第3章 空间向量与立体几何（复习讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册

第3章 空间向量与立体几何（复习讲义） 1.掌握空间直角坐标系的相关知识，能确定空间中点的坐标，会运用空间两点间的距离公式计算两点间距离. 2.理解空间向量的概念，掌握从平面向量到空间向量的推广，熟练进行空间向量的线性运算、数量积运算等，能利用空间向量的运算解决一些简单问题. 3.掌握空间向量基本定理，理解空间向量运算的坐标表示，能运用坐标表示进行空间向量的运算及相关应用. 4.学会用向量方法解决立体几何中的问题，包括求平面的法向量，判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，计算空间中的角度（如线线角、线面角、面面角）和距离等度量关系. 5.通过从平面向量到空间向量的推广，体会类比的思想方法，培养学生的知识迁移能力和空间想象能力. 在运用空间向量解决立体几何问题的过程中，体会向量方法的优越性，培养学生运用数学工具解决几何问题的能力，提高学生的逻辑推理能力和运算能力. ●一、空间直角坐标系 1、点在空间直角坐标系中的坐标： 空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面． (2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向． (3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 2、空间两点间的距离 空间两点间的距离公式 设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝. ●二、空间向量与向量运算 1、从平面向量到空间向量： (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．与向量起点无关的向量，称为自由向量. （2）空间向量表示方法 ①有向线段． ②单个小写字母（粗体），书写加箭头 (3)几种常用特殊向量 ①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量．规定零向量与任意向量平行. ③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量． ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 2、 空间向量的运算 （1）空间向量的加减法. ①三角形法则 ②运算律：交换律a+b=b+a；结合律（a+b）+c=a+（b+c） （2）空间向量的数乘运算 ①|λa|＝|λ||a|; ②λ>0时，λa的方向与a的方向相同；λ<0时，λa的方向与a的方向相反；λ＝0时，λa＝0. ③向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ、μ为实数，则 (1)λ(μa)＝(λμ)a　； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa　； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb　(分配律)． ④共线向量基本定理（一维向量基本定理） 空间两个向量a(a≠0)，b共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使b＝λa （3）空间向量的数量积 ①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，〈a，b〉=〈b，a〉； 当〈a，b〉=0时，向量a，b方向相同； 当〈a，b〉=π时，向量a，b方向相反； 若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；零向量与任意向量垂直. ②两个向量的数量积： （i）定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (ii)结论： （iii）空间向量数量积的运算律 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； 交换律：a·b＝b·a； 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. ③投影向量与投影数量 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1称向量1为向量b在向量a方向上的投影向量，起长度等于||b|vos〈a，b〉|. 称|b|vos〈a，b〉为投影向量1的数量，简称向量b在向量a方向上的投影数量. ●三、空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 1、 空间向量基本定理： 如果向量a、b、c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一向量，那么存在唯一的三元有序实数组（x，y，z），使得.{a，b，c}，叫作空间的一组基，其中a、b、c都叫作基向量； 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基. 2、空间向量运算的坐标表示及应用： （1）空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)； ②a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) ③a＝(a1，a2，a3) ④a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 （2）空间向量平行（共线）和垂直的条件 已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) ②垂直a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 （3） 空间向量长度与夹角的坐标表示 ①|a|＝，设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝ ②cos〈a，b〉＝ ●四、向量在立体几何中的应用 1、直线的方向向量与平面的法向量： (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 2、用向量方法研究立体几何中的位置关系： （1）空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2⇔u1＝λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2＝0 直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α或lα u⊥n⇔u·n＝0 l⊥α u∥n⇔u＝λn 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β或α与β重合 n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 （2）平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. （3）三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直. （4）三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. 3、 用向量方法研究立体几何中的度量关系： （1）空间中的角 ①两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. ②直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. ③两个平面所成的角 (i)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角. (ii)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. （2）空间中的距离问题 ①点到平面的距离点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝＝. ②点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 题型一 空间直角坐标系内点的坐标 【例1】（2025高二·全国·专题练习）从点沿向量的方向取线段，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课前预习）若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．9 题型二 空间两点间距离的应用 【例2】（2025高二·全国·专题练习）已知点关于轴的对称点为，一束光线自点出发，被平面反射后到达点被吸收，那么光所走的路程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知空间三点，则的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【变式2-2】（24-25高二下·甘肃甘南·期中）在中，已知，则边上的中线的长是 . 题型三 空间向量的概念 【例3】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·全国·课后作业）给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型四 空间向量的加减法与数乘运算 【例4】（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【变式4-1】（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 题型五 空间向量共线的判断 【例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 题型六 根据空间向量共线求参数 【例6】（25-26高二上·全国·单元测试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 【变式6-1】（25-26高二上·山东潍坊·阶段练习）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025高二·全国·专题练习）已知点和点，则靠近点的三等分点的坐标为 ． 题型七 空间向量数量积的计算 【例7】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知正方体，空间中一点P满足，且，当取最小值时，点P位置记为点Q，则数量积的不同取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-1】（25-26高二上·福建泉州·开学考试）在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 【变式7-2】（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型八 空间向量数量积的应用 【例8】（25-26高二上·全国·课后作业）在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 【变式8-1】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则体对角线的长度是 ．    题型九 空间向量的投影向量 【例9】（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求在方向上的投影向量. 【变式9-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 题型十 空间向量的垂直问题 【例10】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知向量，，并且，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若，，则与向量垂直的单位向量的坐标是 （写出一个即可）． 题型十一 空间向量基本定理及其应用 【例11】．（2025高二·全国·专题练习）已知四棱锥的底面为平行四边形，为的中点，，若平面与棱相交于点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式11-1】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ． 题型十二 空间位置关系的向量证明 【例12】（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，．求证：    (1)平面； (2)平面． 【变式12-1】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式12-2】（22-23高二上·广东广州·阶段练习）如图，在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点． (1)求证： 平面； (2)证明：EF与平面不垂直． 题型十三 根据空间位置关系求参数 【例13】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 题型十四 两条直线所成角的问题 【例14】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，分别为，的中点，点在上，且．    (1)求异面直线，所成角的余弦值； (2)求线段的长度． 【变式14-1】（多选）（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【变式14-2】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为 . 题型十五 直线与平面所成角的问题 【例15】（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 【变式15-1】（23-24高二上·四川广安·阶段练习）如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起.使点到达点的位置，且. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【变式15-2】（25-26高二上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足. (1)证明：； (2)若，求的值； (3)若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围. 题型十六 两个平面所成角的问题 【例16】（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【变式16-1】（2021·四川宜宾·二模）已知四边形是直角梯形，，，， ，E，F分别为CD，BC的中点（如图1），以AE为折痕把折起，使点D到达点S的位置且平面平面（如图2）．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【变式16-2】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． (1)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值 (2)当二面角的余弦值为时，求． 题型十七 点到平面的距离问题 【例17】（23-24高二上·四川广安·阶段练习）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求点到面的距离； (2)求点到面的距离． 【变式17-1】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【变式17-2】（17-18高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 题型十八 点到直线的距离问题 【例18】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【变式18-1】（25-26高三上·湖南怀化·开学考试），，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 【变式18-2】（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 基础巩固通关测 1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知空间向量，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（24-25高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，在长方体中，是的中点.则向量在平面上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京房山·期末）已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（    ） A． B． C． D．直线与平面不相交 4．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·福建龙岩·期中）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间中任意两个向量一定共面 B．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C．若空间向量，，则与的夹角为钝角 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．（多选）（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知在三棱台中，平面，，，．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（    ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离为 11．（2025高二·全国·专题练习）设动点在棱长为的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围为 ． 12．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 能力提升进阶练 13．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 14．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 15．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点    (1)求与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离． 16．（24-25高二下·贵州黔南·期末）如图，在长方体中，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（24-25高二下·云南曲靖·期末）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 18．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点． (1)若，求证：直线平面PAB； (2)求二面角的余弦值． 19．（23-24高二上·四川遂宁·期中）如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点 (1)求证：，，为共面向量； (2)求与平面所成角的正弦值. 20．（2025高二下·湖南·学业考试）如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 空间向量与立体几何（复习讲义） 1.掌握空间直角坐标系的相关知识，能确定空间中点的坐标，会运用空间两点间的距离公式计算两点间距离. 2.理解空间向量的概念，掌握从平面向量到空间向量的推广，熟练进行空间向量的线性运算、数量积运算等，能利用空间向量的运算解决一些简单问题. 3.掌握空间向量基本定理，理解空间向量运算的坐标表示，能运用坐标表示进行空间向量的运算及相关应用. 4.学会用向量方法解决立体几何中的问题，包括求平面的法向量，判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，计算空间中的角度（如线线角、线面角、面面角）和距离等度量关系. 5.通过从平面向量到空间向量的推广，体会类比的思想方法，培养学生的知识迁移能力和空间想象能力. 在运用空间向量解决立体几何问题的过程中，体会向量方法的优越性，培养学生运用数学工具解决几何问题的能力，提高学生的逻辑推理能力和运算能力. ●一、空间直角坐标系 1、点在空间直角坐标系中的坐标： 空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面． (2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向． (3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 2、空间两点间的距离 空间两点间的距离公式 设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝. ●二、空间向量与向量运算 1、从平面向量到空间向量： (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．与向量起点无关的向量，称为自由向量. （2）空间向量表示方法 ①有向线段． ②单个小写字母（粗体），书写加箭头 (3)几种常用特殊向量 ①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量．规定零向量与任意向量平行. ③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量． ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 2、 空间向量的运算 （1）空间向量的加减法. ①三角形法则 ②运算律：交换律a+b=b+a；结合律（a+b）+c=a+（b+c） （2）空间向量的数乘运算 ①|λa|＝|λ||a|; ②λ>0时，λa的方向与a的方向相同；λ<0时，λa的方向与a的方向相反；λ＝0时，λa＝0. ③向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ、μ为实数，则 (1)λ(μa)＝(λμ)a　； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa　； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb　(分配律)． ④共线向量基本定理（一维向量基本定理） 空间两个向量a(a≠0)，b共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使b＝λa （3）空间向量的数量积 ①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，〈a，b〉=〈b，a〉； 当〈a，b〉=0时，向量a，b方向相同； 当〈a，b〉=π时，向量a，b方向相反； 若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；零向量与任意向量垂直. ②两个向量的数量积： （i）定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (ii)结论： （iii）空间向量数量积的运算律 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； 交换律：a·b＝b·a； 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. ③投影向量与投影数量 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1称向量1为向量b在向量a方向上的投影向量，起长度等于||b|vos〈a，b〉|. 称|b|vos〈a，b〉为投影向量1的数量，简称向量b在向量a方向上的投影数量. ●三、空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 1、 空间向量基本定理： 如果向量a、b、c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一向量，那么存在唯一的三元有序实数组（x，y，z），使得.{a，b，c}，叫作空间的一组基，其中a、b、c都叫作基向量； 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基. 2、空间向量运算的坐标表示及应用： （1）空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)； ②a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) ③a＝(a1，a2，a3) ④a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 （2）空间向量平行（共线）和垂直的条件 已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) ②垂直a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 （3） 空间向量长度与夹角的坐标表示 ①|a|＝，设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝ ②cos〈a，b〉＝ ●四、向量在立体几何中的应用 1、直线的方向向量与平面的法向量： (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 2、用向量方法研究立体几何中的位置关系： （1）空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2⇔u1＝λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2＝0 直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α或lα u⊥n⇔u·n＝0 l⊥α u∥n⇔u＝λn 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β或α与β重合 n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 （2）平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. （3）三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直. （4）三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. 3、 用向量方法研究立体几何中的度量关系： （1）空间中的角 ①两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. ②直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. ③两个平面所成的角 (i)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角. (ii)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. （2）空间中的距离问题 ①点到平面的距离点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝＝. ②点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 题型一 空间直角坐标系内点的坐标 【例1】（2025高二·全国·专题练习）从点沿向量的方向取线段，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由模长关系可知，再根据坐标运算求解即可. 【详解】设点，又， 则， 所以， 所以点的坐标为， 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C 【变式1-2】（25-26高二上·全国·课前预习）若点关于平面和x轴对称的点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【分析】确定点关于平面以及关于x轴对称的点的坐标，即可求得答案. 【详解】由题意得点关于平面对称的点为，关于x轴对称的点为， 则，，所以． 故选：C 题型二 空间两点间距离的应用 【例2】（2025高二·全国·专题练习）已知点关于轴的对称点为，一束光线自点出发，被平面反射后到达点被吸收，那么光所走的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于平面的对称点为，然后求出的距离即可. 【详解】点关于平面的对称点为， 由题可知点的坐标为，， 则光所走的路程为． 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知空间三点，则的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据空间两点间距离公式得出的三边长；再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】由空间三点可得： ； ； ， 所以是等边三角形， 所以的面积为. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二下·甘肃甘南·期中）在中，已知，则边上的中线的长是 . 【答案】 【分析】由中点坐标公式和两点间距离公式计算即可. 【详解】边上的中点坐标为， 所以边上的中线的长是. 故答案为：. 题型三 空间向量的概念 【例3】（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 【变式3-1】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二下·全国·课后作业）给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相等向量的定义易判断①为假命题；对于②借助于正方体图形推理易得；对于③由空间向量的相等定义易得. 【详解】对于①，向量相等即模相等和方向相同，故①为假命题； 对于②，如图正方体中，且则得, 故有，,且方向一致，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义可知成立，故③为真命题． 故选：B． 题型四 空间向量的加减法与数乘运算 【例4】（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 【变式4-2】（25-26高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案. 【详解】延长交边于点，则， 则有，， 故．    故答案为：. 题型五 空间向量共线的判断 【例5】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 【变式5-2】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 题型六 根据空间向量共线求参数 【例6】（25-26高二上·全国·单元测试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 【答案】0 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 【变式6-1】（25-26高二上·山东潍坊·阶段练习）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量平行可得出关于，的等式，解出，的值，由此可得出的值. 【详解】已知向量，，且，所以， 则有，解得，，所以. 故选：B. 【变式6-2】（2025高二·全国·专题练习）已知点和点，则靠近点的三等分点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，利用向量相等求解即可. 【详解】设，由题可得， 所以可得， 则，解得：， 故点的坐标为． 故答案为： 题型七 空间向量数量积的计算 【例7】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知正方体，空间中一点P满足，且，当取最小值时，点P位置记为点Q，则数量积的不同取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意可得点P在平面内，且当平面时，取最小值，即平面，求出Q的坐标，再分别计算出的值，进而即可得答案． 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 设正方体的棱长为2， 则，，，，，，，． 因为，且， 所以点P在平面内． 又因为三棱锥为正三棱锥， 当平面时，取最小值，此时点P位置记为点Q， 所以Q为的重心，则， （在中，G为的重心，若，，，则G的坐标为）， 故． 又，，，，，，， 所以，，，，，，， 所以共3个不同的取值． 故选：A． 【变式7-1】（25-26高二上·福建泉州·开学考试）在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B 【变式7-2】（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算可得，结合八面体的特性计算数量积即可. 【详解】由正八面体的性质可得，，则， ． 故选：D. 题型八 空间向量数量积的应用 【例8】（25-26高二上·全国·课后作业）在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用，以及两个向量的数量积的定义可得的值，即可得出结果． 【详解】由题意 ， 又，即，得， 所以． 故选：D． 【变式8-1】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以，故．故D错误. 故选：ABC 【变式8-2】（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则体对角线的长度是 ．    【答案】 【分析】利用向量运算表示出,求出模长即可. 【详解】由题意, 因为以顶点为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是， 所以, 所以， 即. 故答案为： 题型九 空间向量的投影向量 【例9】（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求在方向上的投影向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量夹角余弦公式进行求解，得到答案； （2）利用求解即可. 【详解】（1）已知向量 则， ， 所以 （2）由（1）知则，， 所以在方向上的投影向量为 . 【变式9-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量在向量上的投影向量，再分和两种情况、利用基本不等式即可求解. 【详解】由已知得，则向量在向量上的投影向量为： ， 所以， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式9-2】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 题型十 空间向量的垂直问题 【例10】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 【变式10-1】（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知向量，，并且，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量垂直的坐标公式即可得出答案. 【详解】由可得. 故选：C 【变式10-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若，，则与向量垂直的单位向量的坐标是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设向量与垂直，应用向量垂直的坐标表示得到一个，再求出对应的一个单位向量. 【详解】设向量与垂直，则，即， 取，得，，从而， 所以与共线的单位向量的坐标为或． 故答案为：（答案不唯一） 题型十一 空间向量基本定理及其应用 【例11】．（2025高二·全国·专题练习）已知四棱锥的底面为平行四边形，为的中点，，若平面与棱相交于点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据，结合空间向量的基本定理与性质求解即可. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以，相互平分于点， 可得，又为的中点，， 则． 又因为，，，四点共面，所以，即.    故选：B． 【变式11-1】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设在基底下的坐标为，则，即得，解出即可. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 在下的坐标为， ， 由得， ，即在下的坐标为． 故选：B． 【变式11-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由空间向量共面的推论可得，再应用空间向量夹角的坐标公式求夹角余弦值. 【详解】因为四点共面，， 所以，则， 所以，，则，， 所以，，， 所以. 故答案为： 题型十二 空间位置关系的向量证明 【例12】（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设与交于点．连接，则可证明四边形为平行四边形，于是，故而平面； （2）以为原点建立空间坐标系，求出，，的坐标，通过计算，得出，，故而平面． 【详解】（1）设与交于点，连接，如图所示．    因为，且，， 即， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为正方形和四边形所在的平面互相垂直，两平面的交线为，且，所以平面． 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．    则，，，，． 所以，，． 所以，， 所以，， 即，． 又，且平面，平面， 所以平面． 【变式12-1】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 【变式12-2】（22-23高二上·广东广州·阶段练习）如图，在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点． (1)求证： 平面； (2)证明：EF与平面不垂直． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连结，连结，先利用平行四边形证得，再利用线面平行的判定定理得到平面； （2）建立坐标系求出点的坐标，表示出，因为，所以不垂直，则EF与平面不垂直． 【详解】（1）如图，连结，连结， 因为在正方体中，面是正方形，所以， 是的中点，又因为是的中点，所以且， 因为是的中点，所以，又，所以， 所以四边形是平行四边形，故， 又面，面，所以平面； （2）建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图： 则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0， ，分别为，的中点， ，1，，，1，，所以 ，而，故不垂直， 则EF与平面不垂直． 题型十三 根据空间位置关系求参数 【例13】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得. 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由平面，可得， 解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证， 所以平面即为平面， 易知当为的中点时，，平面，平面， 从而平面，所以. 故选：C. 【变式13-1】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行得出，从而即可求解 【详解】若，则，从而， 即，解之得：. 故选：A 【变式13-2】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】由已知可得，即，计算即可得出结果. 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面，所以， 所以，解得. 故选：B. 题型十四 两条直线所成角的问题 【例14】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，分别为，的中点，点在上，且．    (1)求异面直线，所成角的余弦值； (2)求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】通过建立合适的空间坐标系，设好相关点的坐标，利用向量法来求解异面直线所成角的余弦值以及线段的长度. 【详解】（1）如图：以为原点，分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，    得，，， 因此，， 从而，设，所成的角为， 则． （2）设点，， 由，得， 即，， 所以． 【变式14-1】（多选）（25-26高二上·广东深圳·阶段练习）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果即可. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为1 ，且彼此夹角都是， 所以，. 对于A，因为， 所以， ，故A正确； 对于B，因为, 且, 即不成立，故B错误； 对于C，，所以， 所以, 所以向量与夹角是，故C正确； 对于D，， ， 而， ， ，故D错误. 故选：AC 【变式14-2】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线夹角的向量公式即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，，，， 平面，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，    可知，，， ，， ，则，设，且，则， 可知，， ，，异面直线与所成的角的余弦值为，，解得或（舍去），. 故答案为： 题型十五 直线与平面所成角的问题 【例15】（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接辅助线，利用中位线定理可得，根据线面平行判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，平面的法向量坐标，根据直线与平面所成角的向量公式求解线面角的正弦值即可. 【详解】（1）如图，连接与相交于点，连接， 正方形的对角线和交于点， 又，， 又平面，平面，平面.    （2）如图，因为平面平面，平面平面，过点在平面内作的垂线，可得垂线垂直于平面， 又因为，则以为坐标原点，向量，方向分别为，轴的正方向，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 又由，，，可得点的坐标为，点的坐标为， 设平面的法向量为，由，， 有，取，，，可得平面的一个法向量为， 又由，有， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 【变式15-1】（23-24高二上·四川广安·阶段练习）如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起.使点到达点的位置，且. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得结论； （2）作，垂足为H，得平面，以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由线面垂直的性质定理得线线垂直，求得图形中的线段长得出点坐标，然后用空间向量法求线面角的正弦值即可． 【详解】（1）由已知可得，，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）作，垂足为H，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设， 因为，平面，所以平面，平面， 所以，又，所以，又， 故.可得， 则，，则， 易知平面的一个法向量为， 所以， 设与平面所成角为，则， 故与平面所成角的正弦值为. 【变式15-2】（25-26高二上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足. (1)证明：； (2)若，求的值； (3)若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得平面，进而根据线面垂直的性质定理得，根据与相似得，利用勾股定理得及，即可求解. （3）建立如图空间直角坐标系，设，，则，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列方程求得，设，由题意在上有零点，利用判别式法求得，即可得解. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. （2）由（1）可知，又，，平面， ∴平面，∵平面，∴， 由（1）可知，在中，，∴. 则与相似，则， 在中，，，∴， ∴.∴. （3）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴， 以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，，∴， 不妨设，，，，∵， ∴即，由知，（*） 于是，，，， 设，则，， 由可得， ∴，，，， 设平面的一个法向量为， 于是，所以， 令，得，，故可取， 因， ∴，结合化简得， 设，， ∵要存在，使与平面所成角为，∴在上有零点. ∵结合（*）知函数图象的对称轴，故， 又， ∴只需满足，解得， ∴AB的取值范围. 题型十六 两个平面所成角的问题 【例16】（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面，再利用面面垂直的判定定理得到答案； （2）建系，设，借助于空间向量表示平面与平面的夹角的余弦值，进而求出，即得答案. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，因为侧面为菱形，，    所以.又因为平面平面， 平面平面， 平面，所以平面. 又因为是的中点，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）连接，因为为等边三角形，则.    所以两两垂直.则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为AB=2，所以. 故， . 设，则， 即.， . 设平面的一个法向量为， 则则，取，则，. 故平面的一个法向量为. 又由（1）可知平面的一个法向量为， 由题意可得，即. 解得.又，所以，线段CF的长为2. 【变式16-1】（2021·四川宜宾·二模）已知四边形是直角梯形，，，， ，E，F分别为CD，BC的中点（如图1），以AE为折痕把折起，使点D到达点S的位置且平面平面（如图2）．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在梯形中证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的判断定理推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）连接，令，由E、F分别为CD、BC的中点，得，    又四边形ABCD是直角梯形，，，，， 则，， 因此，，四边形为正方形， 则，，由平面平面ABCE，平面ABCE， 平面平面，得平面SAE，而平面SAE，则， 又，平面SEF，所以平面SEF. （2）由（1）得直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面SCE的法向量为， 则，取，得， 由平面SEF，得平面SEF一个法向量为， 因此．而二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为.    【变式16-2】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． (1)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值 (2)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据勾股定理得出，，再建系得出法向量，最后应用线面角正弦公式计算求解； （2）先分别求出平面和平面的法向量，再应用二面角余弦公式列式计算求参. 【详解】（1）因为，，，所以，所以， 因为，，所以，则． 可知，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，， 当点为棱的中点时，，，， 设平面的一个法向量， 则即， 即令，解得，，故， 设直线与平面所成角为，则,， 故直线与平面所成角的正弦值为． （2）由（1）可知，， 设，则， 设平面的一个法向量， 则即， 令解得，，故， 设平面的一个法向量为， 由得 令，解得，，故， 所以， 即，整理，得， 解得或舍去． 故． 题型十七 点到平面的距离问题 【例17】（23-24高二上·四川广安·阶段练习）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求点到面的距离； (2)求点到面的距离． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用长方体性质得到平面，再结合题意求出即可. （2）法一先计算关键三角形的面积，再利用等体积法建立方程，求解点面距离即可，法二建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再利用点到平面距离公式计算即可. 【详解】（1）由长方体性质得平面， 因为，为的中点，所以， 则点到面的距离为. （2）法一：设点到面的距离为， 在中，由勾股定理得，， 如图，连接，因为是的中点，所以，， 由勾股定理得， 故，而． ，，． 法二：如图，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，可得， 则点到平面的距离. 【变式17-1】（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量公式求解即可； （2）求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可； （3）利用直线到平面距离的向量公式求解即可； （4）求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，    则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 【变式17-2】（17-18高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得，，再由线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）同（1）可证平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证； （3）向量法求点F到平面ABD的距离，结合（2）结论即可得结果. 【详解】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 题型十八 点到直线的距离问题 【例18】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，证明，从而可得，利用空间点到直线的距离公式求出直线到直线的距离； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解． 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，．    由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． （2）设平面的法向量为， 由（1）可知，，， 则即 令，则，所以． 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 【变式18-1】（25-26高三上·湖南怀化·开学考试），，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，，表示出与，由点E到直线的距离为可计算得到答案 【详解】    如图所示，为的中点， 则， ， 又， ， ， ， 点E到直线DF的距离为． 故选：C 【变式18-2】（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和在上的投影长，利用点到直线公式，即可求出点到直线的距离； (2)先求出平面的法向量，再利用向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）由题可知两两相互垂直， 如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又分别是棱的中点，，得 因为 所以在上的投影长为 所以点到直线的距离为 （2）由知，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 基础巩固通关测 1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知空间向量，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量垂直的数量积性质即可解出的值. 【详解】由，有， 则， 即，解得. 故选：C. 2．（24-25高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，在长方体中，是的中点.则向量在平面上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体的性质，可知在平面上的射影为，即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以向量在平面上的投影向量为， 故选：A. 3．（24-25高二上·北京房山·期末）已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（    ） A． B． C． D．直线与平面不相交 【答案】D 【分析】由方向向量与法向量关系可判断直线与平面关系. 【详解】对于AB，因为，则可能与平面平行，也可能在内，因题目条件不足，故AB选项正误无法判断； 对于C，注意到与不共线，则与不垂直，故C错误； 对于D，由AB分析可知，直线与平面不相交，故D正确. 4．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量平行得出，，再计算模长即可. 【详解】因为，所以，解得，， 则，． 故选:A． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 6．（24-25高二下·福建龙岩·期中）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由线面角的向量公式，求得正弦值，可得答案. 【详解】由题意可知与夹角的正弦值为，且夹角的取值范围为，则夹角为. 故选：B. 7．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 8．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找到平面的垂线BE，则就是直线与面所成的角，再解直角三角形即可. 【详解】如图，设点E为线段的中点，连接. 因为在长方体中，平面， 所以平面，平面，得. 又，且E为线段BC的中点，所以，且平面， 所以平面，故就是直线与面所成的角. 在直角三角形中，，， 所以.故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 9．（多选）（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间中任意两个向量一定共面 B．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C．若空间向量，，则与的夹角为钝角 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ABD 【分析】根据向量的性质可判断A；利用空间向量坐标计算，即可判断C错误；根据空间基底的性质及定义，可判定B和D正确. 【详解】对于选项A，因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合，成为同一个平面的两个向量，故选项A正确， 对于选项B，基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故选项B正确， 对于选项C，，所以，故选项C不正确， 对于选项D，由是空间的一个基底，设，显然不存在实数使得成立， 所以一定不共面，则也是空间的一个基底，故选项D正确， 故选：ABD. 10．（多选）（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知在三棱台中，平面，，，．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（    ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据题意求出点和的坐标即可得的坐标；对于B，求出和的坐标，计算数量积即可判断； 对于C,求出与的坐标，利用夹角公式即可求解；对于D，利用向量求距离的公式即可求出. 【详解】根据题意可得，，，则，故A正确； ，，， 则， 因为，所以，故B正确； ，，则，，设异面直线与所成的角为， 则，故C错误； ，则点到直线的距离为，故D正确． 故选：ABD. 11．（2025高二·全国·专题练习）设动点在棱长为的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，根据空间向量共线求出,由为钝角可得，即，根据数量积的计算可得到结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，． 则，,, 所以， ， ． 因为不共线， 所以为钝角,等价于，即， 从而，得． 故答案为：. 12．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】分别确定题中三个平面的法向量，设直线的方向向量为，求得，利用线面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】由题意可知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 设直线的方向向量为，则， 故，即，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 故答案为： 能力提升进阶练 13．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量夹角的坐标公式即可得解； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【详解】（1）因为，， 则，，， 所以. （2）由题意可得：， 因为，且， 设，即， 则，解得. 14．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据，再平方求解可得答案. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）依题意，得，， 所以， ， 所以. 15．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点    (1)求与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，标注相关点坐标，求出对应的一个方向向量，应用向量法求异面直线的夹角； （2）根据（1），求出、平面对应的一个方向向量、法向量，应用向量法求点面距. 【详解】（1）如图建系，，，，，，    则，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为，则，令，则， 点到平面的距离. 16．（24-25高二下·贵州黔南·期末）如图，在长方体中，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）由（1）得是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，代入计算即可. 【详解】（1）如图，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， ，，. 因为，， 所以，. 因为，平面，， 所以平面. （2）由（1）得是平面的一个法向量，. 设直线与平面所成的角为， 则， 故， 则直线与平面所成角的正弦值为. 17．（24-25高二下·云南曲靖·期末）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面即可； （2）取的中点，连接，以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量公式即可求解． 【详解】（1）连接与交于点， 在菱形中，， 底面平面， 平面，， 平面， 平面； （2）取的中点，连接， 为中点，中，， 底面底面， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设， ，即，由此可求， 设平面，平面的法向量分别为， ， ∴即取； 同理，即，取； 设二面角的平面角为，则， 二面角为锐二面角，二面角的余弦值为． 18．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点． (1)若，求证：直线平面PAB； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明 （2）建系，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）取PA的点Q，满足，连接MQ，QB， 因为，所以且， 又因为，且，点N为BC中点，即，且， 所以且，则四边形MQBN为平行四边形， 则，平面PAB，平面PAB， 所以直线平面PAB． （2）如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 又N为BC的中点，则， 所以，，，， 设平面CPD的法向量为， 则，令，则， 设平面CPN的法向量为， 则，令，则， 所以， 由题意可得：二面角的平面为钝角，故其余弦值为． 19．（23-24高二上·四川遂宁·期中）如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点 (1)求证：，，为共面向量； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理表达出，得到，，为共面向量； （2）证明出线面垂直，得到平面的法向量为，求出，并求出，，利用线面角的正弦求解公式求出答案. 【详解】（1）因为M，N，P分别是，，的中点， 故， 所以，，为共面向量； （2）四面体的每条棱长都相等，设为2， 连接，因为均为等边三角形， 又N是的中点，所以⊥，⊥， 因为，平面， 故⊥平面， 所以平面的法向量为， 其中，， 故 ， 又 ， 故， ， 故， 设与平面所成角的大小为， 则. 20．（2025高二下·湖南·学业考试）如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)点 为 的中点； (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用线面垂直的判定定理证得平面 ，可得，找到线面角为，从而求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，取的中点为P,连接 , 因为 D 为 中点，所以 , 且， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 又因为平面，平面， 所以平面，故P 为 中点. （2）设直线 与平面 所成的角为 ， 在正三角形 中， ，其中 为中点. 则，. 在正三棱柱中，平面 ，平面 ， 所以， 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，平面 ，所以. 所以为直线与平面所成的角； 则. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $