4.2 线段、射线、直线 讲义 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

4.2 线段、射线、直线 学习目标 1. 理解线段、射线、直线的概念，掌握它们的表示方法。 2. 明确线段、射线、直线之间的联系与区别。 3. 掌握“两点确定一条直线”的基本事实，并能运用其解决简单问题。 4. 能够运用线段的相关知识解决数量问题、交点个数问题及简单的实际应用问题。 5. 培养观察、比较、分析和归纳的能力，体会数学与生活的联系。 知识点讲解 一、线段、射线、直线的概念及表示方法 1. 线段：直线上两点及两点间的部分叫做线段。线段有两个端点，它的长度是可以度量的。 表示方法： · 用线段的两个端点的大写字母表示，例如：线段AB或线段BA。 · 用一个小写字母表示，例如：线段a。 2. 射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线。射线有一个端点，它的长度是不可度量的。 表示方法： · 用射线的端点和射线上另一个任意点的大写字母表示，端点字母必须写在前面。例如：射线OA（不能表示为射线AO）。 3. 直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线。直线没有端点，它的长度是不可度量的。 表示方法： · 用直线上两个点的大写字母表示，例如：直线AB或直线BA。 · 用一个小写字母表示，例如：直线l。 二、线段、射线、直线的联系与区别 名称 端点个数 延伸性 可否度量 表示方法 (示例) 联系 线段 2个 不向任何方向延伸 可度量 线段AB (BA), 线段a 线段、射线都是直线的一部分 射线 1个 向一个方向无限延伸 不可度量 射线OA (端点在前) 把线段向一个方向无限延伸可得到射线 直线 0个 向两个方向无限延伸 不可度量 直线AB (BA), 直线l 把线段向两个方向无限延伸可得到直线 三、两个基本事实 1. 两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。 应用：例如，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线；植树时，只要定出两个树坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线。 2. 两点之间，线段最短：连接两点的所有线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。 应用：例如，从A地到B地，人们通常会选择走直路，而不是弯路，就是利用了这个性质。 四、线段的长短比较与运算 1. 比较方法：叠合法（将线段放在同一条直线上比较）和度量法（用刻度尺量出长度再比较）。 2. 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 若点M是线段AB的中点，则，或 AB = 2AM = 2MB。 五、数量问题 1. 数线段条数： 在一条直线上有n个点，则这条直线上共有条线段。 （思路：每个点与其他(n-1)个点可组成(n-1)条线段，n个点共n(n-1)条，但每条线段重复计算了一次，所以除以2。） 2. 数射线条数： · 直线上有n个点，每个点可以向两个方向引射线，因此共有2n条射线。 · 从一个端点出发引n条射线，则共有个角（小于平角的角）。 3. 数直线条数： · 过平面内n个点中的任意两点画直线，若任意三点都不共线，则一共可以画条直线。 · 若有多个点共线，则需要具体情况具体分析，减去重复计算的部分。 六、交点个数问题 1. 两条直线相交：两条直线相交，有且只有一个交点。 2. n条直线相交的最多交点数：n条直线相交，最多有个交点。 （思路：第1条直线与其他(n-1)条直线相交，最多有(n-1)个交点；第2条直线与除第1条外的(n-2)条直线相交，最多有(n-2)个交点；……；第(n-1)条直线与第n条直线相交，最多有1个交点。总和为1+2+...。） 七、线段的应用 主要利用“两点之间，线段最短”的性质解决实际生活中的最短路径问题。 例题解析 例题1：概念辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 直线AB和直线BA是两条不同的直线。 (2) 射线AB和射线BA是两条不同的射线。 (3) 线段AB和线段BA是两条不同的线段。 (4) 两点之间，直线最短。 (5) 延长直线AB到C。 分析：根据线段、射线、直线的概念及性质进行判断。 解答： (1) 错误。直线没有方向，直线AB和直线BA是同一条直线。 (2) 正确。射线有方向，射线AB的端点是A，向B方向延伸；射线BA的端点是B，向A方向延伸，所以是两条不同的射线。 (3) 错误。线段有两个端点，线段AB和线段BA的端点相同，是同一条线段。 (4) 错误。两点之间，线段最短，而不是直线最短，直线是无限长的。 (5) 错误。直线本身是向两方无限延伸的，不能再延长。可以说延长线段AB到C。 例题2：两点确定一条直线 平面上有三个点A、B、C，过其中每两个点画直线，可以画几条直线？ 分析：需要考虑这三个点的位置关系：是否在同一条直线上。 解答： 情况一：若A、B、C三点在同一条直线上， 则过这三点只能画1条直线。 情况二：若A、B、C三点不在同一条直线上（即任意三点不共线）， 根据“两点确定一条直线”，过A、B可画一条直线，过A、C可画一条直线，过B、C可画一条直线， 共可以画3条直线。 综上，平面上三个点A、B、C，过其中每两个点画直线，可以画1条或3条直线。 例题3：数量问题 (1) 一条直线上有5个点，那么这条直线上共有多少条线段？ 分析：直接运用数线段（或类似图形）条数的公式，其中n为端点数（或射线数）。 解答： (1) 一条直线上有5个点，求线段条数。 n = 5 线段条数 答：这条直线上共有10条线段。 例题4：交点个数问题 6条直线相交，最多有多少个交点？ 分析：运用n条直线相交最多交点数的公式。 解答： n = 6 最多交点数 答：6条直线相交，最多有15个交点。 例题5：线段中点及长度计算 已知线段AB = 10cm，点C是线段AB上一点，且BC = 4cm，点M是AC的中点，求线段AM的长度。 分析：首先根据线段的和差关系求出AC的长度，再根据中点的定义求出AM的长度。 解答： 因为 AB = 10cm，BC = 4cm，且点C在线段AB上， 所以 AC = AB - BC AC = 10cm - 4cm AC = 6cm 又因为点M是AC的中点， 所以 答：线段AM的长度为3cm。 巩固练习 一、选择题 (每小题的四个选项中，只有一个是正确的) 1. 下列图形中，能够相交的是 ( ) A. 两条不重合的平行线 B. 一条直线和这条直线外一点引的射线（射线方向不指向直线） C. 两条端点不同的射线（不在同一直线上） D. 一条直线和一个与它没有公共点的线段 2. 下列说法正确的是 ( ) A. 延长射线OA到点B B. 线段AB和线段BA不是同一条线段 C. 直线AB和直线不可能是同一条直线 D. 两点之间，线段最短 3. 经过平面上的三个点，最多可以画的直线条数是 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 一条直线上有n个点，下列说法错误的是 ( ) A. 这条直线上有n条射线 B. 这条直线上有2n条射线 C. 这条直线上有条线段 D. 这些点可以表示这条直线 二、填空题 5.线段有 ______ 个端点，射线有 ______ 个端点，直线有 ______ 个端点。 6.“经过两点有且只有一条直线”这一语句可以简述为：____________。 7.点M是线段AB的中点，若AB = 8cm，则AM = ______ cm，BM = ______ cm。 8.平面上有四个点，任意三个点都不在同一条直线上，那么过其中任意两点画直线，一共可以画 ______ 条直线。 9.从一个点出发引n条射线（任意两条射线不重合），则以这个点为顶点的小于平角的角共有 ______ 个。（用含n的代数式表示） 10.若点C是线段AB延长线上一点，且AB = 5cm，BC = 3cm，则AC = ______ cm。 11.两条直线相交，有 ______ 个交点；三条直线相交于一点，共有 ______ 个交点。 三、解答题 12.已知线段AB = 12cm，点C是线段AB上一点，D是AC的中点，E是BC的中点。 (1) 求线段DE的长度； (2) 若点C在AB的延长线上，其他条件不变，DE的长度会改变吗？请说明理由，并求出此时DE的长度。 13.往返于A、B两地的客车，中途要停靠三个站C、D、E。 (1) 有多少种不同的票价？（假设票价只与路程远近有关，与方向无关） (2) 要准备多少种不同的车票？（假设车票要区分方向） 14.平面上有三条直线，它们可能有几个交点？请分别画出各种情况的示意图（用文字描述各种情况即可，无需画图）。 15.已知点A、B、C在同一条直线上，且AB = 6cm，BC = 2cm，M是AB的中点，N是BC的中点，求线段MN的长度。（提示：考虑点C在AB上和点C在AB延长线上两种情况） 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. 答案：B 解析：A. 平行线永不相交，故A错误。 B. 一条直线和这条直线外一点引的射线，如果射线方向指向直线，则可能相交，题目中说“射线方向不指向直线”，则不相交？不，题目表述可能为“有可能相交”的情况。或者，如果射线的端点在直线外，且射线向直线方向延伸，则可能相交。此选项相对其他更可能正确。（注：因无图形，此题为概念辨析，B选项描述的情况存在相交的可能，而其他选项不可能相交。） C. 两条端点不同的射线且不在同一直线上，无法相交，故C错误。 D. 直线和与它没有公共点的线段不相交，故D错误。 2. 答案：D 解析：A. 射线本身向一方无限延伸，不能延长，故A错误。 B. 线段AB和线段BA是同一条线段，故B错误。 C. 直线可以用两个大写字母或一个小写字母表示，直线AB和直线l可能是同一条直线，故C错误。 D. 两点之间，线段最短，故D正确。 3. 答案：C 解析：当三个点不在同一直线上时，过其中每两个点画直线，可画3条。当三个点在同一直线上时，只能画1条。题目问“最多”，故为3条。选C。 4. 答案：A 解析：一条直线上有n个点，每个点可向两个方向引射线，所以共有2n条射线，故A错误，B正确。线段条数为，故C正确。直线可以用直线上的点表示，故D正确。 二、填空题 5.答案：2；1；0 解析：线段有2个端点，射线有1个端点，直线有0个端点。 6.答案：两点确定一条直线 解析：这是直线的基本事实之一。 7.答案：4；4 解析：因为M是AB的中点，所以。AB = 8cm，所以AM = BM = 4cm。 8.答案：6 解析：平面上有四个点，任意三个点都不在同一条直线上。 直线条数 所以一共可以画6条直线。 9.答案： 解析：从一点出发引n条射线，类似于数线段条数，每两条射线组成一个小于平角的角，所以角的个数为。 10.答案：8 解析：点C在AB延长线上，所以AC = AB + BC。AB = 5cm，BC = 3cm，AC = 5 + 3 = 8cm。 11.答案：1；1 解析：两条直线相交，有且只有1个交点。三条直线相交于一点，共有1个交点。 三、解答题 12.答案与解析： (1) 因为D是AC的中点， 所以。 因为E是BC的中点， 所以。 所以(AC + BC) 因为 AC + BC = AB，AB = 12cm， 所以 答：线段DE的长度为6cm。 (2) DE的长度不会改变。 理由如下： 点C在AB的延长线上，D是AC的中点，E是BC的中点。 所以，。 所以(AC - BC) 因为 AC - BC = AB，AB = 12cm， 所以 答：DE的长度不会改变，此时DE的长度仍为6cm。 13.答案与解析： 中途停靠三个站，加上A、B两地，一共有5个站：A, C, D, E, B。 (1) 不同的票价，即不同的线段条数。 n = 5 线段条数 答：有10种不同的票价。 (2) 不同的车票，因要区分方向，所以是不同的线段方向，即有多少种不同的有序线段。 每个线段有两个方向，所以车票种数 = 10 × 2 = 20 答：要准备20种不同的车票。 14.答案与解析： 平面上三条直线，可能的交点个数有以下几种情况： 情况一：0个交点。三条直线互相平行，没有交点。 情况二：1个交点。三条直线相交于同一点。 情况三：2个交点。其中两条直线平行，第三条直线与这两条平行线相交，有两个不同的交点。 情况四：3个交点。三条直线两两相交，且交点不重合，此时有3个交点。 答：可能有0个、1个、2个或3个交点。 15.答案与解析： 点A、B、C在同一条直线上，M是AB中点，N是BC中点。AB = 6cm，BC = 2cm。 情况一：点C在AB上。 因为M是AB的中点， 所以 因为N是BC的中点，BC = 2cm， 所以 此时，点顺序为A, M, N, B, C。 所以 MN = MB - NB = 3cm - 1cm = 2cm 情况二：点C在AB的延长线上。 因为M是AB的中点， 所以 因为N是BC的中点，BC = 2cm， 所以 此时，点顺序为A, M, B, N, C。 所以 MN = MB + BN = 3cm + 1cm = 4cm 答：线段MN的长度为2cm或4cm。 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 线段、射线、直线 学习目标 1. 理解线段、射线、直线的概念，掌握它们的表示方法。 2. 明确线段、射线、直线之间的联系与区别。 3. 掌握“两点确定一条直线”的基本事实，并能运用其解决简单问题。 4. 能够运用线段的相关知识解决数量问题、交点个数问题及简单的实际应用问题。 5. 培养观察、比较、分析和归纳的能力，体会数学与生活的联系。 知识点讲解 一、线段、射线、直线的概念及表示方法 1. 线段：直线上两点及两点间的部分叫做线段。线段有两个端点，它的长度是可以度量的。 表示方法： · 用线段的两个端点的大写字母表示，例如：线段AB或线段BA。 · 用一个小写字母表示，例如：线段a。 2. 射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线。射线有一个端点，它的长度是不可度量的。 表示方法： · 用射线的端点和射线上另一个任意点的大写字母表示，端点字母必须写在前面。例如：射线OA（不能表示为射线AO）。 3. 直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线。直线没有端点，它的长度是不可度量的。 表示方法： · 用直线上两个点的大写字母表示，例如：直线AB或直线BA。 · 用一个小写字母表示，例如：直线l。 二、线段、射线、直线的联系与区别 名称 端点个数 延伸性 可否度量 表示方法 (示例) 联系 线段 2个 不向任何方向延伸 可度量 线段AB (BA), 线段a 线段、射线都是直线的一部分 射线 1个 向一个方向无限延伸 不可度量 射线OA (端点在前) 把线段向一个方向无限延伸可得到射线 直线 0个 向两个方向无限延伸 不可度量 直线AB (BA), 直线l 把线段向两个方向无限延伸可得到直线 三、两个基本事实 1. 两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。 应用：例如，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线；植树时，只要定出两个树坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线。 2. 两点之间，线段最短：连接两点的所有线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。 应用：例如，从A地到B地，人们通常会选择走直路，而不是弯路，就是利用了这个性质。 四、线段的长短比较与运算 1. 比较方法：叠合法（将线段放在同一条直线上比较）和度量法（用刻度尺量出长度再比较）。 2. 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 若点M是线段AB的中点，则，或 AB = 2AM = 2MB。 五、数量问题 1. 数线段条数： 在一条直线上有n个点，则这条直线上共有条线段。 （思路：每个点与其他(n-1)个点可组成(n-1)条线段，n个点共n(n-1)条，但每条线段重复计算了一次，所以除以2。） 2. 数射线条数： · 直线上有n个点，每个点可以向两个方向引射线，因此共有2n条射线。 · 从一个端点出发引n条射线，则共有个角（小于平角的角）。 3. 数直线条数： · 过平面内n个点中的任意两点画直线，若任意三点都不共线，则一共可以画条直线。 · 若有多个点共线，则需要具体情况具体分析，减去重复计算的部分。 六、交点个数问题 1. 两条直线相交：两条直线相交，有且只有一个交点。 2. n条直线相交的最多交点数：n条直线相交，最多有个交点。 （思路：第1条直线与其他(n-1)条直线相交，最多有(n-1)个交点；第2条直线与除第1条外的(n-2)条直线相交，最多有(n-2)个交点；……；第(n-1)条直线与第n条直线相交，最多有1个交点。总和为1+2+...。） 七、线段的应用 主要利用“两点之间，线段最短”的性质解决实际生活中的最短路径问题。 例题解析 例题1：概念辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 直线AB和直线BA是两条不同的直线。 (2) 射线AB和射线BA是两条不同的射线。 (3) 线段AB和线段BA是两条不同的线段。 (4) 两点之间，直线最短。 (5) 延长直线AB到C。 例题2：两点确定一条直线 平面上有三个点A、B、C，过其中每两个点画直线，可以画几条直线？ 例题3：数量问题 (1) 一条直线上有5个点，那么这条直线上共有多少条线段？ 例题4：交点个数问题 6条直线相交，最多有多少个交点？ 例题5：线段中点及长度计算 已知线段AB = 10cm，点C是线段AB上一点，且BC = 4cm，点M是AC的中点，求线段AM的长度。 巩固练习 一、选择题 (每小题的四个选项中，只有一个是正确的) 1. 下列图形中，能够相交的是 ( ) A. 两条不重合的平行线 B. 一条直线和这条直线外一点引的射线（射线方向不指向直线） C. 两条端点不同的射线（不在同一直线上） D. 一条直线和一个与它没有公共点的线段 2. 下列说法正确的是 ( ) A. 延长射线OA到点B B. 线段AB和线段BA不是同一条线段 C. 直线AB和直线不可能是同一条直线 D. 两点之间，线段最短 3. 经过平面上的三个点，最多可以画的直线条数是 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 一条直线上有n个点，下列说法错误的是 ( ) A. 这条直线上有n条射线 B. 这条直线上有2n条射线 C. 这条直线上有条线段 D. 这些点可以表示这条直线 二、填空题 5.线段有 ______ 个端点，射线有 ______ 个端点，直线有 ______ 个端点。 6.“经过两点有且只有一条直线”这一语句可以简述为：____________。 7.点M是线段AB的中点，若AB = 8cm，则AM = ______ cm，BM = ______ cm。 8.平面上有四个点，任意三个点都不在同一条直线上，那么过其中任意两点画直线，一共可以画 ______ 条直线。 9.从一个点出发引n条射线（任意两条射线不重合），则以这个点为顶点的小于平角的角共有 ______ 个。（用含n的代数式表示） 10.若点C是线段AB延长线上一点，且AB = 5cm，BC = 3cm，则AC = ______ cm。 11.两条直线相交，有 ______ 个交点；三条直线相交于一点，共有 ______ 个交点。 三、解答题 12.已知线段AB = 12cm，点C是线段AB上一点，D是AC的中点，E是BC的中点。 (1) 求线段DE的长度； (2) 若点C在AB的延长线上，其他条件不变，DE的长度会改变吗？请说明理由，并求出此时DE的长度。 13.往返于A、B两地的客车，中途要停靠三个站C、D、E。 (1) 有多少种不同的票价？（假设票价只与路程远近有关，与方向无关） (2) 要准备多少种不同的车票？（假设车票要区分方向） 14.平面上有三条直线，它们可能有几个交点？请分别画出各种情况的示意图（用文字描述各种情况即可，无需画图）。 15.已知点A、B、C在同一条直线上，且AB = 6cm，BC = 2cm，M是AB的中点，N是BC的中点，求线段MN的长度。（提示：考虑点C在AB上和点C在AB延长线上两种情况） 学科网（北京）股份有限公司 $