第10章 数的开方（高效培优单元测试·提升卷）数学华东师大版2024八年级上册

第10章 数的开方（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列语句正确的是（   ） A．是无理数 B．无限小数不能转化为分数 C．无理数是无限循环小数 D．无限不循环小数就是无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，掌握无理数的概念成为解题的关键． 根据无理数的概念、有理数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A．是有理数，此选项错误，故此选项不符合题意； B．无限小数中的循环小数是分数，是有理数，能写成分数；无限不循环小数是无理数，不能写成分数；此选项错误，故此选项不符合题意； C．无理数是无限不循环小数，此选项错误，故此选项不符合题意； D．无限不循环小数就是无理数，此选项正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2．的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，熟记平方根的定义：如果，那么叫做的平方根是解题的关键．根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故选：C． 3．在，，，，，，2.010010001…中，有理数有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数，熟练掌握无理数、有理数的定义是解题的关键． 先化简，再根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴在，，，，，，2.010010001…中， 有理数有：，，，，，共5个， 故选：B． 4．如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（   ） A．表示的点 B．表示的点 C．表示的点 D．表示的点 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算，由图可知，被手掌遮挡住的数在和之间，估算出无理数所在的范围，即可判断出被手掌遮挡住的数可能是哪一个． 【详解】解：A选项：，∴，即在和之间，故A选项不符合题意； B选项：，∴在和之间，故B选项符合题意； C选项：，在和之间，故C选项不符合题意； D选项：，∴在和之间，故D选项不符合题意． 故选：B． 5．数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上对称点表示的数的关系，实数的运算，正确掌握数轴上对称点表示的数的计算方法是解题的关键．先计算的长，再根据对称的性质得到，即可求得点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别是2和， ∴， ∵点B关于点A的对称点为点C， ∴， ∴点C表示的数是， 故选：B． 6．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴、绝对值的意义及实数的运算，熟练掌握数轴、绝对值的意义及实数的运算是解题的关键．由数轴可得，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴正确的是A选项； 故选：A． 7．要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据算术平方根有意义的条件得到，解一元一次不等式组即可求得的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故选：C． 8．已知是实数，且满足，则相应的的值为（    ） A．13 或3 B．7 或3 C．3 D．13或7或3 【答案】C 【分析】根据算术平方根有意义的条件，解得，再运用因式分解法解，筛选符合条件的x的值，即，代入，求值即可解题． 【详解】根据算术平方根有意义的条件，得 或或 解得（舍去）或（舍去）或 当时， 故选：C． 9．要使有意义，则a的值是（    ） A．a≥0 B．a>0 C．a<0 D．a=0 【答案】D 【分析】根据开平方的被开方数都是非负数，可得答案． 【详解】解：∵有意义 ∴ ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了算术平方根，注意算术平方根的被开方数都是非负数． 10．已知实数满足，那么的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根有意义的条件、去绝对值运算、利用算术平方根解方程等知识，先由算术平方根有意义的条件的得到，进而化简绝对值，得到，利用算术平方根解方程即可得到答案，熟练掌握算术平方根有意义的条件、去绝对值运算等知识是解决问题的关键． 【详解】解： 中， ，则， ， ，即， ，则， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义即可解答． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故答案为：． 12.的整数部分是 ． 【答案】 3 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， 故答案为3． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键． 13.已知， ，则 的值为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查算术平方根的非负性，代入求值，先根据算术平方根的非负性得到，然后计算出m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：由题可得，解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键在于运用作差法比较．通过作差确定大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ． 故答案为：>． 15．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据绝对值、完全平方及二次根式的非负性可得，，，求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：，，，且， ，，， ，，， ， 故答案为：． 16．将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律题，根据题意找到数据的规律是解体的关键． 根据题意可得每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得到所在的位置． 【详解】， 解：由题意可得，每五个数一行，， ，， 故所在的位置是第七行第二个数，位置记为， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先算乘方和开方，绝对值，后算加减． 【详解】 解： ． 18． （本题8分） 求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用平方根的定义和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义求解； （2）利用立方根的定义求解． 【详解】（1）解：， 所以或． 所以或． （2）解：． 所以． 所以． 所以． 19．（本题8分） 已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)49 (2) 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答； （2）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，； 当时，， ∴； （2）解：把代入方程得， ， 即， 故 【点睛】本题考查的是平方根和立方根，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键， 20．（本题8分） 实数a、b的点在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，绝对值和立方根的化简．先利用数轴表示数的方法得到，再利用绝对值和立方根的性质得原式，然后去括号后合并即可． 【详解】解：根据题图可知：，且， ∴，， ∴ ． 21．（本题8分） 用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． (1)求的值； (2)若（其中是有理数），比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目规定的运算方法，直接代入计算即可； （2）根据题目规定的运算方法求出的值，再进一步作差比较即可． 【详解】（1）解：由定义可知： （2）解：由定义可知： ； ∵ ∴ 22．（本题10分） 观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 23．（本题10分） 观察下列式子，寻找规律： ①  ②  ③， (1)根据以上规律写出第④个等式：_______________________； (2)写出第个等式，并证明该结论的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据已知等式的各部分和序号的关系可得结果； （2）根据发现的规律，归纳出第n个等式，再利用二次根式的性质和分式的运算法则化简即可证明． 【详解】（1）解：第④个等式为：, 故答案为：； （2）第个等式为：， 证明：∵n为正整数， ∴ 【点睛】本题考查了数字型规律，二次根式的性质，分式的加法运算，解题的关键是发现已知等式的性质，神域归纳总结． 24．（本题13分） 如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． (2)把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为______． (3)在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数． 【答案】(1)阴影部分的面积为，边长为； (2)； (3)． 【分析】（1）根据立方体的体积公式，求出棱长，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据的长以及A与1重合，即可求解； （3）由题意可得，当点B第一次落在数轴上时，正方形滚动了两次，与A相比向左移动了的长度，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，魔方为正方体，其棱长为， ∴小立方体的棱长为1， 则正方形的面积为， 设正方形的边长为，则，解得 答：阴影部分的面积为，边长为； （2）由（1）可得， 又∵A与1重合，在的左边， ∴点表示数的为 故答案为： （3）由题意可得，当点B第一次落在数轴上时，正方形滚动了两次，与A相比向左移动了的长度， 又∵A与1重合， ∴点B在数轴上表示的数为 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，立方根和算术平方根的应用，解题的关键是能求出正方形的边长． 25．（本题13分） 阅读材料，完成下列任务： 【材料一】，，即，的整数部分为2，小数部分为． 【材料二】若正方形面积为105，则它的边长为．我们可以按照以下方法求得 近似值： ，，即， 设，其中， 如图1，画出边长为的正方形，根据图中面积，得， 较小， 忽略，得：，解得，． 【探究问题】 （1）利用材料一中的方法，的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）； 【思维拓展】 （3）a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是多少？ （4）探究的近似值，直接写出结果： （结果精确到 0.01） 【答案】（1）5，；（2）12.21；（3）1；（4）14.93． 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】解：（1）， 的整数部分为5，小数部分为． 故答案为：5，； （2）解：当正方形面积为149，则它的边长为． ， ， ， ，， 如图，作边长为的正方形， 由图得：， ， 较小， 忽略，得：， 解得：， ． （3）解：， ， ， ，， ，． ∴； （4）， ， ， ，， 如图，作边长为的正方形， 由图得：， ， 较小， 忽略，得：， 解得：， ， ，，，， ． 故答案为：14.93． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 数的开方（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列语句正确的是（   ） A．是无理数 B．无限小数不能转化为分数 C．无理数是无限循环小数 D．无限不循环小数就是无理数 2．的平方根是（　　） A． B． C． D． 3．在，，，，，，2.010010001…中，有理数有（   ）个 A． B． C． D． 4．如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（   ） A．表示的点 B．表示的点 C．表示的点 D．表示的点 5．数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 6．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 7．要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 8．已知是实数，且满足，则相应的的值为（    ） A．13 或3 B．7 或3 C．3 D．13或7或3 9．要使有意义，则a的值是（    ） A．a≥0 B．a>0 C．a<0 D．a=0 10．已知实数满足，那么的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．的平方根是 ． 12.的整数部分是 ． 13.已知， ，则 的值为 ． 14．比较大小： ． 15．若，则的值是 ． 16．将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分） 计算：． 18． （本题8分） 求下列各式中的值： (1)； (2)． 19．（本题8分） 已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 20．（本题8分） 实数a、b的点在数轴上的位置如图所示，化简 21．（本题8分） 用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． (1)求的值； (2)若（其中是有理数），比较的大小． 22．（本题10分） 观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 23．（本题10分） 观察下列式子，寻找规律： ①  ②  ③， (1)根据以上规律写出第④个等式：_______________________； (2)写出第个等式，并证明该结论的正确性． 24．（本题13分） 如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． (2)把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为______． (3)在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数． 25．（本题13分） 阅读材料，完成下列任务： 【材料一】，，即，的整数部分为2，小数部分为． 【材料二】若正方形面积为105，则它的边长为．我们可以按照以下方法求得 近似值： ，，即， 设，其中， 如图1，画出边长为的正方形，根据图中面积，得， 较小， 忽略，得：，解得，． 【探究问题】 （1）利用材料一中的方法，的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）； 【思维拓展】 （3）a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是多少？ （4）探究的近似值，直接写出结果： （结果精确到 0.01） 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $