第一章 空间向量与立体几何 测试卷-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

第一章章末测试卷。 第一章章末测试卷 (满分：150分时间：120分钟) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5 B.垂直 分，共40分.在每小题给出的四个选项 C.相交但不垂直 中，只有一项是符合题目要求的 D.不能确定 1.如图，在三棱柱ABC 5.如图，已知正方形 M ABC中，M为AC1的中点， ABCD和正方形ADEF的边 若AB=a,AA1=C,BC=b,则 ; 长均为6，且它们所在的平 下列向量与BM相等的是()” 面互相垂直，O是BE的中 第1题图 点，m=),则线段 第5题图 A.-at2 bse OM的长为() B.2asjbse A.3V2 B.V19 C.a-hse C.2V5 D.V21 2 6.如图，在四棱锥P-ABCD D.a-2bte 中，侧面PAD是边长为4的正 2.直线l∥a,且1的方向向量为(2， 三角形，底面ABCD为正方 m,1,平面a的法向量为1,2,2，则 形，侧面PAD⊥底面ABCD, 第6题图 若M为平面ABCD上的一个动点，且满足 m=(） MP·MC=O,则点M到直线AB的最大距离 A.-4 B.-6 为() C.-8 D.8 3.以下四组向量在同一平面的是（) A.2V5 B.3+V5 A.(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) C.4+V5 D.4+2V2 B.(3,0,0),(1,1,2),(2,2,4) 7.在正方体ABCD-ABCD1中，若F, C.(1,2,3),(1,3,2),(2,3,1) G分别是棱AB,CC的中点，则直线FG与 D.(1,0,0),(0,0,2),(0,3,0) 平面AACC,所成角的正弦值为() 4.设u=(2,2,-1)是平面a的一个法 A.V② B.V5 3 4 向量，a=(-3,4,2)是直线1的一个方向 向量，则直线l与平面α的位置关系是() C.V3 D.V3 3 6 A.平行或直线在平面内 1 高中数学选择性必修第一册人教B版 8.如图，在四棱锥P 11.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是直 ABCD中，四边形ABCD是正 角梯形，∠BAD=90°， 方形，PD⊥平面ABCD.若E A AD∥BC,AB=AD=PD=1, 第8题图 是棱PC的中点，PD=AB,则 第11题图 BC=2,PD⊥平面ABCD, () 则二面角A-PB-C的大小为( A.AC⊥PB A.30° B.60° B.直线AE与平面PAB所成角的正弦 C.120° D.150° 值为V3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6 6 分，共18分.在每小题给出的选项中， C.异面直线AD与PB所成的角是平 有多个选项符合题目要求.全部选对的： D.四棱锥P-ABCD的体积与其外接球的 得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分. 体积的比值是2V3 9T 9.给出下面命题，其中错误的是（)： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， A.直线1的方向向量a=(1,-1,2),直 共15分.将答案填在题中横线上. 线m的方向向量为=2,1，-2，则11m 12.若a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 则与a+b同方向的单位向量是 B.直线1的方向向量a=(0,1,-1),平 13.已知矩形ABCD中，AB=1,BC= 面x的法向量为n=(1,-1,-1),则1⊥ C.平面ax,B的法向量分别为n1= V3,将矩形ABCD沿对角线AC折起，使 (0,1,3),n2=(1,0,2),则ax∥B 平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间 D.平面a经过三个点A(1,0,-1), 的距离为 B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1, 14.如图，在三棱锥S ,t)是平面a的法向量，则+t=1 :ABC中，SA=SB=SC,且 1O.若将正方形ABCD沿对角线BD折 :LASB=∠BSC=LCSM=T, 21 成直二面角，则下列结论正确的有() M,N分别是AB和SC的中 A.AD与BC所成的角为459 点，则异面直线SM与BW 第14题图 B.AC与BD所成的角为90° 所成角的余弦值为 C.BC与平面ACD所成角的正弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答 1V6 时应写出文字说明、证明过程或演算 3 步骤. D.平面ABC与平面BCD所成角的正切 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD 值是V2 中，PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC, 第一章章末测试卷。 AD=DC=AP=2,AB=1,E为棱PC的中点. 17.(15分)如图1，在边长为5的菱形 (1)求证：BE⊥PD: ABCD中，AC=8,现沿对角线BD把△ABD (2)若F为棱PC上一点，满足BFL 折起，折起后（如图2）使∠ADC的余弦值 AC,求线段PF的长. 为9 51 (1)求证：平面ABD⊥平面CBD: (2)若M是AB的中点，求折起后AC 第15题图 与平面MCD所成角的正弦值 图1 图2 第17题图 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD, AB⊥BC,∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD, AB=AP=1,AD=3.求： (1)异面直线PB与CD所成角的大小： (2)点D到平面PBC的距离 第16题图 (3 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 18.（17分)如图，在三棱柱ABC 19.（17分)在如图所示的几何体中， ABC中，侧面BCCB:为正方形，平面 :四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD, BCCB1⊥平面ABBA1,AB=BC=2,M,N分 PA∥BE,AB=PA=4,BE=2. 别为AB,AC的中点. (1)求证：CE∥平面PAD. (1)求证：MN∥平面BCCB; (2)在棱AB上是否存在一点F,使得 (2)若AB⊥MN,求直线AB与平面 平面DEFL平面PCE?如果存在，求AF的 AB BMN所成角的正弦值！ B 值；如果不存在，说明理由 第18题图 第19题图 (4测试卷参考答案 m第一章章末测试卷 1.A【解析】BM=BB+B,M=AA+(BA+B,C)= Ad+2(+Bd-c+子(-a+b)=-a+b4c放选A 2.C【解析】/a,(2,m,11,分，2=2+ 受+2-0，m=-8放选C 3.B【解析】利用共面向量基本定理逐项判断. 对于A,设(1,1,0)=m(0,1,1)+n(1,0,1), n=l, m=l,无解.同理，C,D选项均无解，而对于B, m+n=0, 因为(2,2,4)=0(3,0,0)+2(1,1,2)，故选B. 4.A【解析】ua=2×(-3)+2×4-1×2-0,.u1a,故 直线l∥平面a&或直线lC平面：故选A. 5.B【解析】由题意可得DA, DC,DE两两互相垂直.以D为坐 标原点，DA,DC,DE的方向分 别为x轴、y轴、z轴的正方向，建 立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0,0,6),F(6,0,6), B(6,6,0). 第5题答图 0是BE的中点，.0(3,3,3). FM=MA,M(6,0,4), 2 :10M=V(6-3)+(0-3)+(4-37=V19,即线段0M 的长为V9.故选B. 6.B【解析】以D为原点，DA 所在直线为x轴，DC所在直线为y 轴，过D作平面ABCD的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系，则P2,0,2V3),C0,4,0. 设M(a,b,0), 则Mp=(2-a,-b,2V3), 第6题答图 MC=(-a,4-b,0). Mp.MC=0,.(2-a,-b,2V3)(-a,4-b,0) =-2a+d2-46+b2=0,整理得(a-1)2+(b-2)2=5, M为平面ABCD上到点(1,2)的距离为V5的 一个动点，故点M到直线AB的最大距离为4-1+V5= 3+V5.故选B. 参考答案。 7.D【解析】方法一：过F作BD的平行线交AC于 点M,连接MG(图略)，易证得FM⊥平面AACC, .FM⊥MG,∠MGF即为直线FG与平面AACC所成的角. 设正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，易得FM= ,-. 2, .∴sin MGF-Fu-V3 FG 6 方法二：以A为原点，AB,AD,AA的方向分别 为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系. 第7题答图 设正方体ABCD-ABCD1的棱长为1，易得平面 AACC的一个法向量为=(-1,1,0)， 3,0,0,G1,1,,c31,} 设直线FG与平面AACC,所成的角为O, 则sin0-lcos(n,FC)FG 2 _V3 InllFGI V2xV6 6 2 8.C【解析】取BC中点M 连接DM,由已知可得四边形ADMB 为正方形，易得DM,DA,DP两 两互相垂直，故以点D为原点， D DM,DA,DP的方向分别为x轴、C4 y轴、云轴正方向，建立如图所示 第8题答图 的空间直角坐标系，则D(0,0,0), A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,-1,0),P(0,0,1), AP=(0,-1,1),AB=(1,0,0). 设平面PAB的一个法向量为=(x,y,z), 则m0.即=0， nAB=0,x=0, 令z=1,则y=1,.=(0,1,1). 设平面PBC的一个法向量为2=(a,b,c),易得 BC=(0,-2,0),PC=(1,-1,-1), 121 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 nBC-0,即 -2b=0. nz-PC=0. a-b-c=0, 令c=1,则a=1,.∴n2=(1,0,1), ∴.cos(n1,n2)= 1 V2xV2-2 易知二面角A-PB-C的平面角为钝角， ∴.二面角A-PB-C的大小为120°.故选C. 9.BCD【解析】对于A,.a·b=1×2+(-1)×1+2× (之0,1m,放A正确； 对于B,a与n不平行，所以l与平面a不垂直，所 以B错误； 对于C,n与2不平行，所以a与B不平行，故C 错误； 对于D,因为AB=(-1,-1,1),AC=(-2,2,1), AB·n=0, 且向量n=(1,u,t)是平面a的法向量，则 AC.n=0, 1 即l+t=0, u 解得 3 1-2+2+t=0. 4 所以u+子故D错误 3· 1O.BCD【解析】取BD中点 O,连接A0,C0. 若将正方形ABCD沿对角线 BD折成直二面角，则OA⊥BD, OC⊥BD,OA⊥OC, ∴.以0为原点，OC所在直线 第10题答图 为x轴，OD所在直线为y轴，OA 所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设0C=1,则A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1, 0,0),D(0,1,0), AD=(0,1,-1),BC=(1,1,0), cos(AD,BC)=AD·BG 1 1 IADIIBCI V2xV2 2 ·AD与BC所成的角为60°，故A不正确； 易得AC=(1,0,-1),BD=(0,2,0), AC.BD-0,AC⊥BD,故B正确； 设平面ACD的一个法向量为仁(x,y,z), 则-C-0,取=l,则1， t-AD=y-z=0. 1=(1,1,1),又BC=(1,1,0), 设BC与平面ACD所成的角为0， 122 .∴sin0=cos(BC,t)l= BCt 2 =V6 IBCIl V3xV2 3 故C正确； 易知平面BCD的一个法向量n=(0,0,1),BA= (0,1,1),BC=(1,1,0), 设平面ABC的一个法向量为m=(x',y,z), 则 mBy+0,取=1，y'=-1,2=,m= m-BC=x'+y'=0, (1,-1,1). 设平面ABC与平面BCD所成的角为a,则cosa= esm,ntm-Yy,snaVy5,aaeV7, .平面ABC与平面BCD所成角的正切值是V2, 故D正确.故选BCD. 11.ABD【解析】连接BD.因 为底面是正方形，所以BD⊥AC. 又PD⊥平面ABCD,..PDI AC..'AC⊥平面PBD, 则AC⊥PB,故A正确. 由题意知，AD,CD,PD两两 第11题答图 互相垂直，建立空间直角坐标系D-yz,设AB=2,则 A(2,0,0),B(2,2,0),E(0,1,1),P(0,0,2),从 而AD=(-2,0,0),AB=(0,2,0),AE=(-2,1,1), PB=(2,2,-2) 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z), 则 n-AB=2y=0, n-PB=-2x+2y-2a=0. 令x=1,得n=(1,0,1)· 设直线AE与平面PAB所成角为0， 则sin0=cos(AE，,n)= v6,敢B -2+1 正确. 设异面直线AD与PB所成的角为心 则cosa-cos(AD,PBE 1-22V3 2xVi2e3,a≠平， 故C错误. 四棱锥PABCD体积M,=弩，可求四棱锥PABCD 的外接球的半径R=?=V了， 2 8 =号=4V3, 3=2V3 V球4V3π9m :D正确.故选ABD. 120,写，2【解析】与ab同方向的 5 单位向量是50,1,2=0,9,2等月 13.Y0【解析】过B,D分别向AC作垂线，垂 2 足分别为M,N 则可求得AM=7,BM=,CN=之，DN- 2 V3 2 -,MN=1. 由于BD-BM+MN+ND .IBDP=(BM+MN+ND) -IBM P+WMN P+INDP+2(BM.MN+MN.ND+BM.ND) Y+42040402, 面iYD 14.D【解析】∠ASB=LBSC=LCS1=牙， 5 以S为坐标原点，SA,SB,SC的方向分别为x轴、y 轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.设SA=SB=SC=2, 则S(0,0,0),B(0,2,0),A(2,0,0),C(0, 0,2),M(1,1,0),N(0,0,1), SM=(1,1,0),BN=(0,-2,1),cos(SM, 矿V2品行Y茅面直线w与所皮 的角的余弦值为0 5 15.(1)证明：易得AB,AD,AP两两互相垂直， 故以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴、y 轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2, 0),E(1,1,1),D(0,2,0), 第15题答图 BE=(0,1,1),PD=(0,2,-2), BE.PD=O,BE⊥PD. (2)解：由(1)可得BC=(1,2,0),CP=(-2, 参考答案。 -2,2),AC=(2,2,0). 由点F在棱PC上，设CF=ACP=(-2A,-2A,2A), 0≤入≤1， :BF-BC+CF=(1-2,2-2A,2A). BF1AC,.BF.AC=2(1-2A)+2(2-2A)-0,解得 A=3 PF1-CV 2； 即线段PF的长为3 2 16.解：(1)易得AB,AD,AP两两互相垂直，故 以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴、y轴、 z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 第16题答图 则P0,0,1),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0, 3,0),PB=(1,0,-1),CD=(-1,1,0). 设异面直线PB与CD所成的角为O,则cos0= 恩离#线烟与mF成a大场号 (2)设平面PBC的一个法向量为n=(u,v,w),由 (1)可得BC=(0,2,0),则 形n0.即-0. BCn-0,2=0, 取u==1,得=(1,0,1)， ·点D到平面PBC的距离dkn:CD=V2 Inl 2 17.(1)证明：在菱形ABCD中，记AC,BD的交 点为0 则0A=0C=4,AD=5,.0B=OD=3. 将△ABD折起后变成三棱锥A-BCD,在△ACD中， AC=4D+0D-24D-CDcs∠ADC-25+25-2x5x5x号 =32. 在△A0C中，0A2+0C2=32=AC2, .∠A0C=90°，即A01C0. 又.A0⊥BO,B0∩CO=0,.∴AO⊥平面CBD. 又AOC平面ABD,.平面ABD⊥平面CBD. (2)解：由(1)知0C,0D,0A两两互相垂直， 123 高中数学选择性必修第一册人教B版 故以0为原点，0C,0D,OA的方向分别为x轴、y 轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyZ, 则A(0,0,4),B(0,-3, 0),C(4,0,0),D(0,30), Mo,-32 c=4,3,-2,DC=4, -3,0),AC=(4,0,-4). 设平面MCD的一个法向量为 第17题答图 n=(x,y,z), 则nMC-0, 4+2-2-0, 即 n.DC=0, 4x-3y=0, 取y=4,则x=3,z=9,:n=(3,4,9). 设AC与平面MCD所成的角为0， sin@=lcos (AC.n)=Cn 12-361 ACllnl4V2×V106 3V53 53 MC与平面MCD所成角的正弦值为3Y5 53 18.(1)证明：取BC中点D,连接DN,DB .D,N分别是BC,AC的 中点，DN是△ABC的中位线， DN∥AB,DN-号AB, 由三棱柱ABC-AB,C1, D 得AB∠AB1, M是AB1的中点 第18题答图 :.BV-jAB...DNZBM. .四边形DNMB1是平行四边形，MN∥DB. :DB1C平面BCCB1,MWd平面BCCB1, .MN∥平面BCCB. (2)解：.侧面BCCB1是正方形，..BC⊥BB, 又平面BCCB1⊥平面ABBA1,BCC平面BCCB, 平面BCC,B,∩平面ABBA=BB,∴.BC⊥平面ABBA 又ABC平面ABBA1,.BC⊥AB. 由(1)知MN∥DB1,又AB⊥MN,∴AB⊥DB. BC∩DB=D,AB⊥平面BCCB,AB⊥BB. 以B为坐标原点，BC,BA,BB的方向分别为x 轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系B-xy?, 则B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),B1(0,0,2), 124 A1(0,2,2),N(1,1,0),M(0,1,2),则BN=(1,1, 0),BM=(0,1,2),BA=(0,2,0),设n=(x,y,2) 是平面BMN的法向量，则n:B0.即+0。 nBM=0,y+2=0. 令z=1,得x=2,y=-2.所以n=(2,-2,1). 设直线AB与平面BMW所成的角为0，则sin8= lcos(m,BA)=InBA12x0+(-2)x2+1x0I2 I1l-BA12V22+(-2)4下-3 所以直线AB与平面BN所成角的正弦值为子 19.(1)证明：取PA的中点G,连接EG,DG(图 略). PA∥BE,且PA=4,BE=2,BE∥AG,且BE=AG, .∴.四边形BEGA为平行四边形，EGAB,且EG= AB. .四边形ABCD是正方形，.CD∥AB,CD=AB, EG∥CD,且EG=CD, .∴.四边形CDGE为平行四边形，..CE∥DG. .DGC平面PAD,CE￠平面PAD,.CE∥平面PAD. (2)解：易得AB,AD,AP 两两互相垂直，故以A为坐标原 点，AB,AD,AP的方向分别为 x轴、y轴、z轴正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系，则B(4, 0,0),C(4,4,0),E(4,0,2), P(0,0,4),D(0,4,0), 第19题答图 .P℃=(4,4，-4)，PE=(4,0,-2),PD=(0,4, -4). 设平面PCE的一个法向量为m=(x,y,), m-0.→t0 则 m·PE=0 2x-z=0, 令x=1,则y=1,z=2,m=(1,1,2) 假设存在点F(a,0,0)(0≤a≤4)满足题意，如 图，连接EF,DF,DE,则FE=(4-a,0,2),DE=(4, -4,2). 设平面DEF的一个法向量为n=(x',y',z), 则n-DF-0,s2r-2y4e0. n.FE-0 (4-ax'+2z'=0, 令=2，则y=号，=0-4，n=2,号，-4 :平面DEFL平面PCE,mn-0,即2+号+2a-8= 0.号，放存在点F号，0,0满足题意，此时 AB 3 >"第二章章末测试卷 1.A【解析】直线l1:ax+2y+6-0与直线2：x+(a- 1+50垂直，则x1+2(a-1)0,解得a=号放选A 2.C【解析】根据题意，方程x2+y2-x+y-2m=0表示 一个圆，则有1+14x(-2m)0,解得m>子，即m的 取值范围为子+故选C 3.A【解析】设圆心A(x,y),由已知得(x-3)2+(y- 4)2=1.即A在以(3,4)为圆心，1为半径的圆上，所 以圆心A到原点的距离的最小值为1V√(3-0)+(4-0)2-1= 5-1=4,故选A 4.B【解析】由题知M0=1 IMAI 2' 由两点间距离公式V+F-1 V(-3)2+22 两边平方，得护=1 (x-3)2+4· 化简得x2+y2+2x-3=0,整理得(x+1)2+y2=4. 5.B【解析】双葡线号1中，新近线方程为) √2无，“所求双曲线的方程中“。1 ±1 6V2,c=3,+ 6,:3,6,则双浦线方程为写-若1放选B 6.D【解析】设IFFl=2c,AFI=m,若△ABF,是以 A为直角顶点的等腰直角三角形， 则AB=AF=m,lBF=V2m. 由椭圆的定义可得△ABF的周长为4a,即有4a= 2m+V2 m, 即m=(4-2V2)a,则lA=2a-m=(2V2-2)a. 在Rt△AFF2中，IFFP=AFIP+AFP,即4c2=4(2- V2)22+4(V2-1Pd,即c2=(9-6V2)d,即c=(V6- V3)a,即e=c=V6-V3.故选D. 7.C【解析】在△PFF2中，设∠FPF=a, F FP=IPFP+IPFP-21PFIIPFlcosa, 36=IPFP+IPFP-2IPF IIPFIcosa 由椭圆的定义得PFl+IPF=4V3, 36=(IPF1+IPF1)2-2IPFIIPFIcosa-21PF IIPEI, 36=48-21PF IIPFIcosa-2IPF IIPEI. 参考答案⊙ IPF IIPF3lcosa+IPF IIPFJ=6.1 Saa=3 IPFIPFSsinc=V3,② g得am受-，即∠PFa-号 8.B【解析】直线x=a与双曲线C的两条渐近线 y=±bx分别交于D,E两点，则IDEI=yy=2b,所以 Swo=7a~2b=8,即ab=8.所以c2=i+b2≥2d.当且仅当 a=b时取等号.即cm-4,焦距2c的最小值为8，故选B. 9.AC【解析】方法一：设函数y=f(x)的图象上任 意一点P(x,y),点P关于点M对称且在函数y=x2+1图 象上的点为Q(x,yo). x+X0=2 2 根据中点坐标公式可得 1x-4-t,由y0 y+边-0， yo=0-y, 2 x6+1,-y=(4-x)2+1,y=-x2+8x-17,即fx)=-x2+8x- 17. 根据选项可知f代2)=-5，f(1)=-10,f(-1)=-26.故选 AC. 方法二：可根据选项求出各个选项关于点M(2,0) 的对称点，判断对称点是否在函数y=2+1的图象上. 如A选项关于M(2,0)的对称点为(2,5)，这个 点在函数y=x2+1的图象上，故A正确； 同理经过验证，C也正确.故选AC 1O.BCD【解析】PM=lMFl,M为PF的中点， 又O为FE的中点，∴.OM∥PFx 又OM1FR,:PR,1FR,∠PFF=号，A错 误，B正确 在Rt△PFF中，∠PR=30,PF=,IFFE 2c,V32=2c,即V3(c2-)=2c,V3e2-2e V了0，解得e=V了或e=-V3(舍去)，C正确. 3 e==V了，.么=V2,渐近线方程为y= ±V2x,D正确.故选BCD, 11.ABD【解析】设过抛物线)y2=2px(p>0)上一点 D(o,o)的切线斜率为k,则切线方程为y-y=k(-o), 装0 、消去y并整理得2x2-2(x-yo+p)x+ (0y+k3x2-2kxya)=0. 由△=0，得2k2-2y0k+p=0, (125