专题01 与数轴有关四大综合题（高效培优期中专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题01 与数轴有关四大综合题（高效培优期中专项训练） 考点01 带有字母的绝对值化简问题 考点02 数轴上两点之间的距离 考点03 数轴上两点之间的距离与一元一次方程的应用 考点04 动点问题与一元一次方程的应用 考点01 带有字母的绝对值化简问题 1．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十五中学橡树湾校区期中）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2024-2025学年七年级上安徽省滁州市定远县第一初级中学学期期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2024-2025学年七年级上安徽省亳州市蒙城县期中）已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，其中一定成立的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2024-2025学年七年级上安徽省阜阳市阜南县第五初级中学期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 5．（2024~2025七年级上安徽省滁州市天长市铜城中学期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 6．（2024~2025学年七年级上安徽省淮南市凤台县部分学校学期期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 7．（2024-2025学年七年级上安徽省六安市舒城县仁峰学校期中）如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：    （1） ； （2） ． 8．（2024-2025学年 七年级上安徽省马鞍山市建中学校期中）若x为有理数，已知． （1）当时，A的值为 ． （2）A的最小值为 ． 9．（2024-2025七年级上安徽省马鞍山市和县第三中学期中）已知a，b，c三个有理数在数轴上对应的位置如图所示， (1)判断大小： ____ 0， ______0，b ____ 0 (2)化简． 10．（2024-2025七年级上安徽省马鞍山市东方实验期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 11．（2024-2025七年级上 安徽省阜阳市第十八中学期中）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．若a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ； (2)求的值； (3)化简：． 考点02 数轴上两点之间的距离 12．（2024-2025七年级上安徽省芜湖市无为市初中十校联考期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 13．（2024-2025七年级上安徽省宿州市埇桥区期中）如图，在数轴上点A表示的数是的相反数，点B表示的数是最小的正整数，点C表示的数是绝对值是3的负整数．若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是 ．    14．（2024-2025七年级上安徽省阜阳市临泉县第五中学期中）已知数轴与数轴如图所示，其中数轴的单位长度是数轴单位长度的．令数轴上的“”与数轴上的“”上下对齐，数轴上的数字记为“”，数轴上的数字记为“”，上下对齐记为相等，如“”． （1）若，则 ． （2）若，则 （用含x的代数式表示）． 15．（2024--2025七年级上安徽省安庆市怀宁县期中）已知指数轴上表示的点到表示点的距离，指数轴上表示的点到表示和6两个点的距离之和． （1）式子的最小值为 ． （2）已知，则的最大值是 ． 16．（2024-2025七年级上安徽省芜湖市无为县多校期中）如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合），分别到1对应的点的距离相等，点（不与重合），分别到2对应的点的距离相等，点（不与重合），分别到3对应的点的距离相等，……按此规律，点表示的数为 ，点表示的数为 ．    17．（2024-2025七年级上安徽省滁州市第五中学期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为a，常数项为c．    (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与某数表示的点重合，求出此数； (3)若点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒， ①当点C在点B右侧时，______，______（用含t的代数式表示） ②小明同学发现：的值是个定值，求此时m的值． 18．（2024-2025七年级上安徽省淮南市田家庵区淮河中学期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 19．（2024-2025七年级上安徽省合肥市第五十中学天鹅湖校区期中）数形结合是运算过程中的重要思想方法，小明将一根木棒放在如图1所示的数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． (1)若数轴上A点表示的数为，B点表示的数为2，若将点A移动到点B，则点A移动的距离为______． (2)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为______；图中点A所表示的数是______；点B所表示的数是______． (3)知识迁移：爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你还要14年才出生；你若是我现在这么大，我就67岁啦！”请求出爸爸的年龄． 20．（2024~2025七年级上安徽省滁州市天长市铜城中学期中）阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数A与数对应点之间的距离． (1)用绝对值表示数轴上与之间的距离； (2)若，则可以表示数轴上的哪些数； (3)依据（2）的结论，求使得成立的所有符合条件的整数的和； (4)由以上的探索猜想对于任何有理数，求出的最小值？ 21．（2024--2025七年级上安徽省安庆市怀宁县期中）已知有理数a，b满足，且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用表示． (1)求的值． (2)若数轴上有一点C，满足，求C点表示的数． 22．（2024-2025七年级上安徽省芜湖市无为县多校期中）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离． 例如，的几何意义为数轴上表示数与5的两点间的距离，若，则的值为4或6． 给出定义：数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之和称为与，的“关联距离”．例如，为与1，的“关联距离”； 为与1，2，的“关联距离”．    (1)若，则的值为________； (2)若与1，的“关联距离”为2，写出一个满足条件的的值________； (3)请化简“关联距离”，并直接写出该“关联距离”的最小值________． 23．（2024-2025七年级上安徽省阜阳市界首市学期期中）定义：把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．可以理解为． 【运用】 （1）若，则_____； 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数的点与2所对应的点之间的距离；式子，所以的几何意义就是在数轴上表示数的点与所对应的点之间的距离． （2）式子的几何意义为_____； （3）求的最小值． 24．（2024-2025七年级上安徽省芜湖市无为市初中十校联考期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 考点03 数轴上两点之间的距离与一元一次方程的应用 25．（2024-2025七年级上安徽省六安市清水河学校期中）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且点与点B的距离为3则C点表示的数是 ．    26．（2024-2025七年级上安徽省滁州市明光市城区联考期中）【预备知识】 如图1，若数轴上M，N两点表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离，例如，，，则． 【实际问题】 如图2，M，N两点在数轴上对应的数分别为－12，20，甲、乙分别从M，N处同时出发，甲的速度为1个单位长度/s，乙的速度为3个单位长度/s，设运动的时间为ts． （1）M，N两点之间的距离______； 【综合运用】 （2）若甲、乙相向运动，记相遇点为A，则点A表示的数为______，此时______； （3）若甲、乙都向左运动． ①当t为何值时，乙恰好追上甲？ ②当t为何值时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度？ 27．（2024-2025七年级上安徽省宿州市埇桥区期中）【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合，数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离，借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是－3．动点M从点A出发沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和－3的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为x，化简：．（写出化简过程） 28．（2024-2025学年七年级上安徽省六安市清水河学校期中）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足． (1)求点A与点B 在数轴上对应的数a和b； (2)现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P和点Q相遇于点C，求点C 在数轴上表示的数； ②当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值． 29．（2024-2025学年七年级上安徽省宿州市萧县期中）【问题提出】在学习数轴知识时，数学小组的同学们遇到了这样的问题，请你帮他们解决： 若将数轴折叠，使与4表示的点重合． (1)则表示的点与数___________表示的点重合； (2)若数轴上M、N两点之间的距离为2022，且M、N两点经过上述方法折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【反思生疑】解决这个问题后，小寻同学提出了这样的问题：既然数轴可以折叠，那可不可以把数轴旋转一下呢？于是，同学们将数轴绕原点旋转，得到了如图的“新数轴”： 晓晓同学说：一般规定向右为数轴的正方向，但是如果规定“向左”为正方向，也可以帮助我们解决问题．我们就叫这个数轴为“新数轴”吧！我来考考大家： (3)在这个“新数轴”上，___________，___________，点A与点B之间的距离为___________； (4)在这个“新数轴”上，若点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向左移动，经过多少秒，点P与点A的距离是点P与点B的距离的2倍？此时，点P在“新数轴”上对应的数是多少？ 考点04 动点问题与一元一次方程的应用 30．（2024-2025学年七年级上安徽省阜阳市第十五中学期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 31．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市瑶海区行知学校期中）【知识拓展】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与b的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 若，则的值为或． 【拓展应用】 (1)若，则的值为______；若，则的值为_____； (2)如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，（单位长度）； ③当为何值时，恰好满足． 32．（2024-2025学年七年级上安徽省马鞍山市成功学校期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为． (1)若，则　 　； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 33．（2024-2025学年七年级上安徽省宿州市宿城第一初级中学期中）先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m． (1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)借助数轴思考，当________时，与的值相等； (3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________； (4)若点P位于表示的点左侧，化简：． 34．（2024-2025学年七年级上安徽省马鞍山市建中学校期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 35．（2024-2025学年七年级上安徽省阜阳市临泉县第五中学期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，数轴可以被视为“形”的一部分．研究数轴可以发现很多重要的结论： ①绝对值的几何意义：一般地，如果点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为，记作．例如，4与2之间的距离可表示为． ②中点公式：一般地，如果点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，那么线段的中点C表示的数为．例如，可理解成数－1与2中间的数为． 请借助数轴和上面的结论解决下列问题： 如图，点A，B在数轴上表示的数分别为，10，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴的正方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴的负方向运动，设运动的时间为秒． (1)A，B两点之间的距离是______个单位长度，线段的中点C表示的数是______． (2)运动t秒后点P表示的数是______，点Q表示的数是______．（用含有t的代数式表示） (3)当P，Q两点之间的距离为6个单位长度时（点P在点Q的左侧），求t的值． (4)在P，Q两点运动的过程中，O，P，Q三点中恰好有一点是另外两点构成的线段的中点，求此时t的值． 36．（2024-2025学年七年级上安徽省蚌埠市固镇县期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)A，B两点之间距离为__________； (2)若点P以2个单位/秒的速度从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度； (3)若点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 37．（2024-2025学年七年级上安徽省亳州市蒙城县期中）已知，数轴上的点M在原点右边，与原点的距离为7个单位长度，点N在原点左边，点M、N相距9个单位长度． (1)若点M、N在数轴上所表示的数分别为m，n，则_________，_________； (2)情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，左右两端点A、B分别对应数a、b，现将玩具火车沿数轴左右水平移动，当端点A所对应的数为b时，端点B所对应的数为m；当端点B所对应的数为a时，端点A所对应的数为n，则玩具火车的长为_________个单位长度； (3)探究：在（2）的条件下，当火车匀速向右以每秒3个单位长度运动，同时点P和点Q分别从N、M出发，以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？（表示P，Q两点之间的距离；表示两点之间的距离．）若存在，请分别求出k和的值；若不存在，请说明理由． 38．（2024-2025学年七年级上安徽省滁州市全椒县期中）已知：点为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为0，点表示的数为－2，点表示的数为1，则是的“2倍点”，记作：． (1)如图（a），点为数轴上三点，回答下面问题： ①______； ②若点在数轴上且，则点表示的数为______； ③点是数轴上一点，且，求点所表示的数． (2)数轴上，点表示的数为，点表示的数为50，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且的速度为5单位/秒，设运动时间为秒．当时，请直接写出的值． 39．（2024-2025学年七年级上安徽省亳州市利辛县利辛中学期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点； (3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 40．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市合肥新站高新技术产业开发区期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图，若点在数轴上所对应的数为，点表示的数为． （1）、两点间的距离_____，、两点的中点表示的数为_____； （2）若点是数轴上一点，且、两点间的距离，则点表示的数为_____； 【拓展运用】如图，已知数轴上有、两点，分别表示的数为与，点、分别从点、同时出发，沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位长度秒，点的运动速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．请问、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 41．（2024-2025学年七年级上安徽省蚌埠市怀远县期中）阅读 可理解为数轴上表示a所对应的点与b所对应的点之间的距离；如可理解为数轴上表示8所对应的点与4所对应的点之间的距离；可以看作，可理解为数轴上表示8所对应的点与所对应的点之间的距离； 【探索】 回答下列问题： (1)可理解为数轴上表示x所对应的点与_________所对应的点之间的距离． (2)若方程，则满足条件的x的整数解有：____________ (3)如图所示，在数轴上，若点A表示的数记为a， A、B两点的距离为15，且点B在点A的右侧，现有一点P以每分钟4个单位长度的速度从点A向右出发，点Q以每分钟3个单位长度的速度从点B向右出发，当的距离为5个单位长度时，求时间t的值． 42．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市高新区期中）如图，点为数轴的原点，点，是数轴上的两点，点表示的数为，．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，设点和点运动的时间为秒． (1)点表示的数为______． (2)若点和点运动的时间为3秒，且点沿着数轴向左运动，求点和点之间的距离； (3)当点，之间的距离为6个单位长度，且点在点的右边时，求点，运动的时间． 43．（2024-2025学年七年级上安徽省宿州市泗县期中）已知：a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝a+b，请回答下列问题： （1）请直接写出a，b，c的值：a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　； （2）a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，请在如图的数轴上表示出A，B，C三点； （3）在（2）的情况下．点A，B，C开始在数轴上运动，若点A，点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB﹣BC的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB﹣BC的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与数轴有关四大综合题（高效培优期中专项训练） 考点01 带有字母的绝对值化简问题 考点02 数轴上两点之间的距离 考点03 数轴上两点之间的距离与一元一次方程的应用 考点04 动点问题与一元一次方程的应用 考点01 带有字母的绝对值化简问题 1．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市第四十五中学橡树湾校区期中）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，，且， ，，， ， 故选：B． 2．（2024-2025学年七年级上安徽省滁州市定远县第一初级中学学期期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵由数轴可得： ，①正确； ，②错误； ，③正确； ， ④正确； 综上，正确的个数为个． 故选：B． 3．（2024-2025学年七年级上安徽省亳州市蒙城县期中）已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，其中一定成立的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∴， 故②错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ∵，，， ∴， 故④正确，符合题意， 综上所述，成立的有3个， 故选：B． 4．（2024-2025学年七年级上安徽省阜阳市阜南县第五初级中学期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 5．（2024~2025七年级上安徽省滁州市天长市铜城中学期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【详解】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 6．（2024~2025学年七年级上安徽省淮南市凤台县部分学校学期期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【详解】解：①为有理数， ， 故结论①不正确； ②，， 又， ，， ， 故结论②正确； ③， ， 当时，， 当时，没有意义， 故结论③不正确； ④， 有以下两种情况： （I）当a、b、c中有两正一负时，不妨假设a、b为正，c为负， ，，， ； (II）当a、b、c都是负数时，则，，， ， 故结论④不正确； 综上所述：正确的结论是②， 故答案为：②． 7．（2024-2025学年七年级上安徽省六安市舒城县仁峰学校期中）如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：    （1） ； （2） ． 【答案】 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为． （2）由数轴可得：， ∴， ∴ ． 故答案为． 8．（2024-2025学年 七年级上安徽省马鞍山市建中学校期中）若x为有理数，已知． （1）当时，A的值为 ． （2）A的最小值为 ． 【答案】 7 5 【详解】解：（1）当时， ； 故答案为：7； （2）当时， ； 当时，； 当时，． ∴当时，A的值最小，最小值为5． 故答案为：5 ． 9．（2024-2025七年级上安徽省马鞍山市和县第三中学期中）已知a，b，c三个有理数在数轴上对应的位置如图所示， (1)判断大小： ____ 0， ______0，b ____ 0 (2)化简． 【详解】（1）解：由数轴可知：， ∴， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ∴ ． 10．（2024-2025七年级上安徽省马鞍山市东方实验期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【详解】（1）解：由图可知，且， 所以，； 故答案为：； （2）解： 11．（2024-2025七年级上 安徽省阜阳市第十八中学期中）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．若a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ； (2)求的值； (3)化简：． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 故答案是：；； （2）由数轴可得： ， ， ， ∴； （3）由数轴可知：且， ∴， ∴ ． 考点02 数轴上两点之间的距离 12．（2024-2025七年级上安徽省芜湖市无为市初中十校联考期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【详解】解：由题意可分类讨论：①当M表示的数是原点时，如图， ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴，即时，成立； ②当N表示的数是原点时，如图， ∴，即此时不成立； ③当P表示的数是原点时，如图， ∴，即此时不成立； ④当R表示的数是原点时，如图， ∴，即时，成立． 综上可知原点可能是或． 故选A． 13．（2024-2025七年级上安徽省宿州市埇桥区期中）如图，在数轴上点A表示的数是的相反数，点B表示的数是最小的正整数，点C表示的数是绝对值是3的负整数．若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则与点B重合的点表示的数是 ．    【答案】4 【详解】解：在数轴上点表示的数是的相反数， ， 点表示的数是最小的正整数， ， 点表示的数是绝对值是3的负整数， ， 将数轴折叠，点与点重合， 对折点是， 与点重合的点表示的数是． 故答案为：4． 14．（2024-2025七年级上安徽省阜阳市临泉县第五中学期中）已知数轴与数轴如图所示，其中数轴的单位长度是数轴单位长度的．令数轴上的“”与数轴上的“”上下对齐，数轴上的数字记为“”，数轴上的数字记为“”，上下对齐记为相等，如“”． （1）若，则 ． （2）若，则 （用含x的代数式表示）． 【详解】解：（1）∵数轴的单位长度是数轴单位长度的 ∴数轴上，距离3个单位长度，相当于数轴的1个单位长度， ∵距离数轴的1个单位长度， ∴ ∴， 故答案为：． （2）由（1）可得， 同理可得，，…… ∴若，则 ∴ 故答案为：． 15．（2024--2025七年级上安徽省安庆市怀宁县期中）已知指数轴上表示的点到表示点的距离，指数轴上表示的点到表示和6两个点的距离之和． （1）式子的最小值为 ． （2）已知，则的最大值是 ． 【详解】解：（1）依题意， 当时， 则， 当时， 当时， 则； 综上，的最小值为9； 故答案为：9． （2） 又∵， ， 即的最大值是7， 故答案为：7． 16．（2024-2025七年级上安徽省芜湖市无为县多校期中）如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合），分别到1对应的点的距离相等，点（不与重合），分别到2对应的点的距离相等，点（不与重合），分别到3对应的点的距离相等，……按此规律，点表示的数为 ，点表示的数为 ．    【详解】解：由题知， 因为数轴上点表示的数为，且(不与重合)，分别到1对应的点的距离相等， 所以， 即点表示的数为4； 依次类推，点表示的数为0，点表示的数为6，点表示的数为2，点表示的数为8，点表示的数为，所以点(为正整数)表示的数为：，点表示的数为：． 当时，， 即点表示的数为8； 当时， ， 即点表示的数为2022． 故答案为：8，2022． 17．（2024-2025七年级上安徽省滁州市第五中学期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为a，常数项为c．    (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与某数表示的点重合，求出此数； (3)若点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒， ①当点C在点B右侧时，______，______（用含t的代数式表示） ②小明同学发现：的值是个定值，求此时m的值． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为a，常数项为c， ∴， 故答案为：； （2）解：∵将数轴折叠，使得点A与点C重合， ∴折叠点为， ∴与点B重合的点表示的数为； （3）解：①由题意得，运动t秒后点A，点B，点C分别表示的数为， ∵点C在点B右侧， ∴， 故答案为：，； ②∵，， 当时， ∴ ， ∵的值是一个定值， ∴的结果与t无关， ∴ ∴； 当时， ∴ ， ∵的值是一个定值， ∴的结果与t无关， ∴ ∴； 综上所述，m的值为． 18．（2024-2025七年级上安徽省淮南市田家庵区淮河中学期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 【详解】（1）解：，数轴上表示数x的点到原点的距离为3， 因此或， 故答案为：； （2）解：，在数轴上与的距离为3的点对应的数2或， 故答案为：2或； （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是2与之间的距离，为8， 故有最小值，是8； （4）解：∵表示在数轴上表示数x的点到表示数与表示数2的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值3 ∵表示在数轴上表示数y的点到表示数1与表示数3的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值2 ∵ ∴只有当且时等式成立 ∴， ∴当，时，有最大值，即． 19．（2024-2025七年级上安徽省合肥市第五十中学天鹅湖校区期中）数形结合是运算过程中的重要思想方法，小明将一根木棒放在如图1所示的数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． (1)若数轴上A点表示的数为，B点表示的数为2，若将点A移动到点B，则点A移动的距离为______． (2)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为______；图中点A所表示的数是______；点B所表示的数是______． (3)知识迁移：爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你还要14年才出生；你若是我现在这么大，我就67岁啦！”请求出爸爸的年龄． 【详解】（1）解：∵数轴上A点表示的数为，B点表示的数为2， ∴将点A移动到点B，则点A移动的距离为； （2）解：由题意可得：木棒的长度为； 图中点A所表示的数是； 点B所表示的数是； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴爸爸的年龄为岁． 20．（2024~2025七年级上安徽省滁州市天长市铜城中学期中）阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数A与数对应点之间的距离． (1)用绝对值表示数轴上与之间的距离； (2)若，则可以表示数轴上的哪些数； (3)依据（2）的结论，求使得成立的所有符合条件的整数的和； (4)由以上的探索猜想对于任何有理数，求出的最小值？ 【详解】（1）解：∵表示数轴上数与数对应点之间的距离， ∴数轴上与之间的距离表示为； （2）表示：在数轴上，某点到2所对应的点的距离为3， ∴或， 可以表示数轴上的数或数5； （3），表示为在数轴上某点到所对应的点的距离和到3所对应的点的距离之和为7， ∴， ∴满足条件的整数x可为，，，，0，1，2，3， ∴整数的和为； （4）解：表示在数轴上表示到4和的距离之和， 所以当x在与4之间的数轴上时，有最小值为， 即的最小值为9． 21．（2024--2025七年级上安徽省安庆市怀宁县期中）已知有理数a，b满足，且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用表示． (1)求的值． (2)若数轴上有一点C，满足，求C点表示的数． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ； （2）解：设C点表示的数为c， 分三种情况讨论： ①当点C在点A、B之间时， 如图， 由图可知：， ，， ， ， ， ， 由（1）知：，， ， ， 点表示的数为； ②当点C在点B右边时， 如图， 由图可知：， ，， ， ， ， ， 由（1）知：，， ， 点表示的数为； ③当点C在点A左边时， 此种情况显然不成立； 综上，C点表示的数为8或44． 22．（2024-2025七年级上安徽省芜湖市无为县多校期中）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离． 例如，的几何意义为数轴上表示数与5的两点间的距离，若，则的值为4或6． 给出定义：数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之和称为与，的“关联距离”．例如，为与1，的“关联距离”； 为与1，2，的“关联距离”．    (1)若，则的值为________； (2)若与1，的“关联距离”为2，写出一个满足条件的的值________； (3)请化简“关联距离”，并直接写出该“关联距离”的最小值________． 【详解】（1）解：∵，表示与的距离为1， ∴或； 故答案为：，． （2）解：依题意，与1，的“关联距离”为2，即 ∴中的任意一个数都符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． （3）解：①当时； ②当时； ③当时； ④当时； ∵表示点到，的距离的和， ∴当时，取得最小值， 即 ∴“关联距离”最小值为． 故答案为：． 23．（2024-2025七年级上安徽省阜阳市界首市学期期中）定义：把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．可以理解为． 【运用】 （1）若，则_____； 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数的点与2所对应的点之间的距离；式子，所以的几何意义就是在数轴上表示数的点与所对应的点之间的距离． （2）式子的几何意义为_____； （3）求的最小值． 【详解】解：（1）由题意得，表示的是数轴上表示a的数与原点的距离为3，则； （2）由题意得，表示的是数轴上表示数a的点与所对应的点的距离； （3）由题意得表示的是数轴上表示数a的点与3所对应的点的距离加上数轴上表示数a的点与所对应的点的距离， ∴当时，有最小值，最小值为． 24．（2024-2025七年级上安徽省芜湖市无为市初中十校联考期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 【详解】（1）； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴，或； 故答案为：或5； （3）解：∵， 即， 当 时， ， ∴； 当时， ， 此时，，或； 当时， ， ∴， ∴x的整数值为：，或0，或1，或2： 故答案为：，或0，或1，或2： （4）解：∵可看作是数轴上表示x的点到、2、4三点的距离之和， ∴当时，有最小值． 的最小值为 ． 故答案为：6． 考点03 数轴上两点之间的距离与一元一次方程的应用 25．（2024-2025七年级上安徽省六安市清水河学校期中）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且点与点B的距离为3则C点表示的数是 ．    【答案】 【详解】解：设点所表示的数为x，则， ∵，B点表示的数为9， ∴点表示的数为， 根据折叠得，，则， ∴， 解得，， 故答案为：． 26．（2024-2025七年级上安徽省滁州市明光市城区联考期中）【预备知识】 如图1，若数轴上M，N两点表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离，例如，，，则． 【实际问题】 如图2，M，N两点在数轴上对应的数分别为－12，20，甲、乙分别从M，N处同时出发，甲的速度为1个单位长度/s，乙的速度为3个单位长度/s，设运动的时间为ts． （1）M，N两点之间的距离______； 【综合运用】 （2）若甲、乙相向运动，记相遇点为A，则点A表示的数为______，此时______； （3）若甲、乙都向左运动． ①当t为何值时，乙恰好追上甲？ ②当t为何值时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度？ 【详解】解：（1）. 故答案为：32； （2）根据题意，得， 解得，则， 所以点A表示的数是. 故答案为：； （3）①根据题意，得：． 解得． ∴当s时，乙恰好追上甲． ②分两种情况： 情况一：乙追上甲之前相距10个单位长度． 根据题意，得． 解得． 情况二：乙追上甲之后相距10个单位长度． 根据题意，得． 解得． 综上，当s或s时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度． 27．（2024-2025七年级上安徽省宿州市埇桥区期中）【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合，数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离，借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是－3．动点M从点A出发沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和－3的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为x，化简：．（写出化简过程） 【详解】（1）解：由数轴可得点B表示的数为4； A和B两点之间的距离为． 故答案为：4，7． （2）解：①从形的角度来解释：5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为2； ②数轴上表示数a和的两点之间的距离表示为． 故答案为：． ③表示点a表示的点到的距离与到2的距离的和为13， 当时，，解得， 当时，，此时无解， 当时，，解得， 综上所述：或6． 故答案为：或6． （3）解：∵动点M在A和B两点之间运动， ∴， ∴． 28．（2024-2025学年七年级上安徽省六安市清水河学校期中）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足． (1)求点A与点B 在数轴上对应的数a和b； (2)现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P和点Q相遇于点C，求点C 在数轴上表示的数； ②当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， ∴点A与点B在数轴上对应的数a为，b为40； （2）当运动时间为t秒时，点P在数轴上对应的数为，点Q在数轴上对应的数为， ①， ∴， ∴， ∴点C在数轴上表示的数为20； ②∵， ∴或， ∴或， ∴当为15个单位长度时，t的值为秒或秒． 29．（2024-2025学年七年级上安徽省宿州市萧县期中）【问题提出】在学习数轴知识时，数学小组的同学们遇到了这样的问题，请你帮他们解决： 若将数轴折叠，使与4表示的点重合． (1)则表示的点与数___________表示的点重合； (2)若数轴上M、N两点之间的距离为2022，且M、N两点经过上述方法折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【反思生疑】解决这个问题后，小寻同学提出了这样的问题：既然数轴可以折叠，那可不可以把数轴旋转一下呢？于是，同学们将数轴绕原点旋转，得到了如图的“新数轴”： 晓晓同学说：一般规定向右为数轴的正方向，但是如果规定“向左”为正方向，也可以帮助我们解决问题．我们就叫这个数轴为“新数轴”吧！我来考考大家： (3)在这个“新数轴”上，___________，___________，点A与点B之间的距离为___________； (4)在这个“新数轴”上，若点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度向左移动，经过多少秒，点P与点A的距离是点P与点B的距离的2倍？此时，点P在“新数轴”上对应的数是多少？ 【详解】（1）解：设和对应的数为x， 则， 解得； （2）解：∵将数轴折叠，使与4表示的点重合 ∴对折点对应的数值为1． 又∵数轴上M、N两点之间的距离为2022，且上述方法折叠后互相重合， ∴点M、N分别到1的距离为1011 若M在N的左侧，则M点为，N点为． 若M在N的右侧，则M点为，N点为． （3）由数轴的表示方法得：，， 点A与点B之间的距离为， （4）①当点P在A、B之间时， ∵AB间距离为6，点P与点A的距离是点P与点B的距离的2倍． ∴，． ∴（秒）． 且点P表示的数为2． ②当点P在B左侧时 ∵AB间距离为6，点P与点A的距离是点P与点B的距离的2倍， ∴ ∴（秒） 且点P表示的数为10． 考点04 动点问题与一元一次方程的应用 30．（2024-2025学年七年级上安徽省阜阳市第十五中学期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 31．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市瑶海区行知学校期中）【知识拓展】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与b的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 若，则的值为或． 【拓展应用】 (1)若，则的值为______；若，则的值为_____； (2)如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，（单位长度）； ③当为何值时，恰好满足． 【详解】（1）解：∵的意义为数轴上表示数与的两点间的距离是， ∴或； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离是， ∴或． 故答案为：或；或． （2）解：①设点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数是， ∴，， ∴，， 即点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数是． 故答案为：； ②依题得：运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∵， ∴， 解得：或． ③依题得：运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴， ∵，， ∴， 当即时，， 解得：， 当即时，， 解得：， 当即时，， 解得， ∵， ∴（舍去）． 综上，当或时，恰好满足． 32．（2024-2025学年七年级上安徽省马鞍山市成功学校期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为． (1)若，则　 　； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【详解】（1）解：由点在数轴上的位置，可知，当时，P在点A、B中间， ∴，， ∴，解得：； 故答案为：1； （2）解：∵ 若点P在点A左侧，，， 则，解得：； 若点P在点A、B中间：，， 则，不符合题意； 若点P在点B右侧，，， 则，解得：； 综上的值为或5． （3）解：的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 由题意，得：点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴，， ∴， ∴的值不会随着的变化而变化． 33．（2024-2025学年七年级上安徽省宿州市宿城第一初级中学期中）先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m． (1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)借助数轴思考，当________时，与的值相等； (3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________； (4)若点P位于表示的点左侧，化简：． 【详解】（1）解：数轴上点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度， ； 或， 解得：m为或， （2）解：如图，记表示，表示，对应的数为， ∴与的值相等， 即， 此时对应的数为：； （3）解：如图，记表示，表示，表示，对应的数为， ∴， ∴当重合时，即，有最小值， 最小值为； （4）解：点P位于表示的点左侧，如图， ∴ ； 34．（2024-2025学年七年级上安徽省马鞍山市建中学校期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 【详解】（1）解：点C，D分别与5和8对应， ， 由题意得， 点A在点B的左侧，点B在原点处， 点A表示的数为: ， 故答案为：． （2）解：①由题意知，电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，点A表示的数为， 第5次后落点所对应的数轴上的数为：， ， 第3次跳动后落在原点处． ②第100次后落点所对应的数轴上的数为： ， 又点C与5对应， ． 电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离为108． 35．（2024-2025学年七年级上安徽省阜阳市临泉县第五中学期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，数轴可以被视为“形”的一部分．研究数轴可以发现很多重要的结论： ①绝对值的几何意义：一般地，如果点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为，记作．例如，4与2之间的距离可表示为． ②中点公式：一般地，如果点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，那么线段的中点C表示的数为．例如，可理解成数－1与2中间的数为． 请借助数轴和上面的结论解决下列问题： 如图，点A，B在数轴上表示的数分别为，10，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴的正方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴的负方向运动，设运动的时间为秒． (1)A，B两点之间的距离是______个单位长度，线段的中点C表示的数是______． (2)运动t秒后点P表示的数是______，点Q表示的数是______．（用含有t的代数式表示） (3)当P，Q两点之间的距离为6个单位长度时（点P在点Q的左侧），求t的值． (4)在P，Q两点运动的过程中，O，P，Q三点中恰好有一点是另外两点构成的线段的中点，求此时t的值． 【详解】（1）解: 由题意知，两点的距离为， 线段的中点C所表示数为， 故答案为：； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为， 故答案为：； （3）解：秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， , 又两点相距6个单位长度， ,解得:或, 点P在点Q的左侧， 当时,P表示的数为，Q表示的数为，不满足点P在点Q的左侧，舍去， 两点经过时相距6个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点， 由题意得，,解得舍去， ②为线段的中点, 由题意得，,解得， ③当Q为线段的中点， 由题意得，解得, 综上所述：的值为或． 36．（2024-2025学年七年级上安徽省蚌埠市固镇县期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)A，B两点之间距离为__________； (2)若点P以2个单位/秒的速度从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度； (3)若点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，， 所以A，B两点之间距离为：． 故答案为：16． （2）解：设点Q的运动速度为x个单位/秒， 根据题意，得， 解得， 所以点Q的运动速度为1.2个单位/秒． （3）解：存在，理由如下： 因为点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒， 则点P对应的数为， 所以，． 因为，所以， 当时， 解得秒， 当时， 解得秒， 所以当t的值为6秒或12秒时，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍． 37．（2024-2025学年七年级上安徽省亳州市蒙城县期中）已知，数轴上的点M在原点右边，与原点的距离为7个单位长度，点N在原点左边，点M、N相距9个单位长度． (1)若点M、N在数轴上所表示的数分别为m，n，则_________，_________； (2)情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，左右两端点A、B分别对应数a、b，现将玩具火车沿数轴左右水平移动，当端点A所对应的数为b时，端点B所对应的数为m；当端点B所对应的数为a时，端点A所对应的数为n，则玩具火车的长为_________个单位长度； (3)探究：在（2）的条件下，当火车匀速向右以每秒3个单位长度运动，同时点P和点Q分别从N、M出发，以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？（表示P，Q两点之间的距离；表示两点之间的距离．）若存在，请分别求出k和的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）根据题意，得， ∵点N在原点左边，点M、N相距9个单位长度 ∴， 故答案为：7，； （2）设玩具火车的长为， ∴ 根据题意，得， ∴ 将代入到，得， ∴， 故答案为：3； （3）设火车运动时间为t秒 ∵火车匀速向右以每秒3个单位长度运动，且， ∴ ∵点P和点Q同时分别从N、M出发，以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动， ∴， ∴， 当时，，即与它们的运动时间无关， ∴存在常数k使得的值与它们的运动时间无关，，． 38．（2024-2025学年七年级上安徽省滁州市全椒县期中）已知：点为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为0，点表示的数为－2，点表示的数为1，则是的“2倍点”，记作：． (1)如图（a），点为数轴上三点，回答下面问题： ①______； ②若点在数轴上且，则点表示的数为______； ③点是数轴上一点，且，求点所表示的数． (2)数轴上，点表示的数为，点表示的数为50，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且的速度为5单位/秒，设运动时间为秒．当时，请直接写出的值． 【详解】（1）解：①∵点表示，点表示，点表示3， ∴，， 则是的“5倍点”，记作：； 故答案为：5； ②∵， ∴， ∵点表示，点表示3， ∴表示的数为1； 故答案为：1； ③∵， ∴， 当点在点和点之间时， ∴ ∴，则， ∴D表示的数为； 当点D在点B右侧时，则， ∴， ∴， ∴D表示的数为， 故答案为：2或5； （2）解：由题意可知，经过秒后，表示的数为： ∵点表示的数为，点表示的数为50， 当点在点和点之间时， ，， ∵，即 ∴ 解得：， 当点在点右侧时， ，， ∵，即 ∴ 解得：， 综上，当时，的值为或14． 39．（2024-2025学年七年级上安徽省亳州市利辛县利辛中学期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点； (3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 【详解】（1）解：∵是关于的二次多项式，且二次项系数为， ∴，， ∴， ∴，两点之间的距离为， 故答案为：，，； （2）解：第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； ， ∴当第次运动时，点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∵点在点A的右边，则点P需要经过偶数次运动，又点B对应的数为， ∴， ∴， ∴； ∴当运动到第次时，点到达点； （3）解：由（）中的规律点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∴第次运动点对应的数为． 40．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市合肥新站高新技术产业开发区期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图，若点在数轴上所对应的数为，点表示的数为． （1）、两点间的距离_____，、两点的中点表示的数为_____； （2）若点是数轴上一点，且、两点间的距离，则点表示的数为_____； 【拓展运用】如图，已知数轴上有、两点，分别表示的数为与，点、分别从点、同时出发，沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位长度秒，点的运动速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．请问、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 【详解】解：简单应用：（1）∵点在数轴上所对应的数为，点表示的数为， ∴， 、两点的中点表示的数为． 故答案为：， （2）∵若、两点间的距离，点在数轴上所对应的数为， 当点在点左边时，则点的为：， 当点在点右边时，则点的为：， 故答案为：， 拓展运用: 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 设它们按上述方式运动，、两点经过秒会相距个单位长度， 当点在点左侧时： 解得； 当点在点右侧时： 解得； 答：它们按上述方式运动，、两点经过秒或秒会相距个单位长度． 41．（2024-2025学年七年级上安徽省蚌埠市怀远县期中）阅读 可理解为数轴上表示a所对应的点与b所对应的点之间的距离；如可理解为数轴上表示8所对应的点与4所对应的点之间的距离；可以看作，可理解为数轴上表示8所对应的点与所对应的点之间的距离； 【探索】 回答下列问题： (1)可理解为数轴上表示x所对应的点与_________所对应的点之间的距离． (2)若方程，则满足条件的x的整数解有：____________ (3)如图所示，在数轴上，若点A表示的数记为a， A、B两点的距离为15，且点B在点A的右侧，现有一点P以每分钟4个单位长度的速度从点A向右出发，点Q以每分钟3个单位长度的速度从点B向右出发，当的距离为5个单位长度时，求时间t的值． 【详解】（1）根据题意：可理解为数轴上表示x所对应的点与4所对应的点之间的距离， 故答案为：4； （2）根据题意：表示x到的距离与x到3的距离和为4 ∴ 满足条件的x的整数解有：， 故答案为：． （3）∵点A表示的数记为a， A、B两点的距离为15 ∴点B表示的数为： 所以t分钟后，点P对应的数为∶， 点Q对应的数为∶， 所以点P与点Q的距离为∶ ， 整理： 解得：或． 42．（2024-2025学年七年级上安徽省合肥市高新区期中）如图，点为数轴的原点，点，是数轴上的两点，点表示的数为，．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，设点和点运动的时间为秒． (1)点表示的数为______． (2)若点和点运动的时间为3秒，且点沿着数轴向左运动，求点和点之间的距离； (3)当点，之间的距离为6个单位长度，且点在点的右边时，求点，运动的时间． 【详解】（1）解：由题意知，点B表示的数为， ∴点B表示的数为7； （2）解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点P和点Q之间的距离为； （3）解：①当点P，Q相向运动且点P在点Q的右边时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意，得， 解得； ②当点P，Q同向运动且点P在点Q的右边时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意，得， 解得； 综上所述，点P，Q运动的时间t为或． 43．（2024-2025学年七年级上安徽省宿州市泗县期中）已知：a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝a+b，请回答下列问题： （1）请直接写出a，b，c的值：a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　； （2）a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，请在如图的数轴上表示出A，B，C三点； （3）在（2）的情况下．点A，B，C开始在数轴上运动，若点A，点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB﹣BC的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB﹣BC的值． 【详解】（1）由题意可得a＝﹣1，b＝1，c＝﹣1+1＝0 （2） （3）∵BC＝（1+5t）﹣（0﹣t）＝1+6t, AB＝（1+5t）﹣（﹣1﹣t）＝2+6t ∴AB﹣BC＝2+6t﹣（1+6t）＝1, ∴AB﹣BC的值不会随着时间的变化而改变，AB﹣BC的值为1． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $