广东省广州市荔湾区真光中学2025-2026学年九年级上册第一次月考数学模拟试卷

广东省广州市荔湾区真光中学2025-2026学年九年级上学期 第一次月考数学模拟试卷学 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.下列二次函数图象开口方向向下的是(    ) A. B. C. D. 3.关于函数的图象与性质说法正确的是(    ) A. 顶点坐标在第二象限 B. 图象关于轴对称 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数值的最小值为 4.抛物线过，，三点，，，大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.解一元二次方程，配方后正确的是(    ) A. B. C. D. 6.抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 7.关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8.若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则的值是(    ) A. B. C. D. 9.光伏发电是世界新能源重要产业之一，中国光伏发电产业占据全球的产能据统计，从年到年，山西省光伏发电并网容量累计达万千瓦，其中年光伏发电并网容量为万千瓦若设从年到年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 10.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：；；；若关于的一元二次方程有整数根，则的值有个其中正确的结论为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知函数，若是的二次函数，则的取值范围是      ． 12.若关于的一元二次方程有一个根为，则      ． 13.已知二次函数的表达式为则该二次函数的对称轴为      ． 14.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是      ． 15.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为          ． 16.月日晚时，南昌以天空为幕，以烟花为笔，举办了一场盛大的“风景这边独好”南昌市国庆烟花晚会，热烈庆祝伟大祖国岁生日其中，一种新型礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.用合适的方法解一元二次方程． ； ； ． 18.本小题分 如图，已知二次函数的图象分别经过点，． 求该函数的解析式． 利用图象直接写出，当取什么值时，函数值大于：______． 19.本小题分已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； 如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 20.本小题分已知二次函数． 补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； 根据图象回答：当时，的取值范围是______； 设，，过点与轴垂直的直线与抛物线交于点，其中，与直线交于点，若，直接写出的取值范围______． 21.本小题分某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量件与每件售价元满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 日销售量件 (1) 求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围． 该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 22.本小题分 如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． 在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离与竖直高度的几组数据如表： 水平距离 竖直高度 根据上述数据，求关于的函数表达式． 在的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息：记运动员甲起跳后达到最高点时距水面的高度为，从到达最高点开始计，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 23.本小题分 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，四边形为平行四边形． 直接写出，，三点的坐标； (2) 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式． (3) 24.本小题分 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整： 函数的自变量的取值范围是_______． 如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；    对于上面的函数，下列四个结论： 函数图象关于轴对称； 函数既有最大值，也有最小值； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 函数图象与轴有个公共点． 所有正确结论的序号是_____． 结合函数图象，解决问题：若关于的方程有个不相等的实数根，则的取值范围是____． 25.本小题分 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． 求，两点的坐标． 求该二次函数的解析式． 若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市荔湾区真光中学2025-2026学年九年级上学期 第一次月考数学模拟试卷学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：、是一元二次方程，符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、最高次数是，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为，系数不为的整式方程即可求解． 本题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为，系数不为的整式方程． 2.下列二次函数图象开口方向向下的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据二次函数的图象和性质逐项分析判断如下： A.该选项，二次函数图象开口方向向上，不符合题意； B.该选项，二次函数图象开口方向向上，不符合题意； C.该选项，二次函数图象开口方向向上，不符合题意； D.该选项，二次函数图象开口方向向下，符合题意； 故选：． 利用二次函数的图象和性质，二次项系数小于，开口方向向下，逐项进行判断即可． 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 3.关于函数的图象与性质说法正确的是(    ) A. 顶点坐标在第二象限 B. 图象关于轴对称 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数值的最小值为 【答案】C  【解析】解：由题意，， 其顶点为，且在第一象限；对称轴为直线，故A、B错误； ， 抛物线的开口向下，当时，取最大值为，且当时，随增大而增大，故C正确、D错误． 故选：． 依据题意，利用抛物线的顶点式的性质直接判断每个选项即可． 本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 4.抛物线过，，三点，，，大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，， 抛物线的对称轴为直线，开口向下， 离对称轴越远的点，函数值越小． 又，，， ， ． 故选：． 利用二次函数的性质，可得出“离对称轴越远的点，函数值越小”，结合各点到对称轴的距离，即可得出结论． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，牢记“当时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键． 5.解一元二次方程，配方后正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意，， 移项得，， ，即． 故选：． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 6.抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：抛物线向左平移个单位得到抛物线的解析式：， 再向上平移个单位得到解析式为：． 故选：． 按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，掌握左加右减，上加下减是关键． 7.关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A  【解析】解：， ，，， ， 有两个不相等的实数根． 故选：． 先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况． 本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 8.若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：两个不相等的实数根为，， ，． ， 故选：． 利用一元二次方程根与系数的关系，先求出根的和与积，再代入所求表达式计算即可． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 9.光伏发电是世界新能源重要产业之一，中国光伏发电产业占据全球的产能据统计，从年到年，山西省光伏发电并网容量累计达万千瓦，其中年光伏发电并网容量为万千瓦若设从年到年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设从年到年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为， 根据题意可得方程：， 故选：． 从年到年，山西省光伏发电并网容量累计达万千瓦，年光伏发电并网容量为万千瓦，设从年到年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，由此列式即可求解． 本题考查了一元二次方程与增长率的运用，理解数量关系正确列式是关键． 10.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：；；；若关于的一元二次方程有整数根，则的值有个其中正确的结论为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：抛物线开口向下， ； 抛物线的对称轴为直线， ，， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，故正确； 当时，， 时，抛物线在轴上方， ， 将代入得，故正确； ， 当  时，，即 ； 当 时，抛物线在最低点顶点，且，故，即 ． ，故错误； 方程 的根是抛物线与直线的交点横坐标． 抛物线对称轴为， 抛物线与轴的交点范围，可能的整数横坐标为 ，，， 情况：当交点为和时，满足； 情况：当交点为，此时直线经过抛物线的顶点，满足； 若关于的一元二次方程有整数根，则的值有个，故正确． 故选：． 由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知函数，若是的二次函数，则的取值范围是      ． 【答案】  【解析】解：若是的二次函数， 则， 解得， 故答案为：． 根据函数是二次函数，得求解即可． 本题主要考查了二次函数的定义，利用是二次函数得出关于的不等式是解题关键． 12.若关于的一元二次方程有一个根为，则      ． 【答案】  【解析】解：由条件可知， 解得； 故答案为：． 把根代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可求出答案． 此题考查了一元二次方程的根，熟练掌握该知识点是关键． 13.已知二次函数的表达式为则该二次函数的对称轴为      ． 【答案】  【解析】解：， 对称轴为． 故答案为：． 直接利用对称轴公式求即可． 本题考查了二次函数的性质，记住对称轴公式是解题的关键． 14.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是      ． 【答案】且  【解析】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得，且， 故答案为：且． 根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可． 本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 15.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为          ． 【答案】  【解析】解：， 解得，， 当等腰三角形的三边是，，时，，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边是，，时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是． 故答案是：． 16.月日晚时，南昌以天空为幕，以烟花为笔，举办了一场盛大的“风景这边独好”南昌市国庆烟花晚会，热烈庆祝伟大祖国岁生日其中，一种新型礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为______． 【答案】  【解析】解：， ， ， 当时，取得最大值，此时引爆， 从点火升空到引爆需要时间为． 故答案为：． 将二次函数的解析式变形为顶点式，结合二次函数的性质，即可得出从点火升空到引爆需要时间为． 本题考查了二次函数的应用，利用配方法，将二次函数解析式变形为顶点式是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 17.用合适的方法解一元二次方程． ； ； ． 【答案】解：， ， ， ，或， ，； ， 这里，，， ， ， ，； ， ， ， ，．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 如图，已知二次函数的图象分别经过点，． 求该函数的解析式． 利用图象直接写出，当取什么值时，函数值大于：______． 【答案】；   或  【解析】由题意可知， 函数的解析式； 由图象可得当或时，， 故答案为：或． 利用交点式即可得解； 根据图象直接可得解． 本题主要考查了二次函数与轴交点问题、利用二次函数图象解不等式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； 如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】证明过程见解答；   或  【解析】证明：在关于的一元二次方程中 ， ， ， 即， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； 解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：，． 答：的值为或． 利用根的判别式，可得出，由，可得出，即，进而可证出：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； 利用根与系数的关系，可得出，，结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；根据根与系数的关系及，找出关于的一元二次方程． 20.本小题分 已知二次函数． 补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； 根据图象回答：当时，的取值范围是______； 设，，过点与轴垂直的直线与抛物线交于点，其中，与直线交于点，若，直接写出的取值范围______． 【答案】，，；   ；     【解析】， 时，；时，，时，， 描点、连线、绘制函数图象如下： 故答案为：，，； 当时，的取值范围是， 故答案为：； 如上图：当直线在点和之间时满足， ， 故答案为：． 将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可； 图象法进行求解即可； 图象法进行求解即可． 本题考查二次函数的图象和性质，正确画出函数图象是解题的关键． 21.本小题分 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量件与每件售价元满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 日销售量件 求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围． 该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 【答案】；   该商品日销售额不能达到元． 理由：令， 则该方程无解， 故该商品日销售额不能达到元  【解析】设与之间的函数关系式为， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是； 该商品日销售额不能达到元． 理由：令， 则该方程无解， 故该商品日销售额不能达到元． 先设出与之间的函数关系式，然后根据表格中的数据即可求得与之间的函数关系式； 根据题意和中的结果，可以得到方程，然后求解即可． 本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式． 22.本小题分 如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． 在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离与竖直高度的几组数据如表： 水平距离 竖直高度 根据上述数据，求关于的函数表达式． 在的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息：记运动员甲起跳后达到最高点时距水面的高度为，从到达最高点开始计，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 【答案】；   运动员甲不能成功完成此动作  【解析】由表格可知，图象过点，，， ， 设函数表达式为， ， 解得， 关于的函数表达式为； ， ， ， ， 当时，， ， 即运动员甲在水面上无法完成此动作， 运动员甲不能成功完成此动作． 待定系数法求出解析式，即可； 先求出，再求出时的值，进行判断即可． 本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． 23.本小题分 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，四边形为平行四边形． 直接写出，，三点的坐标； 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)解：，，；  (2)四边形为平行四边形，，， ，，， 设平移后的抛物线为，，解得， 平移后的抛物线为20.   【解析】 略  略 24.本小题分 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整： 函数的自变量的取值范围是_______． 如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；    对于上面的函数，下列四个结论： 函数图象关于轴对称； 函数既有最大值，也有最小值； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 函数图象与轴有个公共点． 所有正确结论的序号是_____． 结合函数图象，解决问题：若关于的方程有个不相等的实数根，则的取值范围是____． 【答案】解：任意实数． 由函数可知，和时的函数图象关于轴对称，函数图象如右图所示；    由图象可得， 函数图象关于轴对称，故正确； 函数有最小值，但没有最大值，故错误； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故正确； 函数图象与轴有个公共点，故错误； 故答案为：； ．   【解析】【分析】 根据函数解析式可以写出的取值范围； 根据函数图象的特点，可以得到该函数关于轴对称，从而可以画出函数的完整图象； 根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立； 根据函数图象，可以写出关于的方程有个不相等的实数根时，的取值范围． 解：由图象可得， 函数图象关于轴对称，故正确； 函数有最小值，但没有最大值，故错误； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故正确； 函数图象与轴有个公共点，故错误 【点睛】 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 25.本小题分 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． 求，两点的坐标． 求该二次函数的解析式． 若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】解：对直线，当时，，时，， ，． 设二次函数为， 二次函数图象经过，， ， 把点代入得： ， 解得：， ． 二次函数图象经过，， 对称轴为， ， ， ， 如图，当时， ， ，， 如图，当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形．  【解析】令直线的，，求出对应的和的值，得到点、的坐标； 用待定系数法设二次函数解析式，代入点、、的坐标求出解析式； 利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点的坐标． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，本题求二次函数的解析式可以用一般式或者交点式结合待定系数法求解，求点的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到点，注意这里只要用“两圆”即可． 第2页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $