基本不等式练习-2026届高三数学一轮复习

基本不等式 基础性 1．设x>0，y>0，且2x＋y＝4，则xy的最大值为(　　) A． B．4 C． D．2 2．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 3．(2024·江苏常州阶段练习)下列说法中一定正确的是(　　) A．a2＋b2>2ab(a，b∈R) B．ab≤()2(a，b∈R) C．≥2(ab≠0) D．＋(x∈R)的最小值为2 4．(多选)已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题正确的是(　　) A．若a>0，b>0，则≥ B．若≥，则a>0，b>0 C．若a≠b，则> D．若>，则a≠b 5．设a>0，b>0，且2a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．4 B．2＋1 C． D．2 6．设x≥0, y≥0，x2＋＝1，则x的最大值为　　　　　. 7．已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为　　　　　. 8．若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度．如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式>(a>b>0，m>0)，数学中常称其为糖水不等式．依据糖水不等式可得出log32　　　log1510(填“<”或“>”)，请写出上述结论所对应的一个糖水不等式________________________________． 综合性 9．(2024·黑龙江哈尔滨二模)已知正实数x，y满足＋＝1，则2xy－3x的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 10．已知单调函数f(x)是R上的奇函数，若正实数a，b满足f(4a)＋f(b－1)＝0，则＋的最小值为(　　) A．4 B．8 C．9 D．13 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为　　　　. 12．(2024·广东湛江一模)已知ab>0，a2＋ab＋2b2＝1，则a2＋2b2的最小值为__________________________． 创新性 13．(2024·河北沧州模拟预测)已知抛物线T：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两点，M为线段AB的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若|MF|＝|AM|，则的最大值为(　　) A．1 B． C． D． 14．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式 基础性 1．设x>0，y>0，且2x＋y＝4，则xy的最大值为(　　) A． B．4 C． D．2 解析：D　因为x>0，y>0，且2x＋y＝4， 所以2x＋y≥2，即4≥2，所以xy≤2， 当且仅当2x＝y＝2时，取等号．所以xy的最大值为2.故选D. 2．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 解析：A　f(x)＝－[(－2x)＋(－)]－1≤－2－1，当且仅当x＝－时，等号成立，所以函数f(x)有最大值，故选A. 3．(2024·江苏常州阶段练习)下列说法中一定正确的是(　　) A．a2＋b2>2ab(a，b∈R) B．ab≤()2(a，b∈R) C．≥2(ab≠0) D．＋(x∈R)的最小值为2 解析：B　对于A，因为a，b∈R，所以a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，A错误； 对于B，因为a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2＋2ab≥4ab，所以≥ab，即()2≥ab，当且仅当a＝b时取等号，B正确； 对于C，当a＝b＝－1时，满足ab≠0，但是＝－2<2，C错误； 对于D，令t＝≥，因为y＝t＋在[，＋∞)上单调递增， 所以y＝t＋≥＋＝，当且仅当t＝，即x＝0时取等号，即＋的最小值为，D错误．故选B. 4．(多选)已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题正确的是(　　) A．若a>0，b>0，则≥ B．若≥，则a>0，b>0 C．若a≠b，则> D．若>，则a≠b 解析：ABD　对于A，由基本不等式可知当a>0，b>0时，≥，当且仅当a＝b时取等号，A正确； 对于B，因为≥，ab≠0，所以且(－)2≥0，所以a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号，B正确； 对于C，若a＝－1，b＝－4，则＝<＝＝2，C错误； 对于D，因为>，ab≠0，所以且a＋b－2>0，所以a>0，b>0，(－)2>0，所以a>0，b>0且a≠b，D正确．故选ABD. 5．设a>0，b>0，且2a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．4 B．2＋1 C． D．2 解析：B　因为2a＋b＝1，且a>0，b>0， 则＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1， 当且仅当a＋b＝a时，等号成立， 因此＋的最小值为2＋1.故选B. 6．设x≥0, y≥0，x2＋＝1，则x的最大值为　　　　　. 解析：　因为x≥0，y≥0，x2＋＝1， 所以x＝＝ ≤·＝·＝， 当且仅当x＝，y＝(即x2＝)时，x取得最大值. 7．已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为　　　　　. 解析：6　(换元消元法)由已知得x＋3y＝9－xy， 因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2， 所以3xy≤()2，当且仅当x＝3y时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0. 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6，且此时x＝3，y＝1. 8．若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度．如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式>(a>b>0，m>0)，数学中常称其为糖水不等式．依据糖水不等式可得出log32　　　log1510(填“<”或“>”)，请写出上述结论所对应的一个糖水不等式________________________________． 解析：<　> 因为0<log32<1， 所以log32＝<⇒<＝log1510. 由前一空可得log32<log1510⇒<＝， 即>. 综合性 9．(2024·黑龙江哈尔滨二模)已知正实数x，y满足＋＝1，则2xy－3x的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：B　易知＋＝1⇒2x＋y＝xy，则2xy－3x＝2(2x＋y)－3x＝(x＋2y)·(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝y＝3时取得等号．故选B. 10．已知单调函数f(x)是R上的奇函数，若正实数a，b满足f(4a)＋f(b－1)＝0，则＋的最小值为(　　) A．4 B．8 C．9 D．13 解析：C　因为单调函数f(x)是R上的奇函数， 又f(4a)＋f(b－1)＝0， 所以f(4a)＝－f(b－1)＝－f[－(1－b)]， 则4a＝1－b，即4a＋b＝1， 所以＋＝(＋)(4a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当即时等号成立，所以＋的最小值为9，故选C. 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为　　　　. 解析：9　由题意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得ac sin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，即＋＝1.因此4a＋c＝(4a＋c)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a＝3时取等号，则4a＋c的最小值为9. 12．(2024·广东湛江一模)已知ab>0，a2＋ab＋2b2＝1，则a2＋2b2的最小值为__________________________． 解析：　因为ab>0， 所以a2＋2b2≥2＝2ab(当且仅当a＝b时等号成立)， 即得ab≤＝(a2＋2b2)， 则1＝a2＋ab＋2b2≤a2＋2b2＋(a2＋2b2)＝(a2＋2b2)， 得a2＋2b2≥＝， 所以a2＋2b2的最小值为. 创新性 13．(2024·河北沧州模拟预测)已知抛物线T：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两点，M为线段AB的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若|MF|＝|AM|，则的最大值为(　　) A．1 B． C． D． 解析：B　设|AF|＝m，|BF|＝n， 因为|MF|＝|AM|＝|MB|，所以AF⊥BF， 所以|AB|＝. 过点A，B分别作AG，BW垂直准线于点G，W，如图所示． 由抛物线的定义可知|AF|＝|AG|，|BF|＝|BW|， 由梯形的中位线可知 |MN|＝＝＝. 因为m2＋n2≥2mn， 所以2(m2＋n2)≥2mn＋m2＋n2＝(m＋n)2， 当且仅当m＝n时，等号成立， 所以|AB|＝≥＝|MN|， 所以≤，故的最大值为.故选B. 14．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A． B． C． D． 解析：C　设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线的夹角为α， 则S四边形ABCD＝·AC·BD·sin α ≤·AC·BD≤·2r·2r＝2r2， 当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立， 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆的距离h(0<h<1)一定时，四边形ABCD面积的最大值为2r2，又r2＋h2＝1， 则V四棱锥O－ABCD＝·2r2·h ＝ ≤＝， 当且仅当r2＝2h2，即h＝时等号成立．故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $