第1章 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，系统梳理空间点的位置向量表示、直线方向向量概念，以及利用向量解决直线平行、垂直判定、夹角计算和异面直线距离等核心知识点，构建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 该资料以“交警手势”情境导语激发兴趣，通过问题链引导学生用数学眼光抽象空间关系，例题融合基底法、坐标法等多种解法培养数学思维，空间向量语言精确表达几何关系提升数学语言能力。课中助力教师高效授课，课后通过跟踪训练和课时对点练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 学习目标　1.了解空间中的点与空间向量的关系，理解直线的方向向量.2.掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法.3.掌握利用空间向量求空间中两条直线所成的角的方法.4.了解公垂线段的概念并会求其长度. 导语 在交通繁忙的路口，交警借助专用手势，作为“语言”来指挥交通.在不同领域有不同的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行.同学们，你们知道是如何提炼的吗？提炼出来后又将如何运用呢？让我们一起去认识它们吧！ 一、空间中的点与空间向量 问题1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示. 知识梳理　用向量表示点的位置 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定.此时，称为点P的位置向量. 例1　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5). (1)若)，求点P的坐标； (2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求点P的坐标. 解　(1)＝(－1，1，5)，＝(－3，－1，5)， )＝(2，2，0)＝(1，1，0)， ∴点P的坐标为(1，1，0). (2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2， 知.设点P的坐标为(x，y，z)，则 ＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x，5－y，5－z)， 故(x－3，y－4，z)＝(2－x，5－y，5－z)， 即得 因此点P的坐标为. 反思感悟　解决空间点的位置的问题，一般是明确坐标原点，利用空间向量坐标的运算求出目标点的坐标. 跟踪训练1　已知点A(3，3，－5)，B(2，－3，1)，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为　　　　.  答案　 解析　设C(x，y，z)， 则(x－3，y－3，z＋5)＝(－1，－6，6)， 解得x＝，y＝－1，z＝－1， 所以点C的坐标为. 二、空间中的直线与空间向量 问题2　空间中给定一个点A和一个方向能确定一条直线l的位置吗？ 提示　可以，设v为直线l的一个方向向量，定点A在直线l上，对于直线l上任一点B，易知存在唯一的实数λ，使＝λv，从而可以确定直线l的位置. 知识梳理　直线的方向向量 定义：一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. (1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝就是直线l的一个方向向量. (2)如果v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行. (3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定. (4)如果v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合. 注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. (3)直线l方向向量的常用求法：取直线l上两点，分别为起点与终点. 例2　(1)若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1) 答案　A 解析　由题意，可得直线l的一个方向向量 ＝(2，4，6)， 又＝(1，2，3)，所以向量(1，2，3)是直线l的一个方向向量. (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点. 证明：①BF∥D1E； ②BE不与D1M平行； ③BE⊥C1M. 证明　如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1， 则B(1，0，0)，D1(0，1，1)， E，F，M，C1(1，1，1). ①∵，， ∵＝－，∴∥ ， ∵B∉D1E，∴BF∥D1E. ②，， ∵≠， ∴不与平行，∴BE不与D1M平行. ③，. ∴·＝(－1)×＋0×0＋×(－1) ＝＝0， ∴⊥，∴BE⊥C1M. 反思感悟　(1)对直线方向向量的两点说明 ①方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量. ②方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量.解题时，可以选取坐标最简的方向向量. (2)判定直线平行、垂直的向量法 v1，v2分别为l1与l2的一个方向向量. ①v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合. ②v1与v2不平行⇔l1与l2不平行. ③v1·v2＝0⇔v1⊥v2⇔l1⊥l2. ④v1·v2≠0⇔v1与v2不垂直⇔l1与l2不垂直. 跟踪训练2　(1)已知直线l1的方向向量a＝(－1，2，m)，直线l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是(　　) A.－6 B.6 C.14 D.－14 答案　A 解析　∵l1∥l2，∴a∥b， 则，解得n＝－4，m＝6， ∴m＋3n＝6－12＝－6. (2)已知直线l的方向向量v＝(2，1，3)，且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)，则y＝　　　，z＝　　　　.  答案　－　 解析　∵直线l的方向向量v＝(2，1，3)， 且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)， ∴＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2，1，3)， ∴λ＝－，－2－y＝λ，z－3＝3λ， 解得y＝－，z＝. 三、空间中两条直线所成的角 问题3　空间中两条直线所成的角与它们的方向向量的夹角一定相等吗？ 提示　不一定相等.若两条直线的方向向量的夹角〈v1，v2〉∈，则两条直线所成的角等于它们的方向向量的夹角，若〈v1，v2〉∈，则两条直线所成的角为π－〈v1，v2〉. 知识梳理　空间中两条直线所成的角 v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. 如图，则①θ的范围为. ②θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉. ③sin θ＝sin〈v1，v2〉或cos θ＝|cos〈v1，v2〉|. ④l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0. 例3　如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成角的大小. 解　方法一　(基底法) 设正方体的棱长为1，取{，，}为空间向量的一组基底， 则)－()＝－， 所以··＝－， ||＝，||＝1， 所以cos〈，〉＝＝－， 因为两直线夹角的范围是， 故EF与CD所成角的大小是. 方法二　(坐标法) 以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，C(0，1，0)， E，F， ，＝(0，1，0)， ∴cos〈，〉＝＝－， ∴〈，〉＝， ∴异面直线EF和CD所成角的大小是. 方法三　(几何法) 设正方体的棱长为1，连接A1D，DC1(图略)， 则F在线段A1D上且是线段A1D的中点， 又因为E为A1C1的中点， 故EF是△A1DC1的中位线， 故有EF∥DC1，则∠CDC1即为直线EF与直线CD所成的角， 在Rt△CDC1中，CD＝CC1＝1，DC1＝， 即Rt△CDC1为等腰直角三角形， 所以∠CDC1＝， 故直线EF与直线CD所成角的大小是. 例3　(课本例3)如图所示，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB＝OC＝2OA＝2，求直线AE与BC所成角的大小. 解　方法一　根据已知可得，，不共面，且||＝1，||＝||＝2， ···＝0. 又因为，， 所以··()＝···＝2. 类似地，||2＝··＝2， ||2＝()·()＝－2·＝8. 所以cos〈，〉＝， 因此〈，〉＝，即直线AE与BC所成角的大小为. 方法二　因为OA，OB，OC两两互相垂直，所以能以O为原点， ，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.则由OB＝OC＝2OA＝2可知A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，2)， 所以＝(－1，0，1)，＝(0，－2，2)，因此cos〈，〉＝＝ ， 从而〈，〉＝，即直线AE与BC所成角的大小为. 方法三　设OB的中点为F，连接EF，AF.由E，F分别为OC，OB中点可知EF为△OBC的中位线，从而EF∥BC，因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小. 又易知OA＝OE＝OF＝1，D而且OA，OE，OF两两互相垂直，因此 AE＝EF＝AF＝， 所以△AEF是等边三角形，从而∠AEF＝. 因此，直线AE与BC所成角的大小为. 反思感悟　两异面直线所成角的求法 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解. (2)向量法：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，a与b的夹角为φ，则l1与l2所成角θ满足cos θ＝|cos φ|＝.两直线所成的角θ∈，而两向量所成的角的范围为(0，π)，一定要注意其关系为相等还是互补. 跟踪训练3　长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是侧面A1B1C1D1与侧面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值. 解　如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(2，0，0)，B(2，4，0)， C1(0，4，2)，A1(2，0，2)， ∴E(1，2，2)，F(1，4，1)， ＝(－1，4，1)， ＝(－1，－2，2)， ∴||＝＝3，||＝＝3， ·＝1－8＋2＝－5， ∴cos〈，〉＝＝－. ∵异面直线所成角的范围是， 设AF与BE所成角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|＝. 即异面直线AF与BE所成角的余弦值为. 四、异面直线与空间向量 问题4　如果空间两直线没有交点，这两条直线一定平行吗？ 提示　不一定，根据直线的分类，我们把空间直线分为共面直线和异面直线，共面直线包括平行直线和相交直线，而异面直线说的是这两条直线不同在一个平面内. 知识梳理　异面直线与空间向量 (1)异面直线的判定 如图(1)(2)所示，如果A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，可知v1，v2，是不共面的；反之，如果v1，v2，不共面，则l1与l2是异面的.也就是说，此时，“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件. (2)异面直线间的距离 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离. 例4　(课本例4)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：M∈AD1，N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD. 解　以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，所以＝(－1，0，1)，＝(－1，－1，0)，＝(0，1，0). 假设满足条件的M，N存在，而且＝t＝(－t，0，t)，＝s＝(－s，－s，0)， 则＝－＝(t－s，－s＋1，－t). 因为MN⊥AD1，MN⊥BD， 所以⊥，⊥， 从而⇔ 解得t＝，s＝. 因此，满足条件的M，N是存在的. 例4　在正三棱柱ABC－A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线段，并求两条异面直线的距离. 解　如图，建立空间直角坐标系.B(0，，0)，C(－1，0，0)， A1(1，0，2)，B1(0，，2). 假设MN为BA1与CB1的公垂线段， 即∃M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1， 令＝λ，＝μ， ＝(1，－，2)，＝(1，，2). 设M(x，y，z)，∴＝(x，y－，z)， ∴(x，y－，z)＝λ(1，－，2)， ∴x＝λ，y＝－λ＋，z＝2λ， 即点M(λ，－λ＋，2λ)， 同理可求得点N(μ－1，μ，2μ)， ∴＝(μ－λ－1，μ＋λ－，2μ－2λ). 又MN⊥BA1，MN⊥CB1， ∴⊥，⊥， ∴ 解得∴， ∴||＝. 故在BA1与CB1上存在点M，N，当，时，MN为BA1与CB1的公垂线段且两条异面直线BA1与CB1之间的距离为. 反思感悟　两条异面直线的公垂线段有且仅有一条，当公垂线不便寻找时，利用几何知识很难找到.利用空间直角坐标系，转化成方向向量之间的关系较为简单.求解时要注意先建系，再设出M，N的坐标，利用MN与异面直线都垂直，就能找到M，N. 跟踪训练4　已知四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD为正方形，SD⊥平面ABCD，且SD＝AD＝1，求异面直线SB与AC间的距离. 解　以点D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略)， 则A(1，0，0)，C(0，1，0)，S(0，0，1)，B(1，1，0)， ＝(1，1，－1)，＝(－1，1，0). 假设MN为SB与AC的公垂线段， 且M∈SB，N∈AC，则MN⊥SB，MN⊥AC. 令＝λ，＝μ， 设M(x，y，z)，∴＝(x，y，z－1). ∴(x，y，z－1)＝λ(1，1，－1)， ∴x＝λ，y＝λ，z＝1－λ，即M(λ，λ，1－λ). 同理可求得点N(1－μ，μ，0). ∴＝(1－λ－μ，μ－λ，λ－1). 又MN⊥SB，MN⊥AC， ∴⊥，⊥， ∴ 解得∴， ∴||＝， 即异面直线SB与AC之间的距离为. 1.知识清单： (1)空间中的点与空间向量. (2)空间中的直线与空间向量. (3)空间中两条直线所成的角. (4)异面直线与空间向量. 2.方法归纳：数形结合、转化与化归. 3.常见误区：两直线的方向向量共线时要注意两直线是否重合，两条直线所成的角与方向向量所成的角之间的关系易混淆. 1.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C，C1重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是(　　) A. B. C. D. 答案　ABD 解析　由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量. 2.已知两不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1，0，－1)，v2＝(－2，0，2)，则l1与l2的位置关系是(　　) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不确定 答案　A 解析　因为v2＝－2v1，所以v1∥v2，又l1与l2不重合，所以l1∥l2. 3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)， 则，， cos〈，〉＝＝0. ∴〈，〉＝. 4.已知空间三点A(0，0，1)，B(－1，1，1)，C(1，2，－3)，若直线AB上一点M满足CM⊥AB，则点M的坐标为　　　　.  答案　 解析　设M(x，y，z)， 则＝(－1，1，0)，＝(x，y，z－1)， ＝(x－1，y－2，z＋3)， 由题意得∴ ∴点M的坐标为. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共30分 1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2的夹角为(　　) A.30° B.150° C.30°或150° D.以上均不对 答案　A 解析　根据异面直线所成角的定义即知l1，l2所成角为30°. 2.设l1的一个方向向量为a＝(1，3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A.1 B. C. D.3 答案　B 解析　因为l1⊥l2，所以a·b＝0， 即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，所以m＝. 3.(多选)设(1，－2，－1)，(3，－1，2)是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是(　　) A.(2，1，3) B.(4，1，6) C. D.(2，－4，－2) 答案　AC 解析　设点A(1，－2，－1)，B(3，－1，2)，那么＝(2，1，3)， 为直线l的一个方向向量， (－2，－1，－3)＝也是直线l的一个方向向量. 4.在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1的中点，F为线段C1D1上靠近D1的三等分点，则异面直线A1B与EF所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，建立空间直角坐标系， 则A1(3，0，0)，B(3，3，3)， E，F(0，1，0)， 所以＝(0，3，3)， ， 所以|cos〈，〉|＝ ＝. 所以异面直线A1B与EF所成角的余弦值为. 5.(多选)已知a＝(1，－1，1)是直线l1的一个方向向量，b＝(2，2，－2)是直线l2的一个方向向量，则下列说法正确的是(　　) A.a·b＝－2 B.l1∥l2 C.l1⊥l2 D.直线l1，l2夹角的余弦值为 答案　AD 解析　因为向量a＝(1，－1，1)是直线l1的一个方向向量，b＝(2，2，－2)是直线l2的一个方向向量，a·b＝(1，－1，1)·(2，2，－2)＝1×2＋(－1)×2＋1×(－2)＝－2，所以A正确；设a＝λb(λ∈R)，可得(1，－1，1)＝λ(2，2，－2)，则此时方程组无解，所以B不正确；因为a·b＝－2≠0，所以l1与l2不垂直，所以C不正确；由a·b＝－2，可得|cos〈a，b〉|＝，所以D正确. 6.(多选)已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标可以为(　　) A.(1，1，1) B.(－1，－1，－1) C. D. 答案　AD 解析　设D(x，y，z)， 则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)， ＝(x－1，y，z)，＝(－1，0，1)， ＝(－1，1，0)， ＝(0，－1，1). ∵DB⊥AC，∴·＝0， ∴－x＋z＝0. ① ∵DC⊥AB，∴·＝0，∴－x＋y＝0. ② ∵AD＝BC，∴||＝||， ∴(x－1)2＋y2＋z2＝2. ③ 由①②③，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－. 7.(5分)已知直线a，b的方向向量分别为m＝(4，k，k－1)和n＝，若a∥b，则k＝　　　　　　　.  答案　－2 解析　①当k＝0时，m＝(4，0，－1)，n＝，此时a与b不平行. ②当k≠0时，由. 解得k＝－2. 8.(5分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为　　　　　　.  答案　 解析　如图所示，以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0，1，0)，M，A(1，0，0)，N. 故，， 所以|cos〈，〉|＝＝. 所以BM与AN所成角的余弦值为. 9.(10分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 证明　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M， N(0，2，2)，R(3，2，0)， S. 则，分别为直线MN，RS的方向向量， 所以，， 所以，所以∥， 因为M∉RS， 所以MN∥RS. 方法二　设＝a，＝b，＝c， 则c－a＋b， b－a＋c. 所以，所以∥. 又R∉MN，所以MN∥RS. 10.(10分)如图所示，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE. (1)求证：DE是异面直线OA与BC的公垂线段；(5分) (2)求异面直线OA与BC间的距离.(5分) (1)证明　∵E为BC的中点， ∴)，由题意知DB⊥OA， 得·＝0. 同理可得·＝0. ∴·)· ＝··＝0， ∴⊥，即DE⊥OA. 同理可证DE⊥BC. ∴DE是异面直线OA与BC的公垂线段. (2)解　∵， ∴||2＝ ＝＋2·－2·－2·) ＝×(12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°)＝， ∴||＝，即异面直线OA与BC间的距离为. 11.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AB1垂直的直线有(　　) A.A1C B.BD1 C.AD1 D.CD1 答案　ABD 解析　如图所示，以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，令正方体棱长为1， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)， C(1，1，0)，A1(0，0，1)， B1(1，0，1)，D1(0，1，1)， ∴＝(1，0，1)，＝(1，1，－1)，＝(－1，1，1)，＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)， ∵·＝0，·＝0， ·＝1≠0，·＝0， ∴AB1⊥A1C，AB1⊥BD1，AB1⊥CD1. 12.(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是(　　) A.()2＝2 B.·()＝0 C.向量与的夹角是60° D.BD1与AC所成角的余弦值为 答案　AB 解析　因为以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1，则···＝1×1×cos 60°＝， ()2＝＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋3×2×＝6， 而2＝2()2＝2(＋2·)＝2＝2×3＝6，所以A正确； ·()＝()·()＝····＝0，所以B正确； 连接A1D(图略)，向量， 显然△AA1D为等边三角形， 则∠AA1D＝60°， 所以向量与的夹角是120°，即向量与的夹角是120°，所以C不正确； 又，， 则||＝， ||＝， ·＝()·()＝1， 所以cos〈，〉＝，所以D不正确. 13.(5分)在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，设异面直线AD与BE所成的角为θ，且cos θ＝，则该四面体的体积为　　　　.  答案　 解析　以B为原点，BC，BA，BD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设BD＝a(a>0)，则B(0，0，0)， A(0，1，0)，E，D(0，0，a)， ∴＝(0，－1，a)，， ∴cos θ＝ ＝， ∴a＝2(负值舍去)， ∴该四面体的体积为××1×1×2＝. 14.(5分)如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝AB＝BC＝1，则异面直线SB与AC之间的距离为　　　　. 答案　 解析　构造如图所示的正方体，取AB的中点O，连接OD交AC于点E，连接OM交SB于点F， 由平面几何知识可知， OF＝OM，OE＝OD， 所以EF∥DM. 又因为AC⊥BD，AC⊥BM， 所以AC⊥平面BDM，AC⊥DM， 因为EF∥DM，所以AC⊥EF. 同理可证SB⊥DM，所以SB⊥EF， 所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段， 所以EF＝DM＝. 15.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，P为空间中一点.若＝λ(λ∈[0，1])，则异面直线BP和C1D所成角的大小不可能是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，以AB，AD，AA1所以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C1(2，2，2)，D(0，2，0)，D1(0，2，2)，＝(0，2，2)， 又＝λ，故P(0，2λ，2λ)，＝(－2，2λ，2λ)，＝(－2，0，－2)， 设直线BP和C1D所成的角为θ，θ∈， cos θ＝|cos〈，〉|＝ ＝， 当λ＝1时，cos θ＝0，故θ＝； 当λ≠1时，设1－λ＝t，则t∈(0，1]，故cos θ＝， 函数y＝6在(0，1]上单调递减，故ymin＝2，又当t趋于0时，y趋于＋∞， 所以0<cos θ≤，则θ∈. 综上所述，θ的取值范围是， 故异面直线BP和C1D所成角的大小不可能是. 16.(10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1. (1)证明：PC⊥AD；(4分) (2)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.(6分) (1)证明　以A点为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，依题意A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B，P(0，0，2). 则＝(0，1，－2)，＝(2，0，0)， 于是·＝0， ∴PC⊥AD. (2)解　设点E的坐标为(0，0，h)，h∈(0，2]， 由此得， 由＝(2，－1，0)， 故cos〈，〉＝ ＝， ∴＝cos 30°＝， 解得h＝，即AE＝. 学科网（北京）股份有限公司 $