭通巧家县·期中)如图，在中，，点在边上，且．    (1)如图1，____，____． (2)如图2，若为线段上的点，过点作直线于点，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形． ②试猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明． 20．(24-25八上·云南昭通巧家县·期中)如图，在中，，垂直平分，，，求的度数． 21． (24-25八上·云南昭通巧家县·期中)在中，，，求的度数． 22．(24-25上·云南玉溪第四中学教育集团·期中)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． 地 城 考点08 与角平分线有关的内角和问题 1．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图所示，分别是的中线和角平分线，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，在中，平分平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·云南昆明云南师范大学实验中学·期中)如图，在中，，是角平分线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图，的和的平分线，相交于点，若，则的度数为 ． 5．(24-25八上·云南昆明官渡区第一中学·期中)如图，中，是高，平分，，，求和的度数． 6．(24-25八上·云南昭通昭阳区·期中)如图，在中，是边上的高，是的平分线，．求的度数． 7．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，是的高线，为边上的一点，连接交于点，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 8．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，． (1)求的度数； (2)求的度数． 9．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 地 城 考点09 三角形的外角及性质 1．(24-25八上·云南昆明云南师范大学实验中学·期中)体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为几何图形（图2），如果．则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)下列说法正确的是（   ） A．面积相等的两个三角形一定全等 B．全等三角形的面积一定相等 C．三角形的一个外角大于它的任意一个内角 D．三角形的一个外角大于与它相邻的内角 3．(24-25八上·云南昆明官渡区昆明外国语学校·期中)如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．有以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．(24-25八上·云南昭通绥江县·期中)如图，在中，，垂直平分，交于点，垂足为点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（） A． B． C． D． 8．(24-25八上·云南文山文山第二学区·期中)如图，E是长方形中边上一点，将沿折叠得到．若，则是 度． 9．(24-25八上·云南昭通永善县两校联考·期中)如图，一条船上午时从海岛出发，以海里/时的速度向正北方向航行，上午时到达海岛处，分别从，处望灯塔，测得，．则海岛到灯塔C的距离为 海里． 10．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图1、2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，求证：； (3)如图3，在等腰中，，平分交于点，求证：． 11．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图，在中，点分别在边上，，平分． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 12．(24-25八上·云南昆明官渡区昆明外国语学校·期中)如图，中，，D在上，且，，求的度数． 13．(24-25八上·云南文山文山第二学区·期中)如图，在中 ，，，求和的度数． 14．(23-24八上·云南昆明安宁昆钢第一中学·期中)如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 9大高频考点概览 考点01 三角形的三边关系 考点02 三角形的有关概念 考点03 三角形的高 考点04 三角形的中线有关计算 考点05 三角形的角平分线 考点06 三角形的稳定性 考点07 三角形内角和定理及应用 考点08 与角平分线有关的内角和问题 考点09 三角形外角定义及性质 地 城 考点01 三角形的三边关系 1．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)以下列长度的三条线段为边，不能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：、∵，，， ∴，能构成三角形，不符合题意； 、∵，，， ∴，能构成三角形，不符合题意； 、∵，，， ∴，不能构成三角形，符合题意； 、∵，，， ∴，能构成三角形，不符合题意； 故选：． 2．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)等腰三角形的两边，满足，那么这个三角形的周长是（   ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形两边相等的性质及三角形的构造条件，三角形三边关系，同时也考查了方程的应用．通过非负性可以判断，的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵该三角形是等腰三角形， ∴三边长为7，7，3或3，3，7（不满足三角形构造条件，舍去）， ∴周长为． 故选：C． 3．(24-25八上·云南昆明五华区云南民族大学附属中学·期中)若三角形两边长分别是3、5，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．3 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此进行作答即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别是3、5， ∴第三边的长， 即第三边的长， ∴观察4个选项，第三边的长可能是3， 故选：B 4．(24-25八上·云南昭通昭阳区·期中)已知等腰三角形两边的长分别为和，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边的关系．根据等腰三角形的两条边相等可知这个三角形的边长为、、或、、，根据三角形三边之间的关系可知、、不能构成三角形，所以此等腰三角形的周长为． 【详解】解：等腰三角形两边的长分别为和， 如果腰长为，则， 此时不能构成三角形； 如果腰长为，则， 能构成三角形， 则等腰三角形的周长为． 故选：B． 5．(24-25八上·云南昭通昭阳区·期中)现用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长分别是和，那么第三根的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，能够根据三角形三边关系定理列出不等式是解题的关键． 根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，即可选出答案． 【详解】解：设第三根长为，则由三角形三边关系定理得： ，即． 故选：C． 6．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)已知一等腰三角形的周长为30，若其中一边长为8，则这个等腰三角形的腰长为（   ） A．8或11 B．8或10 C．8 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分类讨论是解题的关键．根据题意分长为8的边为腰或底两种情况分析，根据构成三角形的条件取舍，即可求得答案． 【详解】解：①8是腰长时，底边为：， 三角形的三边长分别为8、8、14，能组成三角形； ②8是底边长时，腰长为：， 三角形的三边长分别8、11、11，能组成三角形； 综上所述，该等腰三角形的腰长是8或11， 故选：A． 7．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（   ） A．3，6，9 B．9，8，15 C．6，6，12 D．5，6，13 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理“三角形两边之和大于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系定理判断即可． 【详解】解：A、，所以不能组成三角形，故A不符合题意； B、，所以能组成三角形，故B符合题意； C、，所以不能组成三角形，故C不符合题意； D、，所以不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：B． 8．(24-25八上·云南文山文山第二学区·期中)已知一等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的底边长为（    ） A．3或 6 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若3为腰长，6为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若6为腰长，3为底边长 ，能构成三角形， ∴这个等腰三角形的底边长为 故选：B． 9．(24-25八上·云南昭通威信县·期中)一个等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①为腰，为底，能构成三角形，此时周长为； ②为底，为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去． ∴该三角形的周长是． 故选：A． 10．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐个进行判断即可． 【详解】解：∵，∴，，不能组成三角形，不符合题意； B、∵，∴，，不能组成三角形，不符合题意； C、∵，∴，，能组成三角形，符合题意； D、∵，∴，，不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 11．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)下列各组数分别表示3条线段的长，其中能组成一个三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形的三边关系，逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，不能组成三角形； D、，能够组成三角形； 故选：D ． 12．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)小昆有四根木棒，长度分别为2，3，5，7（单位：cm），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列能围成三角形的是（    ） A．2，3，5 B．2，3，7 C．2，5，7 D．3，5，7 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”组合三角形一一判断即可． 【详解】解：．，不能围成三角形，故该选项不符合题意； ．，不能围成三角形，故该选项不符合题意； ．，不能围成三角形，故该选项不符合题意； ． ，能围成三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 13．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)以，为边长的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；由题意可分当边长为等腰三角形的腰长和当边长为等腰三角形的腰长时，进而结合三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：由题意可分： 当边长为等腰三角形的腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，符合三角形三边关系，故该等腰三角形的底边长为； 当边长为等腰三角形的腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，不符合三角形三边关系； 综上所述：以，为边长的等腰三角形的底边长为； 故答案为． 14．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【答案】(1)、、、、 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系； （1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解； （2）将的值表示出来，分情况计算周长即可求解； 【详解】（1）的三边长为，，， ，， ， 即，且，，均为整数， 故的取值范围为：、、、、； 故答案为：、、、、 （2）解：为偶数，， 故可取，； 当时，的周长为； 当时，的周长为 15．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)若，，分别为三边，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值以及整式的加减；根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可. 【详解】解：因为三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 所以， ， ， ∴ . 16．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线作法． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围． 方法一：延长到E使，连接； 方法二：过点C作的平行线交的延长线于E． 请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线； （1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可；方法二中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可； （2）先用证明，得出，再用证明，即可解答． 【详解】（1）解：选方法一来证明， 是的中线， 在和中 ， ， 在中， ， ， 即：， ； 选方法二来证明， 过点C作的平行线交的延长线于E． ∴ 是的中线， ， ， 在中， ， ， 即：， ； （2）解：延长到F使，连接，如图所示； 点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ． 17．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，在中，，平分，点为的中点，与相交于点． (1)若，，求的度数； (2)如图甲，若，求线段的取值范围； (3)如图乙，过点作交延长线于点，若比长，试求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由角平分线的性质和外角的性质可求解； （2）过点作，交的延长线于，证明得，，由三角形的三边关系可求解； （3）延长、交于点，证明得，，由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，，平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）如图，过点作，交的延长线于， ∴，， ∵点为中点，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴线段的取值范围是； （3）延长、交于点， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∵比长，即， ∴， 过点作于点， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值， 即当时，有最大值，即有最大值， 此时 ∴的最大值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，三角形三边关系，平行线的性质等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 地 城 考点02 三角形的有关概念 1．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)已知在中，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类和三角形内角和定理，三角形的分类有锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有两个角相等的是等腰三角形．结合三角形内角和定理利用假设法一一判断即可得出答案． 【详解】解：在中，，则可能是锐角三角形． 假如：时，则是等腰三角形， 假如：则，则是钝角三角形． 故选：D 2．(24-25八上·云南富源县多校·期中)如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：A 3．(24-25八上·云南富源县多校·期中)观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 4．(23-24八上·云南曲靖师宗县葵山中学·期中)下列条件，不能判断是直角三角形的是（　　） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和为，进行求解即可． 【详解】解：A、， ，， ， ， 解得：， ，则是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，，， ， 解得：，则是等边三角形，故此选项符合题意； C、， ，， ， ， 解得：， ，则是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，， ， 解得：，则是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 地 城 考点03 三角形的高 1．(24-25八上·云南昆明云南师范大学实验中学·期中)如图，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为（   ） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高的长，根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式得到，据此可得答案． 【详解】解：∵为的中线，的面积为6， ∴， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴， 故选：D， 2．(24-25八上·云南曲靖麒麟区第四中学·月考)如图，的边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，从一个顶点到其对边的垂线叫作三角形的高，据此即可求解； 【详解】解：由三角形的高的定义可知：线段是的边上的高， 故选：A ． 地 城 考点04 三角形中线有关计算 1．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，在中，点E是边的中点，，若，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线与面积关系，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据E是边的中点，得，，再根据和同高，根据两底的关系，得出面积关系，即可得出结论． 【详解】解：点E是边的中点，， ，，， 以边为底的和以边为底的的高相等，， ， ， 故选：B． 2．(24-25八上·云南昭通昭阳区·期中)如图，在中，点D，E，F分别为边，，的中点，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是利用三角形的中线求面积，先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：是的中点， ， 又是的中点， ， 是的中点， ； 故选：A 3．(24-25上·云南玉溪第四中学教育集团·期中)如图，是的中线，是的中线，若，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的性质是解题关键．直接根据中线的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中线，是的中线，， ∴， 故选：D． 4．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，已知中，点，分别是边的中点．若的面积等于，则的面积等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点，的面积等于， ， 是的中点， ， 故选：C． 5．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)如图，，都是的中线，连接，若的面积是，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积是， ∴的面积的面积， ∵E是的中点， ∴的面积的面积， 故选B． 6．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)如图，在中，，，的高与中线相交于点，则以下结论正确的是（   ） ；；； ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、高线、中线的定义，三角形内角和定理，根据中线得定义可以判断；根据角平分线的定义可以判断；根据高线定义和三角形的内角和定理可以判断；根据三角形的内角和定理及等边对等角可以判断，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是中线， ∴，故正确； ∵是中线， ∴与不一定相等，故不一定正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上可知：正确， 故选：． 7．(24-25八上·云南迪庆藏族香格里拉迪庆藏族民族中学·期中)如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线，由题意可．得，结合的周长为求出，即可得解 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：D． 8．(24-25八上·云南昭通昭阳区·期中)如图所示，是的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴周长为：， 故答案为：． 9．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上． (1)在图甲中画直线，将分成面积相等的两个三角形，与的边交于点； (2)在图乙中画，使得与全等（只画一个）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—格点作图，三角形中线的性质、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据网格即可画出的中线； （2）根据网格结合全等三角形的性质即可画出． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：如图：即为所作， ． 10．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图所示，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为36，，则点到边的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了作三角形的高，三角形中线的性质： （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得出，再利用三角形的面积公式进而得到点到边的距离． 【详解】（1）解：如图所示，为边上的高； （2）解：是的中线，是的中线， ，， ， 的面积为36，， ， 解得， 即点到边的距离为3． 地 城 考点05 三角形的角平分线 1．(24-25八上·云南昭通昭阳区·期中)如图中，，和的平分线分别为和，和相交于点P，连接，则有以下结论： ①； ②； ③． 其中正确的结论为（   ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义与性质，全等三角形的判定与性质，由角平分线的定义可得，进一步可判断①，过点P作，证明是的平分线，可判断③，假设，通过三角形全等证明可判断②． 【详解】解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴，①符合题意； 过点P作，    ∵、分别是与的角平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴，故③符合题意； 若，而，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，与题干条件矛盾，故②不符合题意； 故选：A． 2．(24-25八上·云南昭通永善县两校联考·期中)如图，在中，，，是的中线，是的平分线，交的延长线于点，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质可得：，，得到，再根据角平分线的定义和平行线的性质可推出，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 又是的中线， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 3．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，在四边形中，平分，，，垂足分别为，，为上一点，连接，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判断方法是解题的关键． （1）根据题意推出，即可得到答案； （2）证明出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∵， ∴ ∴ ． 地 城 考点06 三角形的稳定性 1．(24-25八上·云南昭通绥江县·期中)数学来源于生活，又服务于生活，如图，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：C． 2．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)生活中“自行车的三角形车架”是依据（   ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的内角和等于 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；根据题意可直接进行求解． 【详解】解：生活中“自行车的三角形车架”是依据三角形具有稳定性； 故选A． 30．(24-25八上·云南迪庆藏族香格里拉迪庆藏族民族中学·期中)如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．长方形的四个角都是直角 D．长方形的对称性 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形的性质解答即可，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是三角形的稳定性， 故选：B． 3．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止椅子摇晃，其所运用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，则形成三角形，由于三角形具有稳定性，故能防止椅子摇晃． 【详解】解：木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止椅子摇晃，其所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：A． 4．(23-24八上·云南昭通巧家县大寨中学·期中)下列图形中具有稳定性的是（    ） A．圆形 B．平行四边形 C．梯形 D．三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性，熟记三角形稳定性逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、圆形不具有稳定性，不符合题意； B、平行四边形不具有稳定性，不符合题意； C、梯形不具有稳定性，不符合题意； D、三角形具有稳定性，符合题意； 故选：D． 5．(24-25八上·云南昭通永善县·期中)伸缩铁门能自由伸缩，主要是应用了四边形的 ． 【答案】不稳定性 【分析】本题考查四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题．四边形的四边确定，形状大小不一定确定，即四边形的不稳定性． 【详解】解：伸缩铁门能自由伸缩，主要是应用了四边形的不稳定性． 故空中填：不稳定性． 6．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 地 城 考点07 三角形内角和定理及应用 1．(24-25八上·云南昭通绥江县·期中)若三个角的大小满足条件，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理和一元一次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．根据题意设，，，由三角形内角和定理得到，列方程为，求出x的值，即可得到的大小． 【详解】解：设，，，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 故选：D． 2．(24-25八上·云南迪庆藏族香格里拉迪庆藏族民族中学·期中)如图，在中，，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理，由平行线性质可得，由补角定义可得，再由三角形内角和求出即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 3．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图，在等边中，，点在线段上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及判定，熟知相关性质是正确解题的关键． 由等边三角形的性质得，再由， 得出即可求解． 【详解】解：在等边中，， ， ， ， ， ． 故选：A． 4．(24-25八上·云南文山文山第二学区·期中)在中，，的垂直平分线交 于点，交 于点．若，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图所示， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 故选：B． 5．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，在中，于点D，，则长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，准确计算是解题的关键． 先在中，由角直角三角形性质得到，再在中，由角直角三角形性质得到，最后进行线段和差计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴； 故选：B． 6．(24-25八上·云南昭通巧家县·期中)如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．连接、，过点作于点，由轴对称的性质可知，，，进而得出，由三线合一的性质，得到，，从而推出，再利用三角形内角和定理，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点， 由轴对称的性质可知，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 7．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性质得出，，由三角形内角和定理得出，等量代换可得出，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵分别是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和可知，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， 根据三角形内角和可知：， 即， 解得：， 故选：B． 9．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形的性质结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，且的对边为， ∴， 故选：B． 10．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后求出，然后根据全等三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 11．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)在中，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正确理解记忆三角形内角和定理是解决本题的关键．根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，将一个三角形剪去一个角后，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查多边形的内角和，三角形的内角和，根据四边形的内角和为度，求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 13．(24-25八上·云南昭通永善县两校联考·期中)如图，将沿折叠，使点落在边上的点处，折痕为，再将沿折叠，恰好与重合．若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得：，，再结合平角的定义可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ， ， 在中，， 故答案为：． 14．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，中，，的垂直平分线分别交于点E、F，连接，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理求出，根据垂直平分线的性质得到，，进而根据等边对等角得到，，从而根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点E、F， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为： 15．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)【数学概念】 差倍角三角形：如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个角的“差倍角三角形”．     例如：在中，，，，满足，所以是关于的“差倍角三角形”． 根据上述定义，完成下面两问： (1)若在中，，，，则是关于 的“差倍角三角形”； (2)如图，在中，，和的角平分线相交于点，若是关于的“差倍角三角形”，求的度数． （求解过程如下，请将过程补充完整．） 解：∵， ∴在中， ； ∵平分，平分， ∴ ， ， ∴ ， ∴在中， ；   ∵ 是关于的“差倍角三角形” ， ∴ ，  即： ； 又∵ ， ∴ ； ∴ ． 【答案】(1)； (2)；，；；；． 【分析】（）由题意得，再根据“差倍角三角形”的定义即可得出答案； （）先根据角平分线的定义得出 ，再由三角形内角和定理得，再由“差倍角三角形”的定义得，进而可得，再由即可得出答案； 本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理及“差倍角三角形”，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ∴， ∴是关于的“差倍角三角形”， 故答案为：； （2）解：∵， ∴在中，； ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴在中， ； ∵是关于的“差倍角三角形” ， ∴，即：； 又∵ ， ∴； ∴； 故答案为：；，；；；． 16．(24-25八上·云南昭通巧家县·期中)如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 先求出正五边形的每一个内角为，然后根据折叠的性质求得和，在中，根据三角形的内角和定理可求出，又根据折叠的性质可知，于是可求出． 【详解】解：五边形的内角和为， ， 由折叠可知：，， ， ． 17．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)如图1，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，，，的周长为．的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据垂直平分线的性质得出，，根据的周长为，得出，根据的周长为，求出，得出．根据垂直平分线的性质得出，，即可得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴ （2）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长． ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． ∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴， ∴． 18．(24-25八上·云南昭通永善县·期中)如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由可得，再证明即可解答； （2）先证明，得出，即可求出的值，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵． ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 19．(24-25八上·云南昭通巧家县·期中)如图，在中，，点在边上，且．    (1)如图1，____，____． (2)如图2，若为线段上的点，过点作直线于点，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形． ②试猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)36；72； (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理与外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据等边对等角的性质，得到，，再根据三角形外角的性质，得到，进而得出，再结合三角形内角和定理求解即可； （2）①结合（1）的结论，证明，得到，即可得出答案； ②由①可知，，再结合已知条件，得出，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36；72； （2）解：①由（1）可知，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． ②，证明如下： 由①可知，， ，， ，， ， 即． 20．(24-25八上·云南昭通巧家县·期中)如图，在中，，垂直平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质在，掌握等腰三角形的性质是解题关键．根据垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，，进而得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 21．(24-25八上·云南昭通巧家县·期中)在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．由三角形内角和定理可得，再结合，即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ， , ， ． 22．(24-25上·云南玉溪第四中学教育集团·期中)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)40 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，再根据全等三角形的性质和三角形内角和求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点08 与角平分线有关的内角和问题 1．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图所示，分别是的中线和角平分线，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据三线合一定理和等边对等角求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，据此根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：B． 2．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，在中，平分平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，解题的关键是根据平分可得，，同理，然后根据，利用三角形内角和可得，从而得到，再根据三角形内角和得到． 【详解】解：在中，． ． 平分，平分． ，． ． 在中，． 故选：B． 3．(24-25八上·云南昆明云南师范大学实验中学·期中)如图，在中，，是角平分线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，与角平分线有关的三角形内角和问题，设，则由等边对等角和三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义得到，进而根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 4．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图，的和的平分线，相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，由角平分线的定义可得出，，由三角形内角和定理可得出，进而可得出，再利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，分别是和的平分线， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25八上·云南昆明官渡区第一中学·期中)如图，中，是高，平分，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，先根据三角形内角和定理求出的度数，进而由角平分线的定义求出的度数，再由三角形高的定义求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴． 6．(24-25八上·云南昭通昭阳区·期中)如图，在中，是边上的高，是的平分线，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线和三角形的内角和．熟练掌握三角形内角和定理和角平分线性质，是本题解题的关键． 直接利用是高，再三角形内角和定理，得出，然后结合角平分线的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是的平分线， ∴， ∴． 7．(24-25八上·云南大理白族祥云县第四中学·期中)如图，是的高线，为边上的一点，连接交于点，，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义． （1）由三角形外角的定义及性质可得，再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴． 8．(24-25八上·云南文山砚山县·期中)如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的高与角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互补可得，根据计算即可； （2）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出的度数，然后根据三角形内角和可得结果． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 9．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线和垂直的定义等． （1）先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质求出，最后利用垂直的定义和三角形内角和定理即可求出的度数； （2）同（1），利用三角形内角和定理、外角的性质可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点09 三角形的外角及性质 1．(24-25八上·云南昆明云南师范大学实验中学·期中)体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为几何图形（图2），如果．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此可得，则． 【详解】解；由题意得，，， ∴， 故选：C． 2．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)下列说法正确的是（   ） A．面积相等的两个三角形一定全等 B．全等三角形的面积一定相等 C．三角形的一个外角大于它的任意一个内角 D．三角形的一个外角大于与它相邻的内角 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的定义及性质，根据全等三角形的性质，三角形的外角与三角的内角的关系逐一判断即可求解，熟练掌握全等三角形的性质，三角形外角的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：、面积相等的两个三角形不一定全等，原选项错误，不符合题意； 、全等三角形的面积一定相等，原选项正确，符合题意； 、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，原选项错误，不符合题意； 、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原选项错误，不符合题意； 故选：． 3．(24-25八上·云南昆明官渡区昆明外国语学校·期中)如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．有以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；根据三角形外角的性质，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论：根据等边三角形的性质，即可判断⑤结论； 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ，， ， ，故②正确； ， ， ， 在和中 ， ，故③正确； ， ， 是等边三角形，故④正确； 。 由于题目中给出的条件不足，不能证明Q是中点，故不能证明，故⑤错误 故正确的有①②③④共4个， 故选：C. 4．(24-25八上·云南昭通绥江县·期中)如图，在中，，垂直平分，交于点，垂足为点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、三角形外角的性质，熟练掌握性质并应用是关键．根据垂直平分线的性质定理，求得，，利用三角形外角的性质求得的度数，再在中，应用角的性质求得线段长度． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到，由三角形的外角的性质即可求解．由平行线的性质得到，由三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：C． 7．(24-25八上·云南昆明五华区·期中)如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．由题意可得，，由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 是的外角， ． 故选：B． 8．(24-25八上·云南文山文山第二学区·期中)如图，E是长方形中边上一点，将沿折叠得到．若，则是 度． 【答案】30 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定及性质、三角形外角的性质．掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质，得，则，根据三角形外角的性质得到的度数，即可得到结论． 【详解】解：由折叠的性质得：， ， ， ， ， 故答案为：． 9．(24-25八上·云南昭通永善县两校联考·期中)如图，一条船上午时从海岛出发，以海里/时的速度向正北方向航行，上午时到达海岛处，分别从，处望灯塔，测得，．则海岛到灯塔C的距离为 海里． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据题意可得：海里，再根据三角形的外角性质可得，得到，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：海里， ，， ， ， 海里， 即海岛到灯塔C的距离为海里， 故答案为：． 10．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图1、2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，求证：； (3)如图3，在等腰中，，平分交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由题意可得出，，再由角平分线的性质定理即可得出． （2）过点分别作于，于，由角平分线的性质定理得出，再证明，再证明 ，由全等三角形的性质即可得出． （3）由等腰三角形的定义以及三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，在上取，连接，再利用等腰三角形的定义以及三角形内角和定理求出， 由（2）可知，，由三角形外角的定义以及性质得出，由等角对等边得出， 进而可得出，进而可得出 ． 【详解】（1）解：， ，， ，， 平分， ； （2）解：证明：如图2，过点分别作于，于， 则， 平分， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； （3）证明：是等腰三角形，， ， 平分， ， 如图3，在上取，连接， ， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质，三角形外角的定义以及性质，三角形内角和定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 11．(24-25八上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)如图，在中，点分别在边上，，平分． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义得出，利用平行线的性质得出，等量代换可得出，根据等角对等边即可得出． （2）由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，由（1）得出，由等边对等角得出，由三角形外角的定义可性质得出 ，最后利用平行线的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， 平分， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，平行线的性质，角平分线的定义以及相关计算，三角形外角的定义和性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 12．(24-25八上·云南昆明官渡区昆明外国语学校·期中)如图，中，，D在上，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．设，根据“等边对等角”，以及三角形外角的性质可得，， ，在中根据三角形内角和定理列方程求出x的值，即可知的度数． 【详解】解：设， ∵中，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 13．(24-25八上·云南文山文山第二学区·期中)如图，在中 ，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据“等边对等角”即可得出的度数，，根据三角形外角的性质得，即可得解．利用等腰三角形的性质求角的度数是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，，． 14．(23-24八上·云南昆明安宁昆钢第一中学·期中)如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质得到，即可证明出； （2）首先根据三角形内角和定理求出，然后求出，利用含角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵垂直平分， ∴ ∴ ∵ ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，等边对等角，垂直平分线的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $