1.2.1 空间中的点、直线与空间向量&1.2.2 空间中的平面与空间向量-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 1.若A(1,0,1),B(2,3,4)在直线1上，则直线1的一个 方向向量是(） A.(-1,3,3) B.(1,3,3) C.(3,3,5) D.(2,4,6) 2.直线11与12不重合，直线l的方向向量为=(-1,1,2)， 直线2的方向向量为v2=(-2,0,-1),则直线1与2的位 置关系为 3.已知向量a=(1,0,-1),向量b=(V2,0,0), 则(a,b)= 4.在直三棱柱ABC-ABC1中，∠BCA=90°，M,N分别是AB1, AC1的中点，BC=CA=CC1,求BM与AN所成角的余弦值， 5.在正三棱柱ABC-A B,C1中，平面ABC和平面ABC1为正三 角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上 是否存在点N,使得异面直线AB,和MN所夹的角等于45？ 6 日期： 班级： 姓名： 1.2.2空间中的平面与空间向量 1.若直线1的方向向量a=(1,2,-1),平面的一个法向量 m=(-2,-4,k),若1⊥a,则实数k=（) A.2 B.-10 C.-2 D.10 2.已知平面x的一个法向量为=(1,2，-2)，平面B的一个 法向量为b=(-2,-4,k),若LB,则k=() A.4 B.-4 C.5 D.-5 3.若两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),则平面ABC 的一个法向量为() A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1) 4.在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下 向量与向量的位置关系可能不成立的是( A.PA⊥AB B.PA⊥CD C.PC⊥BD D.PC⊥AB 5.如图所示，在直三棱柱ABC-ABC1中，∠ACB=90°， ∠BAC=30°，BC=1,AA1=V6,M是CC1中点，求证： AB1⊥AM. 第5题图N 高中数学选择性必修第一册人教B版 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 1.B【解析】3a+b=3(1,1,0)+(-1,0,2)=(3,3, 0)+(-1,0,2)=(2,3,2.故选B. 2.B【解析】P(1,3,-5)关于平面xOy对称的点 的坐标为(1,3,5).故选B. 3.C【解析】a+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)·c= -ac=7,得ac=-7,而1al=V+243=V14,cos(a, e8i品=号a,e=120.故选C 4.子【解析】由于ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)= (k-1,k,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2, -2),:两向量互相垂直，则有(k-1)x3+kx2+2×(-2)=0, 解得人=了 5.120°【解析】由于AB-(-2,-1,3),CA=(-1, 3,-2),:.AB.C4=(-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)=-7. A B I=V14,ICA'l=V14,..cos0=cos(AB,CA')= 高vn方r >1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 1.B【解析】AB=(2,3,4)-(1,0,1)=(1,3,3). 故选B. 2.垂直【解析】.y1y2=-1×(-2)+1x0+2×(-1)=0, ∴.y1⊥y2. 3.45°【解析】.ab=1×V2+0x0+(-1)×0=V2, akv3,6V7,sa,b-胎-. 又.0≤(a,b)≤180°，∴.(a,b)=45. 4.解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系 B M 4 第4题答图 设BC=CA=CC=2,则A(2,0,2),N(1,0,0), 138 M(1,1,0),B(0,2,2),AN=(-1,0,-2),BM= (1,-1,-2),1AN1=V-1)+0+(-27=V5,1BM= VP+(-1+(-2-V6..cos(AN.BM)=AN.BM IANIBMI -1+4=3=1V30 V5×V6V3010 5.解：以点A为原点，建立 如图所示的空间直角坐标系A-x2 A 由题意知A(0,0,0),C(0, 2,0),B(V3,1,0),B(V3, 12.,, B 第5题答图 又点N在CC:上，可设N0, 2,m)(0≤m≤2)，则AB=(V3,1,2),MN= ,宁，m,a62V7,丽V可， AB.MN=2m-1.如果异面直线AB,和MW所夹的角等于 45°，那么向量AB和MN的夹角等于45°或135. 又cos(AB,M=AE·M-2m-1 lAB:IIMN I 2V2xVm+T' 2V2双±，解得一是.这与0≤m5 2m-1 2矛盾，.在棱CC上不存在点N,使得异面直线AB和 MN所夹的角为45°. 1.2.2空间中的平面与空间向量 1.A【解析】直线1的方向向量a=(1,2,-1), 平面α的一个法向量m=(-2,-4,k),1La, am,子，解得2微进A 2.D【解析】a⊥B,∴.a⊥b,:ab=1×(-2)+2x(-4) +(-2)k=0,k=-5.故选D. 3.A【解析】设平面ABC的一个法向量n=(x,y, n-AB=x+2y+3z=0, z),则 取=-1，得到平面ABC的一 n-AC=3x+2y+z=0, 个法向量为(-1,2，-1).故选A. 4.D【解析】由题意知PA⊥平面ABCD,.与平面 上的线AB,CD都垂直，A,B正确，不符合题意.又菱 形的对角线互相垂直，AC为PC在平面ABCD内的射影且 AC⊥BD,由三垂线定理的逆定理知PC⊥BD,故C正 确，不符合题意.故选D. 5证期：如周，整接4C.品是V7 2 CC=6=V2,∠ACC=LA,CM,,Rt△ACC CA V3 Rt△MCA,∠AC,C=∠MAC,∴.∠AMC+∠ACC= ∠AMC+∠MAC=90°，∴AMLAC.由三垂线定理知， AB⊥AM. 第5题答图 1.2.3直线与平面的夹角 1.D【解析】由最小角定理知直线l与直线a所成的 最小角为牙，又以，a为异面直线，则所成角的最大值 为受故选D, 2.C【解析】如图，连接AC, 交BD于点O,由已知得C01 BD,且平面BDDB,⊥平面 ABCD,.CO⊥平面BDDB1,连 接BO,则BO为BC,在平面BDDB, 第2题答图 内的射影，∠CBO即为BC,和平面 DBBD1所成角. C0=2×V44-2V2,BC=V442-2V5, :sin∠C,B0=C0-2V2=V0.故选C BC 2V5 5 3.正【解析】如图，在正 4 三棱锥PABC中，PA=4,AB=V3 设P在底面上的射影为O,则O为 △A8C的中心，由已知求得A0-1.4五 D、】 第3题答图 又PA=4,.P0=V4-下=V15, :sin∠PAO=P0=Y5,即侧棱PA与底面ABC所成角 PA 4 的正弦值为V⑤ 4 4.解：如图，以0为原点建立空间直角坐标系0- xyz,OD=S0=0A=0B=OC=a, 参考答案。 第4题答图 则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0), P0,号，号)，从而=(2a,0,0),AF= 口，-号，号，C=(a,a,0).设平面P1C的-个法 向量为n,可求得作(0,1,1)，则c0s(CB,n)=CBn ICB lInl V2示V7分：@m-0,直线Bc与平面 a PAC所成的角为90°-60°=30°. 5.解：(1)如图，以D为原点，DA所在直线为x 轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空 间直角坐标系，设AB=2,则C(0,2,0),D,(0,0,2), A(2,0,2),C(0,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0), CD=(0,-2,2),EF=(-1,1,0),EA=(0,-1,2), CF=(1.0.-2),cos CD:,CF)=ICDCFI= ICD,IIC FI 4 4 1/10 V(-2)+2xVP+(-2P2V2xV55 D 第5题答图 (2)设平面ACFE的法向量=(x,y,2), 则nF-*y=0, 取=1，得n=(2,2,1) n~EA1=-y+2x=0, 设直线CD1与平面ACFE所成角为O, 则sin6-lCDl.2=V2 ICD:lInl V8.V⑨6 直线CD与平面A,C,FE所成角的正弦值为V2 6 (139