培优4 空间直角坐标系的构建策略-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

　空间直角坐标系的构建策略 　　巧妙建立空间直角坐标系，写出点的坐标是利用空间向量解决一些立体几何问题的前提，下面主要介绍构建空间直角坐标系的几种方法． 类型一 利用共顶点的互相垂直的三条棱 　(2024·广西桂林期末)在棱长为4的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E在侧面AA1B1B内，F是棱AA1的中点，若D1E⊥CF，则△EBC的面积的最小值为____________． 【解析】　由题知，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示， 其中所有棱长都相等且为4，F是棱AA1的中点，所以A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，4，0)，D1(0，4，4)，F(0，0，2)，因为点E在侧面AA1B1B内，所以可设其坐标为E(x，0，z)且0≤x≤4，0≤z≤4，所以＝(－4，－4，2)，＝(x，－4，z－4)，＝(x－4，0，z)，因为D1E⊥CF，所以·＝(－4，－4，2)·(x，－4，z－4)＝0，化简得z＝2x－4，由正方体ABCD-A1B1C1D1的性质可知，BC⊥平面AA1B1B，又BE⊂平面AA1B1B，所以BC⊥BE，所以△EBC为直角三角形，所以S△EBC＝|BC|·＝2＝2，化简得S△EBC＝2 且0≤x≤4，所以当x＝时，△EBC的面积有最小值，(S△EBC)min＝2＝. 【答案】　 类型二 利用线面垂直关系 　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面 ABCD，PA＝AB＝2，AD＝4，E为侧棱PC的中点，则cos 〈，〉＝______________． 【解析】　因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.因为PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 因为PA＝AB＝2，AD＝4，所以D(0，4，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0).又E为侧棱PC的中点，所以E(1，2，1)，所以＝(0，4，－2)，＝(－1，2，1).cos 〈，〉＝＝. 【答案】　 类型三 利用底面的高及中心 　如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，SO＝AB＝4，AC＝BC，E为线段SC的中点，点D在线段SO上，若AD⊥BE，则OD＝__________． 【解析】　连接OC，因为AC＝BC，O为线段AB中点，所以OC⊥AB，由圆锥性质可知SO⊥平面ABC，OC，OA⊂平面ABC，所以SO⊥OC，SO⊥OA，所以OC，OA，SO两两垂直． 以O为坐标原点，OC，OA，SO所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)，则S(0，0，4)，A(0，2，0)，B(0，－2，0)，C(2，0，0)，E(1，0，2).设D(0，0，a)，0≤a≤4，则＝(1，2，2)，＝(0，－2，a).因为AD⊥BE，所以·＝1×0＋2×(－2)＋2a＝0，解得a＝2，故OD＝2. 【答案】　2 类型四 利用面面垂直关系 　(2024·陕西西安期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PCD为正三角形，底面为正方形，且边长均为1.平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点．当AM＝PM时，点M在底面内的轨迹长度为__________． 【解析】　取线段AB中点N，线段CD中点O，连接OP，ON，因为平面PCD⊥平面ABCD，OP⊥CD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，OP⊂平面PCD，所以OP⊥平面 ABCD， 由题意可得OP，ON，OC两两垂直，以O为坐标原点，ON，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，)，A(1，－，0)，令M(x，y，0)(0≤x≤1，－≤y≤)，则＝(x－1，y＋，0)，＝(x，y，－)，由AM＝PM，可得＝， 则 ＝，整理得4x－2y－1＝0，则点M在底面内的轨迹为线段4x－2y－1＝0(0≤x≤1，－≤y≤)，所以轨迹的端点的坐标为(0，－，0)，(，，0)，则点M在底面内的轨迹长度为＝. 【答案】　 【尝试训练】 1．(2024·安徽阜阳期末)把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，O，E，F分别为线段AC，AD，BC的中点，则折纸后∠EOF的大小为(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 解析：选C．折起后的图形如图所示，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，又平面ABC⊥平面ADC，平面ABC∩平面ADC＝AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面ADC，所以直线OD，OC，OB两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OB所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的对角线长为2，则O(0，0，0)，A(0，－1，0)，D(1，0，0)，E(，－，0)，B(0，0，1)，C(0，1，0)，F(0，，)，所以＝(，－，0)，＝(0，，)，·＝×0＋×＋0×＝－，||＝＝，||＝＝，所以cos 〈，〉＝＝＝－，又0°≤〈，〉≤180°，所以〈，〉＝120°，所以∠EOF＝120°.故选C． 2．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上，且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA. 证明：如图，连接OP，OQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线分别为x轴，z轴，在平面AOB内过O点作垂直于OA的直线为y轴，建立空间直角坐标系．则A(1，0，0)，C(0，0，1)，B(－，，0).所以＝(－，，0)，因为P为线段AC的中点，所以P(，0，).由题意得＝＝(－，，0)，又＝＋＝(，，0)，所以＝－＝(0，，－).因为·＝0，所以⊥，即PQ⊥OA. 学科网（北京）股份有限公司 $