第4讲一元二次方程根与系数的关系教案教学设计-2025-2026学年高一数学初高中衔接

第4讲一元二次方程根与系数的关系 主备人： 一、教材分析 一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)在高中阶段占有极其重要的地位，尤其在解析几何中的应用(设而不求的思想)是高考必考内容之一。韦达定理部分学生在初中阶段所有接触，但对此认识不深，在很多一元二次方程根的习题中没有韦达定理的意识。所以，加强这方面的教学很有必要，对学生今后的学习提供必要的知识储备。 二、教学目标 1.数学抽象:通过代数推导理解根与系数的抽象关系，形成符号化表达的能力。 2.逻辑推理:从求根公式出发，推导韦达定理，培养数学论证的严谨性。 3.数学运算:灵活运用韦达定理解决对称式求值、参数求解等问题。 4.数学建模:将实际问题转化为二次方程模型，利用根与系数关系分析问题。 三、教学重点 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 四、教学难点 韦达定理的熟练应用 五、学情分析 学生刚初中毕业升入高一，能解简单的一元二次方程，但对代数推理(如公式推导)可能不熟练。从具体计算转向抽象关系理解(如“两根之和与系数关系”的符号化表达)不太适应；含参问题时对分类讨论具有畏难心理。 六、教法学法 讲授法、引导法、练习法 七、课时安排 1课时 八、教学设计 素养目标： 1.数学抽象:通过代数推导理解根与系数的抽象关系，形成符号化表达的能力。 2.逻辑推理:从求根公式出发，推导韦达定理，培养数学论证的严谨性。 3.数学运算:灵活运用韦达定理解决对称式求值、参数求解等问题。 4.数学建模:将实际问题转化为二次方程模型，利用根与系数关系分析问题。 重 难 点： 重点：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 难点：韦达定理的熟练应用 教学环节 师生活动 二次备课（手写） 情境导入 一个长方形的周长为14，面积为10，求它的长和宽。 设长为，宽为，得方程组： 提问：能否直接构造一个方程，使长和宽是其两根？ 环节1 引入新课 解方程,记录两根、，计算和 对比方程系数，猜想关系，引出韦达定理 环节2 新知讲解 知识要点： 1. 若一元二次方程的两个实数根为、，则： 、 上述结论即为一元二次方程根与系数的关系，又称韦达定理. 证明：若一元二次方程有两个实数根： 、 () 则有：=+= =.== 注意：1.由韦达定理可得 2.韦达定理的逆定理：若两个实数、满足、，则、必为方程的两根 环节3 例题讲解 例1：已知关于的方程的一个根为4，求它的另一个根即m的值。 解：设方程的另一个根为，则由韦达定理得 ①+②得，，故，代入①得 课堂练习 1. 已知方程的一个根为-2，求它的另一个根即k的值 2. 已知方程的两根为、，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和。 课堂小结 1. 能利用根与系数的关系解决简单的根的分布问题 2. 根据根的情况，求出方程中参数的值或范围 3.含参的一元二次方程问题，要注意二次项系数是否为 0. 板书设计 第4讲一元二次方程根与系数的关系 1. 定理：、 2. 注意：先验证△≥0 堂堂清 日日清 1.韦达定理：若一元二次方程的两个实数根为、，则： 、 2.韦达定理的逆定理：若两个实数、满足、，则、必为方程的两根 3.已知、是方程的两根，求一个以、为根的一元二次方程 作业布置 必做题：课本P27页习题3,4,5 选做题：课本P28页习题7,8,9 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $