等式性质与不等式性质练习-2026届高三数学一轮复习

等式性质与不等式性质 基础性 1．若a，b，c∈R且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．ac>bc B．(a－b)c2>0 C．< D．c－2a<c－2b 解析：D　当c＝0时，ac＝bc，A错误； 当c＝0时，(a－b)c2＝0，B错误； 当a＝1，b＝－1时，a>b，且>，C错误； 由不等式的性质可知－2a<－2b，c－2a<c－2b，D正确．故选D. 2．已知0<a<1，b<0，则下列大小关系正确的是(　　) A．ab<1<a2b B．1<ab<a2b C．ab<a2b<1 D．a2b<ab<1 解析：C　因为a为正数，b为负数，所以ab<0，a2b<0，1－a>0，ab－a2b＝ab(1－a)<0，ab<a2b，所以ab<a2b<1.故选C. 3．已知x>y，则下列不等式正确的是(　　) A．1－x<1－y B．x2>y2 C．||>1 D．xz>yz 解析：A　因为x>y，所以－x<－y，所以－x＋1<－y＋1，即1－x<1－y，A正确； 当x＝－1，y＝－2时，满足x>y，但x2＝1，y2＝4，此时x2<y2，||＝||＝<1，B、C错误； 当z<0时，由x>y可得xz<yz，D错误．故选A. 4．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外(含100米)为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应满足的不等式为(　　) A．4×<100 B．4×≥100 C．4×≤100 D．4×>100 解析：B　由题意知导火索的长度x(单位：厘米)，故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为(4×)米，由题意可得4×≥100.故选B. 5．(多选)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，则下列各式中一定成立的是(　　) A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0 C．cb2<ab2 D．ab>ac 解析：BCD　因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0， 所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0， 所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac，故选BCD. 6．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　因为a，b为实数，0＜ab＜1，当a>0时，b>0，且a<；当a<0时，b<0，且b>.所以“0＜ab＜1”⇒“a＜或b＞”． 反之，当a<时，若a<0，b>0，则ab<0，所以“a＜或b＞”不能推出“0＜ab＜1”， 所以“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分不必要条件．故选A. 7．已知0<a<，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是　　　　　　　． 解析：M>N　因为0<a<，所以1＋a>0，1＋b>0，1－ab>0. 所以M－N＝＋＝>0，所以M>N. 8．已知a，b为实数，则2a2＋b2＋1　　　ab＋2a(填“>”“<”“≥”或“≤”). 解析：≥　由题知，(2a2＋b2＋1)－(ab＋2a)＝a2－ab＋b2＋a2－2a＋1＝(a－b)2＋(a－1)2≥0， 当且仅当a＝1，b＝2时，取等号． 综合性 9．已知a<b<0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．ea－b>1 B．＋>2 C．ac2<bc2 D．ln (b－a)>0 解析：B　对于A，因为a<b<0，则a－b<0，且y＝ex在定义域内单调递增，则ea－b<e0＝1，A错误． 对于B，因为a<b<0，则0<<1，>1>0，所以＋>2＝2，B正确． 对于C，因为a<b<0，则有 当c≠0时，则c2>0，可得ac2<bc2. 当c＝0时，则c2＝0，可得ac2＝bc2＝0. 综上所述，ac2<bc2不恒成立，C错误． 对于D，因为a<b<0，则b－a>0，且y＝ln x在定义域内单调递增，但无法确定b－a与1的大小关系，故无法确定ln (b－a)与ln 1＝0的大小关系，D错误．故选B. 10．(多选)若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的是(　　) A．≥ab B．≤ C．≥ D．＋≥2 解析：AB　对于A，由－ab＝＝≥0， 可得≥ab，A正确； 对于B，由－＝＝≤0， 可得≤，B正确； 对于C，当a＝－1，b＝－2时，＝－，＝－，－<－，C错误； 对于D，当a＝1，b＝－2时，＋＝＋＝－<2，D错误．故选AB. 11．已知实数x，y满足－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，则3x－4y的取值范围为　　　　　　． 解析：[－7，2]　设3x－4y＝m(x＋2y)＋n(2x－y)， 则解得 所以3x－4y＝－(x＋2y)＋2(2x－y)， 因为－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0， 所以－3≤－(x＋2y)≤2，－4≤2(2x－y)≤0，所以－7≤3x－4y≤2. 12．已知a，b，c均为正实数，且≥，≥，≥，则＋＋的最大值为　　　　. 解析：4　因为a，b，c均为正实数，所以由题可得0<≤3，0<≤4，0<≤5，即0<＋≤3，0<＋≤4，0<＋≤5，三式相加得0<3(＋＋)≤12，所以0<＋＋≤4，所以＋＋的最大值为4. 创新性 13．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在下列不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　) A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz 解析：B　因为x＜y＜z且a＜b＜c， 所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)＞0， 所以ax＋by＋cz＞az＋by＋cx； 同理ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(z－x)(b－c)＜0， 所以ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz； 同理az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(z－y)(a－b)＜0， 所以az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx. 所以最低费用为az＋by＋cx.故选B. 14．(多选)已知实数m，n满足0<n<m<1，则下列结论正确的是(　　) A．< B．m＋>n＋ C．mn>nm D．logmn<lognm 解析：AC　由0<n<m<1，得n－m<0， 故－＝<0，<，A正确； 由0<n<m<1，得m－n>0，1－<0， 所以m＋－(n＋)＝(m－n)(1－)<0， 即m＋<n＋，B错误； 因为指数函数y＝mx为减函数，故mn>mm， 由幂函数y＝xm 为增函数知mm>nm，故mn>nm，C正确； 根据 0<n<m<1时，对数函数y＝logmx，y＝lognx 为减函数， 故logmn>logmm＝1＝lognn>lognm，D错误．故选AC. 学科网（北京）股份有限公司 $ 等式性质与不等式性质 基础性 1．若a，b，c∈R且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．ac>bc B．(a－b)c2>0 C．< D．c－2a<c－2b 2．已知0<a<1，b<0，则下列大小关系正确的是(　　) A．ab<1<a2b B．1<ab<a2b C．ab<a2b<1 D．a2b<ab<1 3．已知x>y，则下列不等式正确的是(　　) A．1－x<1－y B．x2>y2 C．||>1 D．xz>yz 4．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外(含100米)为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应满足的不等式为(　　) A．4×<100 B．4×≥100 C．4×≤100 D．4×>100 5．(多选)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，则下列各式中一定成立的是(　　) A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0 C．cb2<ab2 D．ab>ac 6．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知0<a<，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是　　　　　　　． 8．已知a，b为实数，则2a2＋b2＋1　　　ab＋2a(填“>”“<”“≥”或“≤”). 综合性 9．已知a<b<0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．ea－b>1 B．＋>2 C．ac2<bc2 D．ln (b－a)>0 10．(多选)若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的是(　　) A．≥ab B．≤ C．≥ D．＋≥2 11．已知实数x，y满足－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，则3x－4y的取值范围为　　　　　　． 12．已知a，b，c均为正实数，且≥，≥，≥，则＋＋的最大值为　　　　. 创新性 13．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在下列不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　) A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz 14．(多选)已知实数m，n满足0<n<m<1，则下列结论正确的是(　　) A．< B．m＋>n＋ C．mn>nm D．logmn<lognm 学科网（北京）股份有限公司 $