5.4函数的奇偶性（第2课时）（教学课件）数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性第二课时，核心涵盖定义理解、判断证明、性质应用及与单调性综合。通过表格对比偶函数与奇函数的定义、定义域及图像特征，结合“定义域对称是必要不充分条件”的重要说明，搭建从图像直观到定义抽象的学习支架，衔接函数概念与性质的前期知识。 其亮点在于题型系统分层，含判断、求参数、求解析式等五类练习及变式，注重逻辑推理（如抽象函数奇偶性证明）、数学运算（参数求解）与直观想象（图像对称应用）。小结用表格梳理奇偶函数运算及单调性关系，助力学生提升核心素养，教师可直接用于分层教学，提高课堂效率。

5.4函数的奇偶性 （第二课时） 第五章 函数概念与性质 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：掌握函数奇偶性的判断和证明方法 教学难点： 会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题 理解函数奇偶性的定义； 掌握函数奇偶性的判断和证明方法； 会应用奇、偶函数的图象对称性解决简单问题。 课程目标 学科素养 数学抽象：理解奇偶性的定义； 逻辑推理：奇偶性判断与证明； 数学运算：根据奇偶性求函数的解析式和参数的范围问题； 直观想象：根据图象判断函数奇偶性 新知引入 偶函数 奇函数 定义 设函数的定义域为 ,如果对于任意的,都有 ,并且____________,那么称函数 是偶函数 设函数的定义域为 ，，。。，，，，，如果对于任意的,都有 ,并且_______________,那么称函数 是奇函数 定义域 关于______对称 图象 特征 关于_____对称 关于______对称 原点 函数奇偶性的概念 轴 原点 新知引入 奇偶性 奇函数 偶函数 定义域关于原点对称 图像关于轴对称 定义域关于原点对称 图像关于原点对称 若，则 判断方法 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件。 练习巩固 题型一：函数奇偶性的判断 练习1：判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 解：(1)∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又，∴为偶函数． (2)∵函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且， 又∵，，∴既是奇函数又是偶函数． (3)∵函数的定义域为，不关于原点对称，∴是非奇非偶函数． 练习巩固 题型一：函数奇偶性的判断 练习1：判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 解：(4)定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 小技巧：用奇偶性对函数分类：奇函数，偶函数，非奇非偶函数，既奇又偶函数 练习巩固 题型一：函数奇偶性的判断 变式1-1：若函数是偶函数，是偶函数,则是__________. 【答案】偶函数 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 不确定 奇 奇 偶 不确定 不确定 奇 奇 奇 奇 奇 偶 练习巩固 题型一：函数奇偶性的判断 变式1-2：（1）已知函数，若对于任意实数，都有，求证：为奇函数; 若，判断其奇偶性． (1)证明：令，则，∴. 令，则, ∴，又∵定义域为关于原点对称，∴是奇函数． (2)解：①当时，，对任意， ，则函数为偶函数； 练习巩固 ②当时，，取，得，取，得，则，， 即，，则函数既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数； 当时，函数为偶函数． 题型一：函数奇偶性的判断 变式1-2：（1）已知函数，若对于任意实数，都有，求证：为奇函数; 若，判断其奇偶性． 练习巩固 题型一：函数奇偶性的判断 变式1-3：已知函数，则下列函数中为奇函数的是( ) . . . . 【答案】： 【解析】：因为函数的图象关于点中心对称，所以将 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象关于 坐标原点中心对称，所以是奇函数.故选. 注：也可将选项中函数解析式逐一求出后判断 练习巩固 题型二：利用函数奇偶性求参数 练习2：（1)函数是偶函数，定义域为,,的值； （2)已知函数是奇函数，则实数________． 解：(1)∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴，= . 又∵为偶函数 ∴. ∴= ，即=0. (2)由奇函数有，得,故. 练习巩固 题型二：利用函数奇偶性求参数 利用奇偶性求参数的常见类型： (1)定义域含参数：奇偶函数的定义域为， 根据定义域关于原点对称，利用求参数； (2)解析式含参数：根据或列式, 比较系数利用待定系数法求解． 练习巩固 题型二：利用函数奇偶性求参数 变式1-1：(1)若函数是偶函数，的值; (2)若函数是奇函数，的值. 【答案】， 变式1-2：已知是定义在上的偶函数，那么的值是______________. 【答案】 变式1-2：已知是定义在上的奇函数，那么的值是______________. 【答案】 练习巩固 题型三：利用函数奇偶性求解析式 练习3：若是定义在上的奇函数，当时，，求解析式． 解：当时，.当时，， ， 由于是奇函数，故， 所以. 即当时，. 故 追问：本例条件不变，求的值 练习巩固 变式3-1：若是定义在上的偶函数，当时，，求当时，的解析式． 题型三：利用函数奇偶性求解析式 解：当时，， ，由于是偶函数，故，所以， 即当时，. 练习巩固 题型三：利用函数奇偶性求解析式 利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用的奇偶性写出或，从而解出． 练习巩固 题型三：利用函数奇偶性求解析式 变式3-2：已知函数为上的偶函数，且当时，,则当时,求此时的解析式. 解：∵当时，,则 ∵为上的偶函数 ∴当时，. 变式3-3：已知函数是上的奇函数，且当在上的解析式为_________. 【答案】 练习巩固 题型四：利用函数奇偶性求值 练习4：已知,则_________. 变式4-1：已知,则_________. 变式4-2：已知,则_________. 【答案】 【答案】 【答案】 练习巩固 题型五：函数单调性与奇偶性综合 问题1：已知是偶函数且在上单调递减，则____ 偶函数在对称区间上单调性相反 奇函数在对称区间上单调性相同 思考：单调性与奇偶性之间有什么关系呢？ 练习巩固 题型五：函数单调性与奇偶性综合 问题2：已知函数的局部图像如图，你能否求函数的单调区间. 单调递减区间： 为偶函数 为奇函数 [-1,0]，[1,+∞) [0,1]，(-∞,-1] 单调递增区间： 单调递减区间： (-∞,-1]，[1,+∞) [-1,0]，[0,1] 单调递增区间： 练习巩固 题型五：函数单调性与奇偶性综合 练习5：(1)已知函数在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若 ，求实数的取值范围； (2)定义在[－2，2]上的偶函数在区间[0，2]上单调递减，若，求实数的取值范围． 解：(1)由，得． ∵在[－1，1]上是奇函数， ∴，∴． 又∵在[－1，1]上单调递减， ∴,解得 ∴，∴的取值范围是[0，1)． 练习巩固 题型五：函数单调性与奇偶性综合 练习5:(2)定义在[－2，2]上的偶函数在区间[0，2]上单调递减，若，求实数的取值范围． 解：(2)∵函数是偶函数，∴． ∴，． ∴原不等式等价于,解得 ∴实数的取值范围是. 练习巩固 题型五：函数单调性与奇偶性综合 函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路： (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性； (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． 练习巩固 题型五：函数单调性与奇偶性综合 【答案】 变式5-2： 【答案】 变式5-1：若对于任意实数总有,且在区间上是增函数，则（ ） 练习巩固 题型五：函数单调性与奇偶性综合 变式5-3：已知定义在的奇函数在区间上是减函数，若,求实数的取值范围. 解：∵是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数 ∴函数在区间上为减函数. 若, 则有, 解得：. 即实数的取值范围是：. 练习巩固 题型五：函数单调性与奇偶性综合 变式5-4：已知函数的定义域为，且在上是增函数，若 ，则实数的取值范围为( ). 【答案】 变式5-5：若对于任意实数上是增函数，则（ ） 【答案】 小结 奇偶性 奇函数 偶函数 定义域关于原点对称 图像关于轴对称 定义域关于原点对称 图像关于原点对称 若，则 判断方法 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件。 小结 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 不确定 奇 奇 偶 不确定 不确定 奇 奇 奇 奇 奇 偶 感谢聆听 数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学。 ——恩格斯 函数概念是近代数学思想之花。 ——托马斯 $